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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica Leia o enunciado: Sobre o anel do inteiros (Z,+,⋅)(Z,+,⋅), em que ++ e ⋅⋅ denotam as operações usuais em ZZ, assinale a alternativa correta: Nota: 10.0 A Para todo a∈Za∈Z, vale a⋅0≠0.a⋅0≠0. B A propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é válida, isto é, a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c para todos a,b,c∈Z.a,b,c∈Z. Você acertou! Como (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é um anel, então a propriedade da distributividade da multiplicação em relação à adição é satisfeita em Z.Z. C O elemento 2∈Z2∈Z possui inverso multiplicativo em Z.Z. D O anel (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) possui divisores de zero. E (Z,+,⋅)(Z,+,⋅) é corpo. Questão 2/10 - Estrutura Algébrica Leia o enunciado a seguir: Considere (A,+,⋅)(A,+,⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B⊂AB⊂A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas: (i) se a,b∈Ba,b∈B, então a+b∈Ba+b∈B e a⋅b∈Ba⋅b∈B; (ii) (B,+,⋅)(B,+,⋅) é um anel. Diante disso e dos conteúdos adquiridos nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa. I. ( ) Com as operações usuais, ZZ é um subanel de R.R. II. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números pares B={2k; k∈Z}B={2k; k∈Z} é subanel de Z.Z. III. ( ) Com as operações usuais, o conjunto dos números ímpares C={2k+1;k∈Z}C={2k+1;k∈Z} é subanel de Z.Z. Agora, marque a sequência correta: Nota: 10.0 A V - V - V. B V - F - V. C V - V - F. Você acertou! As propriedades (i) e (ii) são satisfeitas para os conjuntos ZZ e B.B. Logo, as afirmativas I e II são verdadeiras. Observamos que 1 e 3 são elementos de CC, mas 1+3=4∉C.1+3=4∉C. Assim, a afirmativa III é falsa. D V - F - F. E F - V - V. Questão 3/10 - Estrutura Algébrica Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos munido das operações ++ e ⋅⋅ definidas pelas tabelas abaixo: +eaeeaaae e ⋅eaeeeaea+eaeeaaae e ⋅eaeeeaea Analise as afimativas: I. e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e. II. O elemento neutro da operação ++ é a.a. III. A unidade de AA é o elemento e.e. São corretas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, apenas. Você acertou! Na tabela da adição, temos e+a=a.e+a=a. Usando a tabela da multiplicação, concluímos que e⋅(e+a)=e⋅a=e.e⋅(e+a)=e⋅a=e. Logo, a afirmativa I é correta. Como a+a=e,a+a=e, o elemento aa não pode ser o elemento neutro da adição. Assim, a afirmativa II é falsa. Além disso, como e⋅a=e,e⋅a=e, garantimos que o elemento ee não é a unidade em A.A. Portanto, a afirmativa III é incorreta. B I e II, apenas. C I e III, apenas. D II, apenas. E II e III, apenas. Questão 4/10 - Estrutura Algébrica Leia a citação: "Uma relação binária r sobre dois universos A e B é: r⊆A×Br⊆A×B Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A×AA×A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em Geometria Analítica Plana, aula 1, p. 2. https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1ria. Acesso em 02 jul. 2017. Considerando a citação e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre propriedades reflexivas e transitivas das relações binárias definidas no conjunto A={1,2,3,4}, identifique a relação de A a seguir, que seja reflexiva e transitiva, com V (verdadeira) ou com F (falsa): ( ) R1={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}R1={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}; ( ) R2={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}R2={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}; ( ) R3={(2,4),(4,2)};R3={(2,4),(4,2)}; ( ) R4={(1,2),(2,3),(3,4)}R4={(1,2),(2,3),(3,4)}; Agora, marque a sequência correta: Nota: 10.0 A V−V−V−VV−V−V−V B F−V−F−VF−V−F−V C V−V−F−FV−V−F−F D F−V−F−FF−V−F−F Você acertou! Comentário:Comentário: Primeira afirmação: não é reflexiva, pois não tem o par (1,1). incorretoincorreto. Segunda afirmação: é reflexiva, pois se tem o par xRy tem o par yRx. É transitiva, pois vale a relação se xRy e yRz então xRz. corretacorreta. Terceira afirmação: Não é nem reflexiva nem transitiva. incorretoincorreto. Quarta afirmação: Não é nem reflexiva nem transitiva. incorretoincorreto. (livro-base, p. 23-26 ). E F−F−F−VF−F−F−V Questão 5/10 - Estrutura Algébrica Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos com as operações + e ⋅+ e ⋅ definidas pelas tabelas abaixo: +eaeeaaae e ⋅eaeeeaea+eaeeaaae e ⋅eaeeeaea Analise as afirmativas: I. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel. II. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel comutativo. III. (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel sem unidade. São corretas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, apenas. B I e II, apenas. Você acertou! Com as operações definidas no conjunto A,A, os elementos deste conjunto satisfazem os seis axiomas de anel. Logo, (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel e a afirmativa I está correta. Além disso, e⋅a=a⋅e=ee⋅a=a⋅e=e, o que mostra que (A,+,⋅)(A,+,⋅) é um anel comutativo. Logo, a afirmativa II também está correta. Por outro, (A,+,⋅)(A,+,⋅) é unitário, pois a∈Aa∈A é a unidade. Logo, a afirmativa III é falsa. C I e III, apenas. D II, apenas. E II e III, apenas. Questão 6/10 - Estrutura Algébrica Considere M2(R)M2(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais. Sobre o anel (M2(R),+,⋅),(M2(R),+,⋅), é correto afirmar que Nota: 10.0 A É um anel comutativo. B É um anel com unidade dada pela matriz I=[1111].I=[1111]. C É um anel com divisores de zero. Você acertou! Com operações usuais, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) é um anel. Além disso, (M2(R),+,⋅)(M2(R),+,⋅) possui divisores de zero. Por exemplo, as matrizes A=[1000] e B=[0010]A=[1000] e B=[0010] são tais que AB=0,AB=0, porém A≠0 e B≠0.A≠0 e B≠0. D É um domínio de integridade. E É um corpo. Questão 7/10 - Estrutura Algébrica Leia o enunciado a seguir: A estrutura algébrica de um conjunto com operações é a denominação dada ao conjunto em função dos axiomas satisfeitos pelas operações. Diante disso e dos conteúdos estudados nas aulas, leia as afirmativas a seguir e assinale V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa. I. ( ) Todo domínio de integridade é anel. II. ( ) Se KK é corpo, então KK é domínio de integridade. III. ( ) Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero. Agora, marque a sequência correta: Nota: 10.0 A V - V - V. Você acertou! Um domínio de integridade é um anel unitário, comutativo e sem divisores de zero. Com isso, as afirmativas I e III são verdadeiras. Se KK é corpo, então KK é um anel unitário, comutativo no qual todo elemento diferente de zero de KK tem inverso multiplicativo. Com esta última propriedade, mostra-se que KK não possui divisores de zero. Portanto, KK é um domínio de integridade e a afirmativa II também é verdadeira. B V - F - V. C V - V - F. D V - F - F. E F - V - V. Questão 8/10 - Estrutura Algébrica Considerando os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias e dados os conjuntos A=RA=R, B=RB=R, leia as seguintes afirmações: I. O conjunto R1={(x,y)∈R2|y=√x}R1={(x,y)∈R2|y=x} é uma relação binária de A×BA×B. II. O conjunto R2={(x,y)∈N2|3x+y−10=0}R2={(x,y)∈N2|3x+y−10=0} é uma relação binária de A×BA×B. III. O conjunto R3={(x,y)∈R2|x−y+1<0}R3={(x,y)∈R2|x−y+1<0} é uma relação binária de A×BA×B. Está correto apenas o que se afirma em: Nota: 10.0 A I e II. B II e III. C III. Você acertou! As afirmativas I e II não estão corretas, pois não existe raiz de número negativo em RR e para R2R2, a função y=−3x+10y=−3x+10, não é definida para x>3.x>3. Afirmativa III está correta pois é a região do R2R2 acima da reta y=x+1y=x+1. (livro-base, p. 15-18). D I e III. E II. Questão 9/10 - Estrutura Algébrica Leia com atenção o enunciado: Considere os conteúdos dolivro-base Estruturas Algébricas sobre relações binárias, e sejam os conjuntos A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9}.A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9}. Agora, leia sobre eles as seguintes as afirmações: I. O conjunto R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}R1={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} é uma relação simétrica e reflexiva. II. O conjunto R2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} é uma relação reflexiva, simétrica, transitiva e antissimétrica. III. O conjunto R3={(1,2),(2,3),(1,3)}R3={(1,2),(2,3),(1,3)} é uma relação antissimétrica e transitiva. Está correto apenas o que se afirma em: Nota: 10.0 A I e II. B I, II e III. C III. D II e III. Você acertou! Afirmativa I está incorreta, pois se xRy tem o a relação yRx (simétrica) e vale a relação se xRy e yRz então xRz (transitiva) e não reflexiva. A afirmativa II está correta, pois se xRy tem o a relação yRx (simétrica), vale a relação se xRy e yRz então xRz, se ∀x∈A;xRx∀x∈A;xRx, (reflexiva) e se xRy e yRx então x=y (antissimétrica). Afirmativa III está correta pois vale a relação se xRy e yRz então xRz (transitiva) e se xRy e yRx então x=y (antissimétrica). (livro-base, p. 15-18). E I e III. Questão 10/10 - Estrutura Algébrica O subconjunto BB do anel (A,+,⋅)(A,+,⋅) é subanel de AA quando a−b∈B e a⋅b∈Ba−b∈B e a⋅b∈B para todos a,b∈B.a,b∈B. Com base nessa estrutura, analise as afirmativas: I. ZZ é um subanel de Q.Q. II. L={f∈A; f(1)=1}L={f∈A; f(1)=1} é subanel de A=F(R,R).A=F(R,R). III. 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é subanel de Z.Z. São corretas as afirmativas: Nota: 10.0 A I, apenas. B I e II, apenas. C I e III, apenas. Você acertou! Sabemos que Z⊂Q.Z⊂Q. Além disso, dados a,b∈Z,a,b∈Z, temos a−b∈Z e a⋅b∈Z.a−b∈Z e a⋅b∈Z. Logo, ZZ é subanel de Q.Q. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Observamos também que 2Z⊂Z.2Z⊂Z. Dados a,b∈2Z,a,b∈2Z, existem x,y∈Zx,y∈Z tais que a=2x e b=2y.a=2x e b=2y. Com isso, a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z e a⋅b=2(2xy)∈2Z. Assim, 2Z2Z é subanel de ZZ e a afirmativa III é verdadeira. D II, apenas. E II e III, apenas.
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