ES25_Aula1

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Universidade de São Paulo
Escola Politécnica - Engenharia Civil
PEF - Departamento de Engenharia de Estruturas 
e Fundações
ES25 - Conceitos Fundamentais de 
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: 
Vigas, Lajes e Pilares
1º CICLO DE 2017
Professores: Túlio N. Bittencourt 
ES25
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Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de 
Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Objetivos:
 Transmitir os conceitos fundamentais de dimensionamento 
de estruturas de concreto: 
vigas, lajes e pilares
 Introduzir os avanços tecnológicos provenientes da 
atualização das normas técnicas.
 Aplicar técnicas computacionais disponíveis.
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Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de 
Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Aula Assunto Dia Professor
1 Apresentação do curso, objetivos, expectativas 
Introdução ao Concreto Estrutural 
10/3 Rui 
2 ELU - Solicitações Normais: Flexão Simples 
 
17/3 Rui 
3 ELU – Solicitações Tangenciais: Cisalhamento 
 
24/3 Rui 
4 ELU – Solicitações Tangenciais: Torção 
 
31/3 
 
Túlio 
5 ELS – Flechas, Fissuração e Fadiga 
 
7/4 Túlio 
6 Lajes maciças (detalhamento), nervuradas, cogumelo 
 
14/4 Túlio 
7 FNC – Flexão Composta Normal com grande e pequena 
excentricidade. 
21/4 Túlio 
8 FCO – Flexão Composta Oblíqua 
 
22/4 Túlio 
9 Pilares contraventados: dimensionamento e detalhamento 
 
29/4 
 
Túlio 
10 Pilares – Complementos e Estabilidade Global 
 
6/5 
 
Túlio 
 
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Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de 
Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
 Avaliação: 
Listas de exercícios e prova. 
 
 Bibliografia: 
 FUSCO, P. B. – Estruturas de Concreto Armado - Solicitações Normais. 
 FUSCO, P. B. – Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto. 
 SANTOS, L. M. - Cálculo de Concreto Armado. 
 SANTOS, L. M. – Subrotinas Básicas do Dimensionamento de Concreto Armado. 
 SUSSEKIND, J. C. - Curso de Concreto. 
 MONTOYA, P. J. – Hormigon Armado. 
 PFEIL, W. – Concreto Armado. 
 LEONHARDT, F. – Construções de Concreto. 
 NBR-6118:2014 – Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimentos. 
 Texto didático do curso. 
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Notas de Aula
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 Introdução ao Concreto Estrutural
 Introdução à Segurança Estrutural
 Flexão Simples - Dimensionamento e Verificação
 Solicitações Tangenciais – Cisalhamento
 Dimensionamento à Torção
 Aderência, Ancoragem e Emendas de Barras por Traspasse
 Alojamento da Armadura de Flexão na Seção Transversal
 Estados Limites de Utilização
 Resistência da Armadura de Concreto à Fadiga
 Lajes
 Flexão Composta - grande excentricidade
 Muros de Arrimo
 Caixa D’Água Usual
 Escadas Usuais
 Flexão Composta
 Pilares
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Características principais do concreto simples
Boa resistência a compressão - fcc : 10 MPa a 40 MPa 
Exemplo: Barra curta comprimida, seção de 20x20cm
resistência 20 x 20 x 1,0 = 400 kN ( 40 tf = 40000 kgf),
Baixa resistência a tração – fct : da ordem de fcc/10
Inadequado para peças sujeitas a flexão
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Módulo de elasticidade 
 
 Ec = (20000 MPa a 35000 MPa). 
Coeficiente de dilatação térmica 
 
  t
o C  10 5 1 . 
 
Os efeitos da variação de temperatura são importantes. Chegam a exigir a utilização 
de juntas de dilatação. Considere-se uma variação de temperatura T = 15oC, 
usualmente admitida no projeto de estruturas; tem-se a seguinte deformação: 
 
        ( ) t tT 
  t t T mm m      
  10 15 0 15 10 0 155 3, , / . 
 
Se esta deformação for impedida, as tensões normais correspondentes seriam da 
ordem de 
  t c tE MPa     
20000 0 15 10 33( , ) . 
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Tensões desta ordem, quando de tração (queda de temperatura com deformação impedida), 
podem levar a peça à ruptura por tração. Por outro lado, a força normal resultante, dada por 
(t Ac) seria muito grande [por exemplo, para uma seção retangular de 20 cm por 30 cm, Nt 
= t Ac = (3.103). 0,2.0,3 = 180 kN  18 tf = 18000 kgf]. Estes problemas são atenuados 
através de juntas de dilatação e, de apoios com vínculos criteriosamente definidos. Estas 
juntas reduzem os comprimentos dos trechos contínuos e, consequentemente, os 
deslocamentos impostos aos seus apoios. Estes por sua vez são projetados de modo a 
reduzir o impedimento à deformação livre da estrutura. 
 
Para se ter uma idéia da distância entre essas juntas, imagine-se a deformação axial livre 
com variação das aberturas limitadas a cerca de 5 mm. Resultaria, então, distâncias da 
ordem de 
 
     

 

 t mm mm m5
5
0 15 10
33333 3 33
3,
, . 
5
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Retração do concreto
Em ambiente normal, o concreto sofre diminuição de volume no decorrer do tempo,
independente de qualquer solicitação. Este fenômeno é denominado retração do concreto e
depende de vários fatores: umidade do meio ambiente, espessura das peças, etc. Em peças
livres alongadas, resulta em deformação de encurtamento, com valor assintótico no tempo
infinito, da ordem de s =-15.10-5 (“shrinkage”). Costuma-se relacionar este encurtamento
com uma variação (queda) equivalente de temperatura; obtém-se
T Cs
s
t
o  


15 .
No cálculo das estruturas, esta variação equivalente de temperatura deve ser adicionada à
variação de temperatura propriamente dita. Em casos de queda de temperatura, poder-se-ia
chegar a um efeito global da ordem de (-30 oC).
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Fluência do concreto 
 
O concreto quando solicitado permanentemente, apresenta um incremento adicional 
de deformação (cc) ao longo do tempo. Este fenômeno é conhecido por fluência do 
concreto (“creep”). Normalmente, admite-se que esta deformação seja proporcional à 
deformação imediata ou inicial, co. 
 
 cc =  co 
 
onde, , denominado coeficiente de fluência, é crescente assintoticamente para valores 
da ordem de 2 a 3 no tempo infinito ( = 2 a 3). Este coeficiente é função de vários 
fatores: umidade do meio ambiente, tipo de cimento, espessuras das peças, etc. 
 
Portanto, em cada instante, a deformação total é dada por 
 
  = co + cc = co (1 + ) 
 
chegando-se a até quadruplicar a deformação inicial. 
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Introdução ao Concreto Estrutural
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 Uma das características do concreto simples é a sua baixa resistência à tração. 
 Ela inviabiliza o seu uso em certas peças, como nos tirantes e nas vigas. 
 Para contornar esta deficiência, surge a idéia de associar o concreto simples ao aço, que 
apresenta ótima resistência à tração. 
 Este aço constitui a armadura do material composto, concreto estrutural. Esta 
associação é obtida moldando-se o concreto com a armadura adequadamente 
posicionada na peça. 
 A ligação dos materiais (trabalho conjunto) é garantida pela aderência entre o concreto e 
a armadura. 
 Em princípio, o alinhamento das barras que compõem a armadura deve seguir a 
trajetória das tensões principais de tração. Assim, ao ocorrer a ruptura do 
concreto da zona tracionada da seção, a armadura tem condições de “costurar” as 
partes resultantes, restando apenas uma fissura como registro desta ruptura. 
 Pode-se, assim, garantir a capacidade portante do elemento estrutural à custa da 
armadura com a presença de fissuras (fissuração). 
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Concreto Estrutural
Concreto Armado
• aderência
• proteção
• coeficientes dedilatação térmica próximos
Concreto Protendido
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Aderência entre o concreto e a armadura 
 
Este fator é muito importante pois permite a mobilização da armadura imersa 
na massa de concreto. Em geral, são aplicadas mossas e saliências tornando a 
conformação superficial da barra apropriada para garantir a aderência. 
 
As vigas adequadamente projetadas apresentam, junto à borda tracionada, 
fissuras discretas de pequena abertura que introduzem aí um comportamento 
singular. Contudo, observa-se o estabelecimento de um panorama de fissuração 
estabilizado com um comportamento, também, estabilizado. Isto permite, do 
ponto de vista macroscópico, admitir que a aderência possa ser considerada 
perfeita, sem escorregamento aparente entre os materiais. Esta consideração 
constitui uma das hipóteses básicas da teoria de solicitações normais no 
concreto armado. 
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Proteção da armadura pelo concreto 
 
A armadura é protegida pelo concreto que a envolve, atenuando o efeito de 
sua corrosão. As fissuras de pequena abertura, praticamente, não afetam a 
corrosão. 
 
Daí, a importância em se garantir a presença de fissuras de pequena 
abertura e o envolvimento eficiente das armaduras. Procura-se atender estas 
necessidades através da observância de aberturas limites para as fissuras e, 
de um cobrimento mínimo das armaduras, valores estes determinados 
experimentalmente. 
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Introdução ao Concreto Estrutural
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Coeficientes de dilatação térmica de valores próximos
Os elementos estruturais estão sujeitos a variação de temperatura.
O concreto e o aço que constituem o concreto estrutural, tendem
a apresentar deformações, dadas pelo produtos da variação de
temperatura (T) pelos respectivos coeficientes de dilatação
térmica.
Estas deformações poderiam provocar o aparecimento de tensões
internas, eventualmente, destruindo a ligação entre o concreto e o
aço, ou seja, eliminado a aderência, de fundamental importância
para o concreto armado.
Felizmente, este problema é praticamente eliminado pelo fato dos
coeficientes de dilatação dos dois materiais apresentarem valores
muito próximos entre si.
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Introdução ao Concreto Estrutural
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• Normas técnicas
Os projetos envolvem uma série de critérios. É, altamente, desejável que eles sejam padronizados visando a 
uniformização do nível de qualidade da obra. Estes critérios normatizados constituem as diversas Normas 
de Projeto. 
Para o projeto de estruturas de concreto interessam, diretamente, as seguintes Normas Brasileiras:
NBR-6118:2003 - Projeto de estruturas de concreto. Fixa condições gerais que devem ser obedecidas 
no projeto, na execução e no controle de obras de concreto armado e protendido, excluidas aquelas em 
que se empregue concreto leve ou outros concretos especiais
NBR-6120 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Fixa condições exigíveis para 
determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de estrutura de 
edificações, qualquer que seja sua classe e destino, salvo os casos previstos em normas especiais
NBR-6123 - Forças devidas ao vento em edificações. Fixa condições exigíveis na consideração das 
forças devidas à ação estática do vento, para efeitos de cálculo de edificações, e aplicável 
exclusivamente a edificações em que o efeito dinâmico do vento pode ser desprezado
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Introdução ao Concreto Estrutural
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• Unidades
Comprimento: m (cm, mm)
força normal: kN = 103 N ( 0,1 tf)
força cortante: kN, kN/m
momento: kN.m; kN.m/m; kN.cm/m
carga concentrada: kN
carga distribuida: kN/m; kN/m2
peso específico: kN/m3
resistência, tensão: kN/cm2, 1MPa = 106 N/m2 = 0,1 kN/cm2 ( 10 kfg/cm2)
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Propriedades do Concreto
 Massa específica do concreto armado, para efeito de cálculo, pode ser
adotada como sendo de 2500 kg/m3.
 Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica
pode ser admitido como sendo igual a 10-5 /ºC.
 Na falta de ensaios, a resistência à tração pode ser avaliada por meio
das equações( 1.1 ) a ( 1.3 ) (NBR6118:2003).
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Propriedades do Concreto
A NBR6118/78 prescreve o seguinte valor para fctk:
 Na ausência de dados experimentais sobre o módulo de elasticidade
inicial do concreto utilizado, na idade de 28 dias, a norma
NBR6118:2003 permite estimá-lo por meio da equação ( 1.5 ).
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Propriedades do Concreto
 O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas
de projeto, especialmente para a determinação de esforços solicitantes e
verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado por ( 1.6 )
A NBR6118/78 prescreve outra expressão para o cálculo do módulo
de elasticidade do concreto à compressão, no início da deformação
efetiva, correspondente ao primeiro carregamento:
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Introdução à Segurança Estrutural
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Métodos de verificação da segurança 
 
A estrutura é considerada segura quando apresenta 
condições de suportar, sem atingir um estado limite, as ações 
mais desfavoráveis ao longo da vida útil da obra em 
condições adequadas de funcionalidade. 
 
O conceito de segurança é qualitativo, de difícil 
quantificação. Segurança exagerada implica em altos custos, 
tornando a estrutura antieconômica. O projeto estrutural 
deve ser balizado de um lado pela insegurança e de outro 
pelo desperdicio. 
 
Os métodos de avaliação da segurança são os seguintes: 
método da tensão admissível, método da ruptura e método 
probabilístico. 
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Introdução à Segurança Estrutural
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Método das tensões admissíveis 
 
Neste método impõe-se a condição de que a maior tensão de 
trabalho não ultrapasse a tensão admissível do material 
(adm), que é definida como a resistência (f) do material 
dividida por um número i (coeficiente de segurança interno). 
Assim, para verificações com tensões normais tem-se: 
 
  

 adm
i
f . 
 Não é correto quando se tem comportamento não linear
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Introdução à Segurança Estrutural
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O coeficiente de segurança deve medir a distância que separa a situação de
utilização, da situação de ruina. Resulta, assim, a idéia de que a carga
multiplicada por i deve levar à ruina da estrutura. Esta conclusão seria
observada em estruturas de comportamento elástico onde existe
proporcionalidade entre as ações e as solicitações correspondentes. Caso
contrário, se a estrutura apresentar comportamento não linear, ela seria falsa,
gerando insegurança ou desperdício de material. Por exemplo, com resposta
não linear, se a tensão ficar multiplicada por 3 quando o carregamento for
duplicado, a adoção de i = 3, pode levar à falsa idéia de que o carregamento
poderia ser triplicado quando, na realidade, a sua duplicação poderia
ocasionar a ruina da estrutura, gerando insegurança; numa situação contrária,
se a tensão ficar duplicada quando o carregamento for triplicado, a adoção de
i = 2, pode levar à falsa idéia de que o carregamento poderia apenas ser
duplicado quando, na realidade, ela poderia ser triplicada, portanto
acarretando desperdício de material.
Os comentários efetuados levam a conclusão de que a quantificação da
segurança fica prejudicada no método das tensões admissíveis.
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Introdução à Segurança Estrutural
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Método da ruptura ou do coeficiente de segurança externo
Consiste em impor um limite para a carga de serviço (F) de modo que a
aplicação desta carga multiplicadapelo coeficiente de segurança externo (Fu
= e.F) acarretaria a ruina da estrutura.
Por exemplo, esta ruina poderia ocorrer quando a solicitação majorada numa
seção alcançar a sua resistência última. Neste método, a não linearidade física
é automaticamente considerada na determinação da resistência da seção
através dos diagramas reais ( x ). Constitui, assim, um método melhorado
em relação ao das tensões admissíveis. Continua, porém, a incerteza sobre o
nível de segurança, devido à variabilidade das resistências dos materiais; um
mesmo coeficiente e indica níveis diferentes de segurança conforme se trate
de aço, concreto, madeira, etc.
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Introdução à Segurança Estrutural
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Métodos probabilísticos
A segurança das estruturas é afetada por uma série de fatores, por
exemplo, as variabilidades das ações, das resistência e das deforma-
bilidades; os erros teóricos da análise estrutural; a imprecisão de 
execução; etc
A ruína ocorre quando a resistência R é alcançada pela solicitação S.
A probabilidade p de R igualar S constitui a probabilidade de ruína.
P = p [R<=S]
Quanto menor a probabilidade de ruína p, ou seja, quanto maior 
nível de segurança, mais cara é a estrutura.
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Introdução à Segurança Estrutural
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Método semi-probabilístico 
 
Trata-se de método híbrido onde são introduzidos dados estatísticos 
e conceitos probabilísticos, na medida do possível. A verificação da 
segurança consiste, basicamente, no seguinte procedimento: 
As ações e as resistências são consideradas através dos seus valores 
característicos, Fk e fk, respectivamente, os quais apresentam 5% 
de probabilidade de serem ultrapassados para o lado desfavorável.
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Introdução à Segurança Estrutural
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Fd = f.Fk 
- com a finalidade de reduzir bastante a probabilidade de 
serem ultrapassados 
- a aplicação destas ações de cálculo ao modelo 
estrutural permitem obter as solicitações em valor de 
cálculo, Sd 
 fd = fk / m , 
- com a finalidade de reduzir bastante a probabilidade de 
serem ultrapassados 
- a utilização destas resistências de cálculo nos modelos 
teóricos, permitem determinar os esforços resistentes em 
valor de cálculo, Rd 
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Introdução à Segurança Estrutural
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a condição de segurança é atendida quando Sd  Rd. 
Os valores f e m são chamados coeficientes de ponderação, das ações e das 
resistências, respectivamente. Estes coeficientes levam em consideração os 
diversos fatores que afetam a segurança estrutural. O quadro seguinte lista 
estes fatores. 
Fatores que afetam a segurança afetam
1 - variabilidade das ações F f1
2 - simultaneidade das ações F f2
3 - erros teóricos da análise estrutural S e R f3 e m
4 - imprecisões de cálculo S e R f3 e m
5 - imprecisões de execução (geometria) S e R f3 e m
6 - variabilidade das deformabilidades S f3 e m
7 - variabilidade das resistências R m
8 - capacidade de redistribuição e aviso n
9 - responsabilidade de maior vulto n
10 - condições particularmente adversas n
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Introdução à Segurança Estrutural
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Valores característicos e valores de cálculo. Ações e resistências
Ações e resistências constituem variáveis aleatórias.
Normalmente, considera-se a intensidade das ações correspondentes ao valor 
característico superior, Fksup, que apresenta 5% de probabilidade de ser 
ultrapassado. Costuma-se indicar a ação em valor característico por Fk. 
O valor de cálculo das ações é definido por 
 
 Fd = f . Fk. 
 
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Introdução à Segurança Estrutural
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 para verificações de estados limites últimos 

 Fd = gFgk + gFgk + q (Fq1k +  ojFqjk) + q o Fqk 
 
 
Combinaçõ
es de ações
Ações
Permanentes
(g)
Variáveis
(q)
Protensão
(p)
Recalques de 
apoio e retração
D F G T D F D F
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0
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Introdução à Segurança Estrutural
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para verificações de estados limites de utilização 
 
Classificadas de acordo com a ordem de grandeza da permanência na
estrutura:
 CQP – Quase permanente
Podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura,
da ordem da metade deste período.
 CF – Freqüente
Se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura, da
ordem
de 105 vezes em 50 anos.
 CR – Rara
Podem atuar no máximo algumas vezes durante o período de
vida da estrutura (algumas horas).
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Introdução à Segurança Estrutural
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para verificações de estados limites de utilização 
 
kqj,
m
1i
n
1j
j2kgi,serd,
FψFFCQP   
 
kqj,
m
1i
n
2j
j2kq1,1kgi,serd, FψFψFFCF   
 
kqj,
m
1i
n
2j
1jkq1,kgi,serd, FψFFFCR   
 
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ES25
Introdução à Segurança Estrutural
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Resistências
Normalmente, considera-se a resistência correspondente ao valor
característico inferior, fkinf, que apresenta 5% de probabilidade de ser
ultrapassado (de ser menor). Costuma-se indicar a resistência em valor
característico por fk.
O valor de cálculo das resistências é definido por 
 fd = fk / f . 
Adotam-se os seguintes valores nas verificações: 
 estados limites últimos: 
 c = 1,4 para o concreto; fcd = fck / 1,4 
 
 s = 1,15 para as armaduras de concreto; fyd = fyk / 1,15. 
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
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Ações 
 
As ações geram solicitações nas estruturas. 
Estas solicitações são determinadas através de teorias de 
cálculo estrutural. 
No caso geral, tem-se: 
 
 F = Fk  Fd = f Fk  Sd 
 
ou, em estruturas de comportamento linear, 
 
 F = Fk  Sk  Sd = f Sk . 
 
No caso da flexão simples, tem-se: Fd  Md.
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
______________________________________________________________________
Resistências
As resistências são deteminadas através de teorias apropriadas, a partir dos
dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais.
No caso da flexão simples tem-se, como dados:
fck (resistência do concreto);
fyk (resistência da armadura); e
dimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura).
Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, Mu
Verificação da segurança 
 
Existe segurança adequada quando é verificada a condição: Md  Mu. Por 
razões de economia, faz-se Md = Mu 
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
______________________________________________________________________
As
Mud Mud
A A’ B’ B
diagrama de 
fissuras
s
cu
seção
transversal trecho de viga
Tipos de ruptura na flexão
Em geral, tem-se os seguintes tipos de ruptura:
 se As = 0, ou muito pequena  ruptura frágil (brusca) por tração no concreto;
 se As for muito grande (pequena deformação s) ruptura frágil (brusca) por
esmagamento do concreto comprimido; e
 se As for “adequada”  ruptura dútil (com aviso), com escoamento da armadura
e acompanhada de intensa fissuração da zona traciona
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
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Hipóteses básicas 
 
1) manutenção da seção plana: por exemplo, as seções A e B passam para A’ e B’, quando 
fletidas, permanecendo planas; 
 
2) aderência perfeita entre concreto e armadura: inexistência de escorregamento entre os 
materiais (a deformação da armadura s é admitida igual à deformação da fibra de 
concreto c , junto a esta armadura); 
 
3) atensão no concreto é nula na região da seção transversal sujeita a deformação de 
alongamento; 
 
4) diagrama tensão-deformação (de cálculo) na armadura 
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
______________________________________________________________________
aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento. 
sd
fyk
fyd
yd 0,010
sd
arctg Es
diagrama de cálculo
 Es = 21.000 kN/cm
2
fyk = valor característico da resistência da armadura correspondente ao 
patamar de escoamento (resistência característica no escoamento)
s = 1,15 (coeficiente de ponderação da resistência da armadura)
fyd = fyk / s = valor de cálculo da resistência da armadura correspondente 
ao patamar de escoamento
yd = fyd / Es = deformação correspondente ao início do patamar de 
escoamento
 Os aços desta categoria são os seguintes:
TIPO fyk (kN/cm
2) fyd (kN/cm
2) yd
CA25 25 21,74 0,00104
CA32 32 27,83 0,00132
CA40A 40 34,78 0,00166
CA50A 50 43,48 0,00207
Os aços são designados pela sigla CA (Concreto Armado), seguido da resistência 
característica no escoamento em kN/cm2.
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
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aço encruado (CA50B e CA60B) 
sd
fyk
fyd
yd 0,010
sd
arctg Es
diagrama de cálculo
0,002
A
B
 Até o ponto A (limite de proporcionalidade), tem-se diagrama linear; entre
A e B, admite-se diagrama em parábola do 2o grau; e, além do ponto B,
um patamar.
Admite-se que o diagrama tensão-deformação na armadura seja o mesmo,
na tração e na compressão.
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
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diagrama tensão-deformação (de cálculo) no concreto 
 
diagrama parábola-retângulo 
cd
0,85fcd
0,002 0,0035
c (encurtamento)
parábola do 2o grau
patamar
c = 1,4 (coeficiente de ponderação da resistência do concreto)
fcd = fck / c
0,85 : coeficiente para considerar a queda de resistência do concreto
para cargas de longa duração (efeito Rusch)
21
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
______________________________________________________________________
diagrama retangular simplificado 
As
Mud
x
k fcd
0,8x
deformação de
estado limite
último (u)
x = altura da zona comprimida, medida a partir da borda comprimida
k = 0,85 , quando a largura da zona comprimida não diminui em
direção à borda comprimida (seção retangular)
0,80 , em caso contrário
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
______________________________________________________________________
estado limite último convencional na flexão
O estado limíte último é atingido quando ocorre uma das duas situações seguintes:
1) a deformação de encurtamento no concreto (cu) atinge 0,0035; denomina-se, estado
limite último por esmagamento do concreto;
As
cu = 0,0035
s
Mud
2) a deformação de alongamento na armadura mais tracionada (su) atinge 0,010; denomina-
se, estado limite último por alongamento plástico excessivo da armadura;
As
c
su = 0,010
Mud
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
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domínios de deformação
Conforme foi visto no ítem anterior, o estado limite último convencional ocorre quando o
diagrama de deformação passa por um dos dois pontos, A ou B
h
d
As
0,0035
yd
0,010
A
B
x34
x23
D4
D3
D2
4
3
2
Mud
d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida
x = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida)
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
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Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2
(D2); passa pelo ponto B (ELUlt. por alongamento plástico excessivo da armadura) e
o encurtamento do concreto na borda comprimida está compreendido entre 0 e
0,0035. O concreto é pouco solicitado e a armadura está em escoamento. A ruptura é
do tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimida obedece à condição:
x  x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d
que pode ser obtida por semelhança de triângulos
Diz-se que o diagrama do tipo 3 está no domínio 3 (D3); passa pelo ponto A (ELUlt.
por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está compreendido entre
yd e 0,010. O concreto está adequadamente solicitado e a armadura está em
escoamento. A ruptura é do tipo dútil (com “aviso”). A altura da zona comprimida
obedece à condição:
x23  x  x34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd)
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Flexão Simples
Dimensionamento e Verificação
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Diz-se que o diagrama de deformação 4 está no domínio 4 (D4); passa pelo ponto A
(ELUlt. por esmagamento do concreto) e o alongamento da armadura está
compreendido entre 0 e yd. O concreto está muito solicitado e a armadura é pouco
solicitada. A ruptura é do tipo frágil (praticamente, sem “aviso”). A altura da zona
comprimida obedece à condição:
x34  x  d.
A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita subarmada ou normalmente
armada.
Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situação
antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar o
dimensionamento neste domínio.
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Dimensionamento e Verificação
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seção retangular com armadura simples
A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma:
 a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular;
a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode ser
imaginada concentrada no seu centro de gravidade
h
d
b
x
0,8x
0,85fcd
Rcd
Rsd
0,4x
d - 0,4x
Mud
As
u
sd
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 Resultantes das tensões:
no concreto: Rcd = 0,85fcdb0,8x = 0,68bxfcd
na armadura: Rsd = Assd
 Equações de equilíbrio:
de força: Rcd = Rsd ou 0,68bxfcd = Assd (1)
de momento: Mud = Rcd(d - 0,4x)
ou
Mud = Rsd(d - 0,4x)
Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem:
Mud = 0,68bxfcd(d - 0,4x) (2)
ou
Mud = Assd(d - 0,4x) (3)
h
d
b
x
0,8x
0,85fcd
Rcd
Rsd
0,4x
d - 0,4x
Mud
As
u
sd
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Caso de dimensionamento
Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletor
solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d  0,9 h. Dessa forma, a
equação (2) nos fornece o valor de x:
0 4
0 68
02,
,
x d x
M
bf
d
cd
   
x d x
M
bf
d
cd
2 2 5
2 5
0 68
0  ( , )
,
,
x d
M
bd f
d
cd
  





1 25 1 1
0 425 2
,
,
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Dimensionamento e Verificação
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Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as
seguintes situações:
I) domínio 2, onde x x23 = 0,259 d; e sd = fyd
II) domínio 3, onde x23  x x34 = 0,0035 d / (0,0035 + yd); e sd = fyd
III) domínio 4, se x  x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça 
superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma:
 aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da 
parede onde a viga é embutida);
 adotando-se armadura dupla.
Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do 
domínio 4.
Para a situação adequada de peça subarmada tem-se, sd = fyd . Assim, a equação (3) nos
fornece
A
M
d x
M
f d xs
d
sd
d
yd



 ( , ) ( , )0 4 0 4
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Dimensionamento e Verificação
______________________________________________________________________Caso de verificação
Algumas vezes, procura-se o momento resistente da seção inteiramente definida. Nas duas
equações de equílíbrio, as variáveis desconhecidas são: x, Mud e sd. Contudo, esta última é
conhecida ou é função de x; de fato, nos domínios 2 e 3 tem-se sd = fyd e, no domínio 4, ela
é dada pela expressão:
 sd s sd sE E
d x
x
  

0 0035, .
Dessa forma, tem-se duas equações a duas incógnitas e, portanto, o Mud procurado.
Não se sabe, a priori, qual o domínio de deformação correspondente ao ELUlt. Assim, a
solução pode ser obtida por tentativas:
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Dimensionamento e Verificação
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Caso de verificação
admite-se, por exemplo, que o ELUlt. corresponda ao domínio 3 ou 4 (armadura em
escoamento); da equação de equilíbrio de força tem-se
0,68 b x fcd = As sd = As fyd
e, portanto
x = (As fyd) / (0,68 b fcd)
que permitirá verificar a validade da hipótese inicialmente admitida. Caso positivo, é só
determinar o momento resistente
Mud = 0,68 b x fcd (d - 0,4 x)
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Dimensionamento e Verificação
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Caso de verificação
Se a hipótese inicial não for válida, isto é, se o ELUlt. corresponder ao domínio 4, a tensão
na armadura será função de x e o seu novo valor pode ser obtido da equação de equilíbrio
(reescrita):
0 68 0 0035, ,       

b x f A A E
d x
xcd s sd s s
 .
e o momento procurado é obtido, substituindo esse valor de x na expressão já vista