APOL Estrutura Algébrica nota 10

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APOL - ESTRUTURA ALGÉBRICA NOTA 10
Questão 1/10 - Estrutura Algébrica
Dados os polinômios p(x)=b+ax+x3 e q(x)=−6+2x+2x2,p(x)=b+ax+x3 e q(x)=−6+2x+2x2, assinale a alternativa que apresenta os valores de aa e de bb para que a divisão de p(x)p(x) por q(x)q(x) seja exata:
Nota: 1.0
	
	A
	a=−2 e b=−3.a=−2 e b=−3.
	
	B
	a=2 e b=3.a=2 e b=3.
	
	C
	a=−4 e b=3.a=−4 e b=3.
O resto da divisão de p(x)p(x) por q(x)q(x) é o polinômio r(x)=(a+4)x+(b−3).r(x)=(a+4)x+(b−3). Esta divisão é exata quando r(x)=0,r(x)=0, donde a=−4 e b=3.a=−4 e b=3.
	
	D
	a=−4 e b=−3.a=−4 e b=−3.
	
	E
	a=4 e b=3.a=4 e b=3.
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica
Considere o enunciado a seguir:
As funções que preservam as operações de anéis são chamadas homomorfismos. Com base nestas funções, analise as afirmativas:
I. A função f:Z→Zf:Z→Z dada por f(x)=−xf(x)=−x é um homomorfismo.
II. Para o homomorfismo f:Z→Rf:Z→R dado por f(x)=x,f(x)=x, temos N(f)={0}N(f)={0} e Im(f)=Z.Im(f)=Z.
III. A função f:R×R→M2(R)f:R×R→M2(R) definida por f(a,b)=(a00b)f(a,b)=(a00b) é um homomorfismo.
Está correto apenas o que se afirma em:
Nota: 10.0
	
	A
	I.
	
	B
	I e II.
	
	C
	I e III.
	
	D
	II.
	
	E
	II e III.
Você acertou!
A função definida na afirmativa II é um homomorfismo. Além disso, x∈N(f)⟺f(x)=0⟺x=0.x∈N(f)⟺f(x)=0⟺x=0. Assim, N(f)={0}.N(f)={0}. Também verificamos que Im(f)={f(x)∈R; x∈Z}={x; x∈Z}=Z.Im(f)={f(x)∈R; x∈Z}={x; x∈Z}=Z. Logo, a afirmativa II é verdadeira. A afirmativa III também é verdadeira, pois f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d) e f((a,b)⋅(c,d))=f(a,b)⋅f(c,d)f((a,b)+(c,d))=f(a,b)+f(c,d) e f((a,b)⋅(c,d))=f(a,b)⋅f(c,d)
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica
Considere o anel R[x]R[x] dos polinômios com coeficientes reais na variável x.x. Com base neste anel, analise as afirmativas:
I. O polinômio nulo p(x)=0p(x)=0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].R[x].
II. O elemento simétrico do polinômio p(x)∈R[x]p(x)∈R[x] é o polinômio −p(x).−p(x).
III. Efetuando a multiplicação do polinômio p(x)=1+xp(x)=1+x pelo polinômio q(x)=2+x+x2,q(x)=2+x+x2, obtemos o polinômio p(x)⋅q(x)=2+3x+x2+x3.p(x)⋅q(x)=2+3x+x2+x3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira, pois para todo polinômio q(x)∈R[x],q(x)∈R[x], temos p(x)+q(x)=0+q(x)=q(x).p(x)+q(x)=0+q(x)=q(x). Isso mostra que p(x)=0p(x)=0 é o elemento neutro da adição do anel R[x].R[x]. Também a afirmativa II é verdadeira, já que p(x)+[−p(x)]=0.p(x)+[−p(x)]=0. Entretanto, a afirmativa III é falsa, pois p(x)⋅q(x)=2+3x+2x2+x3.p(x)⋅q(x)=2+3x+2x2+x3.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (Z,+,⋅), (Q,+,⋅) e (R,+,⋅),(Z,+,⋅), (Q,+,⋅) e (R,+,⋅), em que + e ⋅+ e ⋅ denotam suas operações usuais. É correto afirmar que
Nota: 1.0
	
	A
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel comutativo e com divisores de zero.
	
	B
	(Z,+,⋅)(Z,+,⋅) não é um domínio.
	
	C
	(Q,+,⋅)(Q,+,⋅) não é um corpo.
	
	D
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) é um domínio que não é corpo.
	
	E
	(R,+,⋅)(R,+,⋅) é um corpo.
É sabido que (R,+,⋅)(R,+,⋅) é um anel comutativo e com unidade 1. Além disso, todo número real x∈R, x≠0,x∈R, x≠0, possui inverso x−1=1x∈R.x−1=1x∈R.
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica
Seja (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as operações de adição ++ e multiplicação ⋅⋅ usuais. Analise as afirmativas:
I. (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel com unidade.
II. (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel comutativo.
III. (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
Sabemos que (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel. A unidade deste anel é dada pela matriz identidade: I=[1001].I=[1001]. Logo, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel unitário e afirmativa I é verdadeira. Este anel não é comutativo, pois sabemos que o produto de matrizes não é comutativo. Logo, a afirmativa II é falsa. Além disso, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero, pois considerando as matrizes: A=[1000] e B=[0001],A=[1000] e B=[0001], temos A⋅B=0,A⋅B=0, mas tanto AA quanto BB são matrizes não nulas. Portanto, a afirmativa III é correta.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado abaixo e responda de acordo com as informações contidas nele e com os conteúdos estudados nas aulas:
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56p(x)=x3+5x2−22x−56. Assinale a alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x):
Nota: 10.0
	
	A
	2, 4 e 7.
	
	B
	-7, -4 e 2.
	
	C
	-2, 4 e 7.
	
	D
	-7, -4 e -2.
	
	E
	-7, -2 e 4.
Você acertou!
O polinômio p(x)p(x) pode ser decomposto como p(x)=(x−4)(x+2)(x+7)p(x)=(x−4)(x+2)(x+7). Logo, as raízes de p(x)p(x) são -7, -2 e 4.
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica
Leia o enunciado a seguir:
Observe os polinômios f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4.f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4. Considerando  p(x)p(x) e  q(x),q(x), e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, analise as afirmativas a seguir:
I. O polinômio f(x)f(x) é unitário.
II. O grau do polinômio g(x)g(x) é 1.1.
III. O quociente da divisão do polinômio f(x)f(x) pelo polinômio g(x)g(x) é q(x)=2x2+x+8.q(x)=2x2+x+8.
Estão corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I.
	
	B
	I e II.
	
	C
	I e III.
	
	D
	II.
	
	E
	II e III.
Você acertou!
A afirmativa I é falsa, pois o coeficiente do termo dominante é diferente de 1. A afirmativa II é correta, pois a potência da variável xx no termo dominante é 1. Também observamos que f(x)=g(x)⋅(2x2+x+8)+31,f(x)=g(x)⋅(2x2+x+8)+31, o qual garante que a afirmativa III seja correta.
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica
Seja F(R,R)={f:R→R; f é função}F(R,R)={f:R→R; f é função} o conjunto das funções reais definidas sobre o conjunto dos números reais. Com base nesse conjunto, coloque VV quando a afirmativa for verdadeira e FF quando falsa.
I. (   ) F(R,R)F(R,R) é um anel comutativo.
II. (   ) F(R,R)F(R,R) é um anel com unidade.
III. (   ) F(R,R)F(R,R) é um domínio de integridade.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V, V, V.
	
	B
	V, F, V.
	
	C
	V, V, F.
Você acertou!
Com as operações do conjunto F(R,R)F(R,R), garantimos que trata-se de um anel comutativo e com unidade: h:R→R, h(x)=1h:R→R, h(x)=1 para todo x∈R.x∈R. Logo, as afirmativas I e II são verdadeiras. Entretanto, F(R,R)F(R,R) não é domínio, pois possui divisores de zero. Por exemplo, as funções f,g:R→Rf,g:R→R definidas por
f(x)=x e g(x)={0,x≠01,x=0f(x)=x e g(x)={0,x≠01,x=0
 são tais que f⋅g=0f⋅g=0, mas f≠0 e g≠0.f≠0 e g≠0. Com isso, a afirmativa III é falsa.
	
	D
	V, F, F.
	
	E
	F, V, V.
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica
O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa estrutura, analise as afirmativas:
I. ZZ é um subanel de Q.Q.
II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R).
III. 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
Você acertou!
Sabemos que Z⊂Q.Z⊂Q. Além disso, dados a,b∈Z,a,b∈Z, temos a−b∈Z e a⋅b∈Z.a−b∈Z e a⋅b∈Z. Logo, ZZ é subanel de Q.Q. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Observamos também que 2Z⊂Z.2Z⊂Z. Dados a,b∈2Z,a,b∈2Z, existem x,y∈Zx,y∈Z tais que a=2x e b=2y.a=2x e b=2y. Com isso, a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z. Assim, 2Z2Z é subanel de ZZ e a afirmativa III é verdadeira.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica
Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos com as operações + e ⋅+ e ⋅ definidas pelas tabelas abaixo:
+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea+eaeeaaae     e     ⋅eaeeeaea
Analise as afirmativas:
I. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel.
II. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel comutativo.
III. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel sem unidade.
São corretas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
Com as operações definidasno conjunto A,A, os elementos deste conjunto satisfazem os seis axiomas de anel. Logo, (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel e a afirmativa I está correta. Além disso, e⋅a=a⋅e=ee⋅a=a⋅e=e, o que mostra que (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel comutativo. Logo, a afirmativa II também está correta. Por outro, (A,+,⋅)(A,+,⋅) é unitário, pois a∈Aa∈A é a unidade. Logo, a afirmativa III é falsa.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.