Estruturas de Concreto Armado

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ESTRUTURAS DE CONCRETOESTRUTURAS DE CONCRETO
ARMADOARMADO
ARMADURAARMADURA
TRANSVERSAL EM VIGASTRANSVERSAL EM VIGAS
Autor: Me. Guilherme Perosso Alves
Revisor : Bruno Pere ira Dos Santos
IN IC IAR
introdução
Introdução
No dimensionamento de uma viga de concreto armado não basta determinar
suas dimensões, as características dos materiais, a quantidade e o diâmetro
de armaduras longitudinais para resistir à �exão. Na grande maioria dos
casos, as vigas estão submetidas a esforços de �exão e de força cortante, por
isso, além das armaduras longitudinais, deve-se dimensionar também as
armaduras transversais, que normalmente são compostas por estribos
verticais para resistir juntamente com o concreto aos esforços cortantes.
Nesta unidade abordaremos a teoria básica por trás do dimensionamento de
vigas à força cortante, bem como a maneira de dimensionar e veri�car a viga
para resistir a esse tipo de esforço. Além disso, veremos os conceitos de laje
treliçada, um tipo de laje muito utilizado na atualidade.
Antes de falar sobre as lajes treliçadas, vamos relembrar o conceito e a função
das lajes. As lajes são elementos planos e bidimensionais, cuja espessura é
muito menor que as outras duas dimensões. Nos pavimentos de edifícios,
esses elementos funcionam simultaneamente como placa e chapa.
Nos edifícios, as lajes de concreto armado podem ser maciças, cuja seção
transversal é completamente preenchida por concreto e aço, ou por lajes
nervuradas, em que a parte da seção é preenchida por concreto e aço, e parte
por material inerte, tendo como principal vantagem a redução do peso
próprio da laje. O material inerte utilizado não é considerado no cálculo da
resistência da laje e, atualmente, os elementos mais utilizados para preencher
as regiões sem concreto das lajes são as lajotas cerâmicas, lajotas de concreto
e o poliestireno expandido (EPS) .Um exemplo de seção de laje nervurada é
exibido na Figura 4.1.
Lajes TreliçadasLajes Treliçadas
A NBR 6118 (ABNT, p. 97) de�ne as lajes nervuradas como “lajes moldadas no
local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos
positivos esteja localizada nas nervuras, entre as quais pode ser colocado
material inerte”.
As lajes treliçadas são formadas por nervuras e sua armadura de aço é
composta por uma treliça, por isso o nome de “lajes treliçadas”. Veja um
exemplo de nervura pré-moldada com armadura treliçada na Figura 4.2.
Figura 4.1 - Seção de laje nervurada
Fonte: Bastos (2015, p. 68).
Figura 4.2 - Nervura pré-moldada com armadura treliçada
Fonte: ArcelorMittal (2010, p. 6).
Na maioria das vezes, as lajes do tipo treliçada são formadas por vigotas de
concreto pré-moldadas combinadas a elementos cerâmicos, como veri�cado
na Figura 4.2. Essas peças, no entanto, também podem ser moldadas no local.
Cálculo Simpli�icado
As lajes nervuradas podem ser compreendidas como um elemento estrutural
formado por vigas, que podem ser unidirecionais ou bidirecionais,
solidarizadas por uma capa de concreto. A NBR 6118 (2014), no item 14.7.7,
estabelece que as lajes nervuradas podem ser consideradas como elementos
de placa, desde que sejam obedecidas as condições apresentadas no item
13.2.4.2 da mesma norma.
“A espessura da mesa, quando não existirem tubulações
horizontais embutidas, deve ser maior ou igual a
1/1 da distância entre as faces das nervuras (l0) e não menor que 4
cm;
O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser 5 cm,
quando existirem tubulações embutidas de diâmetro menor ou
igual a 10 mm. Para tubulações com diâmetro ∅ maior que 10
mm, a mesa deve ter a espessura mínima de 4 cm + ∅, ou 4 cm + 2
∅ no caso de haver cruzamento destas tubulações;
A espessura das nervuras não pode ser inferior a 5 cm; Nervuras
com espessura menor que 8 cm não podem conter armadura de
compressão (NBR 6118, 2014, p. 74).
Ou seja, as lajes nervuradas podem ser calculadas simpli�cadamente como
lajes maciças no regime elástico, desde que atendidas as especi�cações
citadas acima. Quanto ao projeto das lajes, a NBR 6118, ainda em seu item
13.2.4.2, especi�ca que:
Para o projeto das lajes nervuradas, devem ser obedecidas as
seguintes condições:
a)  para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou
igual a 65 cm, pode ser dispensada a veri�cação da �exão da
mesa, e para a veri�cação do cisalhamento da região das nervuras,
permite-se a consideração dos critérios de laje;
b)   para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre
65cm e 110cm, exige-se a veri�cação da �exão da mesa, e as
nervuras devem ser veri�cadas ao cisalhamento como vigas;
permite-se essa veri�cação como lajes se o espaçamento entre
eixos de nervuras for até 90cm e a largura média das nervuras for
maior que 12 cm;
c)   para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de
nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje
maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites
mínimos de espessura (NBR 6118, 2014, p. 75).
Em suma, segundo a NBR 6118 (2014), temos três situações de projetos, que
podem ser resumidas da seguinte forma:
lcc ≤ 65 cm{não é necessário verificar a mesa à flexão
força constante nas nervuras verificada como laje maciça
65 cm ≤ lcc ≤ 110 cm{não é necessário verificar da mesa à flexão
força constante nas nervuras verificada como vigas
lcc ≤ 90 cm e bw ,nerv ≥ 12 cm
{ força cortante nas nervuras verificadas como laje maciça
lcc ≥ 110 cm {mesa calculada como laje maciça apoiada nas nervuras
No caso em que a laje atenda a condição “a” (lcc ≤ 65 cm), pode-se realizar o
cálculo simpli�cado da laje, onde os esforços solicitantes (momentos e
reações) podem ser determinados através do mesmo procedimento utilizado
para lajes maciças apresentado no Item 2.1 dessa apostila.
Importante ainda ressaltar que a NBR 6118 (2014) em seu Item 14.7.7
especi�ca que nas lajes unidirecionais deve-se realizar o cálculo somente para
a direção das nervuras, desprezando qualquer rigidez transversal e a torção e
as lajes bidirecionais podem ser calculados, para efeitos de esforços
solicitantes, como lajes maciças.
Ao se determinar os momentos nas nervuras através das tabelas conforme
procedimento de lajes maciças, obtém-se o momento por faixa de largura
unitária. Para as lajes nervuradas, deve-se encontrar o momento atuante em
cada nervura, o que depende da distância entre os eixos das mesmas.
Para um projeto mais preciso, quando se quer maior re�no no cálculo dos
esforços solicitantes do que aquele proporcionado pelo cálculo simpli�cado,
pode-se realizar os cálculos dos esforços solicitantes nas lajes através de uma
grelha, ou então, através de modelos numéricos como o Método dos
Elementos Finitos.
Ações Atuantes nas Lajes Treliçadas
As ações que atuam nas lajes nervuradas são as mesmas que atuam em uma
laje maciça, compostas, basicamente, pelas cargas permanentes e pelas
cargas acidentais. A grande diferença consiste no cálculo do peso próprio
onde deve-se levar em conta o material inerte que reduz o peso das lajes.
Uma opção para a determinação do peso das lajes nervuradas é fazer o
cálculo do peso para uma região conhecida, calculando o volume de concreto
e de enchimento dessas regiões, podendo ser determinado as respectivas
espessuras médias. Será demonstrado esse procedimento com um exemplo
extraído de Bastos (2015), para uma situação de laje nervurada bidirecional.
Considere uma laje nervurada com 24 cm de espessura total e 4 cm de
espessura de capa, bidirecional, e com distância entre os eixos das nervuras
de 48 cm para ambas as direções. O procedimento consiste em separar uma
região da laje com centroide localizado no cruzamento das nervuras e com
lados iguais a distância entre eixos das nervuras conforme pode-se observar
na Figura 4.4.
O volume de concreto (Vc) na região pode ser calculado por:
Vc = Vc , capa + Vc , nerv = (48484) + (48820) + 2(20820) = 23.296 cm3
Com o volume de concreto na região, pode-se determinar a espessuramédia
de concreto (ec) dividindo o volume de concreto pela área (A) da região.
Figura 4.3 - Região considerada para o cálculo do peso da laje
Fonte: Bastos (2015, p. 73).
¯
ec =
Vc
A =
23.296 
4848 = 10, 11 cm
Tendo a espessura média de concreto, a espessura média de enchimento
resulta da diferença entre a espessura da laje (A) e a espessura média de
concreto.
ēench = h −
¯
ec = 24 − 10, 11 = 13, 89 cm
Com as espessuras médias, o cálculo do peso próprio da laje por unidade de
área pode ser facilmente realizado pela multiplicação da espessura média
pelo peso especí�co do seu respectivo material. Considerando γc = 25 kN /m3 e
γench = 6 kN /m3,
Peso concreto: 0, 1011 m 25 kN /m3 = 2, 53 kN /m2
Peso enchimento: 0, 1389 m 6 kN /m3 = 0, 83 kN /m2
Peso total: 2, 53 kN /m2 + 0, 83 kN /m2 = 3, 36 kN /m2
O cálculo do peso para uma laje unidirecional pode ser realizado apenas
considerando a nervura em uma direção e o lado paralelo à direção da
nervura pode ter comprimento unitário.
Dimensionamento
Com a determinação dos momentos, cortantes e reações nas lajes, deve-se
realizar o dimensionamento das lajes.
Flexão nas Nervuras
As nervuras são tratadas como vigas e, para tanto, seu dimensionamento à
�exão obedece a Teoria da Flexão Simples. Deve-se atentar à direção do
momento �etor, pois quando o momento atuante comprime a mesa, pode-se
considerar a contribuição das mesas, sendo, portanto, como o cálculo da
armadura de �exão (As) realizado para uma seção T. Quando a mesa
encontra-se tracionada, despreza-se sua contribuição e o cálculo da armadura
de �exão é realizado para uma seção retangular.
Como qualquer procedimento de dimensionamento à �exão, é importante
observar algumas questões, tais como �ssuração, taxas máximas e mínimas
de armaduras, ancoragem das armaduras nos apoios, etc.
Cisalhamento nas Nervuras
O cisalhamento nas nervuras deve ser veri�cado em função do espaçamento
das nervuras, conforme apresentado anteriormente. No caso em que as
nervuras estejam espaçadas de comprimentos menores que 65cm, as
nervuras são veri�cadas à força cortante como lajes maciças, que consiste em
garantir que a força cortante de cálculo (Vsd) não ultrapasse o valor da força
cortante máxima (VRd1), conforme a equação a seguir.
Para elementos em que 50% da armadura inferior não chega até o
apoio: k = I1I;
Para os demais casos: k = I1, 6 dI, não menor que I1I com d em
metros;
As1: área de armadura que se estende até não menos que (d + lb, nec)
além da seção considerada.
lb ,nec = α. lb
As , calc
As , ef
α = 1, 0 para barras sem gancho
α = 0, 7 para barras tracionados com gancho, com cobrimento no
plano normal ao do gancho ≥ 3∅
Para os casos em que o espaçamento das nervuras ultrapassa 65cm, o
cisalhamento nas nervuras é veri�cado como viga.
Flexão na Mesa
Nas lajes com espaçamento entre nervuras menor que 65 cm, não há
necessidade de veri�car a mesa à �exão. Nos casos em que o espaçamento
entre nervuras ultrapassa os 65cm, deve-se veri�car a mesa à �exão como
uma laje maciça. É importante ressaltar que é necessário sempre respeitar os
limites mínimos de espessura das mesas apresentados pela NBR 6118 (2014).
praticar
Vamos Praticar
Considerando uma laje nervurada unidirecional com espaçamento entre nervuras
de 40cm, com concreto fck: 30 MPa, taxa de armadura de 0,50 cm²/m que chega até
os apoios, com a seção transversal abaixo e sem aplicação de qualquer tipo de
esforço normal na seção, qual a força cortante máxima (VRd1)? Assinale a
alternativa correta.
a) VRd1 = 30kN
b) VRd1 = 18kN
c) VRd1 = 35kN
d) VRd1 = 26kN
e) eVRd1 = 45kN
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na grande maioria das vezes, as vigas estão submetidas à �exão e esforço
cortante. Os esforços cortantes devem ser avaliados cuidadosamente nos
elementos lineares, pois sua atuação pode levar os elementos ao colapso de
maneira frágil.
Geralmente, no dimensionamento de vigas de concreto armado, o primeiro
passo é o cálculo das armaduras longitudinais e, após isso, procede-se do
cálculo das armaduras transversais para resistir aos esforços cortantes.
Comportamento deComportamento de
Vigas de ConcretoVigas de Concreto
ArmadoArmado
Submetidas aSubmetidas a
Tensão deTensão de
CisalhamentoCisalhamento
Tensões Principais nas Vigas
O comportamento de uma viga sob �exão simples já foi discutido, entretanto
é importante retomarmos este assunto para avaliarmos as tensões de
cisalhamento que ocorrem nas vigas.
A trajetória das tensões principais em uma viga bi apoiada e submetida a um
carregamento uniformemente distribuído, pode ser observado na Figura 4.4
ainda em estádio I. Na região próxima à linha neutra (L.N.), as tensões
principais têm inclinação de 45° ou 135° com o eixo longitudinal da viga, e em
outras alturas essa inclinação varia entre 0° e aproximadamente 90°.
Como se sabe, com o aumento das tensões de tração surgem �ssuras
perpendiculares a essas (quando a tensão de tração ultrapassa a tensão
resistente à tração do concreto).
Na região central da viga, as tensões principais na região inferior da viga
apresentam inclinações de aproximadamente 0° com o eixo longitudinal,
justi�cando o emprego de armadura longitudinal nessa região. Próximo aos
apoios, onde há menor in�uência do momento �etor, as tensões principais
encontram-se inclinadas e as �ssuras que ocorrem nessas regiões são
causadas basicamente pelas tensões de cisalhamento, por isso são chamadas
de “�ssuras de cisalhamento”.
reflita
Re�ita
A análise de tensões é fundamental no
comportamento de qualquer
elemento estrutural. Em uma viga, por
exemplo, dado um ponto qualquer
dela sujeito a um estado plano de
tensões σx, σy e τxy, pode-se obter um
outro plano com inclinação  em que as
tensões tangenciais são nulas e as
tensões normais têm valor máximo e
mínimo, que são as chamadas tensões
principais. O mais interessante é que
as tensões principais podem ser
determinadas para qualquer ponto de
um elemento através de um método
analítico, ou até mesmo por meio de
um método grá�co com o chamado
Círculo de Mohr.
Fonte: Carvalho (2014, p. 415).
As tensões de tração, inclinadas próximo aos apoios, exigem o
posicionamento de armadura transversal composta por estribos fechados. É
interessante veri�car que na altura da linha neutra o ideal seria que os
estribos tivessem inclinação de 45°, entretanto, por questões construtivas, os
estribos são posicionados, na grande maioria dos casos, com 90° de
inclinação em relação ao eixo longitudinal da viga.
Por mais abstrato que este assunto possa parecer, conhecer a distribuição
das tensões principais nas vigas é muito importante para que o projetista
saiba posicionar corretamente as armaduras de tração, assim como conhecer
as posições das bielas de compressão.
Mecanismos Básicos de
Transferência de Força Cortante
Figura 4.4 - Tensões principais em viga bi apoiada com carregamento
uniformemente distribuído
Fonte: Adaptada de Bastos (2017, p. 4).
Os mecanismos pelos quais se mobiliza resistência à atuação da força
cortante são variados e complexos, sendo importante conhecê-los.
Basicamente, além da resistência proporcionada pela armadura transversal,
existem ainda cinco mecanismos para resistir a essas tensões, sendo eles
(observe parte desses mecanismos na Figura 4.5).
A.   Força cortante no banzo comprimido de concreto (não
�ssurado) (Vcz);
B. Atrito das superfícies em regiões �ssuradas (Vay), causado pelo
engrenamento dos agregados;
C.   Efeito de pino das armaduras longitudinais (Vd);
D.   Ação de arco do elemento estrutural;
E.   Tensão residual de tração existente nas �ssuras inclinadas.
Figura 4.5 - Mecanismos de transferência de força cortante
Fonte: Bastos (2017, p. 5).
Comportamento de Vigas com
Armadura Transversal
Nas regiões próximas aos apoios, com o aumento das tensões de tração
inclinada surgem as “�ssuras de cisalhamento”. Com a continuidade de
aumento do carregamento e por consequência das tensões, surgemnovas
�ssuras fazendo com que haja uma redistribuição de esforços internos no
elemento, os quais dependem da posição e da inclinação das armaduras
transversais.
saibamais
Saiba mais
Hoje em dia estão sendo desenvolvidos
concretos de ultra desempenho, com
resistências que ultrapassam os 100 MPa,
material que já vem sendo utilizado no Brasil.
“O UHPC (Ultra High Performance Concrete) é
um tipo de concreto de alta performance tão
resistente e durável quanto as rochas. Esse
concreto oferece resistência à compressão
maior que 20.000 psi, o que signi�ca 138MPa.
No Brasil, sua utilização ajuda na
recuperação das obras de infraestrutura,
além da possibilidade de construções
robustas que evitem reparos futuros”.
Para saber mais, acesse o link a seguir.
ACESSAR
Com a abertura das �ssuras, o aço das armaduras transversais passa a ser
solicitado. Quando a armadura é insu�ciente, o aço alcança a tensão de
escoamento e atinge grandes deformações, o elemento apresenta ainda
resistência a força cortante devido aos mecanismos dos estádios de
comportamento, principalmente pelo engrenamento dos agregados quando
as �ssuras apresentam ainda pequenas aberturas. Observe a situação da
Figura 4.6.
https://www.tecnosilbr.com.br/uhpc-o-que-e-e-por-que-esse-concreto-deveria-ser-mais-utilizado-no-brasil/
Figura 4.6 - Esquema de ruptura de viga com armadura transversal
insu�ciente ao cisalhamento
Fonte: Pinheiro, Muzardo e Santos (2003, p. 6).
Com o aumento da abertura das �ssuras, o atrito entre as faces acaba e,
assim, o banzo comprimido passa a necessitar transferir uma parcela cada
vez maior da força cortante. Além disso, com o aumento das �ssuras, o banzo
comprimido vai reduzindo a seção e, dessa forma, chega-se à ruptura do
banzo comprimido.
praticar
Vamos Praticar
A transferência da força cortante em vigas de concreto armado depende, entre
outras, das propriedades mecânicas do concreto, tanto no que se refere à
compressão quanto à tração, logo, a fragilidade na ruptura é uma possibilidade. Em
relação aos mecanismos de transferência de força cortante nas vigas, assinale a
alternativa correta.
a) A transferência por engrenamento dos agregados, causando atrito entre
as superfícies adjacentes das �ssuras, não apresenta grande relevância.
b) As armaduras transversais são um mecanismo adicional de transferência
de força cortante.
c) O efeito de pino nas armaduras longitudinais não é um mecanismo de
transferência de força cortante.
d) A região comprimida do concreto tem importante contribuição na
transferência de forças cortantes.
e) Quanto maior a abertura das �ssuras, tanto maior será a transferência de
esforços por atrito causado por engrenamento dos agregados.
No início do século XX, W. Ritter e E. Mörsh propuseram um modelo que
tentava representar os mecanismos de resistência de uma viga de concreto
armado no estádio II (�ssurada). Esse modelo consistia em uma analogia com
uma treliça isostática, em que cada barra da treliça representa uma parte da
viga, sendo: banzo superior é o concreto comprimido; banzo inferior é a
armadura longitudinal tracionada; diagonais comprimidas de concreto e
diagonais tracionadas de armadura transversal.
Esse modelo proposto por Ritter-Mörsh não foi bem aceito inicialmente, mas
com o passar dos anos e a realização de ensaios veri�cou-se que a teoria
poderia ser empregada e levar a resultados con�áveis. A analogia de treliça de
Ritter-Mörsh constitui uma das mais importantes concepções na história do
concreto armado segundo Lobo Carneiro, pois a partir dela é possível
dimensionar as armaduras transversais e veri�car o concreto comprimido,
que vem sendo utilizado há mais de um século e conduzindo a bons
resultados desde então.
Na Figura 4.7 podemos observar a analogia de treliça de Ritter-Mörsh em uma
viga, na região próxima ao apoio (região mais relevante para o
Analogia de treliçaAnalogia de treliça
de Ritter-Mörshde Ritter-Mörsh
dimensionamento à força cortante). Em (a) veri�ca-se uma viga com armadura
transversal inclinada a 45° e em (b) com armadura transversal inclinada a 90°.
Figura 4.7 - Analogia da treliça clássica de Ritter-Mörsh
Fonte: Adaptada de Bastos (2017, p. 12).
Treliça clássica de Ritter-Mörsh – (
θ = 45∘)
Na treliça clássica de Ritter-Mörsh, o ângulo de inclinação das bielas
comprimidas é �xo e igual a 45°. Os estribos devem estar próximos uns dos
outros, com espaçamento menor que z para a viga com estribos a 90°, onde z
é o braço de alavanca da viga (distância entre as forças resultantes do banzo
comprimido e tracionado).
Para compreender a analogia de treliça, vamos analisar uma viga bi apoiada,
com carga concentrada P no centro, conforme a Figura 4.8, onde em (a)
vemos o modelo estático e o diagrama de esforços cortantes, e em (b) vemos
o modelo de treliça.
A força atuante na biela comprimida (Rcb) pode ser deduzida por semelhança
de triângulos e resulta em:
Rcb = √2V
Considerando que a largura da viga é bw e que a distância perpendicular entre
duas bielas comprimidas é dada por z / √2(1 + cotα) conforme pode-se veri�car
na Figura 4.9 (b), a tensão na biela comprimida (σcb) é dada por:
σcb =
2V
bwz(1 + cotα)
Figura 4.8 - Viga com carga concentrada e modelo de treliça
Fonte: Adaptada de Bastos (2017, p. 13).
De maneira análoga, pode-se determinar à força atuante nas diagonais
tracionadas (Rs ,α) que no exemplo encontra-se inclinada de um ângulo α.
Rs ,α =
V
senα
Deve-se compreender que as diagonais tracionadas demonstradas na Figura
4.9 (b) representam uma parte da viga com distância dada por z / √2(1 + cotα), a
força Rs ,α que atua nessa região deve ser resistida pela armadura transversal.
Essa armadura, deve interceptar as �ssuras, por isso, são dispostas varias
barras, denominadas estribos, com espaçamento s entre elas, e inclinadas de
um ângulo α, que na imensa maioria das vezes é de 90°. Observe essa
situação na Figura 4.10.
Considerando que o número de estribos (n) contidos em z(1 + cotα) é dado por:
Figura 4.9 - Estribos espaçados de s passando pelas diagonais comprimidas
Fonte: Adaptada de Bastos (2017, p. 14).
n =
z(1 + cotα)
s
E sabendo que a área de aço de um estribo é dada por Asw, a área total de
estribos neste espaço será dada pelo produto Aswn. Portanto, a tensão na
armadura transversal (σsw), será:
σsw ,α =
Rs ,α
Asw ,α
z ( 1 + cot α )
s
σsw ,α =
V
z(senα + cosα)
s
Asw ,α
Conforme comentado, na grande maioria das vezes, a armadura transversal
está inclinada de 90° com a horizontal, por isso, a Tabela 4.1 resume as
resultantes e tensões para essa situação:
Força/Tensão α = 45o
Força atuante na biela
comprimida (Rcb) √2.V
Tensão na biela comprimida
(σcb) 2.
V
bw . z
Força atuante nas diagonais
tracionadas (Rs ,a)
V
Tensão na armadura transversal
(σsw)
V
Z
s
Asw , 90
Tabela 4.1 - Forças e tensões para estribos inclinados de 90°
Fonte: Elaborada pelo autor.
Pode-se concluir que a tensão nas bielas de compressão será tão menor
quanto mais inclinada for a armadura (até o ângulo de 45º).
saibamais
Saiba mais
Bem no início do século XX, por volta dos
anos 1900, Karl Wilhelm Ritter e Emil Mörsch
propuseram a teoria clássica para
determinar a armadura de cisalhamento em
vigas de concreto armado. No início o
modelo não foi bem aceito, mas com o
passar do tempo os pesquisadores e técnicos
perceberam, através de ensaios e pesquisas,
que o modelo poderia conduzir a resultados
con�áveis. Esse modelo é uma das mais
importantes teorias da história do concreto
armado e está presente em praticamente
todos os códigos e normas de projeto de
estruturas de concreto do mundo. Leia mais
sobre o assunto na página 1 da apostila do
Professor Dr. Bastos.
Fontes: Bastos (2017); Carvalho (2014).
ACESSAR
Treliça Generalizada – (θ = variável)
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Cortante.pdf
Na treliça clássica, as bielas comprimidas apresentam inclinação de 45°,
entretanto, com o passar do tempo, observou-seque a inclinação das �ssuras
era na maioria das vezes menores que isso, chegando até a 30°. Por isso, foi
proposta uma treliça generalizada, em que o ângulo de inclinação da biela é
variável, podendo ser menor que 45°. A dedução das forças na treliça
generalizada é análoga à da treliça clássica e será apresentada a seguir com
base na Figura 4.10.
A força atuante na biela comprimida (Rcb) é dada por:
Rcb =
V
senθ
A distância perpendicular entre as diagonais comprimidas é dada por
z(cotθ + cotα)senα e considerando que a largura da viga é dada por bw, a área de
concreto onde atua a força Rcb é dada por:
bwz(cotθ + cotα)senθ
Portanto, a tensão que atua na biela de compressão (σcb) é:
Figura 4.10 - Treliça generalizada
Fonte: Adaptada de Bastos (2017, p. 16).
σcb =
Rcb
bw(cotθ + cotα)senθ
σcb =
V
bwz(cotθ + cotα)sen2θ
A força atuante na diagonal tracionada (Rs ,α) é dada por:
Rs ,α =
V
senα
Considerando que a área de aço de um estribo é dada por Asw e que o
número de estribos contidos entre duas diagonais tracionadas é dado pela
razão entre z(cotθ + cotα) e o espaçamento entre os estribos s, a área total de
armadura transversal em z(cotθ + cotα) é:
Asw ,α
z(cotθ + cotα)
s
Dessa forma, a tensão atuante na armadura transversal é (σsw):
σsw ,α =
Rs ,α
Asw ,α
z ( cot θ+ cot α )
s
σsw ,α =
V
z(cotθ + cotα)senα
s
Asw ,α
Observe que na treliça generalizada as tensões atuantes no concreto e na
armadura transversal estão em função do ângulo θ de inclinação das bielas
comprimidas.
praticarV P ti
praticarVamos Praticar
Observe a viga da �gura a seguir, considerando estribos verticais e espaçados uns
dos outros de 8cm e com diâmetro de 10mm, bielas comprimidas inclinadas de 30°
e braço de alavanca z = 45 cm  e largura bw = 20 cm. No que se refere às tensões da
viga solicitada, é correto a�rmar que:
a) A tensão nas armaduras é de aproximadamente 408 MPa.
b) A tensão na biela de compressão é de 12 MPa.
c) A tensão na biela de compressão é de 5 MPa.
d) A tensão nas armaduras é de aproximadamente 250 MPa.
e) Caso seja usado o aço CA 50 nos estribos, a tensão de escoamento seria
atingida.
O dimensionamento de elementos lineares à força cortante é realizado com
base na treliça clássica de Ritter-Mörsh   e na treliça generalizada. A NBR
6118:2001 trouxe inovações para o cálculo da armadura transversal e para a
veri�cação das bielas de compressão pelo efeito da força cortante com
relação à versão anterior NB 1:1978, as principais forma:
Possibilidade de considerar inclinações diferentes de 45° para a biela
de compressão;
Novidades para o cálculo da força cortante absorvida por
mecanismos complementares (Vc);
De�nição de um valor a ser adotado para a resistência do concreto
nas regiões �ssuradas (fcd2).
O cálculo �cou dividido em dois modelos, o Modelo de Cálculo I e o Modelo de
Cálculo II, o primeiro é baseado na Treliça Clássica de Ritter-Mörsh   com
DimensionamentoDimensionamento
de Elementosde Elementos
Lineares à ForçaLineares à Força
CortanteCortante
ângulo de inclinação das bielas �xo e igual à 45° e o segundo baseado na
chamada Treliça Generalizada com o ângulo de inclinação das bielas
comprimidas variando entre 30° e 45°.
A segurança ao Estado-Limite Último é satisfeita quando são atendidas,
simultaneamente, as duas condições abaixo:
Vsd ≤ VRd2
Vsd ≤ VRd3 = Vc + Vsw
Em que: Vsd: força cortante solicitante de cálculo na seção;
VRd2: força cortante resistente de cálculo com relação as diagonais de
concreto comprimidas;
VRd2: força cortante resistente de cálculo com relação as diagonais
tracionadas;
Vc:  parcela de resistência relativa aos mecanismos complementares;
Vsw: força cortante solicitante resistida pela armadura transversal.
Modelo de Cálculo I
Este Modelo considera a utilização da Treliça Clássica de Ritter-Mörsh , com
ângulo de inclinação das bielas comprimidas de 45° e com a resistência
proporcionada pelos mecanismos complementares (Vc) com valor constante e
independente da força solicitante (Vsd).
Veri�icação das Bielas Comprimidas de Concreto
Primeiramente é importante compreender que as bielas de compressão são
atravessadas pelas armaduras transversais que estão tracionadas, conforme
podemos observar na Figura 4.12. Este efeito faz com que haja necessidade
de se reduzir a tensão resistente do concreto considerada para essas regiões.
A NBR 6118:2014 limita a tensão de compressão nas diagonais comprimidas
pelo valor de fcd2 para considerar esse efeito.
fcd2 = 0, 60(1 −
fck
250)fcd = 0, 60αv2fcd
Conforme visto no Item 3.1, a tensão atuante na diagonal comprimida é dada
pela equação:
Figura 4.11 - Biela comprimida com tração transversal
Fonte: Adaptada de Bastos (2017, p. 19).
σcb =
2V
bwz(1 + cotα)
Com as duas equações acima podemos determinar a máxima força cortante
resistente da seção (VRd2), substituindo σcb por fcd2, considerando que o braço
de alavanca z é dado por 0, 9.d (sendo d a altura útil da seção), considerando
que os estribos tem inclinação de 90° (α = 90∘) e fazendo V como a força
cortante máxima resistente da seção VRd2, encontramos:
VRd2 = 0, 27(1 −
fck
250)fcdbwd
Cálculo da Armadura Transversal
Vimos que para satisfazer a segurança da armadura transversal tracionada,
deve-se atender ao seguinte critério Vsd ≤ VRd3. Fazendo com que Vsd seja
igual a maior força cortante resistente de cálculo com relação à ruptura da
armadura transversal tracionada, temos:
Vsd = VRd3 = Vc + Vsw
Segundo a NBR 6118:2014, a parcela Vc deve ser de�nida em função do tipo
de solicitação existente no elemento, sendo:
i. Elementos tracionados com linha neutra fora da seção transversal
Vc = 0
ii. Elementos em �exão simples ou �exo-tração com linha neutra passando
pela seção transversal
Vc = Vc1
Vc0 = 0, 6fctdbwd
Em que: Vc0: representa a força cortante de uma viga sem estribos;
fctd: tensão resistente de cálculo do concreto à tração direta, dada por:
fctd =
fctk , inf
γc
=
0, 21
3
√f2ck
γc
Com fck em MPa.
iii. Elementos em �exão-compressão:
Vc = Vc0(1 +
M0
MSd ,máx) ≤ 2Vc0
Em que: M0: Momento �etor que anula a tensão normal de compressão na
borda da seção tracionada por MSd ,máx
\({{M}_{Sd,m\acute{a}x}}): Momento �etor de cálculo máximo no trecho em
análise
Com a parcela Vc, deve-se calcular a força cortante Vsw a ser resistida pela
armadura transversal, fazendo:
Vsw = VSd − Vc
A equação que de�ne à tensão na armadura transversal foi demonstrada no
Item 3.1 e é dada por:
σsw ,α =
V
z(senα + cosα)
s
Asw ,α
Considerando que o braço de alavanca z é dado por 0, 9.d, substituindo V por  
Vsw e fazendo que a tensão na armadura σsw ,α seja de�nida pela tensão
máxima admitida na armadura fywd, temos:
Asw ,α
s
=
Vsw
0, 9dfywd(senα + cosα)
A tensão máxima admitida na armadura fywd é dependente do tipo de
armadura utilizada:
Armadura transversal constituídas por barras dobradas inclinadas:
fywd = 0, 7fyd ≤ 435 MPa
Armadura transversal constituídas por estribos:
fywd = fyd ≤ 435 MPa
O ângulo α corresponde a inclinação dos estribos que variam entre 45° ≤ α ≤
90° e como comentado, na maior grande maioria das vezes os estribos são
verticais, e portanto, α = 90∘, nesse caso, tem-se:
Asw , 90
s
=
Vsw
0, 9dfywd
Com, Asw ,α em cm²/cm; Vsw em kN; s e d em cm.
Lembrando que os estribos são, na maioria das vezes, formados por dois
ramos, portanto Asw equivale, neste caso, a dois ramos. Entretanto, em casos
especí�cos pode-se utilizar estribos com três ou quatro ramos conforme
pode-se observar em Figura 4.13.
Figura 4.12 - Estribos com 2, 3 e 4 ramos
Fonte: Elaborada pelo autor.
Modelo de Cálculo II
Este Modelo foi introduzido na norma NBR 6118:2003 e considera a utilização
da Treliça Generalizada, onde as diagonais comprimidas podem ter
inclinações que variam entre 30° e 45°.
Veri�icação das Bielas Comprimidas de Concreto
Conforme visto no Item 3.1, a tensão atuante na diagonal comprimida é dada
pela equação:
σcb =
V
bwz(cotθ + cotα)sen2θ
A NBR6118:2014 limita a tensão de compressão nas diagonais comprimidas
pelo valor de fcd2 para considerar esse efeito.
fcd2 = 0, 60(1 −
fck
250)fcd = 0, 60αv2fcd
Com as duas equações acima podemos determinar a máxima força cortante
resistente da seção (VRd2), substituindo σcb por fcd2, considerando que o braço
de alavanca z é dado por 0, 9.d (sendo d a altura útil da seção), considerando
que os estribos tem inclinação de 90° (α = 90∘) e fazendo V como a força
cortante máxima resistente da seção VRd2, encontramos:
VRd2 = 0, 54(1 −
fck
250)fcdbwdsen2θ(cotα + cotθ)
Vimos que para satisfazer a segurança da armadura transversal tracionada,
deve-se atender ao seguinte critério Vsd ≤ VRd3. Fazendo com que Vsd seja
igual a maior força cortante resistente de cálculo com relação à ruptura da
armadura transversal tracionada, temos:
Vsd = VRd3 = Vc + Vsw
Segundo a NBR 6118:2014, a parcela Vc deve ser de�nida em função do tipo
de solicitação existente no elemento, sendo:
i. Elementos tracionados com linha neutra fora da seção transversal
Vc = 0
ii. Elementos em �exão simples ou �exo-tração com linha neutra passando
pela seção transversal
Vc = Vc1
iii. Elementos em �exão-compressão:
Vc = Vc1(1 +
M0
MSd ,máx) ≤ 2Vc1
Em que: M0: Momento �etor que anula a tensão normal de compressão na
borda da seção tracionada por MSd ,máx
MSd ,máx: Momento �etor de cálculo máximo no trecho em análise
O valor de Vc1 é determinado através da seguinte lei de variação:
Vc1 = Vc0 →
para
VSd ≤ Vc0
Vc1 = 0 →
para
VSd = VRd2
Fazendo interpolação linear para valores intermediários de Vc1, ou seja:
Vc1 = Vc0
VRd2 − VSd
VRd2 − Vc0
A variação obedece ao que está demonstrado na Figura
Figura 4.13 - Variação de Vc1
Fonte: Bastos (2017, p. 24).
Com a parcela Vc, deve-se calcular a força cortante Vsw a ser resistida pela
armadura transversal, fazendo:
Vsw = VSd − Vc
A equação que de�ne à tensão na armadura transversal foi demonstrada no
Item 3.1 e é dada por:
σsw ,α =
V
z(cotθ + cotα)senα
s
Asw ,α
Considerando que o braço de alavanca z é dado por 0, 9.d, substituindo V por  
Vsw e fazendo que a tensão na armadura σsw ,α seja de�nida pela tensão
máxima admitida na armadura fywd, temos:
Asw ,α
s =
Vsw
0, 9dfywd(cotα + cotθ)senα
Com, Asw ,α em cm²/cm; Vsw em kN; s e d.  em cm.
praticar
Vamos Praticar
A NBR 6118, em seu item 17.4.1, recomenda que o dimensionamento de elementos
lineares à cortante pode ser realizado segundo “[...] dois modelos de cálculo que
pressupõem a analogia com modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a
mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento
estrutural e traduzidos por uma componente adicional Vc” (NBR 6118 2014, p. 132).
Sobre os Modelos de Cálculo I e II da NBR 6118:2014, assinale a alternativa correta.
a) O Modelo de Cálculo I é baseado na Treliça Clássica de Ritter-Mörsh e é
válido apenas para armadura transversal com inclinação .
b) O Modelo de Cálculo II é baseado na Treliça Clássica de Ritter-Mörsh e
considera que a inclinação das diagonais comprimidas pode ser menor que
45°.
c) O Modelo de Cálculo II é baseado na Treliça Generalizada e considera que
a  inclinação das diagonais comprimidas pode ser menor que 45°.
d) O Modelo de Cálculo I é baseado na Treliça Clássica de Ritter-Mörsh e
permite considerar que as diagonais comprimidas tenham inclinação entre
30° e 45°.
e) O Modelo de Cálculo II é baseado na Treliça Generalizada e considera que
a inclinação das diagonais comprimidas é �xa e igual a 45°.
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais
de Concreto Armado: Segundo a NBR
6118:2014
Editora : EduFSCar
Autores : Roberto Chust Carvalho e Jasson Rodrigues
de Figueiredo Filho
ISBN : 978-8576003564
Comentário : Um dos mais importantes livros sobre
projeto de estruturas de concreto armado brasileiro e
que já está na sua quarta edição. Aborda toda teoria da
�exão simples, bem como do dimensionamento de
peças sob forças cortantes.
conclusão
Conclusão
As estruturas de concreto armado são as mais utilizadas em edifícios no
Brasil, por isso o assunto é muito importante na formação de um engenheiro
civil. Esse pro�ssional da área deve dominar as técnicas de projeto e
dimensionamento do concreto armado, para que assim possa suprir a
necessidade da sociedade brasileira.
Nesse contexto, chegando ao �m de mais uma unidade, devemos nos
concentrar em tudo aquilo que foi aprendido, pois com o �m desta unidade o
leitor tem condições de realizar o cálculo completo de vigas e lajes de
concreto armado, passando pelo dimensionamento, cálculo das armaduras
longitudinais para resistir a �exão, e pelo cálculo das armaduras transversais
para resistir aos esforços cortantes, além da veri�cação das seções de
concreto à compressão.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ARCELORMITTAL. Manual Técnico de Treliças Nervuradas . 2010. Disponível
em: https://brasil.arcelormittal.com/produtos-solucoes/construcao-
civil/trelicas-nervuradas?asCatalogo=pdf . Acesso em: 19 fev. 2020.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de
estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Cargas para o
cálculo de estruturas de edi�cações . Rio de Janeiro, 2019.
BASTOS, P. S. S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força
cortante . Bauru/SP, Unesp - Departamento de Engenharia Civil, Notas de
aula, abr./2017. 79p. Disponível em:
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Cortante.pdf . Acesso em: 18
dez. 2019.
BASTOS, P. S. S. Lajes de Concreto . Bauru/SP, Unesp - Departamento de
Engenharia Civil, Notas de aula, fev./2015. 119p. Disponível em:
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf . Acesso em: 18 dez.
2019.
CARVALHO, R. C. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto
armado : segundo a NBR 6118:2014. São Carlos/SP, EduUFSCar, v. 1., 2014. p.
415.
https://brasil.arcelormittal.com/produtos-solucoes/construcao-civil/trelicas-nervuradas?asCatalogo=pdf
https://brasil.arcelormittal.com/produtos-solucoes/construcao-civil/trelicas-nervuradas?asCatalogo=pdf
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Cortante.pdf
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf