Uma sequência formada pelos um quartos de círculos da espiral de Fibonacci

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UMA SEQUÊNCIA FORMADA PELAS ÁREAS DOS
UM QUARTOS DE CÍRCULOS DA ESPIRAL DE
FIBONACCI
Veronil Fernandes de Souza dos Santos, veronilfss@gmail.com¹
¹ UFMT – Universidade Federal de Mato Grosso
Resumo: A sequência de Fibonacci é uma das sequências numéricas mais fascinantes
e curiosas e isto continua oferecendo amplas oportunidades para matemáticos profis-
sionais e amadores a fazer conjecturas e expandir seu horizonte matemático. Embora
essa sequência já tenha sido conhecida e discutida na antiguidade, os números desta
sequência e sua representação geométrica despertaram curiosidade de muitos estudi-
osos no passado, e continua despertando no presente. Além disso, a representação
geométrica da sequência de Fibonacci é uma espiral, que é formada utilizando os
números da sequência de Fibonacci como sendo os lados de quadrados justapostos
que se conectam com um arco de um quarto de ćırculo contido nestes quadrados. Mas
na verdade, a espiral de Fibonacci é conhecida como Proporção Áurea onde desta pro-
porção surge o número áureo que está presente na fórmula do termo geral da sequência
de Fibonacci. Neste artigo apresento-lhes uma curiosa descoberta feita na espiral de
Fibonacci. Trata-se de uma curiosidade encontrada que envolve as áreas dos um quar-
tos de ćırculos presentes nesta espiral. Formaremos uma sequência numérica com as
áreas e encontraremos uma fórmula geral para calcular a área de qualquer um desses
um quarto de ćırculo mediante apenas da sua n-ésima posição.
Palavras-chave: sequência, espiral, áreas, matemática, Fibonacci.
1 INTRODUÇÃO
Desde muito tempo, as sequências numéricas tem sido objeto de estudo por
diversos pesquisadores pelo mundo todo. Neste artigo vamos envolver uma cu-
riosidade encontrada na representação geométrica da sequência de Fibonacci.
Esta sequência que recebeu o nome do matemático italiano Leonardo Fibo-
nacci, também chamado de Leonardo Pisano ou ainda Leonardo de Pisa, surgiu
de um problema sobre o crescimento da população de coelhos em 1202. Esta
sequência numérica, ainda que muito simples, é considerada uma das sequências
mais famosas da Matemática e “foi apropriadamente chamada de sequência de
Fibonacci no século XIX pelo matemático francês Edouard Lucas (1842-1891)”
(LÍVIO, 2009, p. 117).
A sequência de números (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...) que era a solução do pro-
blema que envolvia o crescimento da população de coelhos tornou-se ampla-
mente conhecida no mundo nos anos de 1200. De lá pra cá muitas investigações
e correlações foram feitas acerca desta sequência, e uma conjectura notável foi
feita em 1608 por Johannes Kepler (1571-1630) que descreveu que a razão entre
termos consecutivos desta sequência tendem para ϕ = 1,61803399. . . à medida
que estes se tornam cada vez maiores. Tal constante real algébrica irracional
ϕ é chamada de Razão Áurea e a escolha desta letra grega como representação
deu-se em homenagem à Phideas, antigo escultor grego que concebeu o Parthe-
non.
1
Mas a representação geométrica desta sequência e suas relações tem desper-
tado muito a curiosidade, e será objeto de estudo neste artigo. Iremos falar de
uma sequência numérica real que surge ao se calcular às áreas dos infinitos um
quartos de ćırculos presentes na espiral criada com a sequência de Fibonacci e
definiremos uma fórmula geral para esta sequência.
2 LEONARDO FIBONACCI E A SEQUÊNCIA
DE FIBONACCI
Leonardo Fibonacci (Figura 1), foi um grande matemático da Idade Média
européia. Fibonacci nasceu por volta de 1170-1180 e quando criança morou
na cidade argelina de Bugia, agora chamada Bougie, e lá aprendeu a arte da
computação. Em Bougie, Fibonacci recebeu sua educação precoce de um pro-
fessor muçulmano, que o apresentou ao sistema de numeração indiano e técnicas
computacionais indianas.
Figura 1: Leonardo Fibonacci
Fonte: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications
Volume 1, 2º Edition. Thomas Koshy, 2018.
Na fase adulta, Fibonacci fazia frequentes viagens de negócios, onde aprovei-
tou para estudar os vários sistemas de aritmética e trocou opiniões com diversos
estudiosos nativos. E por volta de 1200, aos 30 anos, Fibonacci voltou para sua
terra natal em Pisa. Ele estava convencido da elegância e superioridade prática
do sistema de numeração indiano comparado ao sistema romano, até então em
uso na Itália. E de fato, Fibonacci demonstrou em seus escritos matemáticos o
poder do sistema de numeração indiano. Desde áı Fibonacci vinha escrevendo
vários livros que se tornaram influentes na época.
Em um de seus livros, publicado em 1202, intitulado Liber Abaci (Livro do
Ábaco), explicava as principais contribuições para a álgebra tornando-se pio-
neiro na época. Liber Abaci continha muitos problemas elementares, incluindo
o famoso problema de reprodução de coelhos, que dizia: Suponha que haja dois
coelhos recém-nascidos, um macho e outra fêmea. Encontre o número de coelhos
produzidos em um ano se, cada par leva um mês para amadurecer, cada par pro-
duz um par misto todos os meses começando com o segundo mês e considerando
que os coelhos são imortais.
2
E a solução deste problema, desencadeou uma série de elementos curiosos.
Primeiro que para este problema, suponha, por conveniência que o par de coelhos
original tenha nascido em 1º de janeiro. Eles levam um mês para amadurecer,
então ainda há apenas um par em 1º de fevereiro. Em 1º de março, eles têm
dois meses de idade e produzem um novo par misto, um total de dois pares.
Continuando assim, haverá três pares em 1º de abril de cinco pares em 1º de
maio e assim por diante, como está esquematizado na Tabela 1.
Tabela 1: Crescimento da população de coelhos
Nº de pares Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago
Adultos 0 1 1 2 3 5 8 13
Bebês 1 0 1 1 2 3 5 8
Total 1 1 2 3 5 8 13 21
Fonte: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications
Volume 1, 2º Edition. Thomas Koshy, 2018.
Os números na última linha são chamados de números de Fibonacci e dáı
surgiu a sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8,. . . ). Essa sequência, apesar de
parecer simples, possui diversas aplicações e é encontrada em muitos fenômenos
naturais. A sequência é tão importante e bonita que a Fibonacci Association,
uma organização de matemáticos, foi formada para o estudo de Fibonacci e
sequências inteiras relacionadas. (KOSHY, Thomas. 2018).
A sequência de Fibonacci tem uma propriedade fascinante: todo número de
Fibonacci, exceto os dois primeiros, é a soma dos dois números imediatamente
anteriores. Escrevendo os dezesseis primeiros termos temos dessa sequência, é
fácil ver essa relação (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987,...).
Seja Fn um número qualquer desta sequência, define-se uma lei de recorrência
para essa sequência como Fn=Fn−1 + Fn−2, onde F1 = F2 = 1 e n ≥ 3. Mas
essa é apenas uma das representações em termos de recorrência, pois o número
de Fibonacci Fn pode ser definido por Fn+2=Fn+1+Fn com F1=F2=1 e n ≥ 1.
Ou ainda, pode-se utilizar o a fórmula do termo geral para essa sequência, (que
é encontrada utilizando as ráızes da equação caracteŕıstica r2 = r + 1 proveni-
ente da lei de recorrência Fn+2=Fn+1+Fn), na qual é definida pela fórmula de
Binet:
Fn =
1√
5
.
(
1 +
√
5
2
)n
− 1√
5
.
(
1−
√
5
2
)n
3 A ESPIRAL DE FIBONACCI E OS UM QUAR-
TOS DE CÍRCULO
Segundo (ÁVILA, Geraldo. 1999), a espiral de Fibonacci aparece quando
constrúımos uma série de quadrados cujos lados são os números da sequência
de Fibonacci. Com isso temos que cada quadrado abaixo possui um número
indicando quanto vale a medida do seu lado que coincide com a sequência de
Fibonacci. De fato podemos organizar uma série de quadrados FnÖ Fn, onde em
3
cada um desses quadrados contenha um arco de um quarto de ćırculo com raio
igual ao lado deste quadrado, que interligando-os obtemos uma espiral infinitacomo na Figura 2.
Figura 2: Espiral de Fibonacci
Fonte: José Roberto Lessa
www.infoescola.com, 2018.
Além disso, seus centros parecem estar em duas linhas e as duas linhas
aparecem perpendiculares. Note que há infinitos quadrados que compõem essa
espiral. E dentro de cada um desses quadrados destacamos o um quarto de
ćırculo de raio igual à medida do lado do quadrado, onde estes são os números
Fn da sequência de Fibonacci. Veja na Figura 3 a representação desses um
quartos de ćırculos destacados como recortes em cores diferentes.
Figura 3: Um quarto de ćırculos presentes na espiral de Fibonacci
Fonte: https://rg3design.com.br/category/design/,
acesso em 20/04/2020.
Sabemos que a área de um ćırculo completo é calculada por A = π.(raio)2,
já a área de um semićırculo por A = π.(raio)
2
2 , logo a área de um quarto de
ćırculo é A = π.(raio)
2
4 . Calculando a área de cada um quarto de ćırculo desta
espiral temos a sequência:
π
4
,
π
4
, π,
9π
4
,
25π
4
, 16π,
169π
4
,
441π
4
, 289π,
3025π
4
,
7921π
4
, 5184π,
54289π
4
, ...
4
4 UMA RECORRÊNCIA FORMADA PELAS
ÁREAS DOS UM QUARTOS DE CÍRCULO
Afirmação: Seja A(n) a área formada por cada um dos um quartos de
ćırculo que há na espiral que representa a sequência de Fibonacci, tal que
A(n) = π.(raio)
2
4 . Se partirmos do prinćıpio de que podemos iniciar este de-
senho com um ponto, e sabendo que o ponto é adimensional, fazemos uma
convenção para termos a área A(0) = 0. Já a área do primeiro um quarto de
ćırculo com raio igual a 1 nos dá uma área A(1) = π.1
2
4 =
π
4 , e a área do segundo
um quarto de ćırculo, também com raio igual a 1 nos dá a mesma área, logo
A(2) = A(1) = π4 . E a partir da terceira área, ou seja, para n ≥ 3, podemos
obter as áreas dos um quarto de ćırculos subsequentes da seguinte maneira:
A(3) = [A(1) +A(2)].2−A(0) = [π4 +
π
4 ].2− 0 = π
A(4) = [A(2) +A(3)].2−A(1) = [π4 + π].2−
π
4 =
9π
4
A(5) = [A(3) +A(4)].2−A(2) = [π + 9π4 ].2−
π
4 =
25π
4
A(6) = [A(4) +A(5)].2−A(3) = [9π4 +
25π
4 ].2− π = 16π
A(7) = [A(5) +A(6)].2−A(4) = [25π4 + 16π].2−
9π
4 =
169π
4
A(8) = [A(6) +A(7)].2−A(5) = [16π + 169π4 ].2−
25π
4 =
441π
4
A(9) = [A(7) +A(8)].2−A(6) = [169π4 +
441π
4 ].2− 16π = 289π
A(10) = [A(8) +A(9)].2−A(7) = [441π4 + 289π].2−
169π
4 =
3025π
4
...
A(n) = [A(n− 2) +A(n− 1)].2−A(n− 3), para n ≥ 3.
Sendo assim, podemos formalizar uma lei de recorrência para essa sequência
formada pelas áreas desses um quarto de ćırculo:
A(0) = 0
A(1) = A(2) = π4
A(n) = [A(n− 2) +A(n− 1)].2−A(n− 3), n ≥ 3.
Demonstruação: Seja A(n) é a área de cada um quarto de ćırculo presen-
tes na espiral de Fibonacci, temos que A(n) = π.(raio)
2
4 . Por questões didáticas,
denotaremos A(n) = An, assim An =
π.(raio)2
4 . Note que para calcular cada
área An, serão considerados os raios destes um quartos de ćırculo onde estes
são os números presentes na sequência de Fibonacci, logo raio = Fn. Temos
que Fn possui várias identidades, e uma delas e a mais comumente utilizada, é
Fn = Fn−1 + Fn−2. Assim:
5
An =
π.F 2n
4
An =
π.(Fn−1+Fn−2)
2
4
An =
π.(F 2n−1+2.Fn−1.Fn−2+F
2
n−2)
4
An =
π.F 2n−1+2.π.Fn−1.Fn−2+π.F
2
n−2
4
An =
π∗F 2n−1
4 +
2.π.Fn−1.Fn−2
4 +
π.F 2n−2
4
Note que An−1 =
π∗F 2n−1
4 e que An−2 =
π.F 2n−2
4 , assim:
An = An−1 +
π.Fn−1.Fn−2
2 +An−2
An − π.Fn−1.Fn−22 = An−1 +An−2
2.An−π.Fn−1.Fn−2
2 = An−1 +An−2
2.An − π.Fn−1.Fn−2 = (An−1 +An−2).2
Note que 2 ∗An = An +An, assim:
An +An − π.Fn−1.Fn−2 = (An−1 +An−2).2
Isolando An no membro esquerdo, temos:
An = (An−1 +An−2).2− (An − π.Fn−1.Fn−2)
Como An =
π.F 2n
4 , no segundo membro consideramo-lo, assim:
An = (An−1 +An−2).2− (π.F
2
n
4 − π.Fn−1.Fn−2)
An = (An−1 +An−2).2− (π.F
2
n−4.π.Fn−1.Fn−2
4 )
An = (An−1 +An−2).2− [π.(F
2
n−4.Fn−1.Fn−2)
4 ]
Mas Fn = Fn−1 + Fn−2, logo:
An = (An−1 +An−2).2− π.[(Fn−1+Fn−2)
2−4.Fn−1.Fn−2]
4
An = (An−1 +An−2).2− [
π.(F 2n−1+2.Fn−1.Fn−2+F
2
n−2−4.Fn−1.Fn−2)
4 ]
An = (An−1 +An−2).2− [
π.(F 2n−1−2.Fn−1.Fn−2+F
2
n−2)
4 ]
Mas observe que F 2n−1−2.Fn−1.Fn−2+F 2n−2 = (Fn−1−Fn−2)2 pelo conceito
de quadrado da diferença em produtos notáveis, assim:
An = (An−1 +An−2).2− [π.(Fn−1−Fn−2)
2
4 ]
6
Mas em Fibonacci, note que é válida a identidade Fn−3 = Fn−1−Fn−2, logo:
An = (An−1 +An−2).2− [
π.F 2n−3
4 ]
E como An−3 =
π.F 2n−3
4 , segue que:
An = (An−1 +An−2).2−An−3
Que é a recorrência que queŕıamos provar, válida para n ≥ 3.
Agora faremos uma importante observação, note que a relação de recorrência
provada anteriormente An = (An−1 + An−2).2 − An−3, para n ≥ 3 pode ser
reescrita equivalentemente como An+3 = (An+2 + An+1).2 − An, mas para
n ≥ 0 onde An = 0 e A1 = A2 = π4 . Note que essa recorrência sugere ser
do tipo de Recorrência de 3ª Ordem. Utilizando alguns conceitos das Relações
de Recorrência de 3ª Ordem de acordo com (DOMINGUES, Gustavo Franco
Marra, 2005), vamos chegar a uma forma geral para todas as soluções desta
recorrência.
5 RELAÇÕES DE RECORRÊNCIA DE 3ª OR-
DEM
5.1 Recorrência de 3ª Ordem Homogênea
Definição: Sejam a0, a1, a2 ∈ R com a0 6= 0. Dizemos que uma equação é
uma equação de recorrência homogênea de 3ª ordem quando ela é da forma:
xn+3 = a0.xn+2 + a1.xn+1 + a2.xn, n ∈ N(1)
Uma sequência (xn)
∞
n0 ou simplesmente x(n) é uma solução para (1) se ela
satisfizer a equação para todo n ∈ N. Denotamos: x(n) = xn. Dados números
reais x0, x1, x2, o problema de encontrar uma sequência que satisfaça (1) é
chamada de Problema de Valor Inicial (PVI).
Teorema 1: Um Problema de Valor Inicial para (1) tem solução única.
Demonstração: Vamos supor que x(0) = x0, x(1) = x1, x(2) = x2 sejam
números reais dados. Teremos a sequência x(n) = xn tal que:
x(0) = x0
x(1) = x1
x(2) = x2
x(3) = a0.x2 + a1.x1 + a2.x0 = x3
x(4) = a0.x3 + a1.x2 + a2.x1 = x4
...
x(n) = a0.x(n−1) + a1.x(n−2) + a2.x(n−3) = xn
...
x(n+ 3) = a0.xn+2 + a1.xn+1 + a2.xn = xn+3
Como cada um desses elementos fica unicamente determinado, temos que a
solução do PVI é única.
7
5.2 Equação Caracteŕıstica
Para obter uma caracterização das soluções de (1), vamos supor que (1)
admita uma solução exponencial da forma xn = λ
n, λ ∈ R, λ 6= 0. Dessa forma,
temos, necessariamente:
λn+3 = a0.λ
n+2 + a1.λ
n+1 + a2.λ
n
λn.(λ3 − a0.λ2 − a1.λ− a2) = 0
λ3 − a0.λ2 − a1.λ− a2 = 0(2)
Logo, λ existe e é solução de (2), pois existem ráızes deste polinômio em λ.
A equação (2) é chamada equação caracteŕıstica associada a (1), ou polinômio
caracteŕıstico associado a (1).
Sabemos que as ráızes de (2) apresentam uma única configuração dentre as
duas a seguir:
i) Todas elas são reais (podendo ser todas distintas, duas iguais e uma dis-
tinta, ou uma única raiz de multiplicidade 3).
ii) Uma delas é real e as outras duas são complexas conjugadas.
Assim para a recorrência An+3 = (An+2 +An+1).2−An, onde n ≥ 0, temos
a seguinte equação caracteŕıstica λ3 − 2.λ2 − 2.λ − (−1) = 0 que é equivalente
a λ3 − 2.λ2 − 2.λ+ 1 = 0 e calculando suas ráızes temos r1 = −1, r2 = 3+
√
5
2 e
r3 =
3−
√
5
2 onde podemos observar que r1 6= r2 6= r3.
5.3 Solução da Recorrência
Teorema 2: Sejam xn a solução de um PVI e r1, r2 e r3 ráızes de (2). Se,
r1 6= r2 6= r3 (ri ∈ R), então β = rn1 , rn2 , rn3 é uma base de S e, neste caso,
existem a, b, c ∈ R tais que xn = a.rn1 + b.rn2 + c.rn3 , n ∈ R.
Demonstração: Seja xi(n) = r
n
i , i = 1, 2, 3 (ou seja, estamos supondo que
(1) admite solução exponencial da forma indicada) e s(r) = r3− a0.r2− a1.r−
a2 = 0. Se r1, r2 e r3 são as ráızes distintas de s(r), temos:
r3i − a0.r2i − a1.r1i − a2.r0i = r3i − a0.r2i − a1.ri − a2
= rni .(r
3
i − a0.r2i − a1.ri − a2)
= rn+3i − a0.r
n+2
i − a1.r
n+1
i − a2.r
n
i
= xi.(n+ 3)− ao.xi(n+ 2)− a1.xi.(n+ 1)− a2.xi(n)
= 0 para i = 1, 2, 3.
Pelo Teorema 2 temos que, se xi(n) = r
n
i , então r
n
1 , r
n
2 e r
n
3 são soluções
de (1). Portanto, existem a, b, c reais tais que xn = a.r
n
1+ b.r
n
2 + c.r
n
3 . Logo
rn1 , r
n
2 , r
n
3 constitui uma base do espaço S.
8
6 DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO DA RE-
CORRÊNCIA FORMADA PELAS ÁREAS
DOS UM QUARTOS DE CÍRCULOS
Baseado então no Teorema 2, temos então que podemos representar a
solução geral da recorrência de 3ª ordem por xn = a.r
n
1 + b.r
n
2 + c.r
n
3 , n ∈ R,
que no nosso caso fica como An = a.r
n
1 + b.r
n
2 + c.r
n
3 e substituindo r1, r2 e r3
(ráızes da equação caracteŕıstica obtidas anteriormente) temos:
An = a.(−1)n + b.
(
3 +
√
5
2
)n
+ c.
(
3−
√
5
2
)n
Lembrando que nossa sequência formada pelas áreas dos um quartos de
ćırculos presentes na espiral de Fibonacci é:
0,
π
4
,
π
4
, π,
9π
4
,
25π
4
, 16π,
169π
4
,
441π
4
, 289π,
3025π
4
,
7921π
4
, 5184π,
54289π
4
, ...
Temos então que A0 = 0, A1 =
π
4 , A2 =
π
4 , e assim podemos montar o
seguinte sistema:
A0 = a.(−1)0 + b.
(
3+
√
5
2
)0
+ c.
(
3−
√
5
2
)0
A1 = a.(−1)1 + b.
(
3+
√
5
2
)1
+ c.
(
3−
√
5
2
)1
A2 = a.(−1)2 + b.
(
3+
√
5
2
)2
+ c.
(
3−
√
5
2
)2
⇔
a+ b+ c = 0
−a+
(
3+
√
5
2
)
.b+
(
3−
√
5
2
)
.c = π4
a+
(
7+3
√
5
2
)
.b+
(
7−3
√
5
2
)
.c = π4
Resolvendo o sistema acima encontramos, a = −π10 , b =
π
20 e c =
π
20 . E,
portanto a solução geral para a recorrência será:
An =
−π
10
.(−1)n + π
20
.
(
3 +
√
5
2
)n
+
π
20
.
(
3−
√
5
2
)n
válida para n ∈ R tal que n ≥ 0, ou simplesmente válida ∀n ∈ N ∪ 0.
É fácil ver a validez dessa solução geral fazendo n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , veja:
A0 =
−π
10
.(−1)0 + π
20
.
(
3 +
√
5
2
)0
+
π
20
.
(
3−
√
5
2
)0
= 0
A1 =
−π
10
.(−1)1 + π
20
.
(
3 +
√
5
2
)1
+
π
20
.
(
3−
√
5
2
)1
=
π
4
9
A2 =
−π
10
.(−1)2 + π
20
.
(
3 +
√
5
2
)2
+
π
20
.
(
3−
√
5
2
)2
=
π
4
A3 =
−π
10
.(−1)3 + π
20
.
(
3 +
√
5
2
)3
+
π
20
.
(
3−
√
5
2
)3
= π
A4 =
−π
10
.(−1)4 + π
20
.
(
3 +
√
5
2
)4
+
π
20
.
(
3−
√
5
2
)4
=
9π
4
A5 =
−π
10
.(−1)5 + π
20
.
(
3 +
√
5
2
)5
+
π
20
.
(
3−
√
5
2
)5
=
25π
4
A6 =
−π
10
.(−1)6 + π
20
.
(
3 +
√
5
2
)6
+
π
20
.
(
3−
√
5
2
)6
= 16π
...
7 CONCLUSÕES
Muitas descobertas matemáticas, mesmo que simples são feitas graças a di-
versos personagens que contribuem com alguns argumentos ao longo da história.
Fato é que a sequência de Fibonacci teve seus primeiros números enunciados por
Euclides em 300 a.C. ao descrever a secção de um segmento em duas partes de-
siguais de modo que a razão entre o segmento todo e a parte maior e a razão
entre a parte maior e a parte menor fossem iguais, cuja solução única que fora
denominada extrema e média razão aponta para um número algébrico irracional
menos prestigiado que o número π, e simbolizado pela letra grega ϕ. (SILVA,
Meibi Regina Oliveira da, 2019).
Muito tempo depois surgiu uma sequência de números (1, 1, 2, 3, 5, 13...)
determinada pela solução de um problema, acerca da reprodução de coelhos
proposto por Leonardo Fibonacci (1180-1250), e somente cerca de quinze séculos
depois veio à definição da Razão Áurea.
São fascinantes as possibilidades que a matemática nos proporciona. Afirma-
ções e conjecturas antigas podem e devem ser discutidas e investigadas muitos
anos depois. Neste artigo fizemos uma investigação sobre a sequência numérica
que surge, quando calculamos as áreas dos um quarto de ćırculos presentes na
espiral de Fibonacci, espiral esta que surge utilizando-se os números da sequência
de Fibonacci como base.
Ao montar a sequência formada pelas áreas dos um quarto de ćırculos,
percebeu-se uma regra de definição dos termos subsequentes, dáı fez-se uma
afirmação e logo após isso sua prova. Utilizando as relações de recorrência de
3ª ordem, estas poucos estudadas, conseguimos definir uma fórmula geral para
a formação dos termos desta sequência. E de sorte esta fórmula geral funci-
ona para qualquer termo n ≥ 0. Aproveito aqui para agradecer aos professores
Drº. Reinaldo de Marchi, Drº. Aldi Nestor de Souza e Drº. Hector Flores do
ProfMat da UFMT (Universidade Federal de Mato Grosso) pelas contribuições
dadas para que este trabalho pudesse ser constrúıdo.
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8 REFERÊNCIAS
ÁVILA, Geraldo. Introdução à Análise Matemática. São Paulo: Blucher,
1999.
DOMINGUES, Gustavo Franco Marra. Relações de Recorrência de 3ª Or-
dem. Universidade Federal de Uberlândia. Uberlândia, 2005.
KOSHY, Thomas. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Vo-
lume One, Second Edition. John Wiley & Sons, Inc. Published by John Wiley
& Sons, Inc. 2018.
LÍVIO, Mário. Razão Áurea: a história de Fi, um número surpreendente.
4. ed. Tradução de Marco Shinobu Matsumura. Rio de Janeiro: Record, 2009.
SILVA, Meibi Regina Oliveira da. Uma análise cŕıtica às afirmações associa-
das à Razão Áurea e à sequência de Fibonacci / Meibi Regina Oliveira da Silva.
Maringá, 2019.
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