Estrutura Algébrica Apol II Nota 100

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Questão 1/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado a seguir: 
 
Observe os polinômios 
f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4.f(x)=2x3−7x2+4x−1 e g(x)=x−4. Considerando p(x)p(x)
 e q(x),q(x), e os conteúdos do livro-base Estruturas Algébricas, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. O polinômio f(x)f(x) é unitário. 
 
II. O grau do polinômio g(x)g(x) é 1.1. 
 
III. O quociente da divisão do polinômio f(x)f(x) pelo polinômio g(x)g(x) é 
q(x)=2x2+x+8.q(x)=2x2+x+8. 
 
 
 
Estão corretas apenas as afirmativas: 
 
Nota: 10.0 
 
A I. 
 
B I e II. 
 
C I e III. 
 
D II. 
 
E II e III. 
Você acertou! 
A afirmativa I é falsa, pois o coeficiente do termo dominante é diferente de 1. A 
afirmativa II é correta, pois a potência da variável xx no termo dominante é 1. 
Também observamos que f(x)=g(x)⋅(2x2+x+8)+31,f(x)=g(x)⋅(2x2+x+8)+31, o qual 
garante que a afirmativa III seja correta. 
 
Questão 2/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado: 
 
A noção de ideal foi introduzida no final do século XIX pelo matemático alemão 
Richard Dedekind. Os ideais formam uma classe especial de subanéis e surgiram 
como ferramenta para o estudo da Teoria dos Números. 
 
 
Considerando esta noção e os conteúdos das aulas, é correto afirmar que: 
Nota: 10.0 
 
A ZZ é ideal de Q.Q. 
 
B ZZ é ideal de R.R. 
 
C QQ é ideal de R.R. 
 
 
 
D J={(u0v0)∈M2(R)}J={(u0v0)∈M2(R)} é ideal de M2(R).M2(R). 
 
 
 
E 2Z={2x; x∈Z}2Z={2x; x∈Z} é ideal de Z.Z. 
Você acertou! 
De fato, dados a,b∈2Za,b∈2Z, 
temos a=2xa=2x e b=2yb=2y com x,y∈Z.x,y∈Z. Assim, a−b=2(x−y)∈2Z.a−b=2(x−y)∈2Z. Além 
disso, se k∈Zk∈Z e a∈2Z,a∈2Z, vale ak=ka=2(xk)∈2Zak=ka=2(xk)∈2Z, onde a=2xa=2x para 
algum x∈Zx∈Z. Portanto, 2Z2Z é um ideal de Z.Z. 
 
Questão 3/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado abaixo e responda de acordo com as informações contidas nele e 
com os conteúdos estudados nas aulas: 
 
Assinale a alternativa que contém o quociente q(x)q(x) e o resto r(x)r(x) da divisão do 
polinômio f(x)=x3−5x2+3x+8f(x)=x3−5x2+3x+8 por h(x)=x−3h(x)=x−3: 
Nota: 10.0 
 
A q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1.q(x)=3x2−2x−3 e r(x)=1. 
 
B q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1.q(x)=2x2−2x+3 e r(x)=1. 
 
C q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1.q(x)=x2−2x−3 e r(x)=−1. 
Você acertou! 
Basta verificar que h(x)⋅ q(x)+r(x)=f(x).h(x)⋅ q(x)+r(x)=f(x). 
 
D q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1.q(x)=x2−3x+2 e r(x)=−1. 
 
E q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1.q(x)=x2−3x+3 e r(x)=−1. 
 
Questão 4/10 - Estrutura Algébrica 
Considere M2(R)M2(R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas 
reais. Sobre o anel (M2(R),+,⋅ ),(M2(R),+,⋅ ), é correto afirmar que 
Nota: 10.0 
 
A É um anel comutativo. 
 
B É um anel com unidade dada pela matriz I=[1111].I=[1111]. 
 
C É um anel com divisores de zero. 
Você acertou! 
Com operações usuais, (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) é um anel. Além 
disso, (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) possui divisores de zero. Por exemplo, as 
matrizes A=[1000] e B=[0010]A=[1000] e B=[0010] são tais 
que AB=0,AB=0, porém A≠0 e B≠0.A≠0 e B≠0. 
 
D É um domínio de integridade. 
 
E É um corpo. 
 
Questão 5/10 - Estrutura Algébrica 
Seja A={e,a}A={e,a} um conjunto com dois elementos com as operações 
+ e ⋅ + e ⋅ definidas pelas tabelas abaixo: 
 
+eaeeaaae e ⋅ eaeeeaea+eaeeaaae e ⋅ eaeeeaea 
 
Analise as afirmativas: 
 
I. (A,+,⋅ )(A,+,⋅ ) é um anel. 
 
II. (A,+,⋅ )(A,+,⋅ ) é um anel comutativo. 
 
III. (A,+,⋅ )(A,+,⋅ ) é um anel sem unidade. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
Você acertou! 
Com as operações definidas no conjunto A,A, os elementos deste conjunto 
satisfazem os seis axiomas de anel. Logo, (A,+,⋅ )(A,+,⋅ ) é um anel e a afirmativa I 
está correta. Além disso, e⋅ a=a⋅ e=ee⋅ a=a⋅ e=e, o que mostra 
que (A,+,⋅ )(A,+,⋅ ) é um anel comutativo. Logo, a afirmativa II também está correta. 
Por outro, (A,+,⋅ )(A,+,⋅ ) é unitário, pois a∈Aa∈A é a unidade. Logo, a afirmativa III 
é falsa. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 6/10 - Estrutura Algébrica 
Seja F(R,R)={f:R→R; f é função}F(R,R)={f:R→R; f é função} o conjunto das funções 
reais definidas sobre o conjunto dos números reais. Com base nesse conjunto, 
coloque VV quando a afirmativa for verdadeira e FF quando falsa. 
 
I. ( ) F(R,R)F(R,R) é um anel comutativo. 
 
II. ( ) F(R,R)F(R,R) é um anel com unidade. 
 
III. ( ) F(R,R)F(R,R) é um domínio de integridade. 
 
Agora, marque a sequência correta. 
Nota: 10.0 
 
A V, V, V. 
 
B V, F, V. 
 
C V, V, F. 
Você acertou! 
Com as operações do conjunto F(R,R)F(R,R), garantimos que trata-se de um anel 
comutativo e com unidade: h:R→R, h(x)=1h:R→R, h(x)=1 para 
todo x∈R.x∈R. Logo, as afirmativas I e II são 
verdadeiras. Entretanto, F(R,R)F(R,R) não é domínio, pois possui divisores de zero. 
Por exemplo, as funções f,g:R→Rf,g:R→R definidas por 
 
f(x)=x e g(x)={0,x≠01,x=0f(x)=x e g(x)={0,x≠01,x=0 
 
 são tais que f⋅ g=0f⋅ g=0, mas f≠0 e g≠0.f≠0 e g≠0. Com isso, a afirmativa III é 
falsa. 
 
D V, F, F. 
 
E F, V, V. 
 
Questão 7/10 - Estrutura Algébrica 
Assinale a alternativa que contém um polinômio mônico: 
Nota: 10.0 
 
A p(x)=3x3+2x2+3.p(x)=3x3+2x2+3. 
 
B p(x)=2x2−3√x+2.p(x)=2x2−3x+2. 
 
C p(x)=2x5−3x3/2+2.p(x)=2x5−3x3/2+2. 
 
D p(x)=2x4+√3x+3.p(x)=2x4+3x+3. 
 
E p(x)=x3−3x22+√2.p(x)=x3−3x22+2. 
 
 
Você acertou! 
O polinômio tem grau 3 e o coeficiente do termo que determina o grau do polinômio é 1. 
 
Questão 8/10 - Estrutura Algébrica 
Dados os 
polinômios p(x)=b+ax+x3 e q(x)=−6+2x+2x2,p(x)=b+ax+x3 e q(x)=−6+2x+2x2, assinale 
a alternativa que apresenta os valores de aa e de bb para que a divisão de p(x)p(x) por 
q(x)q(x) seja exata: 
Nota: 10.0 
 
A a=−2 e b=−3.a=−2 e b=−3. 
 
 
B a=2 e b=3.a=2 e b=3. 
 
 
C a=−4 e b=3.a=−4 e b=3. 
Você acertou! 
O resto da divisão de p(x)p(x) por q(x)q(x) é 
o polinômio r(x)=(a+4)x+(b−3).r(x)=(a+4)x+(b−3). Esta divisão é exata 
quando r(x)=0,r(x)=0, donde a=−4 e b=3.a=−4 e b=3. 
 
D a=−4 e b=−3.a=−4 e b=−3. 
 
 
E a=4 e b=3.a=4 e b=3. 
a=4 e b=3. 
 
Questão 9/10 - Estrutura Algébrica 
Seja (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) o conjunto das matrizes quadradas de ordem 2 com as 
operações de adição ++ e multiplicação ⋅ ⋅ usuais. Analise as afirmativas: 
 
 
I. (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) é um anel com unidade. 
 
II. (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) é um anel comutativo. 
 
III. (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) possui divisores de zero. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
Sabemos que (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) é um anel. A unidade deste anel é dada pela 
matriz identidade: I=[1001].I=[1001]. Logo, (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) é um anel 
unitário e afirmativa I é verdadeira. Este anel não é comutativo, pois sabemos que o 
produto de matrizes não é comutativo. Logo, a afirmativa II é falsa. Além 
disso, (M2(R),+,⋅ )(M2(R),+,⋅ ) possui divisores de zero, pois considerando as 
matrizes: A=[1000] e B=[0001],A=[1000] e B=[0001], temos A⋅ B=0,A⋅ B=0, mas 
tanto AA quanto BB são matrizes não nulas. Portanto, a afirmativa III é correta. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 10/10 - Estrutura Algébrica 
Leia o enunciado abaixo e responda de acordo com as informações contidas nele e 
com os conteúdos estudados nas aulas: 
 
Considere o polinômio p(x)=x3+5x2−22x−56p(x)=x3+5x2−22x−56. Assinale a 
alternativa que contém as raízes reais de p(x)p(x): 
Nota: 10.0 
 
A 2, 4 e 7. 
 
B -7, -4 e 2. 
 
C -2, 4 e 7. 
 
D -7, -4 e -2. 
 
E -7, -2 e 4. 
Você acertou! 
O polinômio p(x)p(x) pode ser decomposto 
como p(x)=(x−4)(x+2)(x+7)p(x)=(x−4)(x+2)(x+7). Logo, as raízes de p(x)p(x) são -7, 
-2 e 4.