Revisão de Potenciação e Radiciação

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O QUE É IMPORTANTE RELEMBRAR? 
 
Profa. Diva Marília Flemming
1
 
 
RESUMO: O presente artigo foi desenvolvido para ser utilizado de forma didática e 
tem como objetivo revisar conteúdos importantes no decorrer dos estudos de funções e 
equações. Trata-se de conteúdos elementares normalmente discutidos na Educação 
Básica. Temos: operações aritméticas no conjunto dos números reais e operações 
algébricas no contexto de polinômios, equações e funções. Para os que precisam 
relembrar de detalhes operacionais relacionados com o mínimo múltiplo comum, com 
produtos notáveis ou até mesmo razões e proporções poderão acessar o apêndice, 
usando links encontrados no decorrer do próprio texto. Nesse documento não há a 
preocupação para as aplicações, pois o objetivo é apenas relembrar os objetos de 
estudos. 
 
Palavras Chaves: Potenciação e Radiciação. Expressões Algébricas. Polinômios. 
Razões e Proporções. Mínimo Múltiplo Comum. Produtos Notáveis. Fatoração de 
Polinômios. 
1. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
 
Duas operações no conjunto dos números reais que são em geral esquecidas 
quando deixamos de lidar com operações matemáticas são: potenciação e radiciação. 
Vamos então discutir um pouco essas operações que aparecem em diferentes momentos 
do estudo da matemática. 
 
1.1 POTENCIAÇÃO 
 
Você sabe a diferença entre potenciação e exponenciação? 
 
1
 Professora aposentada da UFSC e atualmente Professora, Pesquisadora e Coordenadora do 
Curso de Matemática da UNISUL. Licenciada em Matemática. Mestre em Matemática Aplicada. Doutora 
em Engenharia. 
Na prática podemos não fazer muita distinção, mas há uma sutil diferença que 
nos leva, em alguns momentos, ao uso do termo potenciação e em outros momentos a 
usar exponenciação. Veja a seguir os significados
2
: 
 Potenciação: operação de elevar um número ou expressão a uma dada 
potência. 
 Exponenciação: elevação de um número à uma potência. 
 Potência: número de vezes (indicado por um expoente) que um número 
ocorre como fator numa potenciação; o produto de n fatores iguais; o 
resultado da potenciação. 
 Expoente: o número que indica o grau da potência a que uma quantidade 
é elevada. 
É muito importante que saibamos usar corretamente a linguagem matemática, 
pois dessa forma não corremos o risco de não compreender a fala de um professor ou a 
leitura de um texto. 
Veja então alguns exemplos e preste atenção nas terminologias usadas: 
 
Exemplos: 
23 – Dizemos que o número 2 está elevado à terceira potência ou ainda 23 é a terceira 
potência de 2. 
Temos aqui uma operação indicada que é a potenciação e podemos encontrar um 
resultado. Veja: 
822223  . 
Observe que o expoente 3 indica o grau da potência e no cálculo vai indicar o número 
de fatores da multiplicação. O dois é denominado como base da potência. 
Em especial quando temos o expoente três podemos dizer que a base está elevada ao 
cubo. 
 
52 – Observe que agora temos o número 5 elevado à segunda potência. O resultado vai 
ser: 
255552  . 
 
2
 Dicionário Houaiss digital. 
Em especial quando temos o expoente dois podemos dizer que a base está elevada ao 
quadrado, ou seja, neste exemplo temos “cinco elevado ao quadrado”. 
 
x2 – Observe que agora temos na base um valor variável e podemos dizer que x está 
elevado à segunda potência. O resultado numérico não pode ser encontrado, mas a 
álgebra nos permite escrever: 
xxx 2 . 
 
6x – Observe que agora temos a base igual a seis e um valor variável no expoente. 
Neste caso não temos outra forma de escrever, e se a variável assume valores 
numéricos, podemos fazer os cálculos para encontrar um valor numérico. 
 
(x+1)x-5 – Observe que agora temos a base e o expoente como valores variáveis, 
portanto não há como indicar um resultado numérico para essa expressão algébrica que 
tem uma potência com base igual a (x+1) e expoente igual a (x-5). O valor numérico só 
poderá ser obtido quando indicamos valores para a variável x. 
 
No Quadro 1 apresentamos um resumo com exemplos que caracterizam 
propriedades e operações que surgem nos cálculos com potências. 
Observe que zero elevado a zero é uma indeterminação que pode assumir valor 
zero ou um. Essa discussão é feita no contexto do estudo de Limites
3
. O zero elevado à 
um expoente positivo terá como resultado o valor zero, mas se o zero for elevando à um 
expoente negativo o resultado não existe, pois neste caso fica caracterizada uma divisão 
por zero. 
Exemplos: 
0
0
 = indeterminação que pode assumir o valor 0 ou 1 no contexto dos limites; 
0
-3
=1/0
3
=1/0=não existe. 
 
Observe também que podemos justificar que um número diferente de zero 
elevado a zero é igual a 1. Basta analisar a propriedade de divisão de potências de 
mesma base no Quadro 1. Veja nos exemplos, o caso em que os expoentes são iguais. 
Se dividimos um número por ele mesmo o resultado tem que ser igual a 1. 
 
3
 Limites - estudado no contexto do Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Propriedade/operação Escrita genérica Exemplos 
Expoentes inteiros 
positivos 

fatores n
...xxxxxn  
59049
fatores 5
9999995     
 
261,9
fatores 3
1,21,21,21,2 3   
 
64
1
fatores 3
4
1
4
1
4
1
4
1
3
























  
 
Expoente zero 
zero. de diferente com
10
x
x 
 150  
Expoente igual a 1 xx 1 
9
fator 1
991



 
Expoente inteiro 
negativo 
.0 e 0
doconsideran aqui Estamos
1


xn
x
x
n
n
 
8
1
222
1
2
1
2
3
3




 
Multiplicação de 
mesma base 
mnmn xxx  
.128
2222222
2222 75252


 
 
Divisão de mesma base 
mn
m
n
mnmn
x
x
x
ou
xxx




 
25
1
5
1
5555 c)
15555 b)
55555 a)
2
26464
04444
13434






 
Quadro 1 – Características operacionais com potências 
Fonte: Elaboração da autora 
 
 
 
1.2 RADICIAÇÃO 
 
Podemos considerar que há uma relação entre a potenciação e radiciação. Veja 
os exemplos: 
a) 2882 33  
b) 288)2( 33  
c) 216162 44  
d) 21616)2( 44  
Os símbolos “ ,  e ” denotam que há uma implicação lógica no sentido 
indicado que permite considerar que a potenciação e a radiciação são operações 
inversas. Mas neste contexto devemos ter um cuidado na interpretação simples dos 
exemplos. 
Para reforçar a terminologia quando escrevemos, por exemplo, 4 16 , estamos 
diante de um radical que tem o radicando igual a dezesseis e o índice igual a quatro. 
Nos itens a) e b) temos expoentes ímpares e nestes casos podemos calcular 
radicais de valores negativos. 
Nos itens c) e d) temos expoentes pares e neste caso temos uma situação 
interessante a ser observada, jamais vamos ter resultado quando o radicando é 
negativo. 
Observe que o radical pode tem dois resultados diferentes pelo sinal, ou seja, 
2164  . Para não causar confusões nas interpretações, usamos sempre a convenção 
de que quando não há sinal negativo na frente do radical, vamos usar o resultado 
positivo. Entretanto deve ficar claro que temos mais detalhes formais matemáticos que 
não é o foco do presente documento. O raciocínio do uso do sinal “mais ou menos” 
surge muito na resolução das equações. 
 
Exemplos: 
a) 7299 fato de 9729 33  ; 
b) 729)9(- fato de 9729 33  ; 
c) 65619 fato de 96561 44  ; 
d) existe não 65614  ; 
e) 965614  
 
O cálculo de radicais está relacionado com o cálculo das potências quando os 
resultados são números racionais, mas podemos ter radical em que a implicação não 
existe, e nestes casos estamos diante de um número irracional. 
Chamamos a atenção para os radicais de índice 2, pois não colocamos o índice e 
dizemos que é uma raiz quadrada. 
Quando o índice é três,ele é colocado e dizemos raiz cúbica. 
 
 
Exemplos: 
a) 2 b) 3 2 c) 6 d) 4 6 
 
No Quadro 2 apresentamos novos exemplos. 
Propriedade/operação Escrita genérica Exemplos 
Radicais (raiz 
enésima principal) 
nn axax  
55 959049959049  ; 
 
33 )1,2(261,91,2261,9 
 
64
1
4
1
4
1
64
1
3
3 





 . 
Expoente racionais 
1/n 
nn xx /1 
33/1 55  ; 
 
5125125 33/1  , pois 12553  . 
Expoente racionais 
m/n 
   mnmnnm xxx  /1/ 
ou 
  n mnmnm xxx  /1/ 
  33 2233/2 25555  
Uso de parênteses 
  nnn yxxy . ; 
 
n
nn
y
x
y
x






; 
 
  mnmn xx . . 
  3333 8.22 xxx  ; 
 
25
4
5
2
5
2
2
22






; 
 
  20102 33  (Quando os expoentes são 
muito altos podemos deixar apenas 
indicado e não calcular) 
ATENÇÃO 
nnnn xxxx )( e )( 
 
nnnn axaxxaax )( e )(  
 
mnnnn xxxx
mmm
)( e )(  
8)2())2((
8)8()2(
-8)2(2
33
3
33



 
4)2(
-4)2(2
2
22


 
 
nn
nn
xx
xx
)2(2
 )(22


 
 
1243
81)3(3
2)2(
2 22
44


 
Quadro 2 – Características operacionais com potências e radicais 
Fonte: Elaboração da autora 
 
1.3 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES 
 
Ao lidar com expressões numéricas podemos sempre usar um recurso 
tecnológico para apresentar resultados mais simples para as expressões, mas é preciso 
saber as regras básicas para colocar as informações em uma calculadora ou em um 
software livre. 
Vamos, portanto, apresentar exemplos com o objetivo de aplicar as propriedades 
e conceitos. 
 
Exemplos: 
Simplificar as seguintes expressões numéricas: 
a) 
3
2
256
6
1
3
2
2













 
Temos: 
3
2
256
6
1
3
2
2













=
3
2
256
6
1
2
3
2












=
3
2
256
6
1
2
3
2
2












= 
=
3
2
256
6
1
4
9
 = 71,15
24
377
24
163849
3
2
16
24
9
3
2
256
24
9


 . 
Observe que o resultado foi obtido com os seguintes procedimentos: 
Aplica-se a propriedade 
  2
2
222
2
2
3
3/2
1
3/2
1
3
2







 
Efetuando a multiplicação, pois temos a regras de prioridades operatórias: 
1. multiplicação e divisão; 
2. adição e subtração. 
Observando que devemos também respeitar a ordem para resolver inicialmente 
os parênteses, depois os colchetes e finalmente as chaves caso existam. 
Na sequência trabalhamos o cálculo da raiz quadrada. Podemos escrever: 
16222256 42/88  (lembrar da fatoração do 256 em números primos). 
Finalmente resolve-se a adição e subtração conjuntamente. Lembre-se de que no 
denominador temos o mínimo múltiplo comum (mmc) entre 24, 1 e 3 que resulta o 
valor 24. Saiba mais sobre mínimo múltiplo comum (mmc). 
 
b) 








4
3
6/5
12
12
2 
.32323232
2232)223(2122122
12
12
2
1212/1112/112
1110
12/112
1
12
1
6
5
12/112/112/16/512
1
6/512
1
6/54
1
3
1
6/5
4/1
3/1
6/5











 
Observe que o roteiro seguido não é único, pois podemos inicialmente fatorar o 
12 para depois desenvolver as operações. 
 
c) Ao escrever números muito grandes ou muito pequenos, usamos a notação 
científica que aplicam potências de base 10. Por exemplo: 
 a massa da terra é expressa por 5,9742 × . 
 na relação do urânio na produção de energia elétrica, temos que a fissão 
completa de libera 8,1974× Joules se energia; 
 a carga de um elétron é -1,602177× C. 
 
A facilidade para lidar com potências de 10 está no fato de lidarmos com os 
valores sem a necessidade de usar calculadora ou outro recurso tecnológico, pois lidar 
com potências de 10 significa lidar com os zeros e vírgula. Veja: 
 (temos quinze zeros); 
 =0,000000000000001 (quinze zeros à esquerda e a vírgula); 
 8,1974× 000000 (10 dígitos contados a partir da virgula); 
 -1,602177× = -0,0000000000000000001602177. 
Podemos lidar com expressões algébricas e para tal vamos relembrar alguns 
procedimentos algébricos. Lembre-se que as propriedades de potências e radicais 
continuam sendo aplicáveis. 
 
Exemplos: 
Simplificar as seguintes expressões algébricas: 
a) 
22
22
2 )32(
)1(
32
2



 x
xx
x
x
 
O mmc dos denominadores é igual à 22 )32( x . Assim temos: 
.
)32(
26
)32(
264
)32(
)12(64
)32(
)1()32(2
)32(
)1(
32
2
22
432
22
2343
22
223
22
222
22
22
2
















x
xxxx
x
xxxxx
x
xxxxx
x
xxxx
x
xx
x
x
 
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2.INTRODUÇÃO AOS POLINÔMIOS 
 
Em Álgebra elementar denominamos polinômios a expressão 
01
2
2
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 



 
sendo: 
 n um número natural; 
 naaaaa ,...,,,, 3210 , denotados como coeficientes e são números pertencentes a 
um conjunto, por exemplo, o conjunto dos números reais; 
 x uma variável. 
 
Exemplo: 
252)( 234  xxxxxP é um polinômio sendo -2, 5, -1, 1, 2 seus coeficientes e
2 e ,,5,2 234 xxxx  seus termos. 
 
Podemos utilizar outras notações para representar um polinômio. Por 
exemplo: 
1
2
3
1
21 ...)( 
  nn
nnn axaxaxaxaxP 
nnn
nnn axaxaxaxaxaxP  

1
2
2
2
2
1
10 ...)( 
n
n xaxaxaaxP  ...)(
2
210 
 
Seja 01
2
2
2
2
1
1 ......)( axaxaxaxaxaxaxP
p
p
n
n
n
n
n
n 



 um polinômio que tem 
pelo menos um coeficiente não nulo. Dizemos que o grau de P(x) é p se, e somente se, 
0pa e todos os coeficientes com índices maiores do que p são nulos. 
Denotamos o grau de P(x) por gr(P). 
Exemplo: 
 
225)( 23  xxxxP gr(P) = 3 
xxxxQ  42 29)( gr(Q) = 4 
8)( xT gr(T) = 0 
 
No polinômio 01
2
2
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 



 , fazendo x = c 
obtemos o número real 01
2
2
2
2
1
1 ...)( acacacacacacP
n
n
n
n
n
n 



 que é denominado 
valor numérico de P(x) para x = c. 
 
Quando 0)( cP , dizemos que c é um zero ou raiz do polinômio P(x). 
 
Exemplos: 
(1) Para 623)( 2  xxxP calcular os valores numéricos quando 2x , 0x e 
1x . 
Temos, 
26)2(2)2(3)2( 2 P ; 
66)0(2)0(3)0( 2 P 
16)1(2)1(3)1( 2 P . 
 
(2) Para 65)( 2  xxxP temos que: 
06)2(5)2()2( 2 P 
06)3(5)3()3( 2 P 
Assim 2 e 3 são raízes de P(x). 
 
Observe que um conjunto de algarismos e letras, unidos por sinais de operação 
denomina-se expressão algébrica. As letras podem receber valores de um dado conjunto 
universo. Usualmente são denominadas variáveis. 
 
Todos os polinômios 01
2
2
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 



 são 
expressões algébricas com uma variável x. 
Os termos 01
2
2
2
2
1
1 ,,...,,,, axaxaxaxaxa
n
n
n
n
n
n



 , de um polinômio são expressões 
algébricas na variável x. 
 
Dizemos que dois ou mais termos de um polinômio são ditos semelhantes 
quando diferem apenas pelos seus coeficientes. 
 
Exemplos: 
 
2x2 é semelhante a 2x3 . 
 
3ax é semelhante a 3bx . 
 xy2 é semelhante a xy
2
1
. 
 
É usual simplificar a apresentação de um polinômio que tem termos semelhantes 
efetuando a redução de termos semelhantes. 
 
Exemplo: 
O polinômio 3
2
1
25 223  xxx pode ser reduzido (ou simplificado) para 
3
2
3
5 23  xx . 
 
Os polinômios podem ser classificados quanto ao número de termos. 
Acompanhe: 
 Monômio - quando tem um único termo. Exemplos: 
3x2 e ab3 ; 
 Binômio - quando tem dois termos. Exemplos: 3x e abba 32 2  ; 
 Trinômio - quando tem três termos. Exemplos: 432  xx e abab 34 2  . 
 
Se o polinômio tiver mais de três termos, não receberá nome específico. Nessa 
classificação todo polinômio pode ser visualizado como uma soma de monômios. 
Os polinômios podem ser classificados, também,quanto ao expoente das 
variáveis: 
 Racional Inteiro - quando todos os expoentes das variáveis são números inteiros 
positivos. Exemplo: 122 3  xx ; 
 Racional Fracionário - quando pelo menos uma variável tiver expoente inteiro 
negativo. Exemplo: 
x
xx
1
24 2  ; 
 Irracional - quando pelo menos uma variável tiver expoente fracionário. 
Exemplo: xx 23  ; 
 Transcendente - quando pelo menos uma variável tiver como expoente um 
número irracional ou complexo. Exemplo: 23x + 224  xx . 
 
Um polinômio )(xP é dito nulo (ou identicamente nulo) quando, temos 
0xP )( para todo Rx (Reais). Assim, se 
01
2
2
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 



 é um polinômio nulo, então 
0... 011   aaaa nn . 
 
 
Exemplo: 
Encontrar cba ,, para que )2()()3()( 2  cxbxaxP seja identicamente 
nulo. 
Fazendo 








02
0
03
c
b
a
 obtemos os coeficientes de )(xP que são 








2
0
3
c
b
a
. 
 
Para que dois polinômios )(xP e )(xQ , de ordem n, sejam considerados 
idênticos é necessário que )()( xQxP  para todo Rx . Assim, 
01
2
2
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 



 e 
01
2
2
2n
2n
1n
1n
n
n bxbxbxbxbxbxQ 



 ...)( 
são idênticos se: 
nn ba
ba
ba



..........
21
00
 
 
Exemplo: 
Obter os coeficientes do polinômio cbxaxxP  2)( considerando que P(x) é 
igual a 12)( 2  xxxQ . 
Nesse caso 2a , 1b e .1c 
 
Vejamos agora como fazer operações com polinômios. 
A soma de dois polinômios é o polinômio formado por todos os termos dos 
polinômios dados. Assim, para: 01
2
2
2
2
1
11 ...)( axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 



 e 
01
2
2
2
2
1
12 ...)( bxbxbxbxbxbxP
n
n
n
n
n
n 



 , o polinômio )()()( 21 xPxPxP  será: 
)()()(...)()()( 0011
2
22
1
11 baxbaxbaxbaxbaxP
n
nn
n
nn 

 . 
Exemplos: 
(1) Calcular o polinômio )()()( 21 xPxPxP  dados 5
5
2
5)( 2341  xxxxxP e 
2
6
1
5
3
)( 2342  xxxxxP . 
Temos: 
)25()11()
6
1
1()
5
3
5
2
()15()( 234 

 xxxxxP . 
7
6
7
5
1
6)( 234  xxxxP . 
 
(2) Para 5xx5xP 41 )( e 2xxx2xP
23
2 )( vamos obter 
7xx2x5xPxP 23421  )()( . 
 
(4) Calcular o polinômio )()()( 21 xPxPxP  sendo dados xxxxP 
34
1 24)( e 
535)( 232  xxxP . 
Temos: 
)50()01()30()52()04()( 234  xxxxxP ou 
5334)( 234  xxxxxP . 
 
Vejamos agora a subtração de polinômios. Lembrando que a operação 
Subtração é uma operação inversa da Adição, podemos escrever: se 
)()()( xQxPxR  temos )()()( xQxRxP  sendo que )(xQ representa o 
inverso de )(xQ . 
Os polinômios inversos são obtidos trocando-se o sinal de cada termo. 
Assim, dados 01
2
2
2
2
1
11 ...)( axaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n 



 e 
01
2
2
2
2
1
12 ...)( bxbxbxbxbxbxP
n
n
n
n
n
n 



 a diferença )()()( 21 xPxPxP  temos que: 
)()()(...)()()()( 0011
2
22
2
22
1
11 baxbaxbaxbaxbaxbaxP
n
nn
n
nn
n
nn 



 . 
 
Sub
tração?? 
Exemplo: 
Calcular o polinômio )()()( 21 xPxPxP  dados que: 
5
5
2
5)( 2341  xxxxxP e 2
6
1
5
3
)( 2342  xxxxxP . 
Temos: 
)25()11()
6
1
1()
5
3
5
2
()15()( 234 

 xxxxxP ou 
3x2x
6
5
xx4xP 234 )( . 
 
A Multiplicação de polinômios é usada muito no decorrer de muitas operações 
algébricas. O produto de dois polinômios  xP1 e  xP2 é obtido pela multiplicação de 
cada termo de  xP1 por todos os termos de  xP2 , reduzindo, após, os termos 
semelhantes. 
 
Exemplos: 
(1) Dados   132 21  xxxP e   32  xxP , temos que: 
       
     
.3892
39362
313332
3132
23
223
2
2
21




xxx
xxxxx
xxxxx
xxxxPxP
 
Observe que em algumas situações é mais interessante usar a forma fatorada do 
polinômio. 
 
(2) A multiplicação de polinômios pode ser trabalhada na forma de dispositivo prático 
similar ao usado com números, procuramos sempre colocar os termos semelhantes em 
ordem para facilitar a soma algébrica final. Observe o exemplo anterior usando-se o 
dispositivo: 
3892
32
396
3 
132
23
23
2
2





xxx
xxx
xx
x
xx
 
(4) Anote os exemplos seguintes que são denotados por PRODUTOS NOTÁVEIS: 
 22 2))(( yxyxyxyx  
 22 2))(( yxyxyxyx  
 22))(( yxyxyx  
 
Vamos aproveitar estes exemplos, para resolver de outra forma, usando a 
propriedade distributiva. Observe as setas que mostram o efeito da propriedade 
distributiva. Veja: 
 
 
 
 
 
(5) Quando os fatores de uma multiplicação são iguais dizemos que temos uma 
potência. Observe o exemplo: 
 
1676
13)13()13(
234
2222


xxxx
xxxxxx
 
Veja a aplicação da propriedade distributiva 
 )13)(13( 22  xxxx  13
22  xxx + )13(3 2  xxx  )13(1 2  xx 
.1676
133933
)13()393()3( 
234
222334
223234



xxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
 
 
A Divisão de polinômios é outra operação que deve ser revisada. Como nas 
operações anteriores o raciocínio é similar aos procedimentos operatórios com números. 
Para revisar as notações com números e então fazer a similaridade com polinômios 
lembre-se que ao dividir, por exemplo, 185 por 4, podemos escrever uma relação entre o 
divisor, o quociente e o resto. Veja: 
 
Podemos afirmar que o número 185 pode ser representado por 4  46  1 ou 
seja: 
 Resto Quociente Divisor Dividendo  
Outra representação usual da divisão que deve ser relembrada é a forma de 
fração mista: 
4
1
46
4
1
46
4
185
 , ou seja, 
Divisor
Resto
 Quociente
Divisor
Dividendo
 
O procedimento com polinômios é análogo ao numérico. Podemos, para 
facilitar, escrever o dividendo com todos os termos, em ordem decrescente, colocando 
zero quando o termo não existir. A divisão termina quando o grau do resto tornar-se 
inferior ao grau do divisor. 
Veja como funciona! 
Exemplo: 
Dividir P(x) = x
3
  2 x2  4 por D(x) = x2  2 
Vamos usar um dispositivo prático similar ao utilizado com números. 
 
 
 
Observe que temos: 
 Dividendo: 42 23  xx ; 
 Divisor: 22 x ; 
 Quociente: 2x ; 
 Resto: x2 
Assim, podemos reescrever P(x): xxxxx 2)2)(2(42 223  
Para dividir P(x) por xa podemos usar um dispositivo prático denotado por 
Dispositivo de Ruffini, ou de Briot-Ruffini. Vamos apresentá-lo usando um exemplo. 
 
Exemplo: 
(1) Dividir   353  xxxP por   2 xxD utilizando o Dispositivo de Briot-
Ruffini. Observar que os coeficientes do polinômio dado são 1, 0, -5, 3 e que o 
valor de a é 2. Veja o Quadro 3. 
 
 
 
PASSOS RESULTADOS 
Escrever todos os coeficientes de 
P(x) e o valor de a, arranjado como 
mostramos ao lado. 
 
Na segunda linha repetir o primeiro 
coeficiente de P(x), observando a 
colocação em coluna. 
 
Multiplicar esse coeficiente pelo 
valor de a, somando com o próximo 
coeficiente e posicionando o 
resultado abaixo dele 
( 2  1  0 = 2 ): 
Repetir o procedimento até o último 
coeficiente de P(x). 
 
Quadro 3: Exemplo do dispositivo de Ruffini 
Fonte: FLEMMING, D.M. e LUZ, E.F. Tópicos de Matemática Elementar II. Palhoça: UnisulVirtual, 
2007, p.93. 
 
A linha resultante é a representação do quociente, com 1 grau inferior ao 
dividendo, menos o último termo que representa o resto. Assim, 
   112235 23  xxxxx . 
 
(2) Dividir   646  xxP por   2 xxD . 
Podemos usar Briot-Ruffini para valores de a negativo ou positivo (lembrar que 
podemos escrever   ax  . 
Observe que essa divisão é exata. 
 
Assim, podemos escrever:   3216842264 23456  xxxxxxx . 
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3. RAZÕES E PROPORÇÕES 
As propriedades das razões e proporções surgem na resolução deproblemas que 
envolvem o contexto numérico e algébrico. Vamos relembrar as características desses 
objetos matemáticos? 
O termo razão na sua origem latina já significa divisão e essa divisão pode ser 
entre números, segmentos etc. Para ter sentido devemos ter a divisão de objetos que 
tenham a mesma natureza. 
No contexto dos conjuntos numéricos, uma razão entre dois números inteiros vai 
definir o número racional desde que não se tenha a divisão por zero que não existe. Na 
geometria a divisão entre a medida de dois segmentos tem significados importantes 
quando estamos estudando, por exemplo, ângulos ou triângulos. E um modo genérico 
usamos a representação 
B
A
; BA / ou ainda na forma BA : . 
EXEMPLOS: 
a) A razão entre 12 e 4 é 3, pois temos 3
4
12
 ; 
b) Em um jogo de basquete um jogador acertou a cesta 1 vez para cada dois 
arremessos. Dessa forma temos uma razão expressa como 5,0
2
1
 . Esse 
resultado é normalmente usado no contexto de porcentagem e costuma-se dizer 
que a probabilidade de acertos é de 50%, pois 
100
50
2
1
 , ou seja, 50 centésimos 
ou 50 por cento. 
c) Na natureza temos uma razão, denotada por razão áurea e acredita-se que a 
beleza do mundo está nos objetos ou seres que contemplam essa relação. Trata-
se de uma relação que tem uma história contada desde há muito tempo, talvez 
com origem nos estudos dos Pitagóricos
4
. 
Não vamos nos deter nas aplicações, pois elas surgiram no decorrer de toda a sua 
vida acadêmica, vamos simplesmente observar o objeto em suas características e 
propriedades. 
Quando estabelecemos uma igualdade entre duas razões vamos ter as 
proporções. Temos assim a seguinte notação: 
D
C
B
A
 , usualmente sem formalismos 
 
4
 Para saber mais recomendamos o livro de Peter Bentley com o título “O Livro dos Números: 
Uma História Ilustrada da Matemática”. Um belíssimo livro, recentemente publicado no Brasil pela 
Editora Zahar em 2009. 
matemática usamos a notação com igualdade, 
D
C
B
A
 . Antigamente era bastante usada 
a notação: DCBA :::: e a leitura “A está para B assim como C está para D”. Dessa 
notação surge a expressão de que A e D são extremos e B e C são meios. 
O que vamos usar muito? 
Temos uma propriedade que pode ser enunciada como “Em uma proporção 
temos que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. 
 
EXEMPLOS: 
a) A relação 
100
50
2
1
 é verdadeira, pois temos que 5021001  . 
b) Podemos solicitar qual o valor da variável x de modo que a proporção 
9
2
5

x
 
seja verdadeira. Basta usar a propriedade e desenvolver algebricamente para 
encontrar o valor do x. Veja: 
.
9
20
209
259
9
2
5




x
x
x
x
 
Observe que esses objetos matemáticos são simples, entretanto é necessário que 
você os identifique corretamente no decorrer das diversas aplicações ou no decorrer dos 
cálculos numéricos e algébricos. 
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APÊNDICE A 
 
Saiba mais sobre Produtos Notáveis! 
Quando os fatores de um produto são iguais temos as potências. Em especial no 
caso dos polinômios temos dois casos que são considerados produtos notáveis. Temos: 
 222 2))(()( yxyxyxyxyx  
 222 2))(()( yxyxyxyxyx  
 
Em geral, na Educação Básica, os professores recomendam aos alunos fazer uma 
“decoreba”, pois em muitos momentos é usado. Veja: 
 
“O quadrado do binômio é igual ao quadrado do primeiro termo ao quadrado 
mais ou menos duas vezes o primeiro termo pelo segundo termo, mais o quadrado do 
segundo termo”. 
 
Esses produtos notáveis podem ser identificados geometricamente, com cálculos 
de área. Veja a Figura 1, 2 e 3. Podemos usar retângulos e quadrados considerando 
medidas, denotadas por a e b em unidades de medidas de comprimento. 
 
 
Figura 1: Interpretação geométrica do Produto Notável 
222 2)( bababa  
Fonte: Elaboração da autora, 2013. 
 
 
Se associarmos as partes coloridas da figura 1 como referência vamos poder 
visualizar os seguintes passos de uma construção geométrica: 
a) Área 2a menos área ab que resulta )(2 baaaba  , ou seja, área do 
retângulo de lado a e )( ba  ; 
b) Área ab menos área 2b que resulta )(2 babbab  , ou seja, área do 
retângulo de lado b e )( ba  ; 
c) Fazendo a área do retângulo do item a) menos a área do retângulo do 
item b) tem-se: 2222 2)()( bababababa  , ou seja a área de um 
quadrado de lados )( ba  . 
Veja esses passos geometricamente nas Figuras 2. 
 
 
 
 
a) - = ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) - = 
 
 
 
 
 
 
 
c) - = 
 
 
 
 
Figura 2 – Passos do produto notável 
222 2)( bababa  
Fonte: Elaboração da autora, 2013 
 
 
Para o produto notável 22))(( bababa  , observe a Figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Produto Notável 
22))(( bababa  
Fonte: Elaboração da autora, 2013 
 
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a 
a
b 
a
a
2 
A
b
2 
ab 
a
a-b 
a
a-b 
a-b 
a
a-b 
a-b 
A
a+b
 
a
b 
 
APÊNDICE B 
 
Saiba mais sobre Fatoração! 
 
Fatorar um polinômio é fazer a decomposição num produto de fatores. Podemos 
encontrar polinômios que não são fatoráveis. Vamos por meio de exemplos, apresentar 
as diversas situações que podem aparecer. 
 
Situação 1: Colocar os fatores comuns em evidência 
Observe nos exemplos que seguem que estamos aplicando sempre a propriedade 
distributiva, sempre que possível. No item a) destacamos o fato 
32x . No item b) 
inicialmente destacamos o fator )4( x e posteriormente o fato x . 
a) )24(2428 23543 xxxxxx  ; 
b) 
).4)(3(
)3()4(
)3)(4(
)]13()1)[(4()13)(4()1)(4(
2
22




xxx
xxx
xxx
xxxxxxx
 
Situação 2: O trinômio é resultante de um produto notável 
Basta constatar a relação dos produtos notáveis. Veja os exemplos: 
a) )5)(5(25102  xxxx ; 
Basta verificar: 
2x é o quadrado de 2x ; 25 é o quadrado do 5 e x10 é igual a 
menos duas vezes o primeiro pelo segundo. 
 
b) )2)(2(44 22 axaxaxax  ; 
 
c) )23)(23(49 2222 bxaxbxaxxbxa  . 
 
Situação 3: O trinômio é fatorável a partir das suas raízes. 
Sempre que temos um trinômio fatorável no conjunto dos Reais, podemos 
expressá-lo da seguinte forma: 
))(( 21
2 xxxxacbxax  , 
sendo que a, b e c são os coeficientes com a diferente de zero e 21 e xx são as raízes 
reais. 
Veja os exemplos: 
a) )3)(12( ou ))3()(2/1(2352 2  xxxxxx 
Lembre-se que as raízes do polinômio podem ser encontradas usando a fórmula 
de Bhaskara: 
.3
4
12
4
75
2
1
4
2
4
75
:reais raízes duas as temosAssim
4
495
4
24255
2.2
)3.(2.455
2
4
1
1
22
















x
x
a
acbb
x
 
Assim, podemos escrever: 
).3)(12(352
ou ))3()(
2
1
(2352
))((
2
2
21
2



xxxx
xxxx
xxxxacbxax
 
 
b) )7)(5( ou ))7()(5(3522  xxxxxx 
Nesse caso a fórmula de Bhaskara também pode ser aplicada, mas como a=1, 
podemos usar a interpretação da propriedade de soma e produto das raízes. Temos que: 
raízes. das produto o Pe raízes dassoma a é S que sendo ))(( 21
2 xxxxPSxx 
 No exemplo observe que temos: 










35
2
 ou 
21
21
21
21
xx
xx
Pxx
Sxx
 
As raízes são 5 e -7. Resolver dessa forma só é interessante quando as raízes são 
inteiras, pois a resolução do sistema pode ser mais demorada do que a aplicação da 
fórmula de Bhaskara. 
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APÊNDICE C 
 
Saiba mais sobre Mínimo Múltiplo Comum! 
 
Observe que ao fazer operações com frações usamos o procedimento de 
encontrar o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. O mmc de dois ou mais 
números é o produto de todos os seus fatores, sendo que os fatores comuns sóaparecem 
uma vez, elevados ao maior expoente. 
Tem-se um dispositivo que facilita a visualização. Veja como fazer o Mínimo 
Múltiplo comum entre os valores 2, 4 e 6, denotado por mmc (2,4,6)=12. Este processo 
pode ser feito por um mecanismo prático em que a fatoração dos números é feita 
conjuntamente como segue: 
 
2 4 6 2 
1 2 3 2 
1 1 3 3 
1 1 1 2 x 2 x 3=12 
 
Os números da primeira linha são os denominadores. Os números da quarta 
coluna são colocados no processo, usando o critério de colocar números primos que 
dividem exatamente os denominadores. Os resultados das divisões são sucessivamente 
colocados nas linhas seguintes do lado esquerdo. O resultado resulta da multiplicação 
dos números primos da última coluna. 
No caso de termos frações algébricas podemos fatorar os polinômios e fazer a 
identificação dos fatores comuns. Veja os exemplos. 
 
Exemplos 
Calcular o mínimo múltiplo comum dos seguintes conjuntos de polinômios: 
a) xxx 3 e 22  
O termo 2x já está fatorado e o termo xx 3 2  pode ser fatorado colocando-se 
em evidência o x. Veja: 
)3(3 2  xxxx 
Dessa forma o mmc ( 2x , xx 3 2  ) = )3(2 xx . 
 
b) 2 e 96 ,2 22  xxxxx 
Veja a fatoração: 
)2(22  xxxx - colocamos em evidência; 
22 )3(96  xxx - usamos produto notável; 
22  xx - já está fatorado. 
Assim, mmc 222 )3)(2()2 , 96 ,2(  xxxxxxxx 
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