2 Prova de Análise I - Turma B1 - Gabarito

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2◦ Prova de Análise I
26 de março de 2016
Gabarito Turma: B1
Professor: Aldo Bazán Universidade Federal Fluminense
1. Seja S :=
∑∞
n=1 an uma série de números reais tal que an = 1/2
n.
a. (0.5 pt) Prove que a série S é convergente.
Solução:
Note que ∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1/2n+11/2n = 12 ,
então do teste da razaõ temos que a série S é convergente.
b. (0.5 pt) Prove que (an)n≥1 é de Cauchy.
Solução:
Sabemos que a série S é convergente, então a sequência (an)n≥1 converge a zero, e como toda
sequência convergente é de Cauchy, a sequência (an)n≥1 é de Cauchy.
c. (1.0 pt) A sequência (xn)n≥1 que satisfaz a condição |xn+1 − xn| < an é de Cauchy? Justifique
sua resposta.
Solução:
Sejam m,n ∈ N. Assumindo m < n, e usando a desigualdade triangular temos
|xm − xn| ≤ |xm − xm+1|+ ...+ |xn−1 − xn| < 1/2m + ...+ 1/2n−1.
Por outro lado, como a série S converge, a sequência (sn)n≥1 das somas parciais de S converge,
o que implica que ela é de Cauchy, i.e., para cada � > 0 existe n0 tal que se m,n ≥ n0, então
|sm − sn| < �. Trocando m e n por m− 1 e n− 1 temos
|sm−1 − sn−1| = |(1/2 + 1/22 + ...+ 1/2m−1)− (1/2 + 1/22 + ...+ 1/2n−1)| = 1/2m + ...+ 1/2n−1
o que implica que para cada � > 0 existe n0 tal que se m,n ≥ n0, então
1/2m + ...+ 1/2n−1 < �
de onde |xm − xn| < �, i.e., (xn)n≥1 é de Cauchy.
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2. Seja (xn)n≥1 uma sequência de números reais tal que limn→∞ xn = p, e definimos o conjunto X =
{x1, x2, ..., xn}. Em cada questão justifique sua resposta.
a. (0.5 pt) O conjunto X é fechado?
Solução:
Note que X = ∪ni=1 {xi}, e como um conjunto unitário é fechado (pois o seu complementar é
aberto), então X é fechado, pois é a união finita de conjuntos fechados.
b. (0.5 pt) O conjunto X é compacto?
Solução:
Como X é fechado, então X = X. Sejam a = minX e b = maxX. Como X ⊂ [a, b], X é limitado,
e já que, de a., X é fechado, temos que X é compacto.
c. (1.0 pt) X = X?
Solução:
Como X é fechado, então X = X.
3. Prove as seguinte afirmações.
a. (0.5 pt) limx→a f(x) = limh→0 f(a+ h).
Solução:
Seja L = limx→a f(x), i.e., dado � > 0 existe δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < �.
Colocando h := x− a obtemos
0 < |h| < δ ⇒ |f(a+ h)− L| < �,
i.e. L = limh→0 f(a+ h).
b. (0.5 pt) limx→0 f(|x|) = limx→0+ f(x).
Solução:
Seja L = limx→0 f(|x|), i.e., dado � > 0 existe δ > 0 tal que
0 < |x| < δ ⇒ |f(|x|)− L| < �.
Colocando y := |x| obtemos
0 < y < δ ⇒ |f(y)− L| < �,
i.e. L = limy→0+ f(y).
c. (1.0 pt) Se limx→a f(x) = L, então limx→a |f(x)| = |L|.
Solução:
Seja L = limx→a f(x), i.e., dado � > 0 existe δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < �.
Da desigualdade triangular obtemos ||f(x)| − |L|| ≤ |f(x)− L|, de onde
0 < |x− a| < δ ⇒ ||f(x)| − |L|| < �,
i.e. |L| = limx→a |f(x)|.
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4. Seja f : [0, 1]→ [0, 1] uma função cont́ınua.
a. (0.5 pt) A função g : R → R definida por g(x) := f(x) − x é cont́ınua em [0,1]? Justifique sua
resposta.
Solução:
Como a diferença de duas funções cont́ınuas no intervalo [0, 1] é uma função cont́ınua em [0, 1],
temos que g é cont́ınua em [0, 1].
b. (1.5 pt) Mostre que existe p ∈ [0, 1] tal que f(p) = p.
Solução:
Como o contradominio da função f é o intervalo [0, 1], temos 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ [0, 1].
Em particular
0 ≤ f(0) ≤ 1; 0 ≤ f(1) ≤ 1.
Observe que se f(0) = 0 ou f(1) = 1, poderiamos escolher p = 0 ou p = 1 respectivamente.
Agora, assumindo que 0 < f(x) < 1 para todo x ∈ [0, 1], temos que
g(0) = f(0)− 0 > 0
g(1) = f(1)− 1 < 0
e como g é cont́ınua em [0, 1], aplicando o Teorema do Valor Intermediário, temos que existe
p ∈ (0, 1) tal que g(p) = 0, i.e., f(p) = p.
5. (2.0 pt) Seja f : R→ R cont́ınua em R. Definimos o conjunto A por
A := {x ∈ R : f(x) = 0} .
Prove que A é um subconjunto fechado de R.
Solução:
Seja p ∈ A. Então, existe uma sequência (xn)n≥1 de elementos de A tal que xn → p. Como f é
cont́ınua em R, então f(xn)→ f(p). Por outro lado, como xn ∈ A para todo n suficientemente grande,
f(xn) = 0, e da unicidade do limite temos f(p) = 0, i.e., p ∈ A. Assim A = A, o que implica que A é
fechado.
Observações:
i. Sabemos que f é cont́ınua em R, então se X é um aberto em R, f−1(X) é aberto em R. Agora,
para mostrar que A é fechado, é suficiente mostrar que Ac é aberto. Note que
Ac = {x ∈ R : f(x) 6= 0}
= {x ∈ R : f(x) > 0} ∪ {x ∈ R : f(x) < 0}
= {x ∈ R : f(x) ∈ (0,∞)} ∪ {x ∈ R : f(x) ∈ (−∞, 0)}
= f−1((0,∞)) ∪ f−1((−∞, 0))
então Ac é aberto, e assim A é fechado.
ii. Sabemos que f é cont́ınua em R, então se D é um fechado em R, f−1(D) é fechado em R. De fato,
como D é fechado, R − D é aberto, de onde f−1(R − D) é aberto, mas f−1(R − D) = R − f−1(D),
então R− f−1(D) é aberto, de onde f−1(D) é fechado. Agora, note que
A = {x ∈ R : f(x) = 0} = f−1({0}).
Então A é fechado em R.
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