MG - 01 Vetor força

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MECÂNICA GERAL
PROFESSOR: LEANDRO LOPES HERMSDORFF
VETOR FORÇA
1
Vetor força:
▪ Operações com vetores:
Multiplicação de um
vetor por um escalar
Soma de dois vetores
(regra do paralelogramo)
Vetor força:
▪ Operações com vetores:
Subtração de vetores:
Vetor força:
Podemos encontrar a força resultante agindo em um
ponto (ou em um corpo qualquer) simplesmente
somando os vetores força que agem sobre ele.
Vetor força:
▪ Decomposição de uma força em eixos ortogonais:
𝐹𝑥 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐹 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2
𝑡𝑔𝜃 =
𝐹𝑦
𝐹𝑥
As quantidades 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 são chamadas de componentes do
vetor Ԧ𝐹.
Vetor força:
▪ Decomposição de uma força em eixos quaisquer:
▪ Notação de vetores unitários: Ԧ𝐹 = 𝐹𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐹𝑦 Ƹ𝑗
Fazemos uso da lei
dos senos e da lei dos
cossenos!
Exemplo:
Encontre a intensidade e a direção da força resultante da soma das
duas forças da figura.
Exemplo:
Decomponha a força horizontal de 600 lb da figura em
componentes nas direções dos eixos 𝑢 e 𝑣.
Exemplo:
Encontre a magnitude da força 𝑭 mostrada se a força resultante da
soma das duas forças aponta no sentido positivo do eixo 𝑦.
Exemplo:
Encontre o vetor força resultante devido as três forças que atuam na
ponta da lança da figura:
Vetor força:
▪ Produto escalar: Ԧ𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵 cos 𝜃
Ou: Ԧ𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
Lembre-se: produto escalar gera um escalar!
Componentes de um vetor em 3D:
Estudaremos a decomposição de
vetores em eixos coordenados
tridimensionais do tipo dextrogiro.
Podemos representar o vetor Ԧ𝐴 da
figura em função de suas três
componentes tridimensionais:
Ԧ𝐴 = 𝐴𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ𝑗 + 𝐴𝑧 ෠𝑘
Componentes de um vetor em 3D:
Pode ser mostrado que o módulo do
vetor Ԧ𝐴 está relacionado com as
componentes segundo o teorema
de Pitágoras escrito na forma:
𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐴𝑧
2
Componentes de um vetor em 3D:
Definimos os ângulos diretores de
um vetor em um plano cartesiano
tridimensional os ângulos que o
vetor faz com cada eixo coordenado.
Na figura, os ângulos que o vetor Ԧ𝐴
faz com os eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são 𝛼, 𝛽 e
𝛾, respectivamente.
Componentes de um vetor em 3D:
Note que:
Essas quantidades são chamadas de cosenos
diretores do vetor Ԧ𝐴.
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝐴𝑥
𝐴
cos𝛽 =
𝐴𝑦
𝐴
𝑐𝑜𝑠𝛾 =
𝐴𝑧
𝐴
Componentes de um vetor em 3D:
Podemos definir o vetor unitário ො𝑢𝐴, que aponta no
sentido do vetor Ԧ𝐴:
Ou:
Podemos escrever:
Ԧ𝐴 = 𝐴 ො𝑢𝐴
ො𝑢𝐴 =
Ԧ𝐴
𝐴
=
𝐴𝑥
𝐴
Ƹ𝑖 +
𝐴𝑦
𝐴
Ƹ𝑗 +
𝐴𝑧
𝐴
෠𝑘
ො𝑢𝐴 = cos 𝛼 Ƹ𝑖 + cos 𝛽 Ƹ𝑗 + cos 𝛾 ෠𝑘
Componentes de um vetor em 3D:
Como um vetor unitário possui módulo igual a 1:
ො𝑢 = 1
Logo:
Note que, caso conheçamos dois ângulos, podemos
usar a relação acima para encontrar o valor do ângulo
desconhecido.
cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1
Adição de vetores cartesianos:
Para adicionarmos vetores, somamos
as componentes paralelas:
𝑅 = Ԧ𝐴 + 𝐵
𝑅 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 Ƹ𝑗 + 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 ෠𝑘
Com:
𝑅𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥
𝑅𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦
𝑅𝑧 = 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧
Exemplo:
Expresse o vetor Ԧ𝐹 da figura como um vetor cartesiano:
Exemplo:
Determine a magnitude e os ângulos diretores do vetor obtido da
soma dos vetores Ԧ𝐹1 e Ԧ𝐹2 da figura.
Componentes de um vetor em 3D:
Algumas vezes é comum representar
a direção de um vetor em função de
apenas dois ângulos, 𝜃 e 𝜙, como
está representado para o vetor Ԧ𝐴 da
figura. Nessa situação:
𝐴𝑧 = 𝐴 cos𝜙
𝐴′ = 𝐴 sen𝜙
Componentes de um vetor em 3D:
Decompondo 𝐴′ nas direções 𝑥 e 𝑦:
Note que as expressões acima não
precisam ser decoradas. É mais útil
analisar a figura e encontrar as
componentes através das relações
adequadas.
𝐴𝑥 = 𝐴 sen𝜙 cos 𝜃
𝐴𝑦 = 𝐴 sen𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝐴𝑧 = 𝐴 cos𝜙
Exemplo:
Expresse a força Ԧ𝐹 da figura como um vetor cartesiano:
Exemplo:
Duas forças agem no gancho da figura. Especifique a magnitude e os
ângulos diretores de Ԧ𝐹2 de modo que a força resultante da soma dos
dois vetores aponte no sentido positivo do eixo 𝑦 e possua módulo
de 800 N.