Sistema de primeira e segunda ordem_07

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Análise de resposta transitória para
sistemas de primeira e segunda ordem
Controle I
Paulo Roberto Brero de Campos
0.1 Introdução
Nesta apostila serão estudadas as respostas transitórias de sistemas de primeira e segunda
ordem, analisadas no domı́nio do tempo.
No estudo dos sistemas de controle, as equações diferenciais lineares de primeira ordem
e segunda ordem são muito importantes, porque os sistemas de ordem mais elevadas podem
ser aproximados para estes tipos de sistemas.
0.2 Sistemas de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem possui a seguinte função de transferência:
C(s)
R(s)
= 1
Ts+1
Na forma de diagrama de blocos tem-se:
R(s) - 1
Ts+1
-C(s)
Figura 1: Diagrama em blocos
Uma maneira de se analisar uma função de transferência é aplicar um degrau unitário na
entrada e observar a resposta na sáıda. Sendo o degrau unitário R(s) = 1
s
, a resposta será
dada por:
C(s) = 1
Ts+1
R(s) = 1
Ts+1
1
s
Separando em frações parciais, obtém-se:
C(s) = A
Ts+1
+ B
s
= −T
Ts+1
+ 1
s
= 1
s
− 1
s+ 1
T
Calculando a transformada inversa, obtém-se:
c(t) = 1− e− tT para t ≥ 0
A resposta ao degrau possui a seguinte forma:
1
0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
t
c(
t)
Substituindo t por valores múltiplos da constante de tempo, tem-se:
para t = 0, c(t) = 0
para t = T , c(t) = 0, 632
para t = 2T , c(t) = 0, 865
para t = 3T , c(t) = 0, 950, que é a resposta dentro da faixa de 5% do valor final
para t = 4T , c(t) = 0, 982, que é a resposta dentro da faixa de 2% do valor final
para t = 5T , c(t) = 0, 993, que é a resposta dentro da faixa de 1% do valor final
0.3 Definição da constante de tempo
Já foi visto que a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau é
dada por:
c(t) = 1− e− tτ
O valor de t que torna o expoente de e igual a −1 é definido como uma Constante de
tempo.
Assim: −t
τ
= −1 então t = τ . Assim τ =constante de tempo.
A partir da função de transferência:
G(s) = 1
τs+1
=
1
τ
s+ 1
τ
Na função de transferência, observa-se que τ =constante de tempo e quando se isola o
termo em s, obtem-se 1
τ
=pólo. Então o pólo é o inverso da constante de tempo.
Exemplo: Considerando a função de transferência G(s) = 100
s+20
:
a) Calcule o valor do pólo: o pólo é o valor de s que faz a função tender ao infinito, então
pólo=s=-20 rad/s.
b) Calcule a constante de tempo: pela definição, constante de tempo = τ = 1
20
= 0, 05s
2
c) Calcule o valor final da sáıda, aplicando o Teorema do Valor final:
f(∞) = lim
t→∞
f(t) = lim
s→0
sF (s) = lim
s→0
s
100
s+ 20
1
s
= 5
d) Calcule o valor final de sáıda, pela resposta no tempo: separando em frações parciais,
obtém-se:
C(s) = 100
s+20
1
s
= A
s
+ B
s+20
= 5
s
− 5
s+20
Calculando a anti-transformada de Laplace:
c(t) = 5− 5e−20t
Para t =∞, obtem-se c(s) = 5.
e) Calcule o valor de c(t) para uma constante de tempo: a constante de tempo é obtida
como: −20t = −1 e t = τ = 0, 05. Substituindo este valor de t na equação do item anterior,
c(t) = 3, 16.
Exerćıcio: Considere a resposta de um sistema desconhecido. A partir da resposta no
tempo obtenha a função de transferência.
Figura 2: Exerćıcio
0.4 Sistemas de segunda ordem
A equação diferencial padronizada de um sistema de segunda ordem é dada por:
d2y(t)
dt2
+ 2ξωn
dy(t)
dt
+ ωn
2y(t) = ωn
2x(t)
A constante ξ é chamada Coeficiente de amortecimento (ou razão de amortecimento)
A constante ωn é chamada frequência natural não amortecida.
A transformada de Laplace com condições iniciais nulas é dada por:
Y (s)s2 + 2ξωnsY (s) + ωn
2Y (s) = ωn
2X(s)
A função de transferência é dada por:
G(s) = Y (s)
X(s)
= ωn
2
s2+2ξωns+ωn2
Os pólos da função são dados por:
s = −ξωn ± ωn
√
ξ2 − 1
O coeficiente de amortecimento (ξ) fornece indicações de como será a resposta transitória
do sistema:
3
1. Se ξ > 1, o sistema possui dois pólos reais e distintos
2. Se 0 ≤ ξ < 1, o sistema possui pólos complexos conjugados, localizados em: s =
−ξωn ± jωn
√
1− ξ2 = −σ ± jωd
3. Se ξ = 1, o sistema possui duas ráızes reais iguais.
onde: σ = taxa de decaimento
ωd = frequência natural amortecida
Resumo:
a)0 ≤ ξ < 1 – sistema sub-amortecido (amortecimento sub-cŕıtico)
b) ξ = 1 – amortecimento cŕıtico
c) ξ > 1 – sistema super-amortecido (amortecimento super-cŕıtico)
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
t
c(
t)
ξ < 1
ξ = 1
ξ > 1
Para ξ < 1 o lugar geométrico dos pólos é mostrado na figura 3.
-
6
@
@
@I
.
.
.
+jωd
−jωd-
−σ
*
*
θ θ = cos−1ξ
. . ....
.. .
...
.
.
s = −σ + jωd
s = −σ − jωd
Figura 3: Plano s
0.5 Definição de constante de tempo para sistemas de
segunda ordem, com ξ < 1
Neste caso os pólos são complexos conjugados:
4
s = −ξωn ± jωn
√
1− ξ2 = −σ ± jωd
A função de transferência é dada por:
F (s) = ω
2
n
(s+σ+jωd)(s+σ−jωd)
No tempo, calculando a anti-transformada de Laplace, obtém-se:
f(t) = A1e
(−σ−jωd)t + A2e
(−σ+jωd)t = Ae−σtsen(ωdt+ φ)
O termo e−σt é denominado taxa de decaimento.
Pela definição de constante de tempo, vista na parte inicial da apostila: −σt = −1,
t = 1
σ
= τ , desta forma:
τ = 1
σ
= 1
ξωn
0 20 40 60 80 100 120
−0.5
0
0.5
1
t
c(
t)
Ae(−σt)sen(ωdt+ φ)
e(−σt)
Exerćıcio: desenhe as regiões para: ξ,ωn, ωd, σ constantes.
0.5.1 Exemplo
Analise o sistema abaixo, sendo ξ = 0, 5 e ωn = 10rad/s:
E(s)- ω2n
s(s+2ξωn)
-i C(s)-+R(s)
- 6
Figura 4: Diagrama em blocos
a) Calcule os pólos em malha fechada:
b) Calcule a frequência natural amortecida:
c) Calcule a constante de tempo do sistema
d) Determine o tio de resposta que o sistema exibe
5
0.6 Especificações de Resposta transitória para siste-
mas de segunda ordem
As caracteŕısticas de desempenho desejadas de sistemas de controle são especificadas em
termos de grandezas no domı́nio do tempo.
Sistemas com armazenamento de energia não podem responder instantaneamente e terão
respostas transitórias sempre que sujeitos a alterações na entrada ou sujeitos a perturbações.
Frequentemente as caracteŕısticas de desempenho de um sistema de controle são especi-
ficadas em termos da resposta transitória para uma entrada em degrau unitário, pois esta
entrada é fácil de gerar e é suficientemente severa.
As seguintes informações são usadas para especificar a resposta no tempo:
1) Tempo de atraso (delay) – td
2) tempo de subida (rise time) – tr
3) Instante de pico – tp
4) Sobressinal máximo – Mp
5) tempo de acomodação – ts
Figura 5: Resposta de um sistema de segunda ordem
1) Tempo de atraso (td) – é o tempo necessário para a resposta alcançar pela primeira
vez a metade do valor final.
2) Tempo de subida (tr) – é o tempo necessário para a resposta passar de 10% a 90%, de
6
5% a 95% ou de 0 a 100%. Normalmente usa-se de 10% a 90%.
3) Instante de pico (tp) – é o tempo necessário para a resposta alcançar o primeiro pico
do sobressinal.
4) Sobressinal Máximo ( Mp em valor percentual) – é o valor de pico da curva de resposta
medido a partir do valor unitário, para a sáıda padronizada.
Se o valor final do regime estacionário de resposta difere da unidade, então normalmente
se usa o máximo sobressinal percentual:
Mp(%) = c(tp)−c(∞)
c(∞) 100%
O valor do sobressinal máximo (percentual) fornece indicações da estabilidade relativa
do sistema.
5) Tempo de estabilização (acomodação) (ts) – é o tempo necessário para a curva de
resposta alcançar e permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final (normalmente
±1%, ±2% ou ±5%)
O tempo de estabilização está relacionado com a maior constante de tempo do sistema
de controle.
A escolha de que percentagem usar no critério de erro, pode ser determinada a partir dos
objetivos do projeto do sistema em questão.
Comentários:
Estas especificações são importantes, pois os sistemas de controle atuam no domı́nio do
tempo, devendo apresentar respostas temporais satisfatórias.
É desejável que a respostatransitória seja suficientemente rápida e suficientemente amor-
tecida.
Para um sistema de segunda ordem a resposta deve estar na faixa: 0, 4 ≤ ξ ≤ 0, 8.
Valores menores que ξ ≤ 0, 4 resultam em sobressinal excessivo. Valores maiores que
ξ ≥ 0, 8, o sistema responde de forma lenta.
0.7 Resumo
1) Rise-time – tempo de subida (tr)
tr(10%−90%) ∼= 0,8+2,5ξωn
2) Tempo de pico e sobressinal (tp e Mp)
tp =
π
ωd
7
Mp = e
− πξ√
1−ξ2 (algumas vezes Mp é expresso em valores percentuais (exemplo, Mp =
10%), mas na equação deve ser escrito como Mp = 0, 10.
3) Tempo de estabilização (ts)
ts1% ∼= 4,6σ
ts2% ∼= 4σ
ts5% ∼= 3σ
0.8 Resposta transitória para sistemas de segunda or-
dem, para um degrau unitário na entrada.
A figura abaixo mostra as respostas padronizadas para um sistema de segunda ordem.
Figura 6: Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem
0.9 Efeito dos zeros
Zeros tem um efeito significante na resposta transitória, para sistemas sobre-amortecidos,
especialmente se eles estão próximos à origem.
8
0.10 Resposta natural e resposta forçada
Quando um sistema dinâmico é sujeito a forças externas na sua entrada, a sáıda resultante
pode ser separada em duas partes: a resposta natural yn(t) e a resposta forçada yf (t).
A resposta natural é definida como a parte da resposta completa que consiste dos mo-
dos naturais do sistema. A resposta forçada consiste de termos adicionais modais que são
definidos pela entrada u(t).
0.11 Exerćıcios
1. Para os exemplos usados nesta apostila, determine as respostas natural e forçada.
2. Dado os sistemas abaixo, reduza a um único bloco e escreva a função de transferência.
Figura 7: Diagramas de blocos
3. Dada a função de transferência F(s)=C(s)/R(s) que representa um sistema em malha
aberta, sendo R(s) um degrau unitário, 8, determine:
a) o valor dos pólos e os localize no plano s;
b) tipo de resposta;
c) coeficiente de amortecimento (ξ);
d) freqüência natural não amortecida (ωn) e a freqüência natural amortecida (ωd);
e) Tr, Ts5%, Ts2%, Tp e Mp;
9
f) constante de tempo.
-
9
s2+2s+9 -
Figura 8: Diagrama em blocos
4. Considere o sistema representado pela função de transferência que possui um zero real
em s = −1
α
.
G(s) = αω
2
ns+ω
2
n
s2+2ξωns+ω2n
Considerando a resposta no tempo para um degrau unitário, analise as respostas para:
a) α = 0; b) α = 1; c) α = 2; d) Comparando com uma função sem zero, α = 0, que
termo que aparece devido ao zero?
5. Faça os exerćıcios propostos na apostila ”Efeitos de polos e zeros na
resposta.pdf”que está no site http://pessoal.utfpr.edu.br/brero/controle 1/2 sem
2012/Exercicios/. Estes exerćıcios devem ser entregues ao professor, valendo 0,4 pon-
tos.
6. Projete o sistema mostrado na figura 9 para obter-se ξ = 0, 7.
a) calcule ts5%, Mp e tp
b) calcule o valor do pólos em malha fechada.
E(s)- K30
s(s+30)
-i C(s)-+R(s)
- 6
Figura 9: Exerćıcio
10
	Introdução
	Sistemas de primeira ordem
	Definição da constante de tempo
	Sistemas de segunda ordem
	Definição de constante de tempo para sistemas de segunda ordem, com < 1 
	Exemplo
	Especificações de Resposta transitória para sistemas de segunda ordem
	Resumo
	Resposta transitória para sistemas de segunda ordem, para um degrau unitário na entrada.
	Efeito dos zeros
	Resposta natural e resposta forçada
	Exercícios