Seminários Integrados em Matemática Exercícios 6 ao 10

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SEMINÁRIOS INTEGRADOS EM MATEMÁTICA
6a aula
		
	
	 
	 1a Questão
	
	
	
	
	No espaço R3R3 , considere os planos ∏1∏1 e ∏2∏2 de equações
 
∏1:5x+y+4z=2∏1:5x+y+4z=2 e ∏2:15x+3y+12z=7∏2:15x+3y+12z=7.
Um estudante de cálculo, ao deparar-se com essa situação, escreveu o seguinte:
Os planos ∏1∏1 e ∏2∏2  são paralelos
porque
o vetor de coordenadas (10, 2, 8) é um vetor não-nulo e normal a ambos os planos.
Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que
		
	
	ambas as asserções são proposições falsas.
	 
	as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.
	
	a primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
	
	as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa da primeira.
	
	a primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere em R3R3 uma bola de centro na origem e raio 4. Em cada ponto (x, y, z) dessa bola, a temperatura T é uma função do ponto, expressa por T(x,y,z)=50x2+y2+z2+1T(x,y,z)=50x2+y2+z2+1.
Nessa situação, partindo-se de um ponto (x0,y0,z0)(x0,y0,z0) da fronteira da bola e caminhando-se em linha reta na direção do ponto (−x0,−y0,−z0)(-x0,-y0,-z0), observa-se que a temperatura
		
	
	estará sempre aumentando durante todo o percurso.
	
	estará sempre diminuindo durante todo o percurso.
	
	será máxima nos pontos da fronteira da bola.
	
	assumirá o seu maior valor em 4 pontos distintos
	 
	atingirá o seu maior valor no centro da bola.
	 3a Questão
	
	
	
	
	O projeto de construção de uma peça de artesanato foi realizado utilizando-se um software geométrico que permite interceptar um tetraedro regular com planos. A figura a seguir mostra o tetraedro RSTU e três pontos M, N e P do plano α de interseção.
Sabendo que M, N e P são pontos médios de SR, SU e ST, respectivamente, e que o tetraedro RSTU tem volume igual a 1, avalie as seguintes afirmações.
I. O volume da pirâmide SMNP é igual 1212
II. A interseção do plano a com o tetraedro é um paralelogramo.
III. As retas que contêm as arestas MP e RU são reversas.
É correto o que se afirma em
		
	
	I e II, apenas.
	 
	III, apenas.
	
	I, apenas.
	
	II e III, apenas.
	
	I, II e III.
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere a pirâmide OABCD de altura OA e cuja base é o paralelogramo ABCD. 
Considere também o prisma apoiado sobre a base da pirâmide e cujos vértices superiores são os pontos médios das arestas concorrentes no vértice O.
Represente por V1V1 o volume da pirâmide OABCD e por V2V2 o volume do prisma. A respeito dessa situação, um estudante do ensino médio escreveu o seguinte:
A razão V2V1V2V1 independe de a base da pirâmide OABCD ser um retângulo ou um paralelogramo qualquer
porque
OAB é um triângulo retângulo.
Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que
		
	
	a primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
	 
	as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.
	
	a primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
	
	ambas as asserções são proposições falsas.
	
	as duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Um instrumento de desenho é constituído de três hastes rígidas AB, AC e BD, articuladas no ponto A, mas fixas em B. A figura a seguir é um esquema desse instrumento, em que as hastes foram substituídas por segmentos de reta.
Na extremidade C, foi colocado um grafite que permite desenhar, sobre uma folha de papel, uma curva γ ao se girar AC em torno de A, mantendo-se fixos AB e BD, que são lados do ângulo α.
Nessa situação, qualquer que seja o ângulo agudo α, a curva γ interceptará a semirreta de origem B e que passa por D em
		
	 
	nenhum ponto se, e somente se,ACAB<senαACAB<senα .
	
	um único ponto se, e somente se, ACAB>senαACAB>senα.
	
	um único ponto se, e somente se, ACAB=senαACAB=senα.
	
	dois pontos E e F distintos, e os triângulos BAE e BAF são semelhantes, mas não congruentes.
	
	dois pontos E e F distintos, e os triângulos BAE e BAF são congruentes.
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere a função f:R→Rf:R→R definida por y=f(x)=x4−5x2+4y=f(x)=x4-5x2+4 para cada x∈Rx∈R . A área da região limitada pelo gráfico da função y=f(x)y=f(x) , o eixo OxOx e as retas  x=0x=0 e  x=2x=2 é igual a
		
	 
	60156015 unidades de área.
	 
	76157615 unidades de área.
	
	38153815 unidades de área.
	
	44154415 unidades de área.
	
	16151615 unidades de área.
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Para introduzir conceitos relativos a cilindros, um professor de matemática do ensino médio pediu a seus alunos que fizessem uma pesquisa sobre situações práticas que envolvessem essas figuras geométricas. Dois estudantes trouxeram para a sala de aula as seguintes aplicações:
Situação I
O raio hidráulico é um parâmetro importante no dimensionamento de canais, tubos, dutos e outros componentes das obras hidráulicas. Ele é definido como a razão entre a área da seção transversal molhada e o perímetro molhado. Para a seção semicircular de raio r ilustrada abaixo, qual é o valor do raio hidráulico?
 
 
Situação II
Ao analisar as duas situações como possibilidades de recursos didáticos, seria correto o professor concluir que
		
	
	a situação II é inadequada porque induz os estudantes à apreensão equivocada do conceito de volume do cilindro.
	
	a situação II é adequada porque permite mostrar que o volume do cilindro é igual à quantidade de jabuticabas multiplicada pela média dos volumes das jabuticabas.
	
	a situação I é inadequada porque induz os estudantes à apreensão equivocada do conceito de cilindro.
	
	a situação I é adequada porque permite a discussão de que todas as interseções do cilindro com planos são semicircunferências.
	 
	as situações I e II são adequadas e permitem que sejam explorados os conceitos de seção transversal, área da superfície cilindrica e volume do cilindro.
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Catedral Metropolitana de Brasília
A construção da Catedral, projeto do arquiteto Oscar Niemeyer, teve início em 12 de agosto de 1958, em plena construção da nova capital. Em 1959, mesmo antes da inauguração de Brasília (1960), a sua forma estrutural (pilares de concreto armado, na forma de um hiperbolóide de revolução) já estava pronta. O fechamento lateral entre os pilares só ocorreu em 1967, pouco antes de sua consagração, em 12 de outubro do mesmo ano, ocasião em que recebeu a imagem de Nossa Senhora Aparecida.
De 1969 a 1970, o complexo foi concluído com o espelho d¿água ao redor da Catedral, o batistério e o campanário.
PORTO, C. E. Um estudo comparativo da forma estrutural de dois monumentos religiosos em Brasília: A Catedral e o Estupa Tibetano. Disponível em: www.skyscraperlife.com/arquitetura-e-discussoes-urbanas/22122-obrasde-oscar-niemeyer.html. Acesso em 30 ago. 2011.
Nesse contexto, considere na figura abaixo os elementos principais da hipérbole associada aos arcos hiperbólicos da Catedral Metropolitana de Brasília.
Supondo que o eixo real (ou eixo transverso) da hipérbole na figura II mede 30 m e que a distância focal mede 50 m, analise as seguintes asserções.
Se F1=(−c,0)F1=(-c,0)é o foco da hipérbole, então a diretriz associada a ela é a reta d1: x+9=0d1: x+9=0 .
PORQUE
A equação reduzida dessa hipérbole é x2225−y2400=1x2225-y2400=1.
		
	
	A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
	
	A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
	
	Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
	
	As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira.
	 
	As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
		SEMINÁRIOS INTEGRADOS EM MATEMÁTICA
7a aula1a Questão
	
	
	
	
	Sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, é dada pela função  B(t)=9t−2⋅3t+3B(t)=9t-2⋅3t+3,  t≥0t≥0.
O tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 6 colônias é de
		
	
	2 hora.
	 
	1 hora.
	
	3 hora.
	
	6 hora.
	
	4 hora.
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Observe as figuras abaixo
Podem ser imagem da figura A por alguma transformação linear T:R2→R2T:R2→R2 apenas as figuras
		
	
	I, III e IV.
	 
	I, II, V e VI.
	
	I, II, IV e V.
	
	II, III, V e VI.
	
	III, IV e VI.
	 3a Questão
	
	
	
	
	(PUC) Um carro foi vendido por R$ 10.000,00, com prejuízo de 20% sobre o preço da compra. O carro havia sido comprado , em reais, por: 10.200,00
		
	
	10.200,00
	
	13.000,00
	 
	12.500,00
	
	12.000,00
	
	11.500,00
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um modelo matemático que permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao longo de 24 meses, por meio da função 
 A(x)=x33−11x2+117x+124A(x)=x33-11x2+117x+124
em que 0≤x≤240≤x≤24 é o tempo, em meses, e a arrecadação A(x)A(x) é dada em milhões de reais.
A arrecadação da empresa começou a decrescer e, depois, retomou o crescimento, respectivamente, a partir dos meses
		
	
	x = 4 e x = 7.
	
	x = 0 e x = 11.
	
	x =11 e x = 22.
	 
	x = 9 e x =13.
	
	x = 8 e x =16.
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Para tentar liquidar o estoque de televisores cujo valor oferecido no crédito, após acréscimo de 20% sobre o valor da tabela, era de R$ 1 320,00, uma loja lançou uma nova campanha de vendas que ofereceu as seguintes condições promocionais, com base no valor da tabela: I. uma entrada de 25%, e o restante em cinco parcelas iguais mensais; ou II. uma entrada de 60%, e o restante em oito parcelas iguais mensais. O cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada parcela
		
	
	R$ 192,50, se escolher a opção II
	 
	R$ 55,00, se escolher a opção II.
	
	R$ 66,00, se escolher a opção I.
	
	R$ 198,00, se escolher a opção II.
	
	R$ 275,00, se escolher a opção I.
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula:
y(t)=10t(t+1)2y(t)=10t(t+1)2,  t≥0t≥0.
Em qual intervalo essa função é crescente?
		
	
	t>10t>10
	
	t>1t>1
	
	t≥0t≥0
	
	12<t<10`< body=""></t<10`<>
	 
	0≤t<10≤t<1
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O conjunto dos números complexos pode ser representado geometricamente no plano cartesiano de coordenadas xOyxOy por meio da seguinte identificação:
z=x+iy<→P=(x,y)z=x+iy<→P=(x,y)
Nesse contexto, analise as afirmações a seguir.
I. As soluções da equação z4=1z4=1 são vértices de um quadrado de lado 1.
II. A representação geométrica dos números complexos tais que |z|=1|z|=1 é uma circunferência com centro na origem e raio 1.
III. A representação geométrica dos números complexos zz tais que Re(z)+Im(z)=1Re(z)+Im(z)=1 é uma reta que tem coeficiente angular igual a  3π43π4radianos.
É correto o que se afirma em
		
	 
	II, apenas.
	
	I e III, apenas.
	
	I, apenas.
	
	II e III, apenas.
	 
	I, II e III.
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos z1z1, z2z2 e z3z3, que são raízes cúbicas da unidade. Desenha-se também o triângulo S, com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos , w1w1 w2w2 e w3w3, que são raízes cúbicas complexas de 8.
Com base no texto acima, assinale a opção correta.
		
	
	z=−√32+i12z=-32+i12é um dos vértices do triângulo T.
	 
	z1=1z1=1, então z2z2 é o conjugado complexo de z3z3.
	
	Se w1=2w1=2, então w22=w3w22=w3
	
	w1z1w1z1 é raiz da equação x6−1=0x6-1=0.
	
	w=2eπ3iw=2eπ3ié um dos vértices do triângulo S.
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8a aula
		
	 
	
	 
	 1a Questão
	
	
	
	
	Calcule o limite (x tendendo a zero) de (sen2x)/x:
		
	
	5
	
	4
	
	3
	
	6
	 
	2
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral de x4 (x elevado a 4) dx
		
	 
	x5/5 + C
	
	4x5/5 + C
	
	X4/4 + C
	
	2x5/5 + C
	
	3x5/5 + C
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Calcule o limite (x tendendo a zero) de (sen5x)/2x:
		
	
	5
	
	1
	
	2
	
	2/5
	 
	5/2
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral de x6 (x elevado a 6) dx x7/7 + C
		
	 
	x7/7 + C
	
	5x7/7 + C
	
	3x7/7 + C
	
	7x7/7 + C
	
	X6/6 + C
	 5a Questão
	
	
	
	
	Calcule o limite (x tendendo a zero) de (sen4x)/3x:
		
	
	3/4
	
	5/3
	
	5/4
	
	1
	 
	4/3
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule o limite (x tendendo a zero) de (sen3x)/(sen 4x):
		
	
	5/4
	
	4/3
	 
	3/4
	
	5/3
	
	1
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule o limite (x tendendo a zero) de (sen5x)/3x:
		
	 
	5/3
	
	3
	
	3/5
	
	1
	
	5
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere u(x,y)=f(x−4y)+g(x+4y)u(x,y)=f(x-4y)+g(x+4y), em que ff e gg são funções reais quaisquer, deriváveis até a segunda ordem, com uxx≠0uxx≠0 para todo xx e yy. Nesse caso,  uyyuxxuyyuxx é igual a
		
	
	-8
	 
	16
	
	-16
	
	8
	
	0
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9a aula
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere P(x)=(m −4)(m2+4)x5+x2+kx+1P(x)=(m -4)(m2+4)x5+x2+kx+1 um polinômio na variável x, em que m e k são constantes reais. Assinale a opção que apresenta condições a serem satisfeitas pelas constantes m e k para que P(x) não admita raiz real.
		
	
	m = -2 e -2 < k < 2
	
	m = -2 e k > -2
	
	m = 4 e k < 2
	 
	m = 4 e -2 < k < 2
	
	m = -4 e k > 2
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Qual a solução da equação x2 ¿ 3x = 0
		
	
	1 e 3
	
	0 e 1
	
	1 e 2
	
	0 e 2
	 
	0 e 3
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Uma transformação linear T:R→R2T:ℝ→ℝ2 faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal, conforme mostrado na figura a seguir.
 
Essa transformação T
		
	 
	tem autovetor (2,0)(2,0) com autovalor associado igual a 1.
	
	tem autovalor de multiplicidade 2.
	
	não é inversível.
	
	é dada por T(x,y)=(−x,y)T(x,y)=(-x,y)
	
	tem autovetor (0,−1)(0,-1) com autovalor associado igual a 2.
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere que Q1={r1,r2,r3,...}Q1={r1,r2,r3,...} seja uma enumeração de todos os números racionais pertencentes ao intervalo [0, 1] e que, para cada número inteiro i≥1i≥1, IiIi denote o intervalo aberto (ri−12i+2,ri+12i+2)(ri-12i+2,ri+12i+2), cujo comprimento é lili. Qual é a soma da série ?
		
	
	3434
	
	5454
	
	2323
	
	1313
	 
	1212
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar óleo diesel. Os níveis , N1 e N2 , dos tanques são dados pelas expressões : N1(t) = 20t^3 -10t + 20 e N2(t) = 12t^3 + 8t + 20, sendo t o tempo em horas. O nível de óleo de um tanque é igual ao do outro no instante t=0 e também no instante:
		
	
	t = 2.5 h
	 
	t = 1,5 h
	
	t = 1,0 h
	
	t = 2,0 h
	
	t = 0,5 h
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere o sistema de equações lineares Ax=bAx=b, com mm equações e nn incógnitas. Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja, única, avalie as afirmações a seguir.
I. As colunas da matriz AA são linearmente dependentes.
II. O sistema de equações lineares Ax=bAx=b tem infinitas soluções.
III. Se m>nm>n, então a matriz AA tem m−nm-n linhas que são combinações lineares de n linhas.
IV. A quantidade de equações do sistema Ax=bAx=b é maior ou igual à quantidade de incógnitas.
São corretas apenas as afirmações
		
	
	I e II.
	
	I, III e IV.
	
	I, II e IV.
	
	II e III.
	 
	III e IV.
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e à quantidade de água a ser retirada - o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a seus alunos o problemaseguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional.
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água.
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que
A=⎡⎢⎣12−204−110−2⎤⎥⎦A=[12-204-110-2]
B=⎡⎢⎣1142⎤⎥⎦B=[1142]
X=⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦X=[xyz]
Com base nessas informações, assinale a opção correta.
		
	
	A matriz linha reduzida à forma escalonada, que é linha equivalente à matriz A, possui uma coluna nula.
	 
	O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
	
	Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar sérios danos ambientais.
	
	O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0.
	
	A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Um termômetro descalibrado indica 10º C quando a temperatura real é 13º C . Quando indica 20º C , a temperatura real é de 21º C. Porém, mesmo estando descalibrado, a relação entre a temperatura real e a temperatura indicada é linear. Assim sendo, a única temperatura em que a leitura do termômetro descalibrado corresponderá à temperatura real é:
		
	
	23º C
	
	22º C
	 
	25º C
	
	24º C
	
	26º C
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10a aula
		
	 
	 
	 1a Questão
	
	
	
	
	Qual é o resto da divisão de 23342334 por 23?
		
	 
	16
	
	4
	
	2
	
	20
	
	8
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A professora Clara propôs a seus alunos que encontrassem a solução da seguinte equação do segundo grau:
x2−1=(2x+3)(x−1)x2-1=(2x+3)(x-1)
Pedro e João resolveram o exercício da seguinte maneira.
Resolução de Pedro:
x2−1=(2x+3)(x−1)x2-1=(2x+3)(x-1)
x2−1=2x2+x−3x2-1=2x2+x-3
2−x=x22-x=x2
Como 1 é solução dessa equação, então S = {1}
Resolução de João:
x2−1=(2x+3)(x−1)x2-1=(2x+3)(x-1)
(x−1)(x+1)=(2x+3)(x−1)(x-1)(x+1)=(2x+3)(x-1)
x+1=2x+3x+1=2x+3
x=−2x=-2
Portanto, S = {-2}
Pedro e João perguntaram à professora por que encontraram soluções diferentes. A professora observou que outros alunos haviam apresentado soluções parecidas com as deles.
Entre as estratégias apresentadas nas opções a seguir, escolha a mais adequada a ser adotada por Clara visando à aprendizagem significativa por parte dos alunos.
		
	 
	Pedir a Pedro e João que apresentem à classe suas soluções para discussão e estimular os alunos a tentarem compreender onde está a falha nas soluções apresentadas e como devem fazer para corrigi-las.
	
	Pedir que cada um deles comunique à classe como resolveu o exercício e, em seguida, explicar no quadro para a turma onde está a falha na resolução de cada um e como eles devem fazer para corrigi-la.
	
	Resolver individualmente o exercício para cada aluno, usando a fórmula da resolução da equação do 2.º grau, mostrando que esse é o método que fornece a resposta correta.
	
	Indicar individualmente, para cada aluno que apresentou uma resolução incorreta, onde está o erro e como corrigi-lo, a partir da estratégia inicial escolhida pelo aluno.
	
	Escrever a solução do exercício no quadro, usando a fórmula da resolução da equação do 2.º grau, para que os alunos percebam que esse é o método que fornece a resposta correta.
	 3a Questão
	
	
	
	
	Uma das fontes da história da matemática egípcia é o papiro Rhind, ou papiro Ahmes (1650 a.C.). Constam desse documento os problemas a seguir.
Problema 1: Comparar a área de um círculo com a área de um quadrado a ele circunscrito. A seguinte figura faz parte da resolução desse problema.
Problema 2: "Exemplo de um corpo redondo de diâmetro 9. Qual é a área?"
A solução apresentada pelo escriba pode ser descrita como:
< remover 1919 do diâmetro; o restante é 8;
< multiplicar 8 por 8; perfaz 64. Portanto, a área é 64;
O procedimento do escriba permite calcular a área A de um círculo de diâmetro d aplicando a fórmula A=(89d)2A=(89d)2.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
I. A figura do problema 1 sugere aproximar a área de um círculo à área de um octógono.
II. O procedimento, no problema 2, fornece uma aproximação para ππ, por excesso, correta até a 2a2a casa decimal.
III. De acordo com o procedimento, no problema 2, a área do círculo de diâmetro d é igual à de um quadrado de lado 89d89d.
Assinale a opção correta.
		
	
	Apenas os itens I e II estão certos.
	 
	Apenas os itens I e III estão certos.
	
	Todos os itens estão certos.
	
	Apenas os itens II e III estão certos.
	
	Apenas um item está certo.
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	As potencialidades pedagógicas da história no ensino de matemática têm sido bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da história no ensino de matemática, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação. Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat [1601-1665], que se interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos ímpares e quadrados perfeitos.
Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que observassem alguma propriedade comum a esses números.
 
 A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmações seguintes.
I. Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.
II. Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.
III. Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.
Está correto o que se afirma em
		
	
	I e III, apenas.
	
	II e III, apenas.
	
	I, II e III.
	 
	I, apenas.
	
	II, apenas.
	 5a Questão
	
	
	
	
	Segundo os parâmetros curriculares nacionais, todas as disciplinas escolares devem contribuir com a construção da cidadania.
Refletindo sobre esse tema, avalie as asserções a seguir.
Uma forma de o ensino da Matemática contribuir com a formação do cidadão é o professor propor situações-problema aos alunos, pedir que eles exponham suas soluções aos colegas e expliquem a estratégia de resolução utilizada, estimulando o debate entre eles,
porque
os alunos, ao expor seu trabalho para os colegas, ouvir e debater com eles as diferentes estratégias utilizadas, são estimulados a justificar suas próprias estratégias, o que contribui com o desenvolvimento da autonomia, estimula a habilidade de trabalhar em coletividade e a respeitar a opinião do outro,  características fundamentais de um cidadão crítico e consciente.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta.
		
	 
	As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
	
	Ambas as asserções são proposições falsas.
	
	A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
	
	A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
	
	As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Em uma classe da 6.ª série do ensino fundamental, o professor de Matemática propôs aos alunos a descoberta de planificações para o cubo, que fossem diferentes daquelas trazidas tradicionalmente nos livros didáticos. Um grupo de alunos produziu a seguinte proposta de Planificação.
Ao tentar montar o cubo, o grupo descobriu que isso não era possível. Muitas justificativas foram dadas pelos participantes e estão listadas nas opções abaixo. Assinale aquela que tem fundamento matemático.
		
	
	Quando três quadrados estão alinhados, não se pode mais ter os outros três também alinhados.
	 
	Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o encontro de, no máximo, três segmentos,que serão as arestas do cubo.
	
	Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os dois quadrados restantes um de cada lado oposto dos quadrados alinhados.
	
	Não se podem alinhar três quadrados.
	
	Tem de haver quatro quadrados alinhados, e não importa a posição de justaposição dos outros dois quadrados
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Julgue os itens a seguir, relativos ao ensino e à aprendizagem de porcentagens.
I. O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural como motivação de aprendizagem.
II. O primeiro contato dos estudantes com o cálculo percentual deve ocorrer quando se estudam juros compostos.
III. O ensino de frações centesimais e o de frações de quantidade devem ser articulados com o ensino de porcentagens.
IV. O conteúdo de porcentagens favorece um trabalho integrado entre diferentes blocos de conteúdos, tais como números, medidas, geometria e tratamento da informação.
Estão certos apenas os itens
		
	 
	I, III e IV
	
	III e IV
	
	I e II
	
	I, II e III
	
	II e III
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Em um plano de coordenadas cartesianas xOyxOy , representa-se uma praça de área PP, que possui em seu interior um lago de área LL, limitado por uma curva CC fechada, suave, orientada no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio. Considere que, sobre o
lago, atua um campo de forças  F(x,y)=−y→i+x→jF(x,y)=-yi→+xj→.
Supondo que TT representa o trabalho realizado por F(x,y)F(x,y) para mover uma partícula uma vez ao longo da curva CC e que, comparando-se apenas os valores numéricos das grandezas, a área não ocupada pelo lago é igual a , conclui-se que
		
	
	T=4LT=4L.
	
	P=4LP=4L.
	 
	P=TP=T.
	
	T=LT=L.
	
	P=2TP=2T.