CONTEÚDO_BÁSICO_RACIOCÍNIO_LÓGICO_MATEMÁTICO_COOPEANE (1)

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CONTEÚDO BÁSICO 
RACIOCÍNIO LÓGICO
MATEMÁTICO
COOPEANE 
 
APOSTILA - CONHECIMENTOS BÁSICOS 
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO 
EDITAL SEPLAG/SEE Nº 03/2023 
CONCURSO PÚBLICO PARA PROVIMENTO DE CARGOS DAS CARREIRAS DE PROFESSOR DE 
EDUCAÇÃO BÁSICA, ESPECIALISTA EM EDUCAÇÃO BÁSICA, ANALISTA EDUCACIONAL, ANALISTA DE 
EDUCAÇÃO BÁSICA, TÉCNICO DA EDUCAÇÃO E ASSISTENTE TÉCNICO DE EDUCAÇÃO BÁSICA DO 
QUADRO DE PESSOAL DA SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS 
A Secretaria de Estado de Planejamento e Gestão – SEPLAG, a Secretaria de Estado de Educação – 
SEE e a Fundação Getúlio Vargas – FGV tornam pública a abertura de inscrições e estabelecem 
normas para a realização de Concurso Público destinado a selecionar cargos das carreiras de 
Professor de Educação Básica (PEB), Especialista em Educação Básica (EEB), Analista Educacional 
(ANE), Analista de Educação Básica (AEB), Técnico da Educação (TDE) e Assistente Técnico de 
Educação Básica (ATB), do quadro de pessoal da Secretaria de Estado de Educação - SEE, observados 
os termos da Lei Estadual n° 869/1952 (Dispõe sobre o Estatuto dos Funcionários Públicos Civis do 
Estado de Minas Gerais) e suas alterações; Lei Estadual nº 7.109/1977 (Estatuto do Pessoal do 
Magistério Público do Estado de Minas Gerais, e dá outras providências); da Lei Estadual n° 
11.867/1995 (reserva percentual de cargos ou empregos públicos, no âmbito da Administração 
Pública do Estado, para pessoas portadoras de deficiência); Lei Estadual nº 15.293/2004 (Institui as 
carreiras dos Profissionais de Educação Básica do Estado); Lei Estadual nº 21.710/2015 (Dispõe sobre 
a política remuneratória das carreiras do Grupo de Atividades de Educação Básica do Poder 
Executivo, altera a estrutura da carreira de Professor de Educação Básica e dá outras providências); 
Lei Estadual nº 24.035/2022 (Dispõe sobre a revisão geral do subsídio e do vencimento básico dos 
servidores públicos civis e militares da administração direta, autárquica e fundacional do Poder 
Executivo, altera a Lei Delegada nº 37/1989, e dá outras providências); Decreto Estadual nº 
42.899/2002 (Aprova o Regulamento Geral de Concurso Público para Investidura em Cargo ou 
Emprego Público da Administração Direta ou Indireta do Poder Executivo do Estado de Minas 
Gerais); Decreto Estadual nº 46.644/2014 (Dispõe sobre o Código de Conduta Ética do Agente 
Público e da Alta Administração Estadual); as disposições constitucionais referentes ao assunto; a 
legislação complementar; demais normas contidas neste Edital e alterações posteriores de toda a 
legislação elencada. 
COOPEANE 
 
CONHECIMENTOS BÁSICOS 
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO 
1. Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e predicados - PÁG. 001 
2. Conjuntos e suas operações, diagramas - PÁG. 018 
3. Números inteiros, racionais e reais e suas operações, porcentagem e juros - PÁG. 022 
4. Proporcionalidade direta e inversa - PÁG. 026 
5. Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo - PÁG. 032 
6. Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio 
verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de 
conceitos, discriminação de elementos - PÁG. 043 
7. Análise e interpretação de informações expressas em gráficos e tabelas - PÁG. 048 
8. Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais - PÁG. 060 
9. Problemas de contagem e noções de probabilidade - PÁG. 091 
10. Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, proporcionalidade, perímetro e 
área - PÁG. 098 
11. Plano cartesiano: sistema de coordenadas, distância - PÁG. 139 
12. Problemas de lógica e raciocínio - PÁG. 150 
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CONHECIMENTOS BÁSICOS 
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO 
1. Lógica: proposições, conectivos, equivalências lógicas, quantificadores e 
predicados 
https://www.romulopassos.com.br/files/bibliotecas/cfd506c8f72341555f03b75a81b0e277.pdf 
Conceitos Iniciais de Lógica 
Professor Paulo Henrique 
Proposição 
É uma sentença declarativa, que será expressa por meio de palavras e números. Uma frase em que nós 
possamos atribuir a ela o valor VERDADEIRO ou FALSO. 
É comum representar as proposições de forma literal utilizando-se letras minúsculas (p, q, r, s, etc) ou 
maiúsculas do alfabeto (P, Q, R, S, ect.) 
 
 
https://www.romulopassos.com.br/files/bibliotecas/cfd506c8f72341555f03b75a81b0e277.pdf
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 1. 
(SECOM-PA/AOCP/2018) Define-se uma proposição como sendo uma sentença declarativa cujo conteúdo 
poderá ser considerado verdadeiro ou falso. Dessa forma, assinale a alternativa que identifica uma 
proposição. 
a) Feliz Aniversário! 
b) Que dia é hoje? 
c) Se Pedro levantar mais cedo, então ele chegará no horário combinado. 
d) Leia com mais frequência. 
e) A idade do jogador multiplicada por R$50,00 será o valor do prêmio. 
 
Proposição 
Também temos as proposições compostas. 
 São duas ou mais proposições simples, conectadas entre si. 
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Assim, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: 
• do valor lógico das proposições componentes (simples); 
• do tipo de conectivo que as une. 
 
Tabela-Verdade 
É um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. Ao montá-la, 
conseguiremos visualizar todas as possibilidades de uma determinada proposição composta. 
Ela mostra o valor resultando quando um conectivo é usado para agregar duas proposições, formando uma 
proposição complexa e nova. 
Nº de Linhas = 
Em uma tabela-verdade para duas proposições, encontramos ______ valores possíveis. Porém, o que 
acontecerá com uma tabela-verdade com 3 proposições? Encontraremos ________ resultados possíveis. 
Tabela-verdade com 2 proposições 
Tabela-verdade com 3 proposições 
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2. (IDAM/IBFC/2019) Considere as afirmações sobre lógica propositiva e sua análise por meio de tabelas-
verdade. Analise as afirmativas abaixo, dê valores Verdadeiro (V) ou Falso (F). 
( ) A conjunção (e, ∧) entre duas proposições P e Q, só é verdadeira se ambas forem verdadeiras. 
( ) A disjunção (ou, ∨) entre duas proposições P e Q, só é verdadeira se ambas forem verdadeiras. 
( ) A disjunção (ou, v) entre a negação de duas proposições falsas é verdadeira. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de cima para baixo. 
a) V, F, V 
b) V, V, F 
c) F, F, V 
d) F, V, V 
 
3. (IBGE/FGV/2020) Considere como verdadeira a proposição: “Solange é loura e Mônica é morena”. 
Considere agora as proposições: 
I. Solange não é loura ou Mônica é morena. 
II. Se Solange é loura, então Mônica não é morena. 
III. Se Mônica não é morena, então Solange é loura. Dessas três proposições, são verdadeiras: 
a) apenas a proposição I. 
b) apenas as proposições I e III. 
c) apenas as proposições II e III. 
d) todas as três. 
e) nenhuma das três. 
 
Proposições Logicamente Equivalentes 
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) 
quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são 
idênticos. 
Equivalências da Condicional 
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As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Estas equivalências podem ser 
verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício 
para casa estas demonstrações. 
Porém, a utilização da tabela-verdade será nosso ‘Plano B’. Vamos conhecer 2 regras que facilitarão a vida de 
vocês na hora da prova! 
 
 
 
4. (Prefeitura de Angra dos Reis - RJ/FGV/2019) 
Considere a sentença: “Se João gosta de goiaba, então gosta de abacate.” Uma sentença logicamente 
equivalente à sentença dada é 
a) “João não gosta de goiaba ou gosta de abacate”. 
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b) “Se João não gosta de goiaba, então não gosta de abacate.” 
c) “Se João gostanúmeros ou frequência dos dados do tema abordado, ou seja, quanto maior a frequência, 
maior a área do setor circular. 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
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Primeiramente, na interpretação do gráfico de setores precisamos procurar saber do que o círculo 
se trata, ou seja, qual o fenômeno ou dado geral está sendo representado pela circunferência toda. 
A partir disso, entendemos que cada setor (pedaço ou parte) do círculo representa uma 
porcentagem deste total, que neste caso está representando o número de falantes de determinado 
idioma. 
Além do número de casos, outra grandeza (informação) que nos é apresentada são as cores dos 
setores, que representam cada idioma falado no mundo. Desse modo, conseguimos perceber com 
mais precisão o volume dos dados e a diferença entre as proporções do assunto. 
Este gráfico pode ser usado em atividades de matemática, nas quais é exigido que seja descoberto 
o valor de uma porcentagem a partir do valor total. Mas, na maioria das vezes, não lidaremos com 
pedações de pizza iguais, este é o desafio. 
Então lembre-se, na interpretação do gráfico de pizza, o círculo representa um valor total, que 
vamos chamar de “z” e cada “pedaço” uma porcentagem, que chamaremos de “1/z”. Ou seja, a 
soma de todos os pedaços vai tem que ser igual ao valor total. 
Contudo desenvolver as equações a partir do entendimento dessas porções e igualá-las ao valor 
total pode facilitar o seu trabalho. 
Uma variante do gráfico de setores é o gráfico de rosca ou circulares. Assim como o gráfico de pizza, 
este tipo de gráfico é usado para representar as partes com um todo. O diferencial dos gráficos 
circulares está na possibilidade de apresentar mais de uma série de dados. 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
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Infográficos 
Os infográficos são um método moderno de apresentar um conjunto de dados. Eles têm esse nome 
devido a junção das palavras info (informação) e gráfico (desenho, imagem, representação visual). 
Em outras palavras, este tipo de gráfico usa um desenho ou imagem que, com o apoio de um texto, 
comunica a respeito de um assunto que não seria muito bem compreendido caso fosse utilizado 
apenas o texto, facilitando o entendimento de quem lê. 
A interpretação do infográfico e seus dados requer uma leitura detalhista e atenta, dado que são 
nos detalhes da imagem (título, tema, componentes, cores, tamanhos etc.) que estão as inferências 
e os dados dos quais o assunto trata. 
 
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Como podemos observar com este exemplo, apesar de ser um modelo que demanda um olhar 
atento do leitor, a interpretação do gráfico, no geral, é facilitada pela quantidade de recursos visuais 
aliados a pequenas porções de texto (ou até mesmo frases) que explicam a imagem apresentada. 
E a forma de ler este tipo de gráfico, seja em linhas (da esquerda para direita) ou colunas (de cima 
para baixo), é algo que o criador do infográfico determina da criação dele por meio de como os 
recursos visuais estão dispostos. 
Isso é feito de acordo com mecanismos naturais (biológicos) da nossa visão que são aplicados pelos 
artistas (designers). No exemplo usado, devido à disposição dos retângulos a parte de cima no 
infográfico nos leva a ler em linhas, já na porção de baixo somos levados a realizar uma leitura em 
colunas. 
Tabelas 
Confira dicas sobre interpretação de tabelas: 
Tabela simples 
Ela é usada para mostrar a relação entre duas grandezas, informações ou dados, como produto e 
preço. A tabela simples é formada por duas colunas e são lidas horizontalmente, ou seja, em linhas 
(sentido esquerda para direita). 
Período* Salário mínimo necessário 
21 R$ 5.495,52, 
2020 R$ 4.347,61 
2019 R$ 3.928,73 
2018 R$ 3.752,65 
2017 R$ 3.811,29 
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Período* Salário mínimo necessário 
2016 R$ 3.795,24 
2015 R$ 3.118,62 
2014 R$ 2.748,22 
2013 R$ 2.674,88 
2012 R$ 2.398,82 
2011 R$ 2.194,76 
2010 R$ 1.987,26 
*Referente a janeiro de cada ano 
Fonte: Dieese 
A fim de interpretar este gráfico é necessário, primeiramente, considerar as duas categorias 
apresentadas no topo da tabela, que determinam as duas grandezas (ou dados relacionados) dos 
quais estamos tratando. 
A partir disso, fazemos uma relação de dependência ou de proporção entre as duas. Na tabela 
apresentada anteriormente, percebemos a relação entre cada ano e o valor estimado pelo 
departamento para o valor necessário do salário mínimo de acordo com cada ano. 
Tabela dupla entrada 
Ela é usada a fim de apresentar dois ou mais tipos de dado, informações ou grandezas, como altura 
e peso, a respeito de um item. Para fazer a leitura de uma tabela de dupla entrada, o eixo vertical e 
horizontal é considerado simultaneamente, para que as linhas e as colunas possam ser entendidos 
e relacionados de forma adequada. 
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Fonte: Site Open Food Facts 
Por meio do exemplo vemos como a tabela de dupla entrada é parte do nosso cotidiano, dado que 
a maioria dos alimentos que compramos no mercado vem com esta tabela com as informações 
nutricionais no verso. 
Para interpretação deste tipo de tabela, temos primeiro a referência dada pelo título e subtítulo. 
Então iremos considerar essas quantidades de acordo com a porção de 200ml (1 unidade do 
produto). 
A partir disso, a primeira coluna dispõe cada um dos nutrientes que compõe o alimento, a segunda 
da quantidade, em gramas (g), miligramas (mg) e microgramas (mcg), de cada um destes nutrientes 
e a última a porcentagem deles para o valor diário (VD). 
Para ler e entender cada um desses item, fazemos a leitura deles em linhas. Relacionamos um 
nutriente, com sua quantidade em gramas e valor diário. E repetimos isso para todas as demais. 
No final da tabela, nos é dado uma informação extra, que podemos relacionar aos elementos da 
última coluna dados pelo valor diário. E conseguimos fazer outra inferência de todas essas 
informações com uma nova grandeza, que é o valor médio de calorias da dieta de uma pessoa média 
adulta. 
 
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8. Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais 
https://centraldefavoritos.com.br/2019/04/06/raciocinio-logico-envolvendo-problemas-aritmeticos-
geometricos-e-matriciais/ 
Raciocínio lógico: Problemas aritméticos 
Para resolver problemas aritméticos de raciocínio lógico é necessário o conhecimento de aritmética, ou seja, 
operações com números, ou seja, operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, frações, múltiplos 
e divisores e números pares e ímpares. 
Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão 
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é 
representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … } 
Os números naturais são aqueles que usamos diariamente para contar objetos, números. Por exemplo: 1, 2, 
55, 325 e assim por diante. Com os números naturais é possível realizar diversas operações matemáticas: 
adição, subtração, multiplicação e divisão. Veja: 
ADIÇÃO 
24 + 50 = 74 
Você iguala as casas das dezenas e faz a conta, adicionando números. A ordem dos números na adição não 
influencia no resultado. 
SUBTRAÇÃO 
89 – 70 = 19 
Na subtração, é preciso retirar de um número para o outro. Pode ser que dê negativo também, entretanto, 
na maioria das vezes é preciso verificar se deve “emprestar” do número esquerdo para realizar a operação 
corretamente. A ordem dos números influencia o resultado em uma expressão maior. 
MULTIPLICAÇÃO 
5 x 100 = 500 
A multiplicação dos números naturais envolve adicionar novos números, dobrando, triplicando o valor. Logo, 
5 vezes o número 100 é a mesma coisa que 100 + 100 + 100 + 100 + 100. A ordem não influencia o resultado. 
O número um é um elemento neutro, não alterando o resultado. 
DIVISÃO 
30 / 2 = 15 
https://centraldefavoritos.com.br/2019/04/06/raciocinio-logico-envolvendo-problemas-aritmeticos-geometricos-e-matriciais/https://centraldefavoritos.com.br/2019/04/06/raciocinio-logico-envolvendo-problemas-aritmeticos-geometricos-e-matriciais/
http://centraldefavoritos.com.br/2017/08/25/operacoes-com-numeros-naturais-e-fracionarios-adicao-subtracao-multiplicacao-e-divisao/
http://centraldefavoritos.com.br/2018/04/06/multiplos-e-divisores-de-numeros-naturais/
http://centraldefavoritos.com.br/2018/04/06/multiplos-e-divisores-de-numeros-naturais/
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Percebe-se que na divisão é possível descobrir qual o valor multiplicado leva ao primeiro número. Veja: 15 x 
2 = 30. Essa divisão é exata. Há divisões que sobram o “resto” e há vírgulas, com números decimais também. 
Números fracionários 
Os números fracionários são aqueles representados por frações. No momento de realizar as operações, é 
preciso rever algumas dicas práticas. 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Se as frações tiverem o mesmo denominador, basta somar os numeradores. Exemplo: 2/5 + 10/5 = 12/5. O 
mesmo vale para a subtração de denominadores iguais. Porém, se tiver o denominador diferente, é 
necessário descobrir o denominador comum. Veja: 
2/5+ 5/10 + 9/2 
Faça o MMC (mínimo múltiplo comum) com os denominadores e veja com quantos números é possível 
chegar a um denominador comum. 
2, 5, 10 | 2 
1, 5, 5 | 5 
1, 1, 1 – 2 x 5 = 10 é o denominador comum. 
Em seguida divida o denominador comum pelos denominadores 
10/5 = 2; 10/10 = 1; 10/2 = 5 
Agora basta multiplicar o quociente em cada divisão pelo numerador e encontrar o resultado (vale também 
para subtração): 
2×2/10 + 1×5/10 + 5×9/10 = 54/10 
MULTIPLICAÇÃO 
Na multiplicação dos números fracionários, basta multiplicar denominador com denominador e numerador 
com numerador. Exemplo: 
5/8 x 9/15 = 45/120 
DIVISÃO 
Na divisão é preciso multiplicar a primeira fração pela inversão da outra. Por exemplo: 
8/9 : 3/24 = 8/9 x 24/3 = 72/18 
Com os números fracionários, você pode reduzi-los até uma fração mais simples, se ambos numerador e 
denominador conseguirem ser divididos pelo mesmo número. A fração 72/18 pode ser dividida por 2: 36/9. 
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Agora pode ser dividida por 3, ambos os números: 6/3 e então o número pode ficar inteiro, dando o resultado 
de 2 (continuar dividindo). 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
QUESTÃO 1 
Ano: 2015 Banca: IDECAN Órgão: PRODEB 
Sabe-se que 100 celulares foram testados e verificou-se que 40 aparelhos apresentavam problemas na 
bateria, 28 apresentavam problemas no display e 35 não apresentavam nenhum desses dois tipos de 
problemas. O número de aparelhos que apresentavam problemas na bateria e no display é: 
A 3. 
B 5. 
C 7. 
D 9. 
SOLUÇÃO: 
Número de celulares: 100 
Problemas na bateria: 40 
Problemas no display: 28 
Celular sem problemas: 35 
100 (total dos celulares) – 35 (celulares sem problema) 
= 65 celulares com problema. 
Vamos agora somar os celulares que tem problema: 
40 (Problemas na bateria) + 28 (Problemas no display)= 68 
Então, 
68 (celulares com problemas) – 65 (com um ou outro problema) = 3 celulares tem os dois problemas. 
RESPOSTA DA QUESTÃO 1 LETRA A 
 
 
 
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QUESTÃO 2 
Ano: 2017 Banca: Quadrix Órgão: CRF – AL 
Lia e Ana são amigas e suas idades são 20 e 26 anos, respectivamente. Daqui a quantos anos a soma de suas 
idades será igual a 100 anos? 
A Em 27 anos. 
B Em 34 anos. 
C Em 46 anos. 
D Em 54 anos. 
E Em 56 anos. 
SOLUÇÃO: 
Primeiro somas as idades: 20 + 26 = 46 
Segundo subtrai este valor de 100 = 100 – 46 = 54 
Agora é só dividir o resultado por 2 = 54 / 2 = 27 
RESPOSTA DA QUESTÃO 2 LETRA A 
Raciocínio lógico: Problemas geométricos 
Para resolver problemas geométricos de raciocínio lógico é necessário o conhecimento de geometria básica. 
Geometria básica 
Formas: 
Polígonos: São as figuras geométricas figuras planas fechadas. 
3 lados: Triângulo 
4 lados: Quadrilátero 
5 lados: Pentágono 
6 lados: Hexágono 
7 lados: Heptágono 
8 lados: Octágono 
9 lados: Eneágono 
10 lados: Decágono 
11 lados: Undecágono 
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12 lados: Dodecágono 
15 lados: Pentadecágono 
20 lados: Icoságono 
As figuras (formas) mais comuns são: 
Triângulo 
Quadrado 
Retângulo 
Paralelogramo 
Losango 
Trapézio 
Círculo 
PERÍMETRO 
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno de uma figura plana, ou seja, é a soma das medidas 
de todos lados de uma figura ou objeto. 
O cálculo do perímetro de qualquer figura geométrica plana é feito pela soma de seus lados. 
ÁREA 
Área é a medida equivale a medida de uma dimensão determinada, ou seja, serve para calcular uma 
superfície plana. 
Veja abaixo as fórmulas de cada figura geométrica plana: 
 
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VOLUME 
Segundo o Sistema Internacional de medidas (SI) a unidade padrão de volume é o metro cúbico (m3). 1 
m3 equivale a 1.000 litros. 
 
Cada unidade de medida tem equivalência de 1000 vezes multiplicando (unidade maior para uma menor) ou 
dividindo (unidade menor para uma maior) 
Exemplos: 
Quanto é o equivalente de 5 m3 em cm3 ? 
Saindo de uma unidade maior para uma menor então multiplicamos 
5 x 1.000 (dm3) x 1.000 (cm3) = 5.000.000 cm3 
Quanto é o equivalente de 5.000.000 cm3 em m3? 
Saindo de uma unidade menor para uma maior então dividimos 
5.000.000 cm3: 1.000 (dm3): 1000 (m3) = 5 m3 
Se quiser simplificar o cálculo é só deslocar a vírgula em três casas para a direita (maior para a menor unidade) 
ou esquerda (menor para a maior unidade). 
Ângulos 
É a medida de abertura entre duas semirretas com um ponto em comum chamado de origem. 
 
 
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TEOREMA DE PITÁGORAS 
Em um triângulo retângulo, o lado maior, recebe o nome de Hipotenusa. Este lado sempre estará oposto ao 
ângulo reto. Os outros dois lados, recebem o nome de Cateto. 
 
“Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
dos comprimentos dos catetos”. 
 
QUESTÃO DE CONCURSOS: 
Ano: 2016 Banca: IDHTEC Órgão: Prefeitura de Barra de Guabiraba – PE 
O teorema de Pitágoras tem sido utilizado até hoje e com muita aplicabilidade a diversas situações cotidianas. 
Por exemplo, se uma escada de 5 m está encostada no topo em uma parede de 4 m, dá pra descobrir que o 
pé dessa escada está afastado 3 m da parede. Imagine agora que essa escada possua 13 m e que o pé dela 
esteja afastado 5 m da parede. Qual a altura do topo da parede onde a escada está encostada? 
A 12 m 
B 11 m 
C 10 m 
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D 9 m 
E 8 m 
Resolução: 
 
Escada(a): 13 m 
Afastamento(c): 5 m 
Altura da parede(b): ? 
Teorema de Pitágoras: a²=b²+c² 
13²=b²+5² 
169=b²+25 
b²=169-25 
b²=144 
b=12 
RESPOSTA DA QUESTÃO LETRA A 
 
Ano: 2017 Banca: FCC Órgão: FUNAPE 
Toda a população adulta de 2.120.000 habitantes de um país será vacinada contra determinado vírus. O 
governo do país comprou 6 m3 da vacina. A dose de vacina é de 1,5 mL, e cada habitante adulto tem que 
receber duas doses. Sabendo que 1 mL corresponde à 1 cm3, no programa de vacinação de adultos descrito, 
A sobrarão 120 mil doses de vacina. 
B faltarão 12 mil doses de vacina. 
C sobrarão 60 mil doses de vacina. 
D faltarão 240 mil doses de vacina. 
E faltarão 120 mil doses de vacina. 
SOLUÇÃO: 
População (número de pessoas a serem vacinadas) = 2.120.000 habitantes 
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Vacina comprada (disponível) = 6 m3 
Cada dose = 1,5 ml 
Cada 1 ml corresponde a 1 cm3 
Habitante tem que receber duas doses = 1,5 x 2 = 3 cm3 
Vamos converter a quantidade comprada para cm3: 
1 m3 = 1.000.000 cm3 logo 
6 m3 = 6.000.000 cm3 
6.000.000 (cm3 comprado) dividido por 3 (cm3 dose por habitante) = 2.000,000 
Então 2.000.000 de pessoas serão vacinadas 
Logo; 
2.120.000 (habitantes totais) – 2.000.000 (habitantes vacinados) = 120.000 
Então faltarão 120.000 habitantes a serem vacinados 
Como cada habitante recebem duas doses: 120.000 x 2 = 240.000 
Faltarão então 240.000 doses da vacina para atender a todos 
RESPOSTA LETRA D 
Raciocínio lógico: Problemas matriciais 
Para resolver problemas matriciais de raciocínio lógico é necessário o conhecimentode matrizes. 
Matrizes, determinantes e sistemas lineares 
MATRIZES 
Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela 
retangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz 
tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n) 
Exemplos: 
A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5) 
 
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1. 
69 
 
Notas: 
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n. 
Exemplo: 
 
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3×3, dita simplesmente de ordem 3. 
2) Uma matriz A de ordem m x n, pode ser indicada como A = (aij)mxn, onde aij é um elemento da linha i e 
coluna j da matriz. 
Assim, por exemplo, na matriz X do exemplo anterior, temos a23 = 2, a31 = 4, a33 = 3, a3,2 = 5, etc. 
3) Matriz Identidade de ordem n: In = (aij)n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j. 
Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2×2 ou simplesmente de ordem 2 é: 
 
A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3×3 ou simplesmente de ordem 3 é: 
 
4) Transposta de um matriz A: é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. 
Exemplo: 
 
A matriz At é a matriz transposta da matriz A. 
Notas: 
4.1) se A = At, então dizemos que a matriz A é simétrica. 
4.2) Se A = – At, dizemos que a matriz A é anti-simétrica. 
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas. 
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica, temos que A + At = 0 (matriz nula). 
70 
 
Produto de matrizes 
Para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas de A, tem de ser igual ao número de 
linhas de B. 
Amxn x Bnxq = Cmxq 
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q, a matriz produto C tem ordem m 
x q . 
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo: 
 
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda 
matriz, obtido da seguinte forma: 
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos: 
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5 
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17 
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4 
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0 
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6 
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50 
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30 
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a: 
 
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3×2 por outra 2×3, resultou na matriz produto P 
de ordem 3×3. 
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A 
DETERMINANTES 
Entenderemos por determinante, como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada, 
calculado de acordo com regras específicas. 
71 
 
É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante. 
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem 
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir: 
 
O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma: 
det (A) = ½ A½ = ad – bc 
Exemplo: 
 
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o 
determinante da matriz dada é igual à unidade. 
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem (Regra de SARRUS). 
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 – 1861), foi professor na 
universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833. 
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática 
do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma 
REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira 
– da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. 
SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre 
as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à 
Universidade. 
Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 
1 – Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante. 
2 – Efetue os produtos em “diagonal”, atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal 
positivo para os resultados à direita. 
3 – Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada. 
Exemplo: 
 
72 
 
.2 
 
3 
 
5 
.1 
 
7 
 
4 
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo. – 77 
Principais propriedades dos determinantes 
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det(At ). 
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é nulo. 
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA. 
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. 
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo. 
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica 
multiplicado (ou dividido) por esse número. 
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, 
multiplicada por um número real qualquer. 
P8) determinante da matriz inversa: det(A-1) = 1/det(A). 
Se A-1 é a matriz inversa de A, então A. A-1 = A-1.A = In, onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas 
condições, podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1. 
Logo, podemos também escrever det(A). det(A-1) = 1; 
logo, concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A). 
Notas: 
1) se det(A) = 0, não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO 
INVERSÍVEL. 
2) se det A ¹ 0, então a matriz inversa A-1 existe e é única. Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL. 
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de 
ordem n, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal. 
73 
 
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k Î R então det(k.A) = kn . det A 
Exemplos: 
1) Qual o determinante associado à matriz? 
 
Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando 
os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO. 
2) Calcule o determinante: 
 
Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade 
P3 acima. Logo, D = 0. 
3) Calcule o determinante: 
 
Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90 
 
Exercícios 
1) As matrizes A e B, quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o 
determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a: 
*a) 1/5 
b) 5 
c) 1/40 
d) 1/20 
e) 20 
 
74 
 
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j. 
Se det (3A) = 1296, então n é igual a: 
Resposta: n = 4 
 
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij )3 X 3, onde aij = i + j se i ³ j ou aij 
= i – j se ielemento a23 = 9 da matriz A. Pela definição, D23 será igual ao determinante 
que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: 
 
Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício! 
Cofator de um elemento aij de uma matriz: cof(aij ) = (-1 ) i+j . Dij. 
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: 
cof(a23) = (-1)2+3 D23 = (-1)5 10 = – 10. 
 
75 
 
Teorema de Laplace 
Pierre Simon Laplace – (1749-1827) – Matemático e astrônomo francês 
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer 
(linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as 
regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema 
para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem 
do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo 
de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas 
eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros. 
Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que 
contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários. 
Cálculo da inversa de uma matriz 
a) A matriz inversa de uma matriz X, é a matriz X-1, tal que X . X-1 = X-1 .X=In, onde In é a matriz identidade de 
ordem n. 
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo 
cofator. 
Símbolo: cofA. 
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz: 
 
Onde: A-1 = matriz inversa de A; 
detA = determinante da matriz A; 
(cofA)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A. 
 
Exercícios 
1 – Se A = (aij) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij=i – j então podemos afirmar que o seu determinante 
é igual a: 
*a) 0 
b) 1 
76 
 
c) 2 
d) 3 
e) -4 
 
2 – UFBA-90 – Calcule o determinante da matriz: 
 
Resposta: 15 
 
3 – Considere a matriz A = (aij)4×4 definida por aij=1 se i ³ j e aij=i + j se ide equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO. 
Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO. 
Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja 
b1 = b2 = b3 = … = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO. 
Exemplo: 
x + y + 2z = 0 
2x – 3y + 5z = 0 
5x – 2y + z = 0 
Exercícios 
1. UEL – 84 (Universidade Estadual de Londrina) 
Se os sistemas 
S1: x + y = 1 
x – 2y = -5 
S2: ax – by = 5 
ay – bx = -1 
são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: 
a) 1 
b) 4 
c) 5 
81 
 
d) 9 
e) 10 
Solução: 
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1: 
x + y = 1 
x – 2y = -5 
Subtraindo membro a membro, vem: x – x + y – (-2y) = 1 – (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2. 
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. 
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}. 
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em 
S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: 
a(-1) – b(2) = 5 Þ – a – 2b = 5 
a(2) – b (-1) = -1 Þ 2 a + b = -1 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica: 
-2 a – 4b = 10 
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho), 
fica: -3b = 9 \ b = – 3 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra 
equação em azul), teremos: 
2 a + (-3) = -1 \ a = 1. 
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 
Portanto a alternativa correta é a letra E. 
2. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x – my = 10 
3x + 5y = 8, seja impossível. 
Solução: 
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: 
x = (10 + my) / 2 
82 
 
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 
3[(10+my) / 2] + 5y = 8 
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 
3(10+my) + 10y = 16 
30 + 3my + 10y = 16 
(3m + 10)y = -14 
y = -14 / (3m + 10) 
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o 
denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO. 
Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua 
solução. 
3. Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas: 
a) 2x + 5y.-..z = 10 
b) 3y + 2z =..9 
c) 3z = 15 
b) 3x – 4y = 13 
…..6x – 8y = 26 
c) 2x + 5y = 6 
….8x + 20y = 18 
Resposta: 
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)} 
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções. 
c) sistema impossível. Não admite soluções. 
Sistemas Lineares III 
Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento 
Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855 
O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido 
como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber: 
83 
 
T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer 
do sistema. 
Exemplo: os sistemas de equações lineares 
2x + 3y = 10 
5x – 2y = 6 
5x – 2y = 6 
2x + 3y = 10 
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos 
a ordem de apresentação das equações. 
T2 – um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das 
equações do sistema, por um número real não nulo. 
Exemplo: os sistemas de equações lineares 
3x + 2y – z = 5 
2x + y + z = 7 
x – 2y + 3z = 1 
3x + 2y – z = 5 
2x + y + z = 7 
3x – 6y + 9z = 3 
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3. 
T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra 
obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação 
T2. 
Exemplo: os sistemas 
15x – 3y = 22 
5x + 2y = 32 
15x – 3y = 22 
…… – 9y = – 74 
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi 
substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por (-3). 
84 
 
Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou 
escalonamento. 
Seja o sistema de equações lineares: 
. x + 3y – 2z = 3 .Equação 1 
2x . – .y + z = 12 Equação 2 
4x + 3y – 5z = 6 .Equação 3 
SOLUÇÃO: 
1 – Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem: 
2x .-…y + z = 12 
x ..+ 3y – 2z = 3 
4x + 3y – 5z = 6 
2 – Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) – uso da transformação T2 – somando o 
resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido – uso da 
transformação T3 – vem: 
2x – ..y + z = 12 
…..- 7y + 5z = 6 
4x + 3y – 5z = 6 
3 – Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e 
substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem: 
2x – ..y + ..z = …12 
…..- 7y + 5z = ….6 
……..5y – 7z = – 18 
4 – Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem: 
2x -…..y + ….z =….12 
…..- 35y +25z =… 30 
…….35y – 49z = -126 
5 – Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem: 
2x – …..y + ….z = ..12 
…..- 35y + 25z = ..30 
85 
 
……………- 24z = – 96 
6 – Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4. 
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas: 
Teremos: – 35y + 25(4) = 30 \ y = 2. 
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica: 
2x – 2 + 4 = 12 \ x = 5. 
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto 
solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) : 
S = { (5, 2, 4) } 
Verificação: 
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos: 
5 + 3(2) – 2(4) = 3 
2(5) – (2) + (4) = 12 
4(5) + 3(2) – 5(4) = 6 
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado. 
Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso 
objetivo era escrever o sistema na forma 
ax + by + cz = k1 
dy + ez = k2 
fz = k3 
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este 
é o caminho comum para qualquer sistema. 
É importante ressaltar que se em z = k3 /f, tivermos: 
a) f ¹ 0, o sistema é possível e determinado. 
b) f = 0 e k3 ¹ 0, o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos 
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f . 
d) f = 0 e k3 = 0, o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções. 
Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não 
ser recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente. 
86 
 
Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira 
incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira 
e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima. 
A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados. 
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento: 
Sistema I: Resposta: S = { (3, 5) } 
4x – 2y = 2 
2x + 3y = 21 
Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) } 
2 a + 5b + .3c = …20 
5 a + 3b – 10c = – 39 
…a + ..b + ….c = …..5 
Sistema III: Resposta: S = { (2, 3, 5) } 
..x + .y .- ..z = …0 
..x – 2y + 5z = 21 
4x + .y + 4z = 31 
Sistemas Lineares IV 
Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas 
Gabriel Cramer – matemático suíço – 1704/1752 
Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2 
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3 
…………………………………………….= … 
…………………………………………….= … 
an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn 
onde os coeficientes a11, a12, …, ann são números reais ou complexos, os termos independentes 
b1, b2, … , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, … , xn são as incógnitas do sistema nxn. 
87 
 
Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 
Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da 
incógnita 
xi ( i = 1, 2, 3, … , n), pelos termos independentes b1, b2, … , bn. 
 
A regra de Cramer diz que: 
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo 
denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou 
seja: 
xi = D xi / D 
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 
x + 3y – 2z = 3 
2x – y + z = 12 
4x + 3y – 5z = 6 
Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes. 
Teremos: 
 
 
88 
 
 
 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }. 
Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares 
III. 
Agora, resolva este: 
2 x + 5y + 3z = 20 
5 x + 3y – 10z = – 39 
x + y + z = 5 
Resposta: S = { (-1, 2, 4) } 
 
QUESTÕES DE CONCURSOS 
QUESTÃO 1 
Ano: 2010 Banca: UFMT Órgão: Prefeitura de Cuiabá – MT 
Em cada um dos quatro dias de desfile de carnaval, a temperatura foi medida em graus Celsius, no meio da 
multidão, em três momentos distintos. Cada elemento aij da matriz A abaixo corresponde à medida da 
temperatura no momento i do dia j. 
 
Qual foi, respectivamente, o momento e o dia em que se registrou a maior temperatura durante os desfiles? 
89 
 
A 2.º e 4.º 
B 2.º e 2.º 
C 3.º e 2.º 
D 3.º e 4.º 
SOLUÇÃO 
Maior temperatura é 40,3 que fica na linha 2 e coluna 2 a2×2 
RESPOSTA DA QUESTÃO 1 LETRA B 
 
QUESTÃO 2 
Ano: 2014 Banca: IDECAN Órgão: Prefeitura de Ubatuba – SP 
Uma rádio apresenta dois programas com músicas antigas das décadas de 60, 70 e 80, cujos números de 
músicas de cada década são sempre iguais conforme indicado a seguir: ⚫ Programa A: cinco canções da 
década de 60, três da década de 70 e quatro da década de 80; e, ⚫ Programa B: oito canções da década de 
60, duas da década de 70 e sete da década de 80. Considere que nos dois primeiros meses a partir das estreias 
desses programas os mesmos foram apresentados várias vezes: ⚫ 1º mês: 50 programas A e 20 programas 
B; e, ⚫ 2º mês: 30 programas A e 40 programas B. A matriz que representa a quantidade de músicas exibidas 
nos dois meses considerados é 
 
SOLUÇÃO: 
ENUNCIADO: Uma rádio apresenta dois programas com músicas antigas das décadas de 60, 70 e 80, cujos 
números de músicas de cada década são sempre iguais conforme indicado a seguir: 
90 
 
Programa A: cinco canções da década de 60, três da década de 70 e quatro da década de 80; 
Programa B: oito canções da década de 60, duas da década de 70 e sete da década de 80. 
Montando uma matriz: 
 
Considere que nos dois primeiros meses a partir das estreias desses programas os mesmos foram 
apresentados várias vezes: 
1º mês: 50 programas A e 20 programas B; e, 
2º mês: 30 programas A e 40 programas B. 
Montando agora outra matriz: 
 
 
 
RESPOSTA DA QUESTÃO 2 LETRA C 
 
 
91 
 
9. Problemas de contagem e noções de probabilidade 
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Rafael C. Asth 
Princípio fundamental da contagem 
O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para 
encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem 
ser sucessivas e independentes. 
Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída de y possibilidades, 
então existem x.y possibilidades. 
Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total 
de possibilidades. 
Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne os métodos para 
resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de possibilidades 
para determinar a probabilidade de fenômenos. 
Exemplo 1 
João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas 
de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro histórico. 
 
De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro histórico passando pelo shopping? 
Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil para analisar a estrutura de um problema e 
visualizar o número de combinações. 
Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando o diagrama de árvore. 
 
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92 
 
Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping para o centro histórico 
temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12. 
Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, efetuando a 
multiplicação das possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12. 
Exemplo 2 
Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de 
sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma entrada, um prato 
principal e uma sobremesa? 
Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos menus com entrada (E), 
prato principal (P) e sobremesa (S). 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus 
com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. 
Questão 1 
Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala 3 calças, 4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações 
Ana pode formar com uma calça, uma blusa e um sapato? 
a) 12 combinações 
b) 32 combinações 
c) 24 combinações 
d) 16 combinações 
Alternativa correta: c) 24 combinações. 
Observe que para cada uma das 4 blusas, Ana tem 3 opções de calça e duas opções de sapato. 
Portanto, 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades. 
Sendo assim, Ana pode formar 24 combinações com as peças da mala. Confira os resultados com a árvore de 
possibilidades. 
93 
 
 
Questão 2 
Um professor elaborou uma prova com 5 questões e os alunos deveriam respondê-la assinalando verdadeiro 
(V) ou falso (F) para cada uma das questões. De quantas maneiras distintas o teste poderia ser respondido? 
a) 25 
b) 40 
c) 24 
d) 32 
Alternativa correta: d) 32 respostas possíveis. 
Existem duas opções distintas de resposta numa sequência de cinco questões. 
Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 
2.2.2.2.2 = 32 respostas possíveis para o teste. 
 
Questão 3 
De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5? 
a) 200 
b) 150 
c) 250 
d) 100 
Alternativa correta: d) 100. 
O número formado deve conter 3 algarismos para preencher a posição de centena, dezena e unidade. 
 
94 
 
Na primeira posição não podemos colocar o número 0, pois seria o mesmo que ter um número com 2 
algarismos. Por isso, para a centena temos 5 opções de algarismos(1, 2, 3, 4, 5). 
Já para a segunda posição não podemos repetir o número que foi usado para centena, mas podemos utilizar 
o zero, portanto na dezena temos também 5 opções de algarismos. 
Como nos foi dado 6 algarismos (0, 1, 2, 3, 4 e 5) e dois que foram utilizados anteriormente não podem ser 
repetidos, então para a unidade temos 4 opções de algarismos. 
Sendo assim, 5 x 5 x 4 = 100. Temos 100 maneiras de escrever um número com 3 algarismos distintos 
utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5. 
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Rafael C. Asth 
Probabilidade 
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios. 
Através dela, é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer. 
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de 
realizá-lo. 
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança à ocorrência dos resultados 
possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Assim, a 
probabilidade é a medida da chance de algo acontecer. 
O cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais 
próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência. 
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado para o alto. Ao cair, não é possível prever com total 
certeza qual das 6 faces estará voltada para cima. 
O cálculo da probabilidade é uma divisão entre a quantidade de casos favoráveis à ocorrência do evento e o 
total de casos possíveis. 
No exemplo do dado, se queremos conhecer a probabilidade da face 2 estar voltada para cima, este é o único 
caso favorável. O número total de casos possíveis é seis, por ser a quantidade de faces no dado. 
A probabilidade de sair a face 2 é: 
1 / 6 = 0,16666 … 
Em porcentagem, são aproximadamente 16,6%. 
Para facilitar o cálculo da probabilidade, podemos recorrer a uma fórmula que nos auxilia a organizar as 
informações. 
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95 
 
Fórmula da Probabilidade 
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis. 
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão 
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis: 
 
Sendo: 
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A. 
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A). 
n(Ω): número total de casos possíveis. 
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica. 
Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100. 
Exemplo 1 
Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3? 
Resolução 
Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. Vamos então, 
aplicar a fórmula da probabilidade. 
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número 
menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos: 
 
Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. 
 
Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%. 
 
 
 
96 
 
Exemplo 2 
O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 
13 de cada naipe. Dessa forma, se retirar uma carta ao acaso, qual a probabilidade de sair uma carta do naipe 
de paus? 
Solução 
Ao retirar uma carta ao acaso, não podemos prever qual será esta carta. Sendo assim, esse é um experimento 
aleatório. 
Neste caso, temos 13 cartas de paus que representam o número de casos favoráveis. 
Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade, temos: 
 
Ou, multiplicando o resultado por 100: 
 
Espaço Amostral 
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis obtidos a partir de um experimento 
aleatório. 
Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que 
compõem este baralho. 
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem: 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do 
símbolo do conjunto entre parênteses. Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um 
dado é n(Ω)=6. 
O espaço amostral é composto de cada resultado possível. Ao lançar uma moeda o espaço amostral será: 
Ω = {cara, coroa} 
Sua cardinalidade, o número de elementos, é igual a 2. 
n(Ω) = e 
97 
 
Em muitas situações é importante descrever os elementos do espaço amostral, como nos exemplos da 
moeda e do dado. Cada um destes resultados é um ponto amostral do conjunto universo. 
Se cada um dos pontos amostrais, ou, resultados possíveis, possuírem a mesma probabilidade de ocorrer, 
dizemos que este espaço amostral é equiprovável. 
Como exemplo, tomemos uma urna com 4 esferas de mesmo tamanho e de cores: amarela, azul, preta e 
branca. Ao sortear uma ao acaso, qual a probabilidade de sortear a bola de uma cor qualquer? 
Sendo um experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas, sendo o 
espaço amostral equiprovável. 
Uma vez definidos o que é experimento aleatório e espaço amostral, para calcular uma probabilidade, é 
preciso fazer uma pergunta. Esta pergunta define o conceito de evento 
Eventos na probabilidade 
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. 
Voltemos ao exemplo do lançamento de um dado de seis faces. Podemos definir o seguinte evento: 
Qual a probabilidade de sair um número par? 
O conjunto evento seria: A={2,4,6} de cardinalidade n(A)=3 
Para um mesmo experimento podemos definir muitos eventos e calcular a probabilidade que ocorram. Há 
alguns tipos especiais de eventos. 
Evento certo 
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral, ou seja, possuem os mesmos elementos. 
Exemplo 
Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher. Como a probabilidade é de 
100%, o evento é certo. 
Evento impossível 
O conjunto do evento é vazio. 
Exemplo 
Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas. 
O evento "tirar um número maior que 30" é impossível, visto que o maior número na caixa é 20. 
Evento complementar 
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro. 
98 
 
Exemplo 
No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}. 
Seja o evento A sair cara, A={cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. Juntos 
formam o próprio espaço amostral. 
Evento mutuamente exclusivo 
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é vazia. 
Exemplo 
Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos 
A: ocorrer um número menor que 5, A={1, 2, 3, 4} 
B: ocorrer um número maior que 5, A={6} 
 
10. Geometria básica: ângulos, triângulos, polígonos, distâncias, proporcionalidade, 
perímetro e área 
Geometria plana 
A geometria plana é a área de estudos que se volta para os objetos pertencentes ao plano, ou seja, todos os 
seus elementos (ponto, reta e polígonos) estão “dentro” do plano. A geometria teve seu início na Grécia 
Antiga e é conhecida também como geometria euclidiana plana, em homenagem a um grande estudioso da 
área chamado Euclides. Matemático de Alexandria, Euclides é conhecido como o “pai da geometria”. 
Conceitos da geometria plana 
Ponto: O ponto não possui dimensão e vamos representá-lo por uma letra maiúscula. 
 
Reta: A reta possui uma dimensão, o comprimento, e é representada por uma letra minúscula. A reta é 
infinita. 
 
99 
 
A partir do conceito de reta, podemosdefinir três outros conceitos: segmento de reta, semirreta e ângulo. 
– Segmento de reta: O segmento de reta é definido por uma reta delimitada por dois pontos distintos, ou 
seja, uma reta com começo e fim. 
 
– Semirreta: A semirreta é definida como sendo uma reta com começo e sem fim, ou seja, ela será infinita 
em uma das direções. 
 
– Ângulo: O ângulo é utilizado para medir o espaço entre duas retas, semirretas ou segmentos de retas. 
Quando medimos um ângulo, estamos determinando sua amplitude. 
 
Plano: O plano apresenta duas dimensões e é representado por uma letra grega (α, β, γ, … ). 
 
Fórmulas e figuras principais da geometria plana 
Triângulo 
Para calcular a área de um triângulo, basta multiplicar a medida da base (b) com a medida da altura (h) e 
dividir o resultado por dois. 
100 
 
 
Quadrado 
Sabemos que os lados do quadrado são todos iguais. Para calcular sua área, multiplicamos a medida da base 
com a medida altura. Como as medidas são as mesmas, multiplicá-las é o mesmo que elevar o lado ao 
quadrado. 
 
Retângulo 
A área do retângulo é dada pela multiplicação da base pela altura. 
 
Losango 
A área do losango é dada pelo produto da diagonal maior (D) com a diagonal menor (d) dividido por dois. 
 
101 
 
Trapézio 
A área do trapézio é dada pelo produto da altura com a soma da base maior (B) e a base menor (b) dividido 
por dois. 
 
Círculo 
A área do círculo de raio r é dada pelo produto do raio ao quadrado com o número irracional ℼ (em geral 
utilizamos o valor ℼ = 3,14). 
 
Geometria Espacial 
A geometria espacial trata de estudar justamente objetos que estão na terceira dimensão. Algumas das 
estruturas estudadas na geometria espacial estão presentes em nosso dia a dia, como esferas, cones, cilindros 
e paralelepípedos. 
Área dos sólidos geométricos 
A área de um sólido geométrico pode ser obtida pela soma das áreas de cada uma das figuras geométricas 
que o compõem. Um tetraedro, por exemplo, é uma pirâmide de base triangular. Essa pirâmide é formada 
por quatro triângulos: uma base e três faces laterais. Somando as áreas de cada um desses triângulos, 
teremos a área do tetraedro. 
 
102 
 
Área do paralelepípedo 
Considere um paralelepípedo cujo comprimento mede “x”, a largura mede “y” e a altura mede “z”, como o 
da figura a seguir: 
 
A fórmula usada para calcular sua área é: 
A = 2xy + 2yz + 2xz 
Essa mesma fórmula vale para a área do cubo, que é um caso especial de paralelepípedo. Entretanto, como 
todas as arestas do cubo são iguais, essa fórmula pode ser reduzida. Assim, a área de um cubo de aresta L é 
determinada por: 
A = 6L2 
Área do cilindro 
Dado o cilindro de raio r e altura h, ilustrado pela figura a seguir, a fórmula usada para calcular sua área é: 
A = 2πr(r + h) 
 
Área do cone 
A fórmula usada para determinar a área do cone é: 
A = πr(r + g) 
A figura a seguir mostra que r é o raio do cone e g é a medida de sua geratriz." 
 
103 
 
Área da esfera 
A fórmula usada para calcular a área da esfera de raio r é: 
A = 4πr2 
Exemplo: Calcule a área da esfera da imagem a seguir. Considere π = 3. 
 
Usando a fórmula da área da esfera, teremos: 
A = 4πr2 
A = 4·3·52 
A = 12·25 
A = 300 cm2 
Área da pirâmide 
Os prismas e pirâmides não possuem uma fórmula específica para cálculo de área, pois o formato de suas 
faces laterais e de suas bases é muito variável. Entretanto, é sempre possível calcular a área de um sólido 
geométrico planificando-o e somando as áreas individuais de cada uma de suas faces. 
Quando esses sólidos são retos, como o prisma reto e a pirâmide reta, é possível identificar relações entre as 
medidas de suas faces laterais. 
 
Uma pirâmide reta de base quadrada possui todas as faces laterais congruentes. Assim, basta calcular a área 
de uma delas, multiplicar o resultado por 4 e somar isso ao resultado obtido no cálculo da área da base da 
pirâmide. 
Para calcular a área de um desses triângulos, precisamos da medida de sua altura. Essa medida é igual ao 
apótema da pirâmide, portanto, 10 cm. Na fórmula a seguir, o apótema será representado pela letra h. Além 
104 
 
disso, todas as bases dos triângulos são congruentes, pois todas elas são também lados de um quadrado e 
medem 5 cm. 
 
 
Área do prisma 
Como dito, não há fórmula específica para a área do prisma. Devemos calcular a área de cada uma de suas 
faces e somá-las no final. 
 
O exercício informa que a base do prisma é quadrada. Além disso, as duas bases do prisma são congruentes, 
ou seja, encontrando a área de uma dessas bases, basta multiplicar essa medida por 2 para determinar a área 
das duas bases do prisma. 
 
105 
 
 
 
Equação do primeiro grau com uma incógnita 
A equação do primeiro grau com uma incógnita é uma expressão que apresenta apenas uma grandeza 
desconhecida. 
A equação do primeiro grau com uma incógnita é uma ferramenta que resolve grandes problemas 
na matemática e até mesmo no nosso cotidiano. Essas equações são provenientes de polinômios de grau 1, 
e sua solução é um valor que zera tal polinômio, ou seja, encontrado o valor da incógnita e substituindo-o 
na expressão, vamos encontrar uma identidade matemática que consiste em uma igualdade verdadeira, por 
exemplo, 4 = 22. 
O que é uma equação do 1º grau? 
Uma equação do primeiro grau é uma expressão em que o grau da incógnita é 1, isto é, o expoente da 
incógnita é igual a 1. Podemos representar uma equação do primeiro grau, de maneira geral, da seguinte 
forma: 
ax + b = 0 
No caso acima, x é a incógnita, ou seja, o valor que devemos encontrar, e a e b são chamados 
de coeficientes da equação. O valor do coeficiente a deve ser sempre diferente de 0. 
Exemplos de equações do 1º grau 
Veja aqui alguns exemplos de equações do primeiro grau com uma incógnita: 
a) 3x +3 = 0 
b) 3x = x(7+3x) 
c) 3 (x –1) = 8x +4 
d) 0,5x + 9 = √81 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-polinomio.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm
106 
 
Note que, em todos os exemplos, a potência da incógnita x é igual a 1 (quando não há número na base de 
uma potência, quer dizer que o expoente é um, ou seja, x = x1). 
Solução de uma equação do 1º grau 
 
Representação geral de uma equação do primeiro grau. 
Em uma equação, temos uma igualdade, a qual separa a equação em dois membros. Do lado esquerdo da 
igualdade, vamos ter o primeiro membro, e do lado direito, o segundo membro. 
ax + b = 0 
(1º membro) = (2º membro) 
Para manter a igualdade sempre verdadeira, devemos operar tanto no primeiro membro como no segundo, 
ou seja, se realizarmos uma operação no primeiro membro, devemos realizar a mesma operação no segundo 
membro. Essa ideia recebe o nome de princípio da equivalência. 
15 = 15 
15 + 3 = 15 + 3 
18 = 18 
18 – 30 = 18 – 30 
– 12 = – 12 
Veja que a igualdade permanece verdadeira desde que operemos de maneira simultânea nos dois membros 
da equação. 
O princípio da equivalência é utilizado para determinar o valor da incógnita da equação, ou seja, determinar 
a raiz ou solução da equação. Para encontrar o valor de x, devemos utilizar o princípio da equivalência para 
isolar o valor da incógnita. 
Veja um exemplo: 
2x – 8 = 3x – 10 
O primeiro passo é fazer com que o número – 8 desapareça do primeiro membro. Para isso, vamos somar o 
número 8 em ambos os lados da equação. 
2x – 8 + 8 = 3x – 10 + 8 
2x = 3x – 2 
107 
 
O próximo passo é fazer com que 3x desapareça do segundo membro. Para isso, vamos subtrair 3x em ambos 
os lados. 
2x – 3x = 3x – 2 – 3x 
– x = – 2 
Como estamos à procura de x, e não de – x, vamos agora multiplicar ambos os lados por (– 1). 
(– 1)· (– x) = (– 2) · (– 1) 
x = 2 
O conjunto solução da equação é, portanto, S = {2}. 
Macete para a solução de equação do primeiro grau 
Existe um macete decorrentedo princípio da equivalência que facilita encontrar a solução de uma equação. 
De acordo com essa técnica, devemos deixar tudo que depende da incógnita no primeiro membro e tudo 
que não depende da incógnita no segundo membro. Para isso, basta “passar” o número para o outro lado da 
igualdade, trocando seu sinal pelo sinal oposto. Se um número é positivo, por exemplo, quando passado para 
o outro membro, ele se tornará negativo. Caso o número esteja multiplicando, basta “passá-lo” dividindo e 
assim sucessivamente. 
Veja: 
2x – 8 = 3x – 10 
Nessa equação, temos que “passar” o –8 para o segundo membro e o 3x para o primeiro, trocando seus 
sinais. Assim: 
2x – 3x = –10 + 8 
(–1)· – x = –2 ·(– 1) 
x = 2 
S = {2}. 
Exemplo 
Determine o conjunto solução da equação 4 (6x – 4) = 5 (4x – 1). 
Resolução: 
O primeiro passo é realizar a distributividade, logo: 
24x – 16 = 20x – 5 
108 
 
Agora, organizando a equação com os valores que acompanham a incógnita de um lado e os demais no outro, 
vamos ter: 
24x – 20x = –5 + 16 
4x = 11 
 
Questão 1 – O dobro de um número adicionado com 5 é igual a 155. Determine esse número. 
Solução: 
Como desconhecemos o número, vamos chamá-lo de n. Sabemos que o dobro de qualquer número é duas 
vezes ele mesmo, logo o dobro de n é 2n. 
2n + 5 = 155 
2n = 155 – 5 
2n = 150 
 
Resposta: 75. 
 
Questão 2 – Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara. A soma das idades das duas é 44. Determine a 
idade de Roberta e Bárbara. 
Solução: 
Como não sabemos a idade de Roberta e Bárbara, vamos nomeá-las como r e b respectivamente. Como 
Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara, temos que: 
r = b + 4 
Sabemos também que a soma das idades das duas é de 44 anos, logo: 
r + b = 44 
Substituindo o valor de r na equação acima, temos: 
r + b = 44 
109 
 
b + 4 + b = 44 
b + b = 44 – 4 
2b = 40 
 
Resposta: Bárbara tem 20 anos. Como Roberta é 4 anos mais velha, então ela tem 24 anos. 
Equação do 2º grau 
A equação do 2º grau é caracterizada por possuir uma incógnita de grau 2. Para resolver esse tipo de equação, 
é importante conhecer a fórmula de Bhaskara. 
 
A equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2, ou seja, um polinômio do tipo ax2+bx+c, 
em que a, b e c são números reais. Ao resolvermos uma equação de grau 2, estamos interessados em 
encontrar valores para a incógnita x que torne o valor da expressão igual a 0, que são chamadas de raízes, 
isto é, ax2 + bx +c = 0. 
Tipos de equações do 2º grau 
A equação de 2º grau pode ser representada por ax²+bx+c=0, em que os coeficientes a, b e c são números 
reais, com a ≠ 0. 
Exemplos 
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 e c = – 6 
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2 
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = –1 
A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são diferentes de 0, ou 
seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0. 
A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes b ou c são iguais a 0, 
isto é, b = 0 ou c = 0. 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/polinomios.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-reais.htm
110 
 
Exemplos 
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 e c= – 4 
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 e c = 0 
c) x2 = 0 → a = 1; b =0 e c =0 
Atenção: o valor do coeficiente a nunca é igual a 0, caso isso ocorra, a equação deixa de ser do 2º grau. 
Como resolver equações de 2º grau? 
A solução de uma equação do 2º grau ocorre, quando as raízes são encontradas, ou seja, os valores atribuídos 
a x . Esses valores de x devem tornar a igualdade verdadeira, isto é, ao substituir o valor de x na expressão, o 
resultado deve ser igual a 0. 
Exemplo 
Considerando a equação x2 – 1 = 0 temos que x’ = 1 e x’’ = – 1 são soluções da equação, pois substituindo 
esses valores na expressão, temos uma igualdade verdadeira. Veja: 
x2 – 1 = 0 
(1)2 – 1 = 0 e (–1)2 – 1 = 0 
Para encontrar a solução de uma equação, é preciso analisar se a equação é completa e incompleta e 
selecionar qual método será utilizado. 
Método de solução para equações do tipo ax²+ c = 0 
O método para determinar a solução de equações incompletas que possuem b=0 consiste em isolar a 
incógnita x, assim: 
 
Exemplo 
Encontre as raízes da equação 3x2 – 27 = 0. 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao.htm
111 
 
Método de solução para equações do tipo ax2 + bx = 0 
O método para determinar as possíveis soluções de uma equação com c =0, consiste em utilizar a fatoração 
por evidência. Veja: 
ax2 + bx = 0 
x·(ax + b) = 0 
Ao observar a última igualdade, é notável que há uma multiplicação e que para o resultado ser 0, é necessário 
que, pelo menos, um dos fatores seja igual a 0. 
x·(ax + b) = 0 
x = 0 ou ax + b = 0 
Assim, a solução da equação é dada por: 
 
Exemplo 
Determine a solução da equação 5x2 – 45x = 0 
 
Método de solução para equações completas 
O método conhecido como método de Bhaskara ou fórmula de Bhaskara aponta que as raízes de uma 
equação do 2º grau do tipo ax2 + bx + c = 0 é dada pela seguinte relação: 
 
Exemplo 
Determine a solução da equação x2 – x – 12 = 0. 
Note que os coeficientes da equação são: a = 1; b= – 1 e c = – 12. Substituindo esses valores na fórmula de 
Bhaskara, temos: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fator-comum.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fator-comum.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
112 
 
 
O delta (Δ) recebe o nome de discriminante e note que ele está dentro de uma raiz quadrada e, conforme 
sabemos, levando em conta os números reais, não é possível extrair raiz quadrada de um número negativo. 
Conhecendo o valor do discriminante, podemos realizar algumas afirmações a respeito da solução da 
equação do 2º grau: 
→ discriminante positivo (Δ > 0): duas soluções para a equação; 
→ discriminante igual a zero (Δ = 0): as soluções da equação são repetidas; 
→ discriminante negativo (Δ+2) aves em cada um dos n viveiros 
disponíveis, sobraria apenas uma ave. O número total de aves, para qualquer valor de n natural, é sempre 
a) um número par. 
b) um número ímpar. 
c) um quadrado perfeito. 
d) um número divisível por 3. 
e) um número primo. 
Solução 
A quantidade de aves pode ser encontrada multiplicando o número de viveiros pela quantidade de aves 
colocada em cada um deles, pelo enunciado do exercício depois de fazer esse processo ainda sobra uma ave, 
podemos escrever tudo isso da seguinte maneira: 
n·(n+2) +1 
Realizando a distributividade vamos obter: 
n2 + 2n +1 
E fatorando esse polinômio segue que: 
(n +1)2 
Assim, o número toral de aves é sempre um quadrado perfeito para qualquer número natural n. 
Alternativa C 
115 
 
Operações com frações 
Operações com frações, isto é, com o conjunto dos números racionais, têm suas operações muito bem 
definidas. Sempre que operamos dois racionais, encontramos outro racional. 
Operações com frações, isto é, com o conjunto dos números racionais, fazem parte de um conjunto fechado 
para as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Em matemática, quando dizemos que um conjunto é fechado para alguma operação, queremos dizer que 
quando operamos dois elementos quaisquer desse conjunto o resultado ainda permanece nele, ou seja, 
quando realizamos qualquer operação entre frações, o resultado ainda é uma fração. 
 
A soma de frações é uma das operações mais básicas entre os números racionais. 
Adição de frações 
A ideia de adição de frações é idêntica à de adição de números inteiros. Para melhor entendermos o primeiro 
tipo, vamos comparar as imagens seguintes. 
 
Perceba duas partes de 1/4 equivalem a 1/2. Ou seja: 
 
A utilização de elementos gráficos auxilia no entendimento de como somar frações, entretanto, não é 
conveniente fazer desenhos toda vez que desejamos somar duas ou mais dessas. 
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Do último exemplo, veja que se calcularmos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, dividirmos esse 
número em seguida pelos denominadores e depois multiplicarmos o que restou pelos numeradores, 
obteremos 1/2. Confira: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/adicao-subtracao-fracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-inteiros.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-fracoes-equivalentes.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm
116 
 
 
Subtração de frações 
A ideia de subtração é praticamente idêntica à da operação de adição. Utilizaremos o mesmo processo 
algébrico, entretanto, em vez de somar os denominadores, iremos subtrai-los. Veja: 
 
Multiplicação de frações 
A multiplicação entre frações consiste em multiplicar numerador com numerador e, em 
seguida, denominador com denominador delas. De forma geral, a multiplicação fica assim: 
 
Não se esqueça de que, ao final de todas as frações, devemos simplificá-las se possível. Veja o exemplo: 
 
Divisão de frações 
Na divisão de fração, devemos conservar (manter) a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda. 
Sua forma geral fica da seguinte maneira: 
 
A divisão de frações apresenta duas notações, ou seja, duas maneiras diferentes de representar a mesma 
ideia, são elas: 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-com-fracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-com-fracoes.htm
117 
 
Exemplo: 
 
 
Questão 1 - Some 3/5 com 3/6, e divida o resultado obtido pelo inverso do número 30. 
Solução: 
Inicialmente devemos somar as frações do enunciado, assim: 
 
Agora, segundo o enunciado, devemos dividir esse resultado pelo inverso de 30, ou seja, 1/30. Assim: 
 
Resultado = 43 
 
Questão 2 - O que acontece ao multiplicar-se uma fração qualquer pelo seu inverso? 
Solução 
Note que temos duas maneiras de pensar esse exercício. A primeira delas: multiplicar uma fração pelo 
inverso é o mesmo que dividi-la. Assim, dividindo dois números iguais, o resultado só pode ser igual a 1. A 
segunda: multiplicar uma fração pelo seu inverso, veja: 
 
Porcentagem 
Porcentagem é a razão entre um número e 100, e representamos essa razão pelo símbolo %. Utilizamos essa 
razão para representar partes de algo inteiro. 
Porcentagem envolve diversas situações com que nos deparamos frequentemente em nosso cotidiano, por 
exemplo em indicadores econômicos, resultados de pesquisas ou promoções. Entendemos porcentagem 
como sendo a razão entre um número qualquer e 100, sendo representada pelo símbolo %. Utilizamos a 
ideia de porcentagem para representar partes de algo inteiro. 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/razao.htm
118 
 
Representações da porcentagem 
 
Sabemos que a porcentagem é uma razão, logo, pode ser representada por uma fração, que, por sua vez, 
pode ser escrita na forma decimal. De modo geral, se temos um número acompanhado pelo símbolo %, basta 
dividi-lo por 100, ou seja: 
 
Veja os exemplos seguintes que mostram as diferentes representações de porcentagens. Lembre-se, para 
“transformar” a porcentagem em fração, basta dividir o número que acompanha o símbolo % por 100 
e simplificar a fração; para “transformar” a fração em forma decimal, basta realizar a divisão. 
• Exemplo 
 
Perceba que quando escrevemos a porcentagem 100% é o mesmo que considerar um inteiro, ou seja, quando 
consideramos 100% de algo, estamos levando em conta o total daquilo. No caso de 210%, estamos 
considerando mais que um inteiro, isto é, consideramos 2,1 vezes o total. 
Para fazer o caminho de volta, ou seja, dado uma fração ou um número decimal para ser escrito na forma 
percentual, basta multiplicar o número em questão por 100. Veja: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-numeros-inteiros.htm
119 
 
 
Como calcular a porcentagem? 
Para realizar o cálculo da porcentagem de um valor, basta multiplicar esse valor pela porcentagem em sua 
forma decimal ou fracionária. 
Exemplo 
Calcule 50% de 600. 
Sabemos que 50% = 0,5, assim, basta fazer a substituição e multiplicar os valores. Veja: 
0,5 . 600 
300 
Podendo também substituir os 50% na forma fracionária, ficando: 
 
Logo, 50% de 600 = 300. Veja que 50% representam a metade do total que é 600. 
 
Questão 1 - (Enem) Uma pessoa investiu certa quantia em dinheiro na bolsa de valores. No primeiro mês, ela 
perdeu 30% do que investiu e, no segundo mês, teve um lucro de 40% sobre o saldo que havia ficado após o 
prejuízo. Após esses dois meses, essa pessoa teve com esse investimento, em relação ao capital inicial 
aplicado, 
a) um prejuízo de 2%. 
b) um lucro de 2%. 
c) um prejuízo de 4%. 
d) um lucro de 4%. 
120 
 
e) o mesmo valor de capital aplicado. 
Solução 
Seja x o valor que foi investido na bolsa de valores, como no primeiro mês a pessoa teve um prejuízo de 30% 
desse valor, então temos que calcular essa porcentagem em relação ao valor investido e, em seguida, subtrair 
do valor investido. Veja: 
30% de x 
0,3 . x 
0,3x a prejuízo 
Então o que sobrou na conta dessa pessoa foi: 
x – 0,3x 
0,7x 
Como, em seguida, a pessoa teve um lucro de 40% sobre o valor que tinha sobrado, temos que calcular essa 
porcentagem em cima desse valor e, em seguida, somar o resultado disso ao valor sobrado, tendo: 
40% de 0,7x 
0,4 · 0,7x 
0,28x a lucro 
Logo, temos que o valor que restou é: 
0,7x + 0,28x 
0,98x 
Em relação ao que foi investido inicialmente, temos que a diferença é: 
x – 0,98x 
0,02x 
Assim, ele teve um prejuízo de 2% em relação ao valor investido inicialmente. 
Resposta: a 
 
Questão 2 - Calcule o valor de (30%)2. 
Soluçãode abacate, então gosta de goiaba.” 
d) “João gosta de goiaba e não gosta de abacate.” 
e) “João gosta de goiaba ou gosta de abacate.” 
 
5. (TJ-SC/FGV/2018) Uma sentença logicamente equivalente à sentença “Se Pedro é torcedor da 
Chapecoense, então ele nasceu em Chapecó” é: 
a) Se Pedro não é torcedor da Chapecoense, então ele não nasceu em Chapecó. 
b) Se Pedro nasceu em Chapecó, então ele é torcedor da Chapecoense. 
c) Pedro é torcedor da Chapecoense e não nasceu em Chapecó. 
d) Pedro não é torcedor da Chapecoense ou nasceu em Chapecó. 
e) Pedro é torcedor da Chapecoense ou não nasceu em Chapecó. 
 
6. (IMBEL/FGV/2021) Um professor afirmou: “Quem acertar todas as questões de múltipla-escolha vai tirar 
conceito A.” Alberto é um de seus alunos. Uma consequência lógica da sentença do professor é: 
a) se Alberto tirou conceito A, então ele acertou todas as questões de múltipla-escolha. 
b) se Alberto não tirou conceito A, então ele acertou todas as questões de múltipla-escolha. 
c) se Alberto não tirou conceito A, então ele errou todas as questões de múltipla-escolha. 
d) se Alberto não tirou conceito A, então ele errou exatamente uma questão de múltipla-escolha. 
e) se Alberto não tirou conceito A, então ele errou pelo menos uma questão de múltipla-escolha. 
 
8 
 
 
 
 
7. (Prefeitura de Angra dos Reis - RJ/FGV/2019) Considere a sentença: “Renato viajou e não telefonou para 
sua mãe”. A negação lógica dessa sentença é 
a) “Renato viajou e telefonou para sua mãe.” 
b) “Renato não viajou e não telefonou para sua mãe.” 
c) “Renato não viajou ou telefonou para sua mãe.” 
d) “Renato viajou ou não telefonou para sua mãe.” 
9 
 
e) “Renato não viajou ou não telefonou para sua mãe.” 
 
8. (Compesa/FGV/2018) Certo dia Cesar disse: “Eu vim e venci”. Sabendo que a afirmação acima não é 
verdadeira, é correto concluir que Cesar 
a) não veio e venceu. 
b) veio e não venceu. 
c) não veio e não venceu. 
d) não veio ou não venceu. 
e) se veio, não venceu. 
 
9. (Prefeitura de Angra dos Reis - RJ/FGV/2019) Considere a sentença: “Se pratico esportes, então fico feliz”. 
A negação lógica dessa sentença é 
a) “Se não pratico esportes, então não fico feliz.” 
b) “Se não pratico esportes, então fico feliz.” 
c) “Se pratico esportes, então não fico feliz.” 
d) “Pratico esportes e não fico feliz.” 
e) “Não pratico esportes e fico feliz.” 
 
10. (IBGE/FGV/2019) Considere a sentença: “Rubens tem mais de 18 anos e sabe dirigir”. A negação lógica 
dessa sentença é: 
a) Rubens não tem mais de 18 anos e não sabe dirigir. 
b) Rubens não tem mais de 18 anos ou não sabe dirigir. 
c) Rubens tem mais de 18 anos e não sabe dirigir. 
d) Rubens não tem mais de 18 anos e sabe dirigir. 
e) Rubens tem mais de 18 anos ou sabe dirigir. 
 
11. (Prefeitura de Salvador - BA/FGV/2019) Considere a afirmativa: “Este mês tem 31 dias e o mês que vem 
também terá” A negação dessa afirmativa é 
a) "Este mês tem 30 dias e o mês que vem terá 31”. 
10 
 
b) “Este mês não tem 31 dias e o mês que vem também não terá”. 
c) “Este mês tem 31 dias e o mês que vem não terá”. 
d) “Este mês tem 30 dias ou o mês que vem também terá”. 
e) “Este mês não tem 31 dias ou o mês que vem não terá 31 dias” 
 
12. (TRT-SC/FGV/2017) Os advogados Miguel e Lucas conversam sobre determinado processo que vão 
receber. - Miguel: Se esse processo é de “danos morais” então tem 100 páginas ou mais. - Lucas: Não é 
verdade. O que Lucas disse é logicamente equivalente a: 
a) esse processo não é de danos morais e tem 100 páginas ou mais; 
b) esse processo não é de danos morais ou tem menos de 100 páginas; 
c) se esse processo não é de danos morais então tem 100 páginas ou mais; 
d) se esse processo é de danos morais então tem 100 páginas ou menos; 
e) esse processo é de danos morais e tem menos de 100 páginas. 
 
IMPORTANTE! Precisamos ficar atentos quando as questões pedem EQUIVALÊNCIA ou NEGAÇÃO de 
proposições com MAIS de 2 proposições. Podemos usar várias das regras estudadas até agora numa mesma 
questão. Atenção nelas!!! 
 
13. (MPE-RJ/FGV/2019) Considere a sentença: “Se não estou cansado, então vejo televisão ou vou ao cinema”. 
A negação lógica dessa sentença é: 
a) Se estou cansado, então não vejo televisão e não vou ao cinema. 
b) Se estou cansado, então vejo televisão ou vou ao cinema. 
c) Se não vejo televisão e não vou ao cinema, então estou cansado. 
d) Não estou cansado e não vejo televisão e não vou ao cinema. 
e) Estou cansado ou vejo televisão ou vou ao cinema. 
 
14. (IBGE/FGV/2019) Considere a sentença: “Se corro ou faço musculação, então fico cansado”. Uma sentença 
logicamente equivalente a essa é: 
a) Se não corro ou faço musculação, então não fico cansado. 
11 
 
b) Se não corro e não faço musculação, então não fico cansado. 
c) Não corro e não faço musculação ou fico cansado. 
d) Corro ou faço musculação e não fico cansado. 
e) Não corro ou não faço musculação e fico cansado. 
 
 
15. (Polícia Civil do Espírito Santo/AOCP/2018) Considerando p e q duas proposições quaisquer, assinale a 
alternativa que representa, logicamente, uma tautologia. 
a) ~p ^ p 
b) ~p ^ ~q 
c) (p ^ q) → (p v q) 
d) (p v q) → (p ^ q) 
e) p v q 
 
 
 
12 
 
 
16. (Prefeitura de Salvador - BA/FGV/2019) Se não é verdade que “Todo soteronito é soteronoso”, então é 
correto afirmar que 
a) “Nenhum soteronito é soteronoso”. 
b) “Todo soteronoso é soteronito”. 
c) “Algum soteronito não é soteronoso”. 
d) “Algum soteronoso não é soteronito”. 
e) “Algum soteronito é soteronoso”. 
 
17. (Prefeitura de Salvador - BA/FGV/2019) Considere a sentença: “Todo estudante que gosta de Matemática 
também gosta de Ciências Biológicas”. Considerando que essa sentença é falsa, é correto concluir que: 
a) “Todo estudante que não gosta de Matemática gosta de Ciências Biológicas”. 
b) “Nenhum estudante que gosta de Matemática também gosta de Ciências Biológicas”. 
c) “Todo estudante que gosta de Matemática não gosta de Ciências Biológicas”. 
d) “Algum estudante que gosta de Matemática não gosta de Ciências Biológicas”. 
e) “Algum estudante que não gosta de Matemática gosta de Ciências Biológicas”. 
 
18. (Prefeitura de Salvador - BA/FGV/2019) Considerando que a afirmação “Nenhum pescador sabe nadar” 
não é verdadeira, é correto concluir que 
a) “Há, pelo menos, um pescador que sabe nadar”. 
13 
 
b) “Quem não é pescador não sabe nadar”. 
c) “Todos os pescadores sabem nadar”. 
d) “Todas as pessoas que sabem nadar são pescadores”. 
e) “Ninguém que sabe nadar é pescador”. 
 
19. (AL-RO/FGV/2018) Considere verdadeira a afirmação: “Todo parlamentar conhece bem a Constituição”. É 
correto concluir que 
a) “Se uma pessoa conhece bem a Constituição então é parlamentar.” 
b) “Se uma pessoa não é um parlamentar então não conhece bem a Constituição.” 
c) “Se uma pessoa não conhece bem a constituição então não é parlamentar.” 
d) “Existe um parlamentar que não conhece bem a Constituição.” 
e) “Não existe pessoa que conheça bem a Constituição e não seja parlamentar.” 
 
20. (IMBEL/FGV/2021) Considere verdadeira a afirmação: “Todo vegetal verde é saudável.” É correto concluir 
que: 
a) Todo vegetal saudável é verde. 
b) Todo vegetal que não é saudável não é verde. 
c) Todo vegetal que não é verde não é saudável. 
d) Alguns vegetais verdes não são saudáveis. 
e) Alguns vegetais que não são saudáveis são verdes. 
 
21. (AL-RO/FGV/2018) Considere a afirmação: “Eu recebi o boleto e não paguei”. A negação lógica dessa 
afirmação é 
a) “Eu não recebi o boleto e não paguei.” 
b) “Eu não recebi o boleto e paguei.” 
c) “Eu recebi o boleto e paguei.” 
d) “Eu não recebi o boleto ou não paguei.” 
e) “Eu não recebi o boleto ou paguei.” 
14 
 
 
22. (Prefeitura de Niterói – RJ/FGV/2018) Considere a sentença: “Se Arlindo é baixo, então Arlindo não é 
atleta.” Assinale a opção que apresenta121 
 
Proporção 
Proporção é definida como a igualdade entre duas razões. Ela possui algumas propriedades que facilitam a 
resolução de problemas. 
 
A proporção é definida como a igualdade entre duas razões, caso essa igualdade seja verdadeira, então 
dizemos que os números que foram as razões na ordem dada são proporcionais. 
O estudo das proporções é essencial para o desenvolvimento matemático, pois elas possibilitam-
nos relacionar grandezas, assim resolvendo problemas do nosso cotidiano. São exemplos de proporções: 
escala de um mapa, velocidade média de um móvel, e densidade de uma solução. 
O que é razão e proporção? 
A razão entre dois números é o quociente entre eles na ordem em que são dados. Sejam a e b dois números 
racionais, em que b é diferente de 0, a razão entre a e b é dada por: 
 
Quando se tem duas razões e ambas estão sendo comparadas por uma igualdade, então temos uma 
proporção. Caso a igualdade seja verdadeira, então os números serão proporcionais, caso contrário, então 
eles não serão proporcionais. 
Os números racionais a, b, c e d são proporcionais se, e somente se, a igualdade a seguir for verdadeira. 
 
De maneira equivalente, podemos dizer que a igualdade será verdadeira somente quando a multiplicação 
cruzada for verdadeira. 
a · d = b · c 
Propriedades da proporção 
Considere a seguinte proporção entre os números a, b, c e d: 
 
Então as seguintes propriedades são válidas: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/razao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
122 
 
Propriedade 1 – O produto dos meios é igual ao produto dos extremos (multiplicação cruzada). 
 
Propriedade 2 – A razão entre a soma (ou diferença) dos dois primeiros termos e o primeiro termo é igual à 
razão entre a soma (ou diferença) dos dois últimos termos e o terceiro termo. 
 
Como calcular proporções 
Para verificar ou calcular se, de fato, os números são proporcionais, basta aplicar a primeira propriedade, 
caso a igualdade seja verdadeira, então os números são proporcionais. Veja os exemplos: 
Exemplo 1 
Verifique se os números 15, 30, 45 e 90 são proporcionais. 
Devemos, nessa ordem, montar as razões e, em seguida, realizar a multiplicação cruzada. 
 
Observe que a igualdade é verdadeira, assim os números formam, nessa ordem, uma proporção. 
Exemplo 2 
Sabe-se que os números 2, 4, x e 32 são proporcionais. Determine o valor de x. 
Por hipótese, temos que os números, na ordem que foram apresentados, são proporcionais, logo, podemos 
igualar as razões entre eles e aplicar a propriedade 1, veja: 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/adicao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/subtracao.htm
123 
 
Grandezas direta e inversamente proporcionais 
Grandeza, em matemática, é tudo aquilo que é possível medir ou mensurar, por exemplo, quantidade, 
distância, massa, volume etc. As grandezas podem ser diretamente proporcionais (GDP) ou inversamente 
proporcionais (GIP), vejamos a diferença entre elas: 
Grandezas diretamente proporcionais 
Dizemos que duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais se a razão dos valores da primeira 
grandeza é igual à dos valores da segunda grandeza, e assim sucessivamente. Por exemplo, a grandeza 
massa é proporcional ao peso de um objeto, veja na tabela: 
Massa (kg) Peso (N) 
30 300 
60 600 
80 800 
Observe que a razão entre as grandezas é sempre igual: 
 
O mesmo vai acontecer se realizarmos a razão entre os demais valores. 
Outra maneira de saber se duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais é verificando 
o crescimento ou decrescimento de ambas. Por exemplo, se uma grandeza aumenta, a outra também deverá 
aumentar, caso elas sejam diretamente proporcionais. Vejamos o exemplo: 
Na tabela de massa x peso, veja que quanto maior é a massa do objeto (↑), maior será o peso dele (↑), logo, 
as grandezas são diretamente proporcionais. 
Exemplo 
Os números x, t e 2 são diretamente proporcionais aos números 5, 6 e 10. Determine os valores de x e t. 
Como o exemplo afirmou-nos que os números são diretamente proporcionais, então a razão entre eles é 
igual, assim: 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-grandeza.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/forca-peso.htm
124 
 
 
Multiplicando cruzado cada uma das igualdades, temos: 
 
Portanto, x = 1 e t = 1,2. 
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas ou mais grandezas serão inversamente proporcionais se a razão entre os valores da primeira for igual 
ao inverso da razão dos valores da segunda. Podemos interpretar isso de outra maneira, se uma grandeza 
cresce (↑) e a outra grandeza decresce (↓), então elas são inversamente proporcionais. Veja o exemplo: 
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. 
Velocidade (km/h) Tempo (horas) 
50 2 
100 1 
150 0 
Observe que quanto maior é a velocidade de determinada viagem (↑), menor será o tempo dessa viagem 
(↓). Veja também que se pegarmos a razão entre dois valores da primeira grandeza e o inverso da razão de 
dois valores da segunda grandeza, a igualdade será verdadeira. 
 
125 
 
Exemplo 
Divida o número 120 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 6. 
Como queremos dividir o número 120 em duas partes e desconhecemo-las, vamos chamá-las de a e 120 – 
a. Pela definição de inversamente proporcional, a razão entre os primeiros valores é igual ao inverso da razão 
dos dois últimos valores. Assim: 
 
Como a outra parte é 120 – a, então: 
120 – a 
120 – 72 
48 
Portanto, ao dividirmos o número 120 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 6, obtemos 
72 e 48. 
Exercício resolvido 
Questão 1 – (Fuvest) Na tabela a seguir, y é inversamente proporcional ao quadrado de x. Calcule os valores 
de p e m. 
x y 
1 2 
2 0 
m 8 
Resolução 
Observe que o enunciado afirma que os valores de y são inversamente proporcionais aos do quadrado de x, 
ou seja, a razão entre os valores de y será igual ao inverso dos valores de x elevado ao quadrado. 
126 
 
 
Usando a mesma lógica, vamos determinar o valor de m. 
 
https://cdn.estrategiaconcursos.com.br/storage/temp/aula/80330/0/curso-9246-aula-00-5812-
completo.pdf?Expires=1687396735&Signature=b-
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fVgyYBzrV2RenZOqJ3KXXylDF3ZA__&Key-Pair-Id=APKAIMR3QKSK2UDRJITQ 
1. FGV – ASSEMBLEIA LEGISLATIVA/MA – 2013) Na família de Márcia, para cada dois homens há três mulheres 
e na família de Mauro, para cada três homens há cinco mulheres. A família de Márcia tem 25% a mais de 
pessoas do que a família de Mauro. No Natal do ano passado, as duas famílias se reuniram integralmente 
para a ceia no dia 24 de dezembro. Nesse dia, a razão entre as quantidades de homens e de mulheres foi 
 
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127 
 
 
 
RESPOSTA: C 
 
2. FGV – SEJAP/MA – 2013) Em um presídio misto há 600 presidiários no total, sendo que para cada quatro 
homens há uma mulher. Entre as mulheres, 80 cumprem pena de até dez anos. Entre os homens, em cada 
quatro, um cumpre pena de mais de dez anos. Nesse presídio, o número total de presidiários cumprindo pena 
de mais de dez anos é: 
a) 440. 
b) 360. 
c) 220. 
d) 160. 
e) 80. 
128 
 
 
3. FGV – MPE/MS – 2013) João comprou em uma loja de roupas esportivas uma bermuda e duas camisetas 
iguais pagando por tudo R$40,00. Sabese que a bermuda custou R$4,00 a mais do que uma camiseta. O preço 
de uma camiseta é: 
(A) R$6,00. 
(B) R$10,00. 
(C) R$12,00. 
(D) R$14,00. 
(E) R$16,00. 
 
4. FGV – ICMS/RJ – 2011) Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de R$2.000,00, atrasando o 
pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é 
(A) R$ 2.250,00. 
(B) R$ 2.325,00. 
(C) R$ 2.175,00. 
(D) R$ 2.155,00. 
(E) R$ 4.100,00. 
129 
 
 
 
5. FGV – ICMS/RJ - 2011) O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao 
mês, juros simples, é de 
(A) 7,50. 
(B) 3,80. 
(C) 4,50. 
(D) 5,00. 
(E) 6,00. 
RESOLUÇÃO: 
Imagine que temos um capital inicial C. Para ele quadruplicar, é preciso que o montante final seja igual a 4 x 
C, ou seja, M = 4C. Sabemos ainda que a taxa de juros simples é j = 5% ao mês, portanto podemos usar a 
fórmula para obter o número de períodos necessários: 
 
Como 1 ano tem 12 meses, então 60 meses correspondem a 5 anos. Este é o período necessário para o capital 
quadruplicar, se aplicado a juros simples a uma taxa de 5% ao mês. 
Resposta: D 
 
130 
 
6. FGV – ICMS/RJ – 2011 – Adaptada) Um indivíduo tem uma dívida de R$ 500,00 cuja taxa de juros é de 10% 
ao mês, juros compostos. Após três meses, essa dívida é 
(A) R$ 675,00. 
(B) R$ 650,00. 
(C) R$ 645,50. 
(D) R$ 665,50. 
(E) R$ 680,50. 
 
7. FGV – ICMS/RJ – 2011) Em um período de um ano, a taxa aparente de juros foi de 15%, e a taxa de inflação, 
de 5%. Assim, a taxa real foi de 
(A) 9,52%. 
(B) 8,95%. 
(C) 10,00%. 
(D) 7,50%. 
(E) 20,75%. 
RESOLUÇÃO: 
A relação entre a taxa de juros real (jreal), a inflação (i) e a taxa de juros nominal ou aparente (jn) é 
simplesmente: 
 
131 
 
8. FGV – SENADO – 2008) Em uma reunião todas as pessoas se cumprimentaram, havendo ao todo 120 
apertos de mão. O número de pessoas presentes nessa reunião foi: 
a) 14. 
b) 15. 
c) 16. 
d) 18. 
e) 20. 
 
9. FGV – TCE/BA – 2013) A figura a seguir mostra sequências de caminhos que podem ser percorridos por 
uma pessoa, de cima para baixo, começando pela entrada E, e terminando em uma das 5 salas representadas 
pelos quadrados da figura. Ao chegar a uma bifurcação há sempre 50% de chance de a pessoa prosseguir por 
um caminho ou pelo outro 
 
A probabilidade de uma pessoa, ao terminar o percurso, chegar à sala A ou na sala B do desenho é, 
aproximadamente de 
(A) 40%. 
(B) 55%. 
132 
 
(C) 64%. 
(D) 69%. 
(E) 73%. 
RESOLUÇÃO: Veja abaixo a figura, onde marquei pontos para facilitar a explicação: 
 
Cada decisão a ser tomada tem probabilidade de 50%, ou 0,5. Para se chegar em N, O ou P temos ao todo 5 
possibilidades, sendo que cada uma exige 4 decisões, tendo probabilidade de 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 6,25% 
cada. Ao todo, a chance de chegar em N, O ou P é de 5 x 6,25% = 31,25%. Assim, a chance de chegar em A ou 
B é o restante, ou seja, 100% = 31,25% = 68,75% (aproximadamente 69%). 
Resposta: D 
 
10. FGV – TCE/BA – 2013) Carlos tem duas calças jeans que ele usa para ir trabalhar. Uma das calças é 
desbotada e a outra não. Carlos gosta igualmente das duas calças. Entretanto, por preguiça de tirar o cinto 
da calça que usou em determinado dia e colocar na outra, é duas vezes mais provável que ele use, no dia 
seguinte, a mesma calça que usou em determinado dia do que use a outra calça. Hoje, Carlos usou a calça 
desbotada. A probabilidade de Carlos usar a mesma calça desbotada depois de amanhã é de 
a) 2/9 
b) 1/3 
c) 4/9 
d) 5/9 
e) 2/3 
133 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo P a probabilidade de ele usar a calça não-desbotada amanhã, a chance de ele usar a calça desbotada 
é o dobro, ou seja, 2P. Juntas essas probabilidades somam 100%, ou seja, 1: 
 
Em resumo, a probabilidade de repetir a mesma calça de um dia para outro é de 2/3, e a de mudar de calça 
é de 1/3 (ou seja, metade da anterior). 
Assim, para ele usar a calça desbotada depois de amanhã, temos dois caminhos: 
1- usar a calça desbotada amanhã (probabilidade = 2/3) e repeti-la depois de amanhã (probabilidade = 2/3): 
Probabilidade = (2/3) x (2/3) = 4/9 
2- usar a calça não-desbotada amanhã (probabilidade = 1/3) e depois voltar para a desbotada depois de 
amanhã (probabilidade = 1/3): 
Probabilidade = (1/3) x (1/3) = 1/9 
Como estamosdiante de eventos mutuamente excludentes, basta somarmos as probabilidades, obtendo 4/9 
+ 1/9 = 5/9. 
Resposta: D 
 
11. FGV – BANCO DO NORDESTE – 2014) Pedro pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de R$ 100,00 
por duas notas de R$ 50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 na carteira em notas de R$ 50,00, 
R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas tem de cada valor. Sabe apenas que tem pelo menos uma 
de cada valor. Considere que todas as distribuições possíveis de notas de R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que 
podem ocorrer na carteira de Paulo sejam igualmente prováveis. A probabilidade de que Paulo possa fazer a 
troca pedida por Pedro é de: 
 
134 
 
RESOLUÇÃO: 
Veja abaixo todos os casos um desenho de um total de 200 reais formado por notas de 50, 20 e 10 reais, 
sendo pelo menos uma nota de cada valor: 
 
 
Veja que temos um total de 13 possibilidades, das quais apenas nas 6 últimas temos pelo menos duas notas 
de 50 reais, o que possibilitaria dar o troco solicitado por Pedro. A probabilidade de termos um desses casos 
é igual a: P = 6 / 13 
RESPOSTA: D 
 
12. FGV – BANCO DO NORDESTE – 2014) Francisco não tinha herdeiros diretos e assim, no ano de 2003, no 
dia do seu aniversário, fez seu testamento. Nesse testamento declarava que o saldo total da caderneta de 
poupança que possuía deveria ser dividido entre seus três sobrinhos em partes proporcionais às idades que 
tivessem no dia de sua morte. No dia em que estava redigindo o testamento, seus sobrinhos tinham 12, 18 e 
20 anos. Francisco morreu em 2013, curiosamente, no dia do seu aniversário e, nesse dia, sua caderneta de 
poupança tinha exatamente R$ 300.000,00. Feita a divisão de acordo com o testamento, o sobrinho mais 
jovem recebeu: 
(A) R$ 72.000,00 
(B) R$ 82.500,00 
(C) R$ 94.000,00 
(D) R$ 112.500,00 
(E) R$ 120.000,00 
 
 
 
135 
 
RESOLUÇÃO: 
A idade de cada sobrinho em 2013 era: 22, 28, 30. A quantia herdada pelo mais jovem pode ser obtida assim: 
Total distribuído ---------- 
Soma das idades Valor do mais jovem---- idade do mais jovem 
300.000 ------------- 22 + 28 + 30 
Valor ------------ 22 
300.000 x 22 = Valor x 80 
Valor = 82.500 reais 
RESPOSTA: B 
 
13. FGV – FUNARTE – 2014) Uma televisão pode ser comprada em certa loja por R$860,00 à vista ou em duas 
parcelas de R$460,00, uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está 
cobrando é de: 
a) 8%; 
b) 10%; 
c) 12%; 
d) 15%; 
e) 18%. 
RESOLUÇÃO: 
Após o pagamento da primeira parcela de 460 reais, que ocorre no ato da compra, o cliente fica com uma 
dívida de 860 - 460 = 400 reais. Esta é a dívida inicial, que após um mês é liquidada pelo pagamento do valor 
final de 460 reais. Desse modo, a taxa de juros aplicada é: 
 
Resposta: D 
 
136 
 
14. FGV – ISS/CUIABÁ – 2015) O número de meses necessários para que um investimento feito na poupança 
triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de juros simples) é de 
(A) 34. 
(B) 200. 
(C) 333. 
(D) 400. 
(E) 500. 
RESOLUÇÃO: 
Lembrando que 6% ao ano corresponde a 6% / 12 = 0,5% ao mês no regime de juros simples, e que para um 
capital C triplicar ele deve atingir o montante M = 3C, temos: 
 
RESPOSTA: D 
 
15. FGV – ISS/CUIABÁ – 2015) A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10% ao ano, capitalizada 
mensalmente, será 
(A) igual a 10%. 
(B) menor do que 10%. 
(C) menor do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização trimestral. 
(D) maior do que a taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização semestral. 
(E) maior do que qualquer taxa efetiva anual equivalente obtida sob capitalização diária, semestral, trimestral 
ou anual. 
RESOLUÇÃO: 
Quanto MAIOR for a frequência de capitalização de uma taxa nominal, MAIOR será a taxa efetiva. Deste modo, 
a taxa de 10%aa com capitalização mensal corresponde a uma taxa efetiva anual MAIOR que 10%. Assim, a 
alternativa D é a correta, pois a taxa mensal possui frequência de capitalização maior que a semestral, levando 
137 
 
a uma taxa efetiva maior. Note que C está errado, pois a capitalização mensal tem frequência MAIOR que a 
trimestral, levando a uma taxa efetiva maior. 
RESPOSTA: D 
 
16. FGV – TJ/RO – 2015) No Tribunal de Justiça de certo estado (fictício), as quantidades de processos virtuais 
analisados no último ano estão no quadro a seguir: 
 
Considerando apenas esses processos, os de Habeas corpus correspondem a uma porcentagem de: 
(A) 66%; 
(B) 68%; 
(C) 70%; 
(D) 72%; 
(E) 74%. 
RESOLUÇÃO: 
O total de processos é 108 + 20 + 15 + 7 = 150. Deste total, os casos que nos interessam são os 108 processos 
de habeas corpus. Assim, 
Porcentagem = casos de interesse / total 
Porcentagem = 108 / 150 
Porcentagem = 36 / 50 
Porcentagem = 72 / 100 
Porcentagem = 72% 
Resposta: D 
 
17. FGV – TJ/RO – 2015) João tem 5 processos que devem ser analisados e Arnaldo e Bruno estão disponíveis 
para esse trabalho. Como Arnaldo é mais experiente, João decidiu dar 3 processos para Arnaldo e 2 para 
Bruno. O número de maneiras diferentes pelas quais João pode distribuir esses 5 processos entre Arnaldo e 
Bruno é: 
138 
 
(A) 6; 
(B) 8; 
(C) 10; 
(D) 12; 
(E) 15. 
RESOLUÇÃO: 
O número de formas de escolher 2 dos 5 processos para entregar a Bruno é dado pela combinação de 5 
elementos em grupos de 2, ou seja, 
C(5,2) = 5 x 4 / 2! = 20 / 2x1 = 20 / 2 = 10 possibilidades 
Note que para cada uma dessas 10 possibilidades de Bruno temos uma única possibilidade para Arnaldo 
(receber os 3 processos restantes). Assim, ao todo temos apenas 10x1 = 10 possibilidades de fazer a 
distribuição. 
Resposta: C 
 
18. FGV – TJ/RO – 2015) Em uma sequência numérica, cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois 
termos anteriores. O 7º e o 9º termos são, respectivamente, 29 e 76.O 2º termo dessa sequência é: 
(A) 1; 
(B) 2; 
(C) 3; 
(D) 4; 
(E) 5. 
RESOLUÇÃO: Como cada termo é a soma dos dois anteriores, o 9o termo é a soma do 8o e do 7o . Chamando-
os de N9, N8 e N7 respectivamente, temos que: 
N9 = N8 + N7 
 
139 
 
 
Resposta: C 
 
11. Plano cartesiano: sistema de coordenadas, distância 
https://cursoenemgratuito.com.br/plano-cartesiano/ 
Geometria analítica é uma frente da geometria que procura estudar objetos geométricos através da álgebra, 
descrevendo-os por meio de um sistema de coordenadas, como o plano cartesiano. 
O sistema de coordenadas mais utilizado quando trabalhamos com geometria analítica é o cartesiano, criado 
por René Descartes. Podemos trabalhar com o sistema cartesiano em diversas dimensões. Entretanto, nesta 
aula, vamos trabalhar especialmente o sistema cartesiano de duas dimensões, nomeado de plano cartesiano. 
O que é o plano cartesiano 
O plano cartesiano é um sistema de coordenadas de duas dimensões formado por duas retas numéricas 
perpendiculares entre si, ou seja, elas formam um ângulo de 90º. A essas retas damos o nome de eixos. 
Os eixos servem como “réguas” para medirmos onde cada objeto está no plano. Dessa forma, a 
representação usual do plano utiliza um eixo horizontal, nomeado de eixo x, e um vertical, nomeado de eixo 
y. 
 
Eixos x e y, com sua intersecção marcada como o ponto (0,0) 
https://cursoenemgratuito.com.br/plano-cartesiano/
https://cursoenemgratuito.com.br/angulo/
140 
 
Consequente, cada ponto do nosso plano será dado por um par ordenado (uma dupla de números em que a 
ordem importa). O primeiro valor representa a coordenada do ponto no eixo x e o segundo valor representa 
coordenada do ponto no eixo y. Aqui podemos entender a coordenada como o “endereço” do ponto, um 
lugar que podemos representar por um número. 
Para definir o sistema de coordenadas, diremos que a intersecção dos eixos x e y será a origem do plano, que 
será atribuída ao ponto (0,0). 
Além disso, diremos que os pontos à direita da origem terão valoresQuestão 11 
Sobre o plano cartesiano, julgue as afirmativas a seguir: 
I - Os pontos no plano cartesiano são conhecidos como par ordenado. 
II - No primeiro quadrante, o par ordenado (x, y) é composto por dois números positivos. 
III - No quarto quadrante, o par ordenado (x, y) é composto por dois números negativos. 
As afirmativas I, II e III são, respectivamente: 
A) Verdadeira, falsa e verdadeira. 
B) Falsa, verdadeira e verdadeira. 
C) Verdadeira, verdadeira e falsa. 
D) Falsa, verdadeira e falsa. 
E) Verdadeira, verdadeira e verdadeira. 
Resposta Questão 11 
Alternativa C 
I → Verdadeira, pois os pontos no plano cartesiano são formados por um valor para x e outro para y, 
respeitando a ordem (x, y). 
II → Verdadeira, pois o primeiro quadrante possui x e y > 0. 
III → Falsa, pois o quarto quadrante possui x > 0 e ydesafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela 
pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide. 
157 
 
 
O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, 
a seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é 
 
Alternativa correta: C 
Para resolver a questão, devemos considerar que a pirâmide tem base quadrada e é regular. Desta maneira, 
a projeção do ponto E na base da pirâmide, ficará exatamente no ponto central do quadrado da base. 
Feito isso, basta ligar os pontos indicados, conforme o desenho abaixo: 
158 
 
 
Questão 11 
Quatro suspeitos de praticar um crime fazem as seguintes declarações: 
• João: Carlos é o criminoso 
• Pedro: eu não sou criminoso 
• Carlos: Paulo é o criminoso 
• Paulo: Carlos está mentindo 
Sabendo que apenas um dos suspeitos mente, determine quem é o criminoso. 
a) João 
b) Pedro 
c) Carlos 
d) Paulo 
Alternativa correta: c) Carlos. 
Apenas um suspeito mente e os outros dizem a verdade. Assim, há uma contradição entre a declaração de 
João e de Carlos. 
1ª opção: Se João diz a verdade, a declaração de Pedro pode ser verdadeira, a de Carlos seria falsa (por ser 
contraditória) e Paulo estaria falando a verdade. 
2ª opção: Se a declaração de João for a falsa e a declaração de Carlos for verdadeira, a declaração de Pedro 
pode ser verdadeira, mas a declaração de Paulo teria que ser falsa. 
159 
 
Logo, seriam duas declarações falsas (João e Paulo), invalidando a questão (apenas uma falsidade). 
Assim, a única opção válida é João dizer a verdade e Carlos ser o criminoso. 
 
Questão 12 
(Vunesp/TJ-SP) Sabendo que é verdadeira a afirmação “Todos os alunos de Fulano foram aprovados no 
concurso”, então é necessariamente verdade: 
a) Fulano não foi aprovado no concurso. 
b) Se Roberto não é aluno de Fulano, então ele não foi aprovado no concurso. 
c) Fulano foi aprovado no concurso. 
d) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não é aluno de Fulano. 
e) Se Elvis foi aprovado no concurso, então ele é aluno de Fulano. 
Alternativa correta: d) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não é aluno de Fulano. 
Vamos analisar cada afirmação: 
As letras a e c indicam informações sobre Fulano. Contudo, a informação que temos é sobre os alunos de 
Fulano, e, portanto, não podemos afirmar nada a respeito de Fulano. 
A letra b fala sobre Roberto. Como ele não é aluno de Fulano, também não podemos afirmar se é verdade. 
A letra d fala que Carlos não foi aprovado. Como todos os alunos de Fulano foram aprovados, logo, ele não 
pode ser aluno de Fulano. Assim, essa alternativa é necessariamente verdadeira. 
Por fim, a letra d também não está correta, pois não nos foi informado que só os alunos de Fulano que foram 
aprovados. 
 
Questão 13 
(FGV/ TJ-AM) Dona Maria tem quatro filhos: Francisco, Paulo, Raimundo e Sebastião. A esse respeito, sabe-
se que: 
I. Sebastião é mais velho que Raimundo. 
II. Francisco é mais novo que Paulo. 
III. Paulo é mais velho que Raimundo. 
Assim, é obrigatoriamente verdadeiro que: 
a) Paulo é o mais velho. 
160 
 
b) Raimundo é o mais novo. 
c) Francisco é o mais novo. 
d) Raimundo não é o mais novo. 
e) Sebastião não é o mais novo. 
Alternativa correta: e) Sebastião não é o mais novo. 
Considerando as informações, temos: 
Sebastião > Raimundo => Sebastião não é o mais novo e Raimundo não é o mais velho 
Francisco Paulo não é o mais novo e Francisco não é o mais velho 
Paulo > Raimundo => Paulo não é o mais novo e Raimundo não é o mais velho 
Sabemos que Paulo não é o mais novo, mas não podemos afirmar que é o mais velho. Assim, a alternativa 
"a" não é obrigatoriamente verdadeira. 
O mesmo podemos dizer das letras b e c, pois sabemos que Raimundo e Francisco não são os mais velhos, 
mas não podemos afirmar que são os mais novos. 
Portanto, a única opção que é obrigatoriamente verdadeira é que Sebastião não é o mais novo. 
 
Questão 14 
(FGV/Pref. de Salvador-BA) Alice, Bruno, Carlos e Denise são as quatro primeiras pessoas de uma fila, não 
necessariamente nesta ordem. João olha para os quatro e afirma: 
• Bruno e Carlos estão em posições consecutivas na fila; 
• Alice está entre Bruno e Carlos na fila. 
Entretanto, as duas afirmações de João são falsas. Sabe-se que Bruno é o terceiro da fila. O segundo da fila é 
a) Alice. 
b) Bruno. 
c) Carlos. 
d) Denise. 
e) João. 
Alternativa correta: d) Denise 
Como Bruno é o terceiro da fila e não está em posição consecutiva de Carlos, logo, Carlos só pode ser o 
primeiro da fila. Alice então, só pode ser a última, pois não está entre Bruno e Carlos. 
161 
 
Com isso, a segunda da fila só pode ser Denise. 
 
Questão 15 
(FGV/TCE-SE) Considere a afirmação: “Se hoje é sábado, amanhã não trabalharei.” A negação dessa 
afirmação é: 
a) Hoje é sábado e amanhã trabalharei. 
b) Hoje não é sábado e amanhã trabalharei. 
c) Hoje não é sábado ou amanhã trabalharei. 
d) Se hoje não é sábado, amanhã trabalharei. 
e) Se hoje não é sábado, amanhã não trabalharei. 
Alternativa correta: a) Hoje é sábado e amanhã trabalharei. 
A questão apresenta uma proposição condicional do tipo "Se..., então", apesar do conectivo "então" não 
aparecer explícito na frase. 
Neste tipo de proposição, podemos apenas assegurar que quando a frase entre o se e o então for verdadeira, 
a frase depois do então também será verdadeira. 
Isso pode ser resumido na tabela-verdade das proposições condicionais indicadas abaixo, onde consideramos 
p: "hoje é sábado" e q:"amanhã não trabalharei". 
 
Na questão, queremos a negação da afirmação, ou seja, a proposição falsa. Pelo quadro, observamos que a 
proposição falsa ocorre quando o p é verdadeiro e o q é falso. 
Desta maneira, vamos escrever a negação de q que é: amanhã trabalharei. 
 
Questão 16 
(Vunesp/TJ-SP) Em um edifício com apartamentos somente nos andares de 1º ao 4º, moram 4 meninas, em 
andares distintos: Joana, Yara, Kelly e Bete, não necessariamente nessa ordem. Cada uma delas tem um 
animal de estimação diferente: gato, cachorro, passarinho e tartaruga, não necessariamente nessa ordem. 
162 
 
Bete vive reclamando do barulho feito pelo cachorro, no andar imediatamente acima do seu. Joana, que não 
mora no 4º, mora um andar acima do de Kelly, que tem o passarinho e não mora no 2º andar. Quem mora 
no 3º andar tem uma tartaruga. Sendo assim, é correto afirmar que 
a) Kelly não mora no 1º andar. 
b) Bete tem um gato. 
c) Joana mora no 3º andar e tem um gato. 
d) o gato é o animal de estimação da menina que mora no 1º andar. 
e) Yara mora no 4º andar e tem um cachorro. 
Alternativa correta: e) Yara mora no 4º andar e tem um cachorro. 
Para resolver esse tipo de questão com vários "personagens" é interessante montar um quadro conforme 
imagem abaixo: 
 
Depois de montar a tabela, iremos ler cada uma das afirmações, buscando informações e completando com 
N, quando identificamos que aquela situação não se aplica ao elemento da linha com a coluna. 
Da mesma forma, completaremos com S, quando podemos concluir que a informação é verdadeira para o 
par linha/coluna. 
Vamos começar, por exemplo analisando a frase: "Quem mora no 3º andar tem uma tartaruga." Usando essa 
informação podemos colocar S na intersecção na tabela do 3º andar com tartaruga. 
Como a tartaruga está no 3º andar, logo não estará no 1º, 2º e 3º andar, então devemos completar com N 
esses espaços correspondentes. 
Assim, como nenhum outro animal estará no 3º andar, então também completaremos com N. Nossa tabela 
ficará então: 
 
163 
 
Se Bete vive reclamando do barulho do cachorro, esse não é seu animal de estimação, podemos colocar N 
na intersecção da linha de Bete com a coluna de cachorro. 
Também podemos identificar que Bete não mora no 4º andar, pois o cachorro está no andar imediatamenteacima do seu. Nem mora no 2º andar, pois no andar imediatamente em cima, que seria o 3º andar, mora a 
tartaruga. 
Vamos colocar N na intersecção de Joana e 4º andar. Com relação a Kelly, temos duas informações: ela tem 
um passarinho e não mora no 2º andar; logo, o passarinho também não mora no 2º andar. 
Podemos ainda colocar que Kelly não mora no 4º andar, pois se Joana mora um andar acima de Kelly, ela não 
pode morar no 4º andar. Assim, o passarinho também não mora do 4º andar. 
Ao completar essa informação, vemos que só sobra para o passarinho o 1º andar, logo Kelly mora também 
no 1º andar. 
 
Feito isso, vamos olhar para a tabela e completar com N as linhas e colunas onde aparecem S. Quando sobrar 
apenas uma opção, colocar S. Lembrando de colocar S também nos outros quadros correspondentes. 
Ao completar todos os espaços, a tabela estará da seguinte maneira: 
 
Neste ponto, vemos que falta apenas as informações relativas aos bichos de estimação de Joana e Iara. 
Para completar o quadro, devemos lembrar que o cachorro está imediatamente acima do andar de Bete. 
Como já descobrimos que ela mora no 3º andar, logo, o cachorro mora no 4º andar. 
Agora, é só completar o quadro e identificar a alternativa correta: 
164 
 
 
Questão 17 
(IPEFAE 2021) Observando a sequência de figuras a seguir, pode se afirmar que a próxima (a sexta figura) 
será: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
Resposta: b) 
Na sequência, temos: 
I. Um triângulo. Três lados. 
II. Um paralelogramo. Quatro lados. 
III. Um triângulo. Três lados. 
IV. Um pentágono. Cinco lados. 
V. Um triângulo. Três lados. 
165 
 
Após um triângulo, aparece uma figura com mais um lado: 4 lados, 5 lados, ... 
Desta forma, a sexta figura deve possui 6 lados para seguir a sequência, sendo a opção b. 
 
Questão 18 
(FUNDEP 2021) Uma pessoa tem à sua frente cinco copos idênticos enfileirados. Os três primeiros estão 
cheios, e os outros dois, vazios. Essa pessoa deseja posicionar esses copos de modo que fiquem 
alternadamente cheios e vazios, movendo apenas um copo. 
 
Para conseguir o que deseja, essa pessoa deverá: 
a) A partir da direita, trocar o primeiro e o quarto copo. 
b) A partir da direita, despejar o conteúdo do quarto copo no primeiro copo. 
c) A partir da esquerda, colocar no quinto copo o conteúdo do primeiro copo. 
d) A partir da esquerda, pegar o segundo copo e colocar entre o quarto e o quinto copo. 
Resposta: b) A partir da direita, despejar o conteúdo do quarto copo no primeiro copo. 
 
Questão 19 
João acordou atrasado para o trabalho, e verificou que o tempo restante até o final do dia era igual à metade 
do tempo já decorrido do dia. Com base nessas informações, concluímos que ele acordou às: 
a) 16 h 
b) 12 h 
c) 8 h 
d) 9 h 
e) 14 h 
Resposta: a) 16 h 
O final do dia é às 24h. 
Tendo acordado às 16h, a metade do tempo transcorrido foi 8h. 
Desta forma, 16 + 8 = 24 
	Capa de Livro Matemática Branco Preto Azul e Vermelho
	dfd421911876ee52a8820feb7c0f21075607bfecb7f118591654ad8681333075.pdfa sentença logicamente equivalente à sentença dada. 
a) “Se Arlindo não é atleta, então Arlindo é baixo.” 
b) “Se Arlindo não é baixo, então Arlindo é atleta.” 
c) “Se Arlindo é atleta, então Arlindo não é baixo.” 
d) “Arlindo é baixo e atleta.” 
e) “Arlindo não é baixo e não é atleta.” 
 
23. (Prefeitura de Niterói - RJ/FGV/2018) A negação de “Nenhum analista é magro” é 
a) “Há pelo menos um analista magro”. 
b) “Alguns magros são analistas”. 
c) “Todos os analistas são magros”. 
d) “Todos os magros são analistas”. 
e) “Todos os analistas não são magros” 
 
24. (AL-RO/FGV/2018) Considere a sentença a seguir. “Se nasci em Rondônia ou Roraima, então sou 
brasileiro”. Assinale a opção que apresenta uma sentença logicamente equivalente à sentença dada. 
a) “Se não nasci em Rondônia nem em Roraima, então não sou brasileiro”. 
b) “Se nasci em Rondônia, então sou brasileiro”. 
c) “Se não nasci em Roraima, então não sou brasileiro”. 
d) “Se não sou brasileiro, então não nasci em Rondônia nem em Roraima”. 
e) “Se sou brasileiro e não nasci em Rondônia, então nasci em Roraima” 
 
25. (AL-RO/FGV/2018) A negação lógica da sentença “Se como demais, então passo mal” é 
a) “Se não como demais, então não passo mal”. 
b) “Se não como demais, então passo mal”. 
c) “Como demais e não passo mal”. 
15 
 
d) “Não como demais ou passo mal”. 
e) “Não como demais e passo mal”. 
 
26. (AL-RO/FGV/2018) Considere a afirmação: “Se um animal não tem dentes então não morde”. Uma 
afirmação logicamente equivalente é 
a) “Se um animal tem dentes então morde.” 
b) “Se um animal não morde então não tem dentes.” 
c) “Se um animal morde então tem dentes.” 
d) “Existe um animal que não tem dentes e morde.” 
e) “Um animal não tem dentes ou morde.” 
 
27. (Prefeitura de Niterói – RJ/FGV/2018) Assinale a opção que apresenta a negação lógica da sentença “Todo 
niteroiense é fluminense." 
a) “Nenhum niteroiense é fluminense.” 
b) “Nenhum fluminense é niteroiense.” 
c) “Algum niteroiense não é fluminense.” 
d) “Algum fluminense não é niteroiense.” 
e) “Todo niteroiense não é fluminense." 
 
28. (TJ-SC/FGV/2018) Considere a sentença: “Todo catarinense gosta de camarão ou é torcedor do 
Figueirense”. A negação lógica da sentença dada é: 
a) Nenhum catarinense gosta de camarão ou é torcedor do Figueirense. 
b) Todo catarinense gosta de camarão, mas não é torcedor do Figueirense. 
c) Todo catarinense não gosta de camarão e não é torcedor do Figueirense. 
d) Algum catarinense não gosta de camarão e não é torcedor do Figueirense. 
e) Algum catarinense não gosta de camarão ou não é torcedor do Figueirense. 
 
29. (MPE-AL/FGV/2018) Utilizando o símbolo “~” para negação, a expressão lógica 
16 
 
se A então B 
é equivalente à expressão 
a) A ou B. 
b) A ou ~B. 
c) ~A and B. 
d) ~A ou B. 
e) ~A ou ~B. 
 
30. (TJ-SC/FGV/2018) Considere a afirmação: “Nenhum médico é cego”. A negação dessa afirmação é: 
a) Há, pelo menos, um médico cego. 
b) Nenhum cego é médico. 
c) Todos os médicos são cegos. 
d) Todos os cegos são médicos. 
e) Todos os médicos não são cegos. 
 
31. (Banestes/FGV/2018) Considere a sentença: “Se Carla gosta de peixe, então Carla sabe nadar”. Uma 
sentença logicamente equivalente à sentença dada é: 
a) Se Carla sabe nadar, então Carla gosta de peixe. 
b) Se Carla não sabe nadar, então Carla não gosta de peixe. 
c) Se Carla não gosta de peixe, então Carla não sabe nadar. 
d) Carla gosta de peixe e sabe nadar. 
e) Carla gosta de peixe ou não sabe nadar. 
 
32. (MPE-RJ/FGV/2019) Considere as proposições a seguir. 
I. 30% de 120 = 36 e 25% de 140 = 36. 
II. 30% de 120 = 36 ou 25% de 140 = 36. 
III. Se 25% de 140 = 36, então 30% de 120 = 36. 
É correto concluir que: 
17 
 
a) apenas a proposição I é verdadeira. 
b) apenas a proposição II é verdadeira. 
c) apenas as proposições II e III são verdadeiras. 
d) todas são verdadeiras. 
e) nenhuma é verdadeira. 
 
33. (Prefeitura de Salvador - BA/FGV/2019) Considere as afirmativas a seguir. 
- “Alguns homens jogam xadrez”. 
- “Quem joga xadrez tem bom raciocínio”. 
A partir dessas afirmações, é correto concluir que 
a) “Todos os homens têm bom raciocínio”. 
b) “Mulheres não jogam xadrez”. 
c) “Quem tem bom raciocínio joga xadrez” 
d) “Homem que não tem bom raciocínio não joga xadrez”. 
e) “Quem não joga xadrez não tem bom raciocínio”. 
 
 
 
 
18 
 
2. Conjuntos e suas operações, diagramas 
https://www.preparaenem.com/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm 
Raul Rodrigues de Oliveira 
Operações com conjuntos 
1. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
As operações com conjuntos são essenciais para compreender a relação entre um ou mais conjuntos 
numéricos. Recorrentes no estudo da álgebra, são elas: 
• união, que é a junção de todos os elementos dos conjuntos; 
• intersecção, que são os elementos que pertencem simultaneamente a dois conjuntos; 
• diferença, que são os elementos que pertencem ao primeiro e não pertencem ao segundo conjunto; 
• conjunto complementar, que é um caso particular de diferença entre dois conjuntos. 
Leia também: Operações matemáticas básicas 
 
As operações entre conjuntos são recorrentes no estudo da álgebra. 
União de conjuntos 
Na teoria de conjuntos, chamamos de união entre dois ou mais conjuntos o conjunto formado pela junção 
de todos os termos. Utilizamos para representar a união o símbolo A U B (A união com B). 
No nosso dia a dia, é bastante comum a divisão de elementos em conjuntos. Por exemplo, na biologia, temos 
a união de vários seres vivos, que são divididos em grupos menores de acordo com as suas características. 
Podemos dizer também, por exemplo, que o território brasileiro é formado pela união de seus estados. 
Exemplo 
Dados os conjuntos A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, a união de A com B é representada por: 
A U B = {1,2,3,5,6,7,8} 
É possível também realizar a representação desses conjuntos por meio do diagrama a seguir: 
 
A união com B 
https://www.preparaenem.com/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos-suas-operacoes.html
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos-suas-operacoes.html
https://www.preparaenem.com/matematica/operacoes-matematicas-basicas.htm
https://alunosonline.uol.com.br/matematica/teoria-conjuntos.html
19 
 
Intersecção de conjuntos 
A intersecção de dois ou mais conjuntos é composta pelos elementos que pertencem simultaneamente a 
todos esses conjuntos. Essa operação também é bastante comum no nosso dia a dia. 
Exemplo 1 
Seja A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,8}, a intersecção de A com B (A∩B) é representada por: 
A ∩ B= {4,5} 
É possível também realizar a representação da intersecção por meio de diagrama. A intersecção é a região 
em destaque que fica entre os dois conjuntos. 
 
Intersecção de A com B 
Exemplo 2 
Podemos escrever os conjuntos dos rios que banham o estado de Goiás: G: {Aporé, Araguaia, Claro, Corumbá, 
dos Bois, Paranã, Paranaíba, Maranhão, São Marcos}. Também podemos escrever o conjunto dos rios que 
banham o estado de Tocantins: T: {Tocantins, Araguaia, do Sono, das Balsas, Paranã, Manuel Alves}. 
A intersecção entre esses conjuntos pode ser representada por: 
G∩T {Araguaia} 
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Diferença 
Definimos como diferença entre dois conjuntos a operação A – B, que tem como resultado os elementos que 
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. 
Exemplo 
Seja A: {1,2,3,4,5} e B {4,5,6,7,8}, a diferença entro o conjunto A e o conjunto B é igual a: 
A – B = {1,2,3} 
Note que a ordem é importante, pois a diferença entre o conjunto B e o conjunto A é igual a: 
B – A = {6,7,8} 
Essa diferença pode também ser representada por meio do diagrama a seguir: 
20 
 
 
A – B 
Conjunto complementar 
Tratado como um caso especial de diferença entre dois conjuntos, precisamos definir anteso que é 
o conjunto universo. Conhecemos como conjunto universo o conjunto formado por todos os elementos de 
um espaço amostral a ser definido, como os números de 1 até 20 ou todos os números reais, enfim, cada 
situação possui um conjunto universo determinado. 
O conjunto complementar de A, denotado por Ac, é o conjunto formado por todos os elementos que 
pertencem ao universo U e não pertencem ao conjunto A, ou seja, o complementar de um conjunto quando 
se conhece o conjunto universo U é igual a U – A . 
Exemplo 
Dado o universo U de todos os números de 1 até 16, ou seja: 
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16} 
E seja A = {2,4,6,8,10,12,14,16} o conjunto complementar de A, ou seja: 
Ac = {1,5,7,8,10,11,12,13,15} 
 
Complementar do conjunto A 
Exercícios resolvidos 
1) Sabendo que A = { 1,3,5,9,11,12}, B = {0,2,5, 10, 12, 20} e C = {3,4,8,9,12,15,20}, o conjunto formado por A 
∩C U B é: 
a) {0,2,3,5,9,10,12,20}. 
b) {3,9,12}. 
c) {3,4,8,9,15,20}. 
d) {0,2,3,5,9,10,20}. 
Resolução: 
https://www.preparaenem.com/matematica/numeros-reais.htm
21 
 
Vamos calcular as operações separadamente. 
A ∩C = { 3,12} 
Então a união de A ∩C com B formará o conjunto: 
A ∩CUB = {0,2,3,5,9,10,12,20} 
Resposta: alternativa A. 
 
2) Dado o conjunto dos números naturais como universo e seja P o conjunto dos números pares e A o 
conjunto dos números múltiplos de 3, podemos afirmar que: 
I – o conjunto Pc é o conjunto dos números ímpares; 
II – a intersecção de P com A é o conjunto dos números múltiplos de 6; 
III – o conjunto A é formado somente por números ímpares. 
Analisando as afirmativas, marque a alternativa correta. 
a) Somente I é verdadeira. 
b) Somente II é verdadeira. 
c) Somente III é verdadeira. 
d) Somente I e II são verdadeiras. 
e) Somente II e III são verdadeiras. 
Resolução: 
I – Verdadeira. 
Note que, no conjunto dos números naturais, um número pode ser par ou ímpar se queremos Pc. 
Pc= N* - P, ou seja, os naturais sem os pares, logo o complementar dos números pares será os números 
ímpares. 
II – Verdadeira. 
A intersecção entre os números pares e os números múltiplos de 3 são os múltiplos de 6. Lembre-se do 
critério de divisibilidade por 6, que são os números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 
III – Falsa. 
Existem múltiplos de 3 que são ímpares, como o 6, 12,18, entre outros. 
Resposta: alternativa D. 
https://www.preparaenem.com/matematica/conjunto-dos-numeros-naturais.htm
22 
 
3. Números inteiros, racionais e reais e suas operações, porcentagem e juros 
https://www.todamateria.com.br/conjuntos-numericos/ 
Rosimar Gouveia 
Conjuntos Numéricos 
Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos 
números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. O ramo da matemática que estuda os conjuntos 
numéricos é a Teoria dos conjuntos. 
Confira abaixo as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos. 
Conjunto dos Números Naturais (N) 
O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar 
(incluindo o zero) e é infinito. 
Subconjuntos dos Números Naturais 
• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o 
zero. 
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares. 
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares. 
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos. 
Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais 
(N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z): 
Subconjuntos dos Números Inteiros 
• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou 
seja, sem o zero. 
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N. 
• Z*
+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero. 
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos. 
• Z*
– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero. 
 
 
https://www.todamateria.com.br/conjuntos-numericos/
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
23 
 
Conjunto dos Números Racionais (Q) 
O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos 
na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0. 
Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...} 
Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q. 
Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais. Elas são números decimais que se 
repetem após a vírgula, por exemplo: 1,4444444444... Embora possua infinitas casas decimais, pode ser 
escrito como a fração 13/9. 
Subconjuntos dos Números Racionais 
• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero. 
• Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos 
e o zero. 
• Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem 
o zero. 
• Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos 
e o zero. 
• Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o 
zero. 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma 
representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040... 
Conjunto dos Números Reais (R) 
O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) 
e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R. 
Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, 
se ele é irracional, não é racional. 
Subconjuntos dos Números Reais 
• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos. 
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos. 
• R*
+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos. 
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/
24 
 
• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos. 
• R*
– = {x ∈ R│xd) a 0} 
c) {x ∈ R│x2 = 1} 
d) {x ∈ Q│x2liquidificadores, a lanchonete consegue preparar os sucos que os clientes pedem. Para diminuir o tempo de 
preparo, seu Alcides dobrou o número de liquidificadores. Quanto tempo levou para que os sucos ficassem 
prontos com os 8 liquidificadores funcionando? 
a) 2 min 
b) 3 min 
c) 4 min 
d) 5 min 
Resposta correta: d) 5 min. 
Liquidificadores 
(número) 
Tempo 
(minutos) 
4 10 
8 x 
32 
 
Note que entre as grandezas da questão há proporcionalidade inversa: quanto mais liquidificadores 
estiverem preparando suco, menos tempo será necessário para que todos estejam prontos. 
Sendo assim, para resolver esse problema a grandeza de tempo deve ser invertida. 
 
Aplicamos então a propriedade fundamental da proporção e resolvemos a questão. 
 
 
5. Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo 
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/ 
Unidades de Medida 
Rosimar Gouveia 
As unidades de medida são modelos estabelecidos para medir diferentes grandezas, tais como comprimento, 
capacidade, massa, tempo e volume. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) define a unidade padrão de cada grandeza. Baseado no sistema 
métrico decimal, o SI surgiu da necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos 
países. 
Medidas de Comprimento 
Existem várias medidas de comprimento, como por exemplo a jarda, a polegada e o pé. 
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo. 
Os múltiplos e submúltiplos do metro são: quilômetro (km), hectômetro (hm), decâmetro (dam), decímetro 
(dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
Medidas de Capacidade 
A unidade de medida de capacidade mais utilizada é o litro (l). São ainda usadas o galão, o barril, o quarto, 
entre outras. 
https://www.todamateria.com.br/unidades-de-medida/
33 
 
Os múltiplos e submúltiplos do litro são: quilolitro (kl), hectolitro (hl), decalitro (dal), decilitro (dl), centilitro 
(cl), mililitro (ml). 
Medidas de Massa 
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio 
é usado como o padrão universal do quilograma. 
As unidades de massa são: quilograma (kg), hectograma (hg), decagrama (dag), grama (g), decigrama (dg), 
centigrama (cg) e miligrama (mg). 
São ainda exemplos de medidas de massa a arroba, a libra, a onça e a tonelada. Sendo 1 tonelada equivalente 
a 1000 kg. 
Medidas de Volume 
No SI a unidade de volume é o metro cúbico (m3). Os múltiplos e submúltiplos do m3 são: quilômetro cúbico 
(km3), hectômetro cúbico (hm3), decâmetro cúbico (dam3), decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3) 
e milímetro cúbico (mm3). 
Podemos transformar uma medida de capacidade em volume, pois os líquidos assumem a forma do 
recipiente que os contém. Para isso usamos a seguinte relação: 
1 l = 1 dm3 
Tabela de conversão de Medidas 
O mesmo método pode ser utilizado para calcular várias grandezas. 
Primeiro, vamos desenhar uma tabela e colocar no seu centro as unidades de medidas bases das grandezas 
que queremos converter, por exemplo: 
• Capacidade: litro (l) 
• Comprimento: metro (m) 
• Massa: grama (g) 
• Volume: metro cúbico (m3) 
Tudo o que estiver do lado direito da medida base são chamados submúltiplos. Os prefixos deci, centi e mili 
correspondem respectivamente à décima, centésima e milésima parte da unidade fundamental. 
Do lado esquerdo estão os múltiplos. Os prefixos deca, hecto e quilo correspondem respectivamente a dez, 
cem e mil vezes a unidade fundamental. 
34 
 
Múltiplos 
Medida 
Base 
Submúltiplos 
quilo (k) hecto (h) deca (da) deci (d) centi (c) mili (m) 
quilolitro (kl) hectolitro (hl) decalitro (dal) litro (l) decilitro (dl) centilitro (cl) mililitro (ml) 
quilômetro 
(km) 
hectômetro 
(hm) 
decâmetro 
(dam) 
metro (m) 
decímetro 
(dm) 
centímetro 
(cm) 
milímetro 
(ml) 
quilograma 
(kg) 
hectograma 
(hg) 
decagrama 
(dag) 
grama (g) 
decigrama 
(dg) 
centigrama 
(cg) 
miligrama 
(mg) 
quilômetro 
cúbico (km3) 
hectômetro 
cúbico (hm3) 
decâmetro 
cúbico (dam3) 
metro 
cúbico 
(m3) 
decímetro 
cúbico (dm3) 
centímetro 
cúbico (cm3) 
milímetro 
cúbico (mm3) 
Exemplos 
1) Quantos mililitros correspondem 35 litros? 
Para fazer a transformação pedida, vamos escrever o número na tabela das medidas de capacidade. 
Lembrando que a medida pode ser escrita como 35,0 litros. A virgula e o algarismo que está antes dela devem 
ficar na casa da unidade de medida dada, que neste caso é o litro. 
kl hl dal l dl cl ml 
 3 5, 0 
Depois completamos as demais caixas com zeros até chegar na unidade pedida. A vírgula ficará sempre atrás 
do algarismos que estiver na caixa da unidade pedida, que neste caso é o ml. 
kl hl dal l dl cl ml 
 3 5 0 0 0, 
Assim 35 litros correspondem a 35000 ml. 
35 
 
2) Transforme 700 gramas em quilogramas. 
Lembrando que podemos escrever 700,0 g. Colocamos a vírgula e o 0 antes dela na unidade dada, neste caso 
g e os demais algarismos nas casas anteriores 
kg hg dag g dg cg mg 
 7 0 0, 0 
Depois completamos com zeros até chegar na casa da unidade pedida, que neste caso é o quilograma. A 
vírgula passa então para atrás do algarismo que está na casa do quilograma. 
kg hg dag g dg cg mg 
0, 7 0 0 
Então 700 g corresponde a 0,7 kg. 
 
3) Quantos metros cúbicos possui um paralelepípedo de 4500 centímetros cúbicos ? 
Nas transformações de volume (m3), iremos proceder da mesma maneira dos exemplos anteriores. Contudo, 
devemos colocar 3 algarismos em cada casa. 
Escrevemos a medida como 4500,0 cm3. 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 4 500, 0 
Agora completamos com 3 algarismos cada casa até chegar a unidade pedida. 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
 000, 004 500 
Encontramos que 4500 cm3 correspondem a 0,0045 m3. 
 
 
36 
 
E o Tempo? 
A unidade de medida base do tempo no SI é o segundo (s). Atualmente o segundo é definido como o tempo 
de duração de 9.192.631.770 vibrações da radiação emitida pela transição eletrônica entre os níveis 
hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133. 
Os múltiplos do segundo são o minuto, a hora e o dia. Essas medidas não são decimais, por isso usa-se as 
seguintes relações: 
1 minuto (min) = 60 segundos (s) 
1 hora = 3 600 segundos (s) 
60 minutos (min) = 1 hora (h) 
24 horas (h) = 1 dia (d) 
Os submúltiplos do segundo são: 
Décimo de segundo = 0,1 s ou 1/10 s 
Centésimo de segundo = 0,01 s ou 1/100 s 
Milésimo de segundo = 0,001 s ou 1/1000 s 
https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-unidades-de-medidas/ 
Exercícios sobre unidades de medida resolvidos 
Rafael C. Asth 
Exercício 1 - comprimento 
A distância em linha reta entre as cidades de São Paulo e Rio de Janeiro é de, aproximadamente, 357,37 km 
(quilômetros). Esta mesma distância em metros é igual a: 
Como a unidade m (metro) é menor que km (quilômetros), devemos realizar uma multiplicação. 
1 km = 1 000 m 
Desse modo, cada um dos 357,37 km contém 1 000 m. Para transformar a medida para metros, multiplicamos 
por 1 000. 
357,37 km x 1 000 = 357 370 m 
Outra forma de determinar é consultando a tabela dos múltiplos e submúltiplos do metro. 
https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-unidades-de-medidas/
37 
 
Múltiplos 
Medida 
base 
Submúltiplos 
quilômetro 
(km) 
hectômetro 
(hm) 
decâmetro 
(dam) 
metro (m) 
decímetro 
(dm) 
centímetro 
(cm) 
milímetro 
(mm) 
357, 3 7 
Como a medida está em km, a vírgula deve estar nesta coluna. Cada algarismo restante ocupa as próximas 
colunas. 
Devemos transformar km para m. Para isto, passamos a vírgula para esta coluna e preenchemos os espaços 
vazios com zeros. 
Múltiplos 
Medida 
base 
Submúltiplos 
quilômetro 
(km) 
hectômetro 
(hm) 
decâmetro 
(dam) 
metro (m) 
decímetro 
(dm) 
centímetro 
(cm) 
milímetro 
(mm) 
3573 7 0, 
Como a vírgula está no final do número, podemos omiti-la. 
Resposta: 357 370 m 
 
Exercício 2 - comprimento 
Transforme 1 275 mm (milímetros) em dm (decímetros). 
Verificando a tabela de múltiplos e submúltiplos do metro, vemos que os decímetros estão duas casas à 
esquerda dos milímetros. 
38 
 
Múltiplos 
Medida 
base 
Submúltiplos 
quilômetro 
(km) 
hectômetro 
(hm) 
decâmetro 
(dam) 
metro (m) 
decímetro 
(dm) 
centímetro 
(cm) 
milímetro 
(mm) 
Desta forma, a vírgula que está omitida após o último algarismo do número 1 275 deve se mover duas casas 
para a esquerda. 
1 275 mm = 12,75 dm 
Na prática, dividimos por 10 a cada coluna à esquerda. Como passamos duas colunas, dividimos por 100. 
Resposta: 12,75 dm 
 
Exercício 3 - capacidade 
Uma garrafa térmica com capacidade de 1,5 l (litros) será utilizada para servir café aos participantes de uma 
reunião. A bebida será servida em xícaras de 60 ml (mililitros). Determine a quantidade de xícaras que 
poderão ser servidas. 
Como as medidas estão em unidades diferentes, litro e mililitros, devemos transformar uma delas para que 
fiquem iguais. 
Como cada litro corresponde a 1 000 ml, basta multiplicar 1,5 por 1 000. 
1,5 l x 1 000 = 1 500 mililitros 
Para determinar a quantidade de mililitros, dividimos 1 500 por 60. 
 
Assim, 25 xícaras poderão ser servidas. 
Resposta: 25 xícaras 
 
Exercício 4 - capacidade 
Transforme a medida de 457 ml (mililitros) em l (litros). 
Verificando a tabela dos múltiplos e submúltiplos do litro, vemos que, de mililitros para litros, avançamos 
três colunas para a esquerda. 
A vírgula no 457, que está omitida após o 7, deve percorrer três ordens para a esquerda. 
39 
 
Múltiplos Medida base Submúltiplos 
quilolitro (kl) hectolitro (hl) decalitro (dal) 
litro 
(l) 
decilitro 
(dl) 
centilitro (cl) mililitro (ml) 
457 ml = 0,457 l 
Na prática, o que fazemos é dividir 457 por 1 000, pois avançamos três ordens para a esquerda. 
Resposta: 0,457 l 
 
Exercício 5 - tempo 
Nas escolas, é comum dividir o tempo de estudo em aulas de 50 min (minutos). Se um estudante assiste 6 
aulas por dia e estuda 5 dias em uma semana, o número de horas que ele estará em sala de aula será de: 
O número total de aulas assistidas é: 6 x 5 = 30. 
Como cada aula possui 50 min, no total, o aluno assistirá: 
50 x 30 = 1 500 min 
Como o problema nos pergunta a quantidade de horas, e cada hora possui 60 min, dividimos 1 500 por 60. 
 
O aluno assistirá, em uma semana, 25 h (horas) de aulas. 
Resposta: 25h 
 
Exercício 6 - tempo 
O número de minutos em uma semana é de: 
Uma hora possui 60 min. 
Um dia possui 24h, assim, 60 x 24 = 1 440 min. 
Uma semana possui 7 dias, dessa forma, 1 440 x 7 = 10 080 min. 
Resposta: 10 080 min 
 
 
 
40 
 
Exercício 7 - área 
O hectare é uma medida de superfície muito utilizada para medir grandes propriedades. Um hectare equivale 
à área de um quadrado com 100 m (metros) de comprimento em cada lado. Em um anúncio, um sítio com 
76 ha (hectares) está à venda. A quantidade de metros quadrados e quilômetros quadrados deste sítio são, 
respectivamente: 
Cada hectare corresponde a um quadrado com área de: 
 
Como são 76 ha, temos: 
 
Para transformar m² em km², dividimos por 1 000 000, pois dividimos por 100 a cada coluna dos múltiplos 
do metro, à esquerda. 
 
Resposta: 760 000 m² e 0,76 km² 
 
Exercício 8 - área 
Transforme 95 000 m² (metros quadrados) em km² (quilômetros quadrados). 
Observando a tabela de múltiplos e submúltiplos do m² (metro quadrado), avançamos três colunas para a 
esquerda. 
Múltiplos 
Medida 
base 
Submúltiplos 
quilômetro 
quadrado 
(km²) 
hectômetro 
quadrado 
(hm²) 
decâmetro 
quadrado 
(dam²) 
metro 
quadrado 
(m²) 
decímetro 
quadrado 
(dm²) 
centímetro 
quadrado 
(cm²) 
milímetro 
quadrado 
(mm²) 
Como as medidas estão ao quadrado, a cada coluna avançamos duas casas com a vírgula, também para a 
esquerda. No total, avançamos seis casas para a esquerda. 
95 000 m² = 0,095 km² 
41 
 
Na prática, como as medidas estão ao quadrado, dividimos por 100 a cada coluna à esquerda. Como 
avançamos três colunas, dividimos por 1 000 000. 
 
Resposta: 0,095 km² 
 
Exercício 9 - volume 
Uma piscina com a forma de paralelepípedo possui 30 m³ (metros cúbicos) de volume. As medidas de 
comprimento, largura e altura da piscina são, em metros, 5 m, 3 m e 2 m, nesta ordem. O volume da piscina 
em decímetros cúbicos é de: 
Como possuímos as medidas de comprimento, largura e altura em metros, podemos passá-las para 
decímetros. 
1 dm (decímetro) é a décima parte do metro. Assim, multiplicamos cada medida por 10. 
5 m = 50 dm 
3 m = 30 dm 
2 m = 20 dm 
Agora, podemos calcular o volume da piscina com as medidas em dm (decímetro). 
O volume de um paralelepípedo é dado pela multiplicação das medidas das três dimensões. 
50 dm x 30 dm x 20 dm = 30 000 dm³ 
Resposta: 30 000 dm³ 
 
Exercício 10 - volume 
Transforme 57 dm³ (decímetros cúbicos) em cm³ (centímetros cúbicos). 
Observando a tabela de múltiplos e submúltiplos do m³ (metro cúbico), verificamos que o centímetro cúbico 
está uma coluna à direita. Assim, avançamos com a vírgula três "casas" para a direita. 
42 
 
Múltiplos 
Medida 
base 
Submúltiplos 
quilômetro 
cúbico (km³) 
hectômetro 
cúbico 
(hm³) 
decâmetro 
cúbico (dam³) 
metro 
cúbico 
(m³) 
decímetro 
cúbico (dm³) 
centímetro 
cúbico (cm³) 
milímetro 
cúbico (mm) 
Na prática, a cada coluna à direita, multiplicamos por 1 000. 
57 dm³ x 1 000 = 57 000 cm³ 
Como a medida é cúbica (elevada ao cubo), cada decímetro cúbico é igual a 1 000 cm³. Em outras palavras, 
são necessários 1 000 cubos com 1 cm³ cada para formar um cubo de 1 dm³. 
Resposta: 57 000 dm³ 
 
Exercício 11 - massa 
Um caminhão está transportando 5,5 T (toneladas) de trigo. Esta massa de trigo em kg (quilogramas) e g 
(gramas) é de: 
1 T (tonelada) corresponde a 1 000 kg (quilogramas). Desta forma, para transformar uma medida de 
toneladas para quilogramas, basta multiplicar por 1 000. 
5,5 T x 1 000 = 5 500 kg 
Como cada quilograma corresponde a 1 000g, para transformar uma medida de quilogramas para gramas, 
basta multiplicar por 1 000. 
5 500 kg x 1 000 = 5 500 000 g 
Resposta: 5 500 kg e 5 500 000 g 
 
Exercício 12 - massa 
Transforme 25 725 g (gramas) em kg (quilogramas). 
Como o kg (quilograma) é uma unidade 1 000 vezes maior que o g (grama), dividimos por 1 000. 
 
Resposta: 25,725 kg 
43 
 
6. Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções 
intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, 
orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos 
https://concursosnobrasil.com/blogs/dicas/dicas-de-raciocinio-logico-para-provas-de-concursos.html 
A lógica faz parte do pensamento humano. É uma maneira de associamos ideias e avaliarmos a veracidade 
de sentenças. Estas não precisam, necessariamente, ser ideias matemáticas. Qualquer área de estudos 
(biologia, física, química, filosofia,...) fará uso desse tipo de estrutura. Embora a lógica seja aplicável a diversas 
áreas, é a matemática que a descreve de modo mais estruturado e é importante conhecer os jargões usados 
por ela. 
A lógica matemática envolve a compreensão e aplicação de estruturas lógicas que avaliam a veracidade 
de proposições. Estas são sentenças que podem ser classificadas ou como verdadeira ou como falsa, mas 
nunca como ambos. Por exemplo, a sentença: 
“O livro que está sobre a mesa possui 145 páginas” 
é uma proposição, pois a frase é totalmente verdadeira ou totalmente falsa. 
“Brasília é a capital do Brasil” 
é outro exemplo de uma proposição, nesse caso, uma proposição verdadeira. 
Duas ou mais proposições podem ser combinadas para originar uma nova proposição. Isso é feito com 
os conectivos lógicos, os quais atuam de modo semelhante aos operadores matemáticos (de soma,subtração, etc). A ação desses conectivos lógicos pode ser visualizada usando tabelas verdade. Elas mostram 
se a proposição resultante será verdadeira ou falsa de acordo com as características das proposições que a 
irão compor. 
Conjunção (símbolo ^, “e”): A proposição resultante será verdadeira apenas se as duas proposições originais 
forem verdadeiras. Por exemplo: 
“São Paulo é a capital do estado de São Paulo e Brasília é a capital do Brasil” é uma proposição construída 
com o operador de conjunção. Como as duas proposições que a compõe são verdadeiras. 
 A tabela verdade para esse conectivo é: 
P Q P ^ Q 
V V V 
https://concursosnobrasil.com/blogs/dicas/dicas-de-raciocinio-logico-para-provas-de-concursos.html
44 
 
V F F 
F V F 
F F F 
Ou seja, dadas duas proposições P, Q, a proposição “P e Q” só será verdadeira se P e Q forem ambos 
verdadeiros. 
Disjunção (símbolo v, “ou”): A proposição resultante é verdadeira se pelo menos uma das proposições 
originais for verdadeira. Por exemplo: 
“Brasília é a capital do Brasil ou São Paulo é a menor cidade do pais”. 
é uma proposição verdadeira pois, embora “São Paulo é a menor cidade do pais” seja falso a proposição 
“Brasília é a capital do Brasil” é verdadeiro). 
A tabela verdade para esse conectivo é: 
P Q P v Q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Condicional (símbolo ->, “se...então”): Esse conectivo dá uma relação de condição entre duas proposições. 
A proposição resultante afirma que se a primeira proposição for verdadeira, necessariamente a segunda 
também será. Mas a segunda pode ser verdadeira sem que a primeira o seja. Se as duas proposições originais 
forem tais que essa relação é satisfeita a proposição composta será verdadeira. 
Por exemplo: 
“Se choveu então o gramado está molhado” 
45 
 
A primeira proposição, “choveu”, pode ser verdadeira ou não. Se ela for verdadeira (se tiver chovido) então 
necessariamente o gramado estará molhado. Se ela for falsa, você não pode afirmar nada sobre o gramado. 
ATENÇÃO: A ordem das proposições é importante! Se o gramado estiver molhado você não pode garantir 
que choveu! 
A tabela verdade para esse conectivo é: 
P Q P -> Q Q -> P 
V V V V 
V F F V 
F V V F 
F F F F 
Note que a ordem das proposições é importante para determinar o comportamento da proposição 
resultante. 
Nas frases esse conectivo pode aparecer das seguintes formas: 
1) Se P, Q. 
2) Q, se P. 
3) Quando P, Q. 
4) P implica Q. 
5) Todo P é Q. 
6) P é condição suficiente para Q. 
7) Q é condição necessária para P. 
8) P somente se Q 
Bicondicional (símbolo , “se e somente se”): A proposição resultante afirma que a veracidade da primeira 
proposição é uma condição necessária e suficiente para que a segunda proposição seja verdadeira. Se as 
duas proposições originais forem tais que a primeira proposição é verdadeira (falsa) apenas se a segunda for 
verdadeira (falsa) e vice-versa, a proposição composta será verdadeira. 
46 
 
 Por exemplo: 
 “Respiro se e somente se estou vivo” 
 A tabela verdade para esse conectivo é: 
P Q P Q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Nas frases essa conjunção pode aparecer como: 
1) P se e só se Q. 
2) Se P então Q e se Q então P. 
3) P implica Q e Q implica P. 
4) Todo P é Q e todo Q é P. 
5) P somente se Q e Q somente se P. 
6) P é condição suficiente e necessária para Q. 
7) Q é condição suficiente e necessária para P. 
Negação (símbolo ¬, “não”): se uma proposição for verdadeira (falsa) o uso da negação a torna falsa 
(verdadeira). Por exemplo: 
“2 é impar” é uma proposição falsa. “2 não é impar” é uma proposição verdadeira. 
 
 
 
 
 
47 
 
A tabela verdade para esse conectivo é: 
P ¬P 
V F 
F V 
Os conectivos lógicos acima podem ser combinados para originar uma nova proposição. De acordo com a 
tabela verdade da proposição resultante elas podem ser classificadas como: tautologias, contadições, ou 
contingências. 
1. Tautologia: É uma proposição composta que é sempre verdadeira, independente do valor lógico 
(verdadeiro ou falso) das proposições que a compõe. 
2. Contradição: É uma proposição composta que é sempre falsa, independente do valor lógico 
(verdadeiro ou falso) das proposições que a compõe. 
3. Contingência: São todas as proposições compostas que não são nem tautologias nem contradições. 
Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a 
conclusões determinadas. 
 Esse processo também é chamado de lógica de argumentação. Nele se avalia uma séria de proposições 
(as premissas ou hipóteses) e ver qual a conclusão lógica à qual elas levam. Por exemplo as premissas: 
 “Todo ser humano tem mãe” (premissa 1) 
 e 
 “Todos os homens são humanos” (premissa 2) 
 permitem concluir que: 
 “Todos os homens têm mãe” (conclusão). 
 
 
 
 
 
48 
 
7. Análise e interpretação de informações expressas em gráficos e tabelas 
https://concursosnobrasil.com/escola/matematica/interpretacao-de-graficos-e-tabelas.html 
Interpretação de gráficos e tabelas: um dos assuntos mais importantes em provas de concursos, 
de vestibulares e do Enem. Veja como compreendê-los. 
Até os menos fluentes nas áreas matemáticas precisam admitir que as leis e grandezas das quais ela 
trata fazem parte do nosso cotidiano. Essas informações podem estar organizadas e podem ser mais 
facilmente entendidas por meio da interpretação de gráficos e tabelas, que apesar de muito 
presentes em nosso dia a dia, às vezes, passam despercebidas. 
Alguns deles são os calendários, as informações nutricionais dos rótulos de alimentos, bulas de 
remédios, nos meios de comunicação (jornais, revistas, internet) etc. Portanto, saber construir, ler 
e interpretar gráficos e tabelas é uma habilidade fundamental para compreender o mundo de forma 
crítica, a fim de conseguir tirar conclusões próprias e até mesmo fazer previsões sobre determinados 
assuntos e informações. 
É bem provável que os primeiros gráficos e tabelas foram criados pela primeira pessoa que disse 
“conseguiu entender ou quer que eu desenhe?” (isso é uma falácia caros leitores, não um fato). 
Porque de fato alguns dados são tão numerosos e os assuntos podem se tornar tão complexos que 
entendê-los na sua forma abstrata, só pela leitura de um texto ou explicação oral, pode ser uma 
tarefa difícil. A fim de conseguir visualizar as grandezas do que aquele assunto ou os dados estão 
tratando as representações gráficas são mais práticas. 
A interpretação de gráficos e tabelas não trata apenas de questões matemáticas puras, como 
vetores físicos e equações. Mas também para entender assuntos diversos, como situações sociais, 
fatos econômicos, políticos, fenômenos naturais, geográficos, entre outros, as possibilidades são 
praticamente ilimitadas. 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
https://concursosnobrasil.com/escola/matematica/interpretacao-de-graficos-e-tabelas.html
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Por meio da interpretação do gráfico acima podemos dimensionar a proporção do impacto e dos 
números a respeito da qualidade do ar em Paris (França). O que provavelmente não seria tão bem 
representado e dimensionado por meio de um texto simples. 
Esse exemplo mostra as possibilidades de abordar o mesmo assunto e apresentar dados sobre ele 
de forma simplificada e completa por meio de gráficos e tabelas. Temos aqui um gráfico de barras 
e colunas, com legendas em cor de acordo com o grau de poluição. 
Agora, vamos apresentar a especificidade de cada um e mostrar a melhor forma de fazer a 
interpretação de gráficos e tabelas, a fim de que os leitores, vestibulando e concurseiros consigam 
retirar deles as informações precisas para entender o assunto e chegar à resposta dos problemas 
propostos. 
O primeiro ponto a ser considerado na análise, independentemente do tipo gráfico em questão, é 
que sempre vamos trabalhar com pelo menos duas grandezas. 
Elementos dos gráficos 
A fim de fazer uma interpretação de gráficos e tabelas de forma completaé necessário prestar 
atenção em alguns elementos importantes que estão incluídos nos gráficos, são eles: 
• Título: geralmente eles possuem um título, assim como os textos, indicando a que 
informação ele se refere. Dependendo eles podem vir acompanhado de um subtítulo, que, 
na maioria das vezes, vai chamar a atenção para um dado específico do gráfico ou tabela; 
• Fonte: a maioria dos gráficos têm uma fonte, que diz a origem das informações tratadas junto 
com o ano em que foram publicadas, essa informação geralmente é posicionada no canto 
inferior direito dos gráficos e tabelas; 
• Números: são o elemento mais importante, uma vez que é por meio deles que fazemos as 
comparações entre as informações dadas pelos gráficos. Eles podem representar quantidade 
ou tempo (mês, ano, período); 
• Legendas: elas auxiliam na leitura das informações apresentadas. Comumente são usadas 
cores, a fim de destacar informações diferentes. 
 
 
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Gráfico de colunas 
Este é um dos tipos mais utilizados. Os valores para cada categoria são indicados pelo eixo y (eixo 
vertical) e cada coluna é proporcional à sua altura, nas quais as categorias são indicadas no eixo x 
(eixo horizontal). 
O gráfico de colunas é utilizado quando as legendas forem curtas para que não haja muitos espaços 
em branco, como pode acontecer no gráfico de barras, que apresentaremos mais a diante. 
A fim de entender o processo de interpretação de gráficos de coluna, usaremos este exemplo a 
seguir: 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
A primeira informação a considerar no momento da interpretação do gráfico: o título, ele vai 
informar o tema que o gráfico está abordando. A partir disso já é possível fazer inferências sobre os 
dados, a partir de conhecimentos anteriores sobre o assunto, facilitando a leitura. 
Note que o eixo y (vertical) é composto pelo número de espécies, que representa a quantidade de 
espécies marinhas conhecidas e catalogadas. E o eixo x (horizontal) é composto por uma linha 
temporal que considera os anos antes de 1900 e vai até 2000. 
A partir dessas duas grandezas podemos ler o gráfico da seguinte forma: estamos observando o 
aumento no número de seres marinhos conhecidos e catalogados ao longo do século 20, algo que 
também já está objetivamente destacado pelo título. 
Além desses dados, esse gráfico de colunas nos dá mais uma informação por meio da legenda de 
cores, que define o tipo de seres marítimos que cada intervalo da coluna representa. Sendo 
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amarelo: Fitoplâncton, vermelho: Zooplâncton, azul claro: peixes, azul escuro: Fitobentos e verde: 
Zoobentos. 
Gráfico de barras 
Em essência, os gráficos de barras têm a mesma função dos gráficos de colunas, com os valores para 
cada categoria apresentados na posição horizontal (eixo x) e outras informações na posição vertical 
(eixo y), às vezes pode acontecer deste eixo não apresentar uma informação específica, ou “estar 
em branco”. 
Este é utilizado para fazer comparação de dados quantitativos e é formado por barras de mesma 
largura e comprimento (ou altura) variável, que dependem dos valores que representam. 
Quão mais longa (ou alta) a barra for maior quantidade ou a frequência do dado apresentado. Com 
base na variação da barra é que o leitor analisa como determinado dado está em relação aos demais. 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
Como dissemos anteriormente, deve-se fazer primeiro a leitura do título, se inteire do assunto do 
gráfico, para então começar a destacar cada uma das informações e dados que ele apresenta. 
Na interpretação do gráfico apresentado podemos considerar no eixo vertical os tipos Compostos 
voláteis orgânicos (VOCs) ou simplesmente gases poluentes, classificada em ordem decrescente 
(lendo de cima para baixo), do mais ao menos encontrado no ar. 
Na linha horizontal nos é dado variações da quantidade de massa desses gases. Neste caso, o 
preenchimento em cores do gráfico não indica uma informação sobre o assunto que está sendo 
tratado, as barras foram coloridas para fins meramente decorativos. 
Gráfico de linha 
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O gráfico de linha é usado para apresentar a evolução de um dado ao longo do tempo, sendo muito 
comum o uso dele em análises financeiras. O cardiograma é um outro exemplo de gráfico de linha 
muito conhecido. 
Além de poder ser usada em todas as áreas do conhecimento, uma das vantagens deste modelo é 
a viabilidade de fazer análise de mais de uma tabela. 
Este tipo de gráfico apresenta uma série como um conjunto de pontos conectados por uma única 
linha, que pode variar entre ascendentes (crescimento), descentes (diminuição) ou constantes de 
determinado fenômeno. 
No eixo das ordenadas (eixo y) temos a sequência de valores de um elemento e, geralmente, nas 
abscissas (eixo x) temos a variação ou intervalo de tempo (anos, meses, dias, horas etc.) de 
determinado assunto ou fenômeno. 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
A fim de fazer a interpretação do gráfico de linhas apresentado, primeiro precisaremos considerar 
cada uma separadamente para em seguida considerá-los em conjunto. 
Neste caso temos uma legenda de cor a ser considerada e ela é determinante para diferenciarmos 
uma linha da outra. As cores representam intervalos de tempo em anos (ou cada temporada da 
série). 
Assim como fizemos nos outros gráficos e este é um método que pode ser aplicado para todos os 
gráficos que trabalham com um eixo y e x é observá-los nessa ordem de leitura: vertical – horizontal. 
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Aplicando esta lógica para ler este gráfico temos que o eixo das ordenadas (vertical), que apresenta 
variações de número de espectadores estado-unidenses em milhões, enquanto as abscissas 
(horizontal) nos dá intervalos de tempo em meses. 
E por meio dessas duas grandezas podemos compreender as variações na audiência da série The 
O.C a cada mês, e vemos como esse fator oscila em cada intervalo de dois anos por meio de cada 
linha separadamente. 
Uma variante do gráfico de linha são os gráficos de área. Este tipo de gráfico de linhas conectadas 
por pontos, preenche os espaços abaixo das linhas concluídas. Os gráficos de área são ideais para 
apresentar tendências e evolução de dados sobrepostos. 
Temos três variações desse tipo de gráfico: área empilhada, gráfico de fluxo e gráfico de área 
escalonada. 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
Gráfico de pontos 
O gráfico de pontos também é conhecido como Dotplot. Ele é usado quando temos uma tabela 
de distribuição de frequência, que pode ser absoluta ou relativa. Este tipo de gráfico tem a 
finalidade de exibir os dados das tabelas de forma resumida, permitindo a análise das distribuições 
desses dados. 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
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O gráfico acima trata da variação do uso diário de energia, que são apresentados no eixo vertical. 
Enquanto o eixo horizontal traz a temperatura ambiente, em Celcius (°C), que varia entre 0 e 25 
graus. 
Na interpretação do gráfico de pontos observamos a distribuição de frequência, neste caso, a 
dispersão a distância entre a variação do consumo de energia no período de um dia e a relação 
desse consumo com a temperatura ambiente. Outra possibilidade de uso do gráfico de pontos é a 
seguinte: 
 
Fonte: Wikimedia Commons 
Neste caso, para a análise dos dados consideramos o tamanho dos pontos. Dado que eles 
aumentam proporcionalmente à quantidade de pontos sobrepostos, ou seja, quanto determinado 
dado ou fenômeno se repete. Estes são chamados de gráficos de contagens ou gráfico de bolha. 
Gráfico de setor 
Este tipo de gráfico, que também pode ser chamado de “Gráfico de Pizza”, é muito utilizado, 
sobretudo, para observação de números percentuais (estatísticos). Com ela é possível agrupar ou 
organizar quantitativamente dados considerados como um total. 
Ele consiste em um círculo, no qual são representadas as partes de um todo (assunto, característica, 
fenômeno etc.). A circunferência é dividida em setores, geralmente coloridas, que correspondem às 
partes,acima do seu. Nem mora no 2º andar, pois no andar imediatamente em cima, que seria o 3º andar, mora a 
tartaruga. 
Vamos colocar N na intersecção de Joana e 4º andar. Com relação a Kelly, temos duas informações: ela tem 
um passarinho e não mora no 2º andar; logo, o passarinho também não mora no 2º andar. 
Podemos ainda colocar que Kelly não mora no 4º andar, pois se Joana mora um andar acima de Kelly, ela não 
pode morar no 4º andar. Assim, o passarinho também não mora do 4º andar. 
Ao completar essa informação, vemos que só sobra para o passarinho o 1º andar, logo Kelly mora também 
no 1º andar. 
 
Feito isso, vamos olhar para a tabela e completar com N as linhas e colunas onde aparecem S. Quando sobrar 
apenas uma opção, colocar S. Lembrando de colocar S também nos outros quadros correspondentes. 
Ao completar todos os espaços, a tabela estará da seguinte maneira: 
 
Neste ponto, vemos que falta apenas as informações relativas aos bichos de estimação de Joana e Iara. 
Para completar o quadro, devemos lembrar que o cachorro está imediatamente acima do andar de Bete. 
Como já descobrimos que ela mora no 3º andar, logo, o cachorro mora no 4º andar. 
Agora, é só completar o quadro e identificar a alternativa correta: 
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Questão 17 
(IPEFAE 2021) Observando a sequência de figuras a seguir, pode se afirmar que a próxima (a sexta figura) 
será: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
Resposta: b) 
Na sequência, temos: 
I. Um triângulo. Três lados. 
II. Um paralelogramo. Quatro lados. 
III. Um triângulo. Três lados. 
IV. Um pentágono. Cinco lados. 
V. Um triângulo. Três lados. 
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Após um triângulo, aparece uma figura com mais um lado: 4 lados, 5 lados, ... 
Desta forma, a sexta figura deve possui 6 lados para seguir a sequência, sendo a opção b. 
 
Questão 18 
(FUNDEP 2021) Uma pessoa tem à sua frente cinco copos idênticos enfileirados. Os três primeiros estão 
cheios, e os outros dois, vazios. Essa pessoa deseja posicionar esses copos de modo que fiquem 
alternadamente cheios e vazios, movendo apenas um copo. 
 
Para conseguir o que deseja, essa pessoa deverá: 
a) A partir da direita, trocar o primeiro e o quarto copo. 
b) A partir da direita, despejar o conteúdo do quarto copo no primeiro copo. 
c) A partir da esquerda, colocar no quinto copo o conteúdo do primeiro copo. 
d) A partir da esquerda, pegar o segundo copo e colocar entre o quarto e o quinto copo. 
Resposta: b) A partir da direita, despejar o conteúdo do quarto copo no primeiro copo. 
 
Questão 19 
João acordou atrasado para o trabalho, e verificou que o tempo restante até o final do dia era igual à metade 
do tempo já decorrido do dia. Com base nessas informações, concluímos que ele acordou às: 
a) 16 h 
b) 12 h 
c) 8 h 
d) 9 h 
e) 14 h 
Resposta: a) 16 h 
O final do dia é às 24h. 
Tendo acordado às 16h, a metade do tempo transcorrido foi 8h. 
Desta forma, 16 + 8 = 24 
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