Cálculo Diferencial e Integral a uma Variável

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Leia o enunciado abaixo:
Muitas integrais podem ser resolvidas por meio do método da substituição de variáveis, como é o caso da seguinte integral: 
Livro-base p. 150.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de cálculo diferencial e integral, o valor da integral I é igual a
Nota: 10.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
Você acertou!
Livro-base p. 150.
	
	D
	
	
	E
	
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
A função quadrática f(x)=3x2+6x+7f(x)=3x2+6x+7 tem intervalos de crescimento e decrescimento por possuir ponto de mínimo.
Fonte: Livro-base, p. 111.
Considerando o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, os intervalos de crescimento e decrescimento de ff, respectivamente, são
Nota: 10.0
	
	A
	[−2,∞)[−2,∞) e (−∞,−2].(−∞,−2].
	
	B
	[−1,∞)[−1,∞) e (−∞,−1].(−∞,−1].
Você acertou!
Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento é necessário calcular os pontos críticos por meio da derivada e, na sequência, aplicar o Teste da Derivada Primeira. Observe que f′(x)=0⟺6x+6=0⟺x=−1.f′(x)=0⟺6x+6=0⟺x=−1. Logo, se x>−1x>−1, temos f′(x)>0f′(x)>0, o que garante que a função é crescente no intervalo [−1,∞).[−1,∞).  Por outro lado, se x<−1x<−1,
então f′(x)<0f′(x)<0, donde a função é decrescente em (−∞,−1].(−∞,−1]. 
(Livro-base, p. 111).
	
	C
	[−3,∞)[−3,∞) e (−∞,−3].(−∞,−3].
	
	D
	[−4,∞)[−4,∞) e (−∞,−4].(−∞,−4].
	
	E
	[−5,∞)[−5,∞) e (−∞,−5].(−∞,−5].
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
A função  definida num intervalo I obedece a seguinte relação:  onde  é a sua primitiva.
Considere a função  tal que  onde c é uma constante.
Referência: Livro-Base, p. 142.
A função f(x) que satisfaz a integral indefinida mostrada acima é:
Nota: 0.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Fonte: Livro-Base, p. 142.
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
A função f(x)=(4x3+1)5f(x)=(4x3+1)5 corresponde a uma função polinomial que descreve o comportamento da temperatura de uma peça mecânica em função da posição.
Fonte: Livro-base, p. 82.
Considere o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral e responda: a derivada da função polinomial f(x)f(x) é igual a
Nota: 10.0
	
	A
	40x(4x3+1)440x(4x3+1)4.
	
	B
	30x(4x3+1)330x(4x3+1)3.
	
	C
	20x(4x3+1)420x(4x3+1)4.
	
	D
	60x2(4x3+1)460x2(4x3+1)4.
Você acertou!
Se uu é uma função que depende da variável xx, então ddx[u(x)m]=m⋅u(x)m−1u′(x).ddx[u(x)m]=m⋅u(x)m−1u′(x). Assim, considerando m=5m=5 e u(x)=4x3+1u(x)=4x3+1, temos u′(x)=12x2u′(x)=12x2 e, portanto, 
f′(x)=5⋅(4x3+1)4⋅12x2=60x2(4x3+1)4.f′(x)=5⋅(4x3+1)4⋅12x2=60x2(4x3+1)4. 
(Livro-base, p. 82).
	
	E
	50(4x3+1)4.50(4x3+1)4.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Em integrais do tipo  usa-se o método de integração por substituição trigonométrica e um dos casos considera a situação representada na figura a seguir:
 
Nesse caso,  com 
Considere a seguinte integral:
Referência: Livro-Base, p. 170.
O valor da integral I, mostrada acima, é:
Nota: 10.0
	
	A
	
Você acertou!
Referência: Livro-Base, p. 170.
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
De acordo com os conhecimentos adquiridos em aula e no livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, leia as afirmações abaixo:
I. ∫20(3x2+2x+1)dx=33∫02(3x2+2x+1)dx=33.
II. ∫21(x5+2x3+1)dx=1196∫12(x5+2x3+1)dx=1196.
III. A área sob curva f(x)=−x2+1f(x)=−x2+1 e o eixo xx é igual a  43 u.a.43 u.a.
(Livro-base, p. 145 e 181)
É correto o que se afirma apenas em:
Nota: 0.0
	
	A
	I.
	
	B
	I e II.
	
	C
	II.
	
	D
	I e III.
	
	E
	III.
Observe que ao calcular a área limitada por uma função e o eixo x, devemos observar como se comporta a função e em quais pontos no eixo x ela toca. Como a área definida entre a função e o eixo x será definida para −1⩽x⩽1−1⩽x⩽1, portanto a integral será definida no intervalo −1⩽x⩽1−1⩽x⩽1. Seu valor será: ∫1−1(−x2+1)dx=−x33+x|1−1=43 u.a.∫−11(−x2+1)dx=−x33+x|−11=43 u.a.
Resolvendo as integrais definidas, na alternativa I teremos que ∫20(3x2+2x+1)dx=14∫02(3x2+2x+1)dx=14, e na alternativa II: ∫21(x5+2x3+1)dx=(x66+x42+x)|21=19 u.a.∫12(x5+2x3+1)dx=(x66+x42+x)|12=19 u.a.. (livro-base, p. 145)
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
A função f(x)=x3−6x2+11x−6f(x)=x3−6x2+11x−6 possui no ponto x=3x=3 uma tangente ao gráfico de f(x)f(x) de coeficiente angular mm e, também, uma reta normal a essa tangente, cujo coeficiente angular é m′=−1mm′=−1m .
O coeficiente angular reta tangente ao gráfico de f(x)f(x) no ponto x=3x=3 é igual a: 
(Livro-base, página 67).
Nota: 10.0
	
	A
	2
Você acertou!
Para a solução do problema, calcula-se a derivada da função f(x)=x3−6x2+11x−6f(x)=x3−6x2+11x−6 no ponto x=3x=3 que corresponde ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de ff . Notamos que a derivada é f′(x)=ddx(x3−6x2+11x−6)=3x2−12x+11f′(x)=ddx(x3−6x2+11x−6)=3x2−12x+11 e entãof′(3)=3⋅32−12⋅3+11=2.f′(3)=3⋅32−12⋅3+11=2. Com isso o coeficiente angular da reta tangente é m=2m=2.
(Livro-base, página 67).
	
	B
	1.
	
	C
	-1/3.
	
	D
	2/3.
	
	E
	1/2
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
"O teorema do Valor Médio é descrito pela seguinte expressão:  onde f(x) é contínua e derivável no intervalo (a,b). No caso, considere a seguinte função  no intervalo [1,3]."
Fonte: livro-base, p. 104.
Considerando os conteúdos da aula e do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral,  a partir do teorema do valor médio, o valor de  que satisfaz esse teorema para a função f(x) é igual a:
Nota: 0.0
	
	A
	
	
	B
	
	
	C
	
	
	D
	
	
	E
	
(livro-base, p. 104)
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Leia o enunciado a seguir:
A função f(x)=x33+3x2−7x+9f(x)=x33+3x2−7x+9 possui máximo e mínimo relativos que podem ser obtidos por meio das derivadas de f.f. 
Fonte: Livro-base, p. 106 e 107.
De acordo com o enunciado acima e os conteúdos do livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral, os pontos de mínimo e máximo relativos, respectivamente, são
Nota: 0.0
	
	A
	2 e -5.
	
	B
	1 e -7.
Devem-se obter os pontos críticos de ff e verificar se correspondem aos pontos de máximo ou mínimo relativos da função. Observamos que f′(x)=0⟺x2+6x−7=0⟺x=1 ou x=−7,f′(x)=0⟺x2+6x−7=0⟺x=1 ou x=−7, o que garante que -7 e 1 são pontos críticos. Além disso, f′′(x)=2x+6.f″(x)=2x+6.  Como f′′(1)=2⋅1+6=8>0,f″(1)=2⋅1+6=8>0, segue do Teste da Derivada Segunda que 1 é ponto de mínimo relativo de f.f. Por outro lado, já que f′′(−7)=2⋅(−7)+6=−8<0,f″(−7)=2⋅(−7)+6=−8<0, o ponto -7 é máximo relativo de f.f. 
(Livro-base, p. 106 e 107).
	
	C
	3 e 4.
	
	D
	4 e 6.
	
	E
	7 e 9.
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a uma Variável
Leia o enunciado a seguir e responda de acordo com o que aprendeu nas aulas e no livro-base Elementos de Cálculo Diferencial e Integral:
Calculando ∫f(x)dx∫f(x)dx, para f(x)=x3+4x+5f(x)=x3+4x+5 teremos o resultado igual a:
(Livro-base, p. 147)
Nota: 0.0
	
	A
	x44+2x2+5xx44+2x2+5x.
	
	B
	x44+2x2+5x+Cx44+2x2+5x+C.
Observe que ao calcular a integral indefinida de uma função polinomial devemos aumentar uma unidade no expoente da parte literal de cada termo, e dividir cada termo pelo resultado da soma desse expoente, o resultado será um polinômio com um grau a mais que a função inicial, como a integral é indefinida, teremos o acréscimo de uma constante. (livro-base, p.147)
	
	C
	x4+4x2+5x+Cx4+4x2+5x+C.
	
	D
	3x2+4+C3x2+4+C.
	
	E
	x3+4x+5+C.x3+4x+5+C.