Equações Trigonométricas - Resumo Teórico e Exercícios

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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PROFESSOR(A): FABRÍCIO MAIA
ASSUNTO: EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FRENTE: MATEMÁTICA I
006.307 – 132232/18
AULAS 19 E 20
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Equações Trigonométricas
Em Álgebra, costumamos defi nir as equações como toda 
sentença matemática aberta expressa por uma igualdade. Assim, uma 
equação é dita trigonométrica quando em sua composição o valor 
desconhecido aparece relacionado com seno, cosseno, tangente, 
cotangente, secante ou cossecante. Resolvê-la, consiste em encontrar 
os valores que verifi cam a sentença.
Seno, Cosseno e Tangente (Arcos Notáveis)
α senα cosα tgα
0 0 1 0
π
6
1
2
3
2
3
3
π
4
2
2
2
2
1
π
3
3
2
1
2
3
π
2
1 0 ∃
Exercícios
01. Com relação à equação 
tg x tgx
tg x
3
2
3
1 3
1 0
− ⋅
− ⋅
+ = , podemos afi rmar 
que
A) no intervalo −



π π
2 2
, a soma das soluções é igual a 0.
B) no intervalo −



π π
2 2
, a soma das soluções é maior que 0.
C) a equação admite apenas uma solução real.
D) existe uma única solução no intervalo 0
2
,
π



.
E) existem duas soluções no intervalo −




π
2
0, .
02. O número de soluções da equação (1 + secθ)⋅(1 + cossecθ) = 0, 
com θ ∈ [−π, π], é
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
03. Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2⋅senx – cosx = 1 
são
A) arccos
3
5



 e π B) arcsen
3
5



 e π
C) arcsen −


4
5
e π D) arccos −


4
5
e π
E) arccos
4
5



 e π
04. Sejam α e β números reais tais que α, β, α + β ∈ ]0, 2π[ satisfazem as 
equações cos cos2 4
2
4
5 2
1
5
α α


 =



 + e 
cos cos .2 4
3
4
7 3
3
7
β β


 =



 + 
Então, o menor valor de cos(α + β) é igual a
A) –1 B) −
3
2
C) −
2
2
 D) −
1
2
E) 0
05. Se 
cos
cos
x
y
sen x
sen y
+ = −1, calcule o valor S.
 
S
y y
x
seny sen y
senx
= + + −3 3 3 3cos cos
cos
06. Seja a equação sen x
tgx
( )2 1
2
= . As soluções dessa equação para 
x ∈ −



π π
2
, formam um polígono no círculo trigonométrico de 
área
A) 
3
2
 B) 3
C) 
5 3
8
 D) 
1
2
E) 1
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MÓDULO DE ESTUDO
006.307 – 132232/18
07. Determine o conjunto solução da equação:
sen x tg x tg
x
x( ) +

 = −1 2
4 cotg
08. O número de soluções da equação 
 cos(8x) = sen(2x) + tg2(x) + cotg2(x) no intervalo [0, 2π) é:
A) 0 B) 1
C) 2 D) 4
E) 8
09. Determine o conjunto das soluções reais da equação 
3
2
12 2cossec
x
tg x

 − = .
10. Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais 
e distintas x ∈ [0, 2π] da equação cos8x – sen8x + 4sen6 x = a. Das 
afi rmações:
I. Se a = 0, então n = 0;
II. Se a = 
1
2
, então n = 8;
III. Se a = 1, então n = 7;
IV. Se a = 3, então n = 2.
é(são) verdadeira(s)
A) apenas I B) apenas III
C) apenas I e III D) apenas II e IV
E) todas
11. Seja x ∈ [0, 2π] tal que sen(x)cos(x) = 
2
5
. Então, o produto e a 
soma de todos os possíveis valores de tg(x) são, respectivamente
A) 1 e 0 B) 1 e 
5
2
C) –1 e 0 D) 1 e 5
E) –1 e –
5
2
12. Resolva a equação cos43x – sen43x = 
3
2
.
13. Sabe-se que uma das raízes da equação y2 – 9y + 8 = 0 pode ser 
representada pela expressão e sen x sen x sen x
n2 4 6 2+ + +( )... � . Sendo 0 < x < π
2
, 
o valor da razão 
cos
cos
x
x sen x+
 é
 Observação: �n2 representa o logaritmo neperiano de 2.
A) 
3 1
2
−
 B) 3 1−
 
C) 3 D) 
3 1
2
+
E) 3 1+
14. Resolva a equação log logcos cosx xsen x senx
2
2 4( ) ⋅ ( ) = .
15. Resolva a equação sen6 x + cos6 x = 
5
8
.
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
DIG.: ESTEFANIA – REV.: TEREZA
Anotações
GABARITO
01 02 03 04 05 06 07 08
B A A B * A * C
09 10 11 12 13 14 15
* E B * A * *
*05: S = 4
*07: S x x k k k= ∈ = + = + ∈{ }� �/ ou x ,π π π π12 512
*09: cos ;
cos arccos ;
x x k k
x x k k
= − → = ± + ∈
= → = ± 

 + ∈
1
2
2
3
2
1
3
1
3
2
π π
π
�
�
*12: 6
6
2
36 3
36 3
x k k
x k k
S x x k k
= ± + ⋅ ∈
= ± + ⋅ ∈
= ∈ = ± + ⋅ ∈{ }
π π
π π
π π
,
,
/ ,
�
�
� �
*14: S x x arcsen k k= ∈ = −



+ ⋅ ∈






� �/ ,5 1
2
2π
*15: S x x k= ∈ = +( ){ }� / ,2 18 π k inteiro