ApostiladeMatematica

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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Pato Branco
APOSTILA DE MATEMÁTICA
Autora: Prof.ª Larissa Hagedorn Vieira
Revisão: Prof.ª Marieli Musial Tumelero
Prof. Vanderlei Martins
Aluno(a):
PATO BRANCO
Conteúdo
1 Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Expressões Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Equações de 2◦ grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Frações Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10 Matrizes (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 Matrizes (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13 Sistemas de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
14 Intervalos e Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
15 Inequações do 2◦ grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
16 Inequações Produto e Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
17 Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
18 Funções (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
19 Funções (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
20 Funções (parte III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
21 Funções (parte IV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
22 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
23 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
24 Funções (parte V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
25 Relações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
26 Ćırculo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
27 Operações com Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
28 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
29 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
30 Números Complexos - Forma Algébrica (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
31 Números Complexos - Forma Algébrica (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
32 Números Complexos - Forma Trigonométrica (parte I) . . . . . . . . . . . . . . . 125
33 Números Complexos - Forma Trigonométrica (parte II) . . . . . . . . . . . . . . . 128
2
1 Frações
Resumo
Fração =
Numerador
Denominador
Propriedades:
Frações equivalentes
As frações
p · a
p · b
e
a
b
são equivalentes, onde p 6= 0.
Soma
Se os denominadores forem iguais:
a
c
+
b
c
=
a+ b
c
Se os denominadores forem diferentes:
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
Subtração
Se os denominadores forem iguais:
a
c
− b
c
=
a− b
c
Se os denominadores forem diferentes:
a
b
− c
d
=
ad− bc
bd
Multiplicação
a
b
· c
d
=
ac
bd
Divisão
Forma 1:
a
b
:
c
d
=
a
b
· d
c
=
ad
bc
Forma 2:
a
b
c
d
=
a
b
· d
c
=
ad
bc
3
Lista de Exerćıcios - Frações
1. Ache a fração equivalente a
2
5
que tenha denominador 15.
2. Escreva três frações equivalentes a
5
8
.
3. Qual a fração equivalente
5
8
que tem numerador 30?
4. Escreva as frações equivalentes a
2
3
e
3
4
com denominador 12.
5. Simplifique as frações tornando-as irredut́ıveis:
(a)
4
10
(b)
18
24
(c)
25
50
(d)
14
42
(e)
72
48
(f)
20
30
6. Reescreva as frações com um mesmo denominador comum:
(a)
3
5
e
5
4
.
(b)
2
6
e
7
4
.
(c) 3,
2
5
e
1
3
.
(d)
7
2
e
11
6
.
(e)
11
4
,
16
5
e
1
2
.
(f) 1,
1
2
,
1
4
e
1
8
.
7. Efetue as operações simplificando sempre que posśıvel:
(a)
2
9
+
5
9
(b)
8
9
− 2
9
(c)
7
5
− 1
5
(d)
4
10
+
2
10
(e)
3
7
− 3
7
(f)
5
12
+
3
12
+
1
12
(g)
5
4
+
3
4
(h)
15
8
− 9
8
8. Efetue as operações simplificando sempre que posśıvel:
(a)
2
9
+
3
4
(b)
1
3
− 1
5
(c)
4
5
− 5
4
(d)
2
4
+
7
6
(e) 3− 2
5
(f)
2
5
+
3
10
(g)
7
2
+
4
5
(h)
7
2
− 11
4
9. Calcule o valor das expressões
(a)
3
4
+
1
3
− 1
6
(b) 3 +
5
2
− 1
4
(c)
1
2
+
4
3
− 5
4
(d)
11
12
− 5
6
+
2
9
10. Sendo a =
13
4
− 5
3
e b =
5
3
− 1
2
, calcule a+ b e a− b.
11. Efetue:
(a)
3
4
· 5
3
(b)
5
3
· 2
5
· 7
2
(c)
4
15
· 10
9
(d)
2
9
· 3
15
· 10
2
12. Efetue:
4
(a) 6 :
2
5
(b) 5 :
3
4
(c)
2
5
: 3
(d)
5
9
: 2
(e)
5
8
:
7
6
(f)
9
5
:
3
2
(g)
2
5
:
2
3
(h)
1
8
:
1
2
(i)
7
2
: 7
(j) 2 :
7
2
(k)
11
5
:
11
5
(l) 0 :
28
9
13. Calcule:
(a)
3
7
4
5
(b)
1
5
6
9
(c)
4
5
8
(d)
9
7
6
(e)
4
3
12
(f)
3
28
5
14
Desafios:
14. Qual o valor da expressão
a+ b
1− a · b
sabendo que a =
1
2
e b =
1
3
?
15. Calcule as frações abaixo:
(a) 3− 1
6
+
1
15
(b)
1
5
+ 1 +
6
4
(c)
4
5
+
2
9
· 4
5
(d)
(
4
7
· 2
5
)
:
2
3
(e)
6
7
− 2
5
:
1
2
(f)
4
7
· 2
5
+
3
11
· 2
7
(g)
(
2
3
· 4
5
+
2
9
)
· 1
2
(h)
52 + {4 · [104 + (576 : 72)]}{
4 ·
[
4 +
(
572 · 1
143
)]}
: 28
(i)
2
5 +
2
4 +
2
3
(j)
5
2− 1
4− 2
5
(k)
15
5− 3
4
− 7
3− 2
3
5
7− 4
7
+
3
4− 2
5
(l)
1
1 +
1
2 +
1
3 +
1
4 +
1
5
5
Respostas - Frações
1.
6
15
2.
10
16
,
15
24
,
50
80
, · · · 3. 30
48
4.
8
12
e
9
12
5. (a)
2
5
(b)
3
4
(c)
1
2
(d)
1
3
(e)
3
2
(f)
2
3
6. (a)
12
20
e
25
20
.
(b)
4
12
e
21
12
.
(c)
45
15
,
6
15
e
5
15
.
(d)
21
6
e
11
6
.
(e)
55
20
,
64
20
e
10
20
.
(f)
8
8
,
4
8
,
2
8
e
1
8
.
7. (a)
7
9
(b)
2
3
(c)
6
5
(d)
3
5
(e) 0
(f)
3
4
(g) 2
(h)
3
4
8. (a)
35
36
(b)
2
15
(c)
−9
20
(d)
5
3
(e)
13
5
(f)
7
10
(g)
43
10
(h)
3
4
9. (a)
11
12
(b)
21
4
(c)
7
12
(d)
11
36
10. a+ b =
33
12
e a− b = 5
12
.
11. (a)
5
4
(b)
7
3
(c)
8
27
(d)
2
9
12. (a) 15
(b)
20
3
(c)
2
15
(d)
5
18
(e)
15
28
(f)
6
5
(g)
3
5
(h)
1
4
(i)
1
2
(j)
4
7
(k) 1
(l) 0
13. (a)
15
28
(b)
3
10
(c)
1
10
(d)
54
7
(e)
1
9
(f)
3
10
Desafios:
14. 1
15. (a)
29
10
(b)
27
10
(c)
44
45
(d)
12
35
(e)
2
35
(f)
118
385
(g)
17
45
(h)
875
2
(i)
7
19
(j)
90
31
(k)
162
493
(l)
157
225
6
2 Potências
Resumo
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n−vezes
Propriedades:
� a1 = a
� a0 = 1, a 6= 0
� am · an = am+n
�
am
an
= am−n, a 6= 0
� (am)n = am·n
� a−m =
1
am
, a 6= 0
�
(a
b
)m
=
am
bm
, b 6= 0
� (a · b)m = am · bm
7
Lista de Exerćıcios - Potências
1. Calcule as potências:
(a)
(
3
7
)0
(b)
(
1
7
)−1
(c)
(
2
7
)2
(d)
(
3
7
)3
(e)
(
−3
5
)0
(f)
(
−4
7
)1
(g)
(
−2
9
)−2
(h)
(
−3
5
)3
(i)
(
3
4
)−2
(j)
(
−5
4
)−2
(k)
(
−2
8
)−1
(l)
(
−7
2
)0
(m)
(
−2
3
)−4
(n)
(
−11
12
)−2
(o)
(
8
9
)−2
(p)
(
−1
5
)−4
2. Reduza a uma só potência:
(a)
(
−2
3
)4
·
(
−2
3
)2
(b)
(
1
2
)3
·
(
1
2
)4
·
(
1
2
)
(c)
(
1
5
)5
:
(
1
5
)2
(d)
(
−7
3
)6
:
(
7
3
)4
(e)
(
3
4
)−5
·
(
3
4
)2
(f)
(
−5
4
)−1
:
(
−5
4
)−6
(g)
(
4
5
)−2:
(
−4
5
)5
(h)
(
−1
2
)4
:
(
−1
2
)6
(i)
(
7
2
)4
:
(
−7
2
)6
(j)
[(
5
3
)0]−2
(k)
[(
1
9
)−1]−2
(l)
[(
7
8
)4]4
(m)
[(
3
2
)2]−3
3. Encontre os valores que substituem os espaços em branco na tabela abaixo.
n 0 1 2 3
3n 1 3
(−3)n
(−3)−n −1
3
4. Descubra o valor de x em cada sentença.
(a) (−0, 2)x · (−0, 2)5 = (0, 2)12
(b)
(
2
5
)6
:
(
2
5
)x
=
2
5
(c) [(−4)x]4 = (−4)8
(d)
[(
1
4
)3]x
= 412
(e) (1, 5)4 : (1, 5)x = 1
5. Sabendo que a =
(
2
3
)−1
e b = −5
2
, calcule:
8
(a) a− b (b) a
b
(c) a · b2 (d) (a+ b)2 (e) a2−2ab+b2
6. Sendo x =
(
2− 1
2
)−2
e y =
(
1 +
1
3
)−1
, calcule xy.
7. Considerando m =
(
4
5
− 1
2
)−3
e n =
(
3 +
1
3
)2
, encontre o valor de mn− m
n
.
8. Resolva as expressões:
(a)
[
2
5
·
(
2− 3
4
)]
:
(
1
2
)2
(b)
[(
3
2
− 8
9
+
1
6
)2
·
(
3− 18
7
)2
+
5
6
]
:
(
7
3
+
1
2
)2
(c)
[(
2
3
− 1
2
)2
· 18
5
]−2
:
(
1
2
+
1
5
)2
(d)
(
3
2
)3
:
3
4
−
[(
2− 1
2
)2
− 3
4
]
Desafios
9. Se 2n = 15 e 2p = 20, qual o valor de 2n−p+3?
10. Sendo a = (22)3, b = 22
3
e c = 23
2
, qual o produto abc?
11. Classifique em verdadeiro (V ) ou falso (F ):
(a) ( ) (0, 001)−3 = 109
(b) ( ) −2−2 = 1
4
(c) ( ) (a−1 + b−1)−2 = a2 + b2
(d) ( )
(
2
3
)2
=
(
3
2
)−2
(e) ( ) se x = 1, x−1 = x
(f) ( )
2
3
<
3
2
(g) ( ) (0, 1)−2 =
1
100
(h) ( ) (−2)0 = 1
(i) ( ) (3x)y = 3x
y
(j) ( ) (2x · 3y)2 = 22x · 32y
(k) ( ) 5x + 3x = 8x
(l) ( ) 3 · 2x = 6x
9
Respostas - Potências
1. (a) 1
(b) 7
(c)
4
49
(d)
27
343
(e) 1
(f) −4
7
(g)
81
4
(h) − 27
125
(i)
16
9
(j)
16
25
(k) −4
(l) 1
(m)
81
16
(n)
144
121
(o)
81
64
(p) 625
2. (a)
(
−2
3
)6
(b)
(
1
2
)8
(c)
(
1
5
)3
(d)
(
−7
3
)2
(e)
(
3
4
)−3
(f)
(
−5
4
)5
(g)
(
−4
5
)−7
(h)
(
−1
2
)−2
(i)
(
7
2
)−2
(j)
(
5
3
)0
(k)
(
1
9
)2
(l)
(
7
8
)16
(m)
(
3
2
)−6
3.
n 0 1 2 3
3n 1 3 9 27
(−3)n 1 −3 9 −27
(−3)−n 1 −1
3
1
9
− 1
27
4. (a) x = 7 (b) x = 5 (c) x = 2 (d) x = −4 (e) x = 4
5. (a) 4 (b) −3
5
(c)
75
8
(d) 1 (e) 16
6.
1
3
7.
99190
243
8. (a) 2 (b)
2
17
(c)
10000
49
(d) 3
9. 6 10. 223
11. (a) (V )
(b) (F )
(c) (F )
(d) (V )
(e) (V )
(f) (V )
(g) (F )
(h) (V )
(i) (F )
(j) (V )
(k) (F )
(l) (F )
10
3 Radiciação
Resumo
Propriedades:
�
m
√
am = a
�
m
√
a
m
√
b
= m
√
a
b
, b 6= 0
� m
√
a · m
√
b = m
√
a · b
�
m
√
an = a
n
m
�
m
√
n
√
a = m·n
√
a, m 6= 0
�
mr
√
anr = m
√
an
11
Lista de Exerćıcios - Radiciação
1. Calcule:
(a)
√
289 (b)
√
196 (c)
√
441 (d)
√
400 (e)
3
√
133
2. Simplifique:
(a)
√
22 · 5
(b)
√
25 · 33 · 56
(c)
3
√
27 · 53
(d)
10
√
243 · 523
(e)
4
√
221 · 312
(f)
√
18
(g) 3
√
−1296
(h) 10
√
5120
(i)
√
112
(j) 3
√
1152
3. Efetue as operações reduzindo a um único radical e simplificando quando posśıvel:
(a)
3
√
625
3
√
5
(b)
3
√√
64
(c)
5
√
210
(d)
3
√
9 3
√
10
3
√
11 3
√
12
(e) 3
√
2 · 3
√
16 · 3
√
2
(f)
√
8 ·
√
10√
20 ·
√
2
(g) 3
√
2 · 4
√
3
(h)
3
√
16
4
√
32
(i)
√
14
√
15√
6
(j)
√
1024√
512
4. Encontre o valor de n em cada igualdade abaixo:
(a) 8
√
7n = 7
(b)
√
n
√
110 = 12
√
110
(c)
√√√
5 = n
√
5
(d)
(
n
√
2
)8
= 4
5. Calcule:
(a)
√
28 +
√
63
(b)
√
44 +
√
99 +
√
1100
(c)
√
40 +
√
90−
√
250
(d) 3
√
750− 3
√
48 + 3
√
162
(e) 3
√
192−
(
3
√
24 +
3
√
3
)
(f)
√
5
(√
6 +
√
7
)
(g)
(√
2 +
√
5
)(√
8 +
√
125
)
(h)
(
3
√
3 +
3
√
2
) (
3
√
27− 3
√
2
)
(i)
(
5 +
√
2
)(
7−
√
2
)
(j)
(√
7 + 2
)(√
7 + 2
)
(k)
(√
7 + 2
)(√
7− 2
)
(l)
(
4
√
2 + 1
)(
4
√
2− 1
)(
4
√
2 + 1
)
6. Racionalize o denominador:
(a)
3√
6
(b)
14√
21
(c)
1
7
√
11
12
(d)
1
4
√
33
(e)
1
3
√
49
(f)
3
5
√
2
(g)
6√
5 + 1
(h)
√
10− 3√
5−
√
2
(i)
√
7 + 1√
7− 2
7. Resolva, simplificando quando posśıvel:
(a)
3
√
8−4
(b)
(
− 1
243
)− 2
5
(c) (0, 064)
1
3 (0, 0625)
1
4
(d)
√
500− 3
√
20 + 2− 2
√
5√
5− 1
(e) (2
√
8 + 3
√
5− 7
√
2)(
√
72 +
√
20− 4
√
2)
(f)
√
3
5
+
√
5
3
(g)
√
13 +
√
7 +
√
2 +
√
4
8. Qual o valor da expressão
3
√
−1 + 3
√
8 +
√
4√
9 + 16
?
9. Simplifique a expressão
(
3
√
6
√
29
)5
·
(
6
√
3
√
29
)5
.
10. Seja x =
√
3 + 1√
3− 1
e y =
√
3− 1√
3 + 1
, calcule o valor de x+ y.
11. Sendo A = −
(
2 +
√
3
) (
2−
√
3
)(
2 +
√
3
)2
+
(
2−
√
3
)2 , calcule A−1.
12. Qual o quociente de 83x−4 por
√
42−x?
13. Racionalize o denominador e simplifique:
(a)
1 +
√
3√
3− 1
(b)
2−
√
2√
2− 1
(c)
√
7 + 1√
7− 1
√
7− 1√
7 + 1
(d)
√
2
4
− 1√
2
(e)
1− 1√
3
1 + 1√
3
14. Simplifique as expressões abaixo:
(a)
√
x√
x+ 1 +
√
x
(b)
2
√
x+ 1√
x+ 1−
√
x− 1
13
Respostas - Radiciação
1. (a) 17 (b) 14 (c) 21 (d) 20 (e) 13
2. (a) 2
√
5
(b) 1500
√
6
(c) 20 3
√
2
(d) 400 10
√
1000
(e) 864 4
√
2
(f) 3
√
2
(g) −6 3
√
6
(h) 2 10
√
5
(i) 4
√
7
(j) 4 3
√
18
3. (a) 5
(b) 2
(c) 4
(d) 3
√
15
22
(e) 4
(f)
√
2
(g) 12
√
432
(h) 12
√
2
(i)
√
35
(j)
√
2
4. (a) n = 8 (b) n = 6 (c) n = 8 (d) n = 4
5. (a) 5
√
7
(b) 15
√
11
(c) 0
(d) 6 3
√
6
(e) 3
√
3
(f)
√
30 +
√
35
(g) 29 + 7
√
10
(h) 3 3
√
3− 3
√
6 + 3 3
√
2− 3
√
4
(i) 33 + 2
√
2
(j) 11 + 4
√
7
(k) 3
(l) 4
√
2 + 1
6. (a)
√
6
2
(b)
2
√
21
3
(c)
√
11
77
(d)
4
√
3
3
(e)
3
√
7
7
(f)
3 5
√
16
2
(g)
3
√
5− 3
2
(h)
2
√
2−
√
5
3
(i) 3 +
√
7
7. (a)
1
16
(b) 9
(c)
1
5
(d) 3 +
√
5
(e) 18
(f)
8
√
15
15
(g) 4
8.
3
5
9. 32 10. 4 11. −14 12. 210x−14
13. (a) 2 +
√
3
(b)
√
2
(c) 1
(d) −
√
2
4
(e) 2−
√
3
14. (a)
√
x2 + x− x (b) x+ 1 +
√
x2 − 1
14
4 Expressões Algébricas
Resumo
Expressão algébrica é aquela que tem apenas letras e números.
Monômio: é quando a expressão algébrica possui somente um produto.
Coeficiente: parte númerica dos monômios.
Parte literal: parte com letras dos monômios.
Monômio nulo: o número zero.
Operações:
� Adição: só pode ser realizada a soma de monômios se eles possuem a mesma parte literal.
Como fazer: Soma-se os coeficientes e mantém-se a parte literal.
Exemplo: 3ax+ 4ax = 7ax
� Substração: só pode ser realizada a subtração de monômios se eles possuem a mesma parte
literal.
Como fazer: Subtráı-se os coeficientes e mantém-se a parte literal.
Exemplo: ax− 10ax = −9ax
� Multiplicação de monômios:
Como fazer: Multiplica-se os coeficientes e multiplica-se as partes literais.
Exemplo: 4xy · 6abx = 24abx2y
� Multiplicação de expressões algébricas:
Como fazer: Utiliza-se a propriedade distributiva e a multiplicação de monômios.
Propriedade distributiva: a(b+ c) = ab+ ac.
Exemplo: (2x+ 3y) · (xy + 1) = 2x2y + 2x+ 3xy2 + 3y
� Divisão de monômios:
Como fazer: Divide-se os coeficientes e divide-se as partes literais.
Exemplo:
15abc3
3bc2
= 5ac
15
Lista de Exerćıcios - Expressões Algébricas
1. Escreva as frases abaixo através de expressões algébricas:
(a) O peŕımetro de um quadrado de lado x.
(b) A área de um triângulo de base x e altura y.
(c) O volume de uma caixa de sapato de medidas a, b e c.
(d) O dobro de um número somado com a quarta parte do quadrado de outro número.
(e) O quadrado da soma de dois números distintos, menos três quartros do primeiro
número.
(f) Metade de um número somada com a raiz quadrada da diferença entre outro número e
5.
2. Helena foi ao mercado com 10 notas de x reais, 8 notas de y reais e 5 notas de z reais. Pagou
suas compras com 2 notas de x reais, 4 notas de y reais e 5 notas de z reais.
(a) Escreva a expressão que representa o total de reais com que ela foi ao supermercado.
(b) Escreva a expressão que representa o total de reais gasto.
(c) Determine a expressão que representa o total de reais que lhe restou.
(d) Para x = 1, y = 5 e z = 10, qual é a quantia que lhe sobrou?
3. Calcule:
(a) (5a− 2b)− (2c− 3a+ b)
(b) (3x2− 5x+ 2)− (x2 + 6x+ 4) + (5x− 7)
(c) (a2 − ab) + (b2 − ab)− (a2 + b2)
(d) (x2+xy)−(x2+2xy+y2)+(x2+xy+3y2)
(e) (5x2+3ax−a2)−(5ax−a2)+(3ax−x2)(f)
(
3
5
a+
2
3
b− 3c
)
+
(
−2a+ 3
4
b+
1
2
c
)
4. Qual a expressão que somado com 4x2 − 8x+ 1 dá 2x2 − 13x+ 4?
5. Da expressão A subtráı a expressão 4x− 3y + 4 e deu −4x− 6y− 9. Qual é a expressão A?
6. Dados A = x2 + 2xy + y2, B = 3x2 − 2xy + 4y2 e C = 3x2 − y2, calcule:
(a) A−B (b) B − C (c) A+B − C (d) C − 2A
7. Calcule:
(a) 2x(3x2 − 4x)
(b) −3x(2x2 − 3x− 1)
(c)
2
5
x
(
1
4
x− 1
2
)
(d) (x− 2)(x+ 5)
(e) (3x2 − 2x+ 1)(4x− 3)
(f) (x− 1)(x2 − 2xy + y2)
16
(g) (a3 + a2 − a)(a+ 1)
(h) (y − 3)(y2 + 5y − 2)
(i) (x− 1)(x2 + x+ 1)
(j) 5x(x− 3)(x+ 4)
(k) 3ab(2a+ b)(a− b)
(l) (a− 1)(a2 − 1)(a+ 1)
(m) (a+ b)(a− b) + (a− 2b)(a+ 5b)
(n) −6x(x+ y) + (x− y)(2x+ 3y)
(o) 4xy(x+ 5)(x− 1) + x(y − 1)(x+ 2)
8. Calcule:
(a) (12a2 + 9a) : (3a)
(b) (15x5 − 10x2) : (−5x)
(c) (ax+ bx) : x
(d) (3a2 + 6a) : (4a)
(e) (2x2 − 5x) : (−3x)
(f)
(
6a3 − 3
4
a2 +
a
2
)
:
(
3a
4
)
9. Divida a expressão 6x4− 16x3− 11x2 + 33x+ 20 por 3x2− 5x− 3 e calcule o quociente para
os seguintes casos:
(a) x = −
√
3 (b) x =
2
3
10. Dados A = 6x2 − 5x− 6, B = 2x2 + 5x− 12, C = 2x− 3 e D = x+ 4, calcule:
(a) BC (b) D2 (c) (A+B)D
11. Carolina comprou uma folha de cartolina quadrada de 40 cm de lado e deseja construir uma
caixa sem tampa com essa cartolina. Para isso, Carolina recortou quadrados de lado x em
cada canto da folha.
(a) Represente por meio de uma expressão algébrica a área do fundo da caixa.
(b) Se Carolina cortar quadrados de lado 6 cm, qual será a área aproveitada da folha?
17
Respostas - Expressões Algébricas
1. (a) 4x
(b)
xy
2
(c) abc
(d) 2x+
y2
4
(e) (x+ y)2 − 3x
4
(f)
x
2
+
√
y − 5
2. (a) 10x+ 8y + 5z (b) 2x+ 4y + 5z (c) 8x+ 4y (d) 28
3. (a) 8a− 3b− 2c
(b) 2x2 − 6x− 9
(c) −2ab
(d) 2y2 + x2
(e) 4x2 + ax
(f) −7
5
a+
17
12
b− 5
2
c
(g) −5
2
a− 13
5
b
(h) 2a+ 4b
(i) 2x+ 4y − 2
(j) 2x2 − 2x+ 4
(k) 3x− xy − 3y
(l) 6m2 −m− 10
4. −2x2 − 5x+ 3 5. −9y − 5
6. (a) −2x2+4xy−3y2 (b) −2xy + 5y2 (c) x2 + 6y2 (d) x2 − 4xy − 3y2
7. (a) 6x3 − 8x2
(b) −6x3 + 9x2 + 3x
(c)
x2
10
− x
5
(d) x2 + 3x− 10
(e) 12x3 − 17x2 + 10x− 3
(f) x3 − 2x2y + xy2 − x2 + 2xy − y2
(g) a4 + 2a3 − a
(h) y3 + 2y2 − 17y + 6
(i) x3 − 1
(j) 5x3 + 5x2 − 60x
(k) 6a3b− 3a2b2 − 3ab3
(l) a4 − 2a2 + 1
(m) 2a2 + 3ab− 11b2
(n) −4x2 − 5xy − 3y2
(o) 4x3y + 17x2y − 18xy − x2 − 2x
8. (a) 4a+ 3
(b) −3x4 + 2x
(c) a+ b
(d)
3a+ 6
4
(e)
5− 2x
3
(f) 8a2 − a+ 2
3
9. (a) 1 + 2
√
3 (b) −49
9
10. (a) 4x3 + 4x2 − 39x+ 36
(b) x2 + 8x+ 16
(c) 8x3 + 32x2 − 18x− 72
11. (a) 4x2 − 160x+ 1600 (b) 1456 cm2
18
5 Fatoração
Resumo
Propriedade distributiva:
a(b+ c) = ab+ ac
Produtos notáveis:
� Trinômio quadrado perfeito:
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
� Cubos:
(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
� Soma pela diferença:
(a+ b)(a− b) = a2 − b2
19
Lista de Exerćıcios - Fatoração
1. Classifique as sentenças como verdadeiras ou falsas e corrija as falsas.
(a) (x+ 8)2 = x2 + 16x+ 64
(b) (x+ 3y)2 = x2 + 3xy + (3y)2 = x2 + 3xy + 9y2
(c) (3x+ 5)2 = (3x)2 + 2(3x)5 + 52 = 3x2 + 30x+ 25
(d) (5x− 2)(5x+ 2) = 25x2 − 4
(e) (4a2 + 7b)(4a2 − 7b) = 16a2 − 49b
(f) (0, 1a3 + 0, 2b2)(0, 1a3 − 0, 2b2) = 0, 01a6 − 0, 04b4
(g) (0, 1a3 + 0, 2b2)2 = 0, 01a6 + 0, 04b2
2. Calcule:
(a) (x+ 1)2
(b) (x− y)2
(c) (4a− 5)2
(d) (3x+ 2y)2
(e) (3r3 − 1)2
(f) (5a2 + 1)2
(g) (x+ 1)3
(h)
(
1
3
x− 1
)2
(i) (x− y)(x+ y)
(j) (3a− 2y)(3a+ 2y)
(k)
(
1
2
x+ 3
)2
(l)
(
1
2
x− 2
5
y
)2
3. Reescreva as expressões realizando as operações necessárias:
(a) a(5a− 1) + (a+ 2)2
(b) (2x+ 3)2 − x(x− 4)
(c) (9y + 1)2 − (y + 9)2
(d) (1 + 5a)2 − 4a(a+ 3b)
(e) (2x+ 1)2 + (x− 5)2
(f) (x− 1)2 − (x+ 1)2
(g) x(x− 3)2 − 4
(
x+
1
2
)2
(h) (x− 3)2 − (x+ 2)2 + (x+ 3)(x− 1)
(i) (3x+ 2)(3x− 2) + (x+ 2)2
(j) (5x− 6)2 − (5x+ 4)(5x− 4)
(k) 32m2 + 16m− 2(4m+ 1)2
(l) (2a+ 1)3 − 6a(2a+ 1)
(m) (a− b)3 − 3ab(b− a)
4. Sendo 252 = 625, calcule (25 + 1)(25− 1).
5. Sabendo que 202 = 400, calcule o produto 21 · 19.
6. Se dois números têm por soma 30 e por diferença 20, então, qual é a diferença entre os
quadrados desses números?
7. Dê o valor de 26 · 28, sabendo que 272 = 729.
8. Calcule a diferença entre o cubo de (4a− b) e o cubo de (4a+ b).
9. Fatore os seguintes polinômios:
20
(a) ab+ ac
(b) x2 + 3x
(c) 5x+ 20
(d) 15x3 − 10x2
(e) a3 + a2 + a
(f) 6x2 − 9x+ 12
(g) 3x+ 6x2 + 9x3
(i) 10x3−15x2+20x
10. Fatore:
(a) 5x− xy + 15− 3y
(b) 2ax+ 3a+ 4bx+ 6b
(c) ax− 2a+ x− 2
(d) 2xy + y − 6x− 3
(e) 10x2 − 15xy − 4x+ 6y
(f) am+ bm+ an+ bn
(g) 3ax− 3a+ bx− b
(h) x3 + 3x2 + 2x+ 6
(i) a3 − a2 + a− 1
(j) 2ax− x− 6a+ 3
11. Sendo m+ n = 10 e x− y = 2, determine o valor da expressão mx−my + nx− ny.
12. Fatore:
(a) a3 − a
(b) 12x3 − 3xy2
(c) a2b− b3
(d) a3 − 9a
(e) x2 + 6x+ 9
(f) 4x2 + 12xy + 9y2
(g) x4 − 4x2 + 4
(h) x2y2 − 10xy + 25
(i) 16a2 − 8a+ 1
(j) a3 − 1
(k) 8r3 − 1
(l) 27x3 − 8y3
13. Resolva as equações, em R.
(a) x2 + 12x = 0
(b) 6x2 − 5x = 0
(c) 3x2 − 60x+ 225 = 0
(d) y2 − 25
36
= 0
(e) 4a2 + 12a+ 9 = 0
(f) 9d2 + 6d+ 1 = 0
14. Sabendo que x+ y = 14 e x2 + y2 = 116, calcule o valor de:
(a) (x+ y)2 (b) xy (c) (x− y)2
15. Qual o binômio que devemos somar à expressão x2 + 5x + 70 para obter o quadrado de
x+ 10?
16. Que expressão devemos subtrair de a2 − b2 para obter o quadrado de a− b?
17. Se a2 + b2 = 34 e ab = 15, calcule (a+ b)2.
21
Respostas - Fatoração
1. (a) (V )
(b) (F ) (x+ 3y)2 = x2 + 2 · 3xy + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2
(c) (F ) (3x+ 5)2 = (3x)2 + 2(3x)5 + 52 = 9x2 + 30x+ 25
(d) (V )
(e) (F ) (4a2 + 7b)(4a2 − 7b) = 16a4 − 49b2
(f) (V )
(g) (F ) (0, 1a3 + 0, 2b2)2 = 0, 01a6 + 0, 04a3b2 + 0, 04b4
2. (a) x2 + 2x+ 1
(b) x2 − 2xy + y2
(c) 16a2 − 40a+ 25
(d) 9x2 + 12xy + 4y2
(e) 9r6 − 6r3 + 1
(f) 25a4 + 10a2 + 1
(g) x3 + 3x2 + 3x+ 1
(h)
x2
9
− 2
3
x+ 1
(i) x2 − y2
(j) 9a2 − 4y2
(k)
x2
4
+ 3x+ 9
(l)
x2
4
− 2
5
xy +
4
25
y2
3. (a) 6a2 + 3a+ 4
(b) 3x2 + 16x+ 9
(c) 80y2 − 80
(d) 21a2 + 10a− 12ab+ 1
(e) 5x2 − 6x+ 26
(f) −4x
(g) x3 − 10x2 + 5x− 1
(h) x2 − 8x+ 2
(i) 10x2 + 4x
(j) −60x+ 52
(k) −2
(l) 8a3 + 1
(m) a3 − b3
4. 624 5. 399 6. 600 7. 728 8. −96a3b− 2b3
9. (a) a(b+ c)
(b) x(x+ 3)
(c) 5(x+ 4)
(d) 5x2(3x− 2)
(e) a(a2 + a+ 1)
(f) 3(2x2 − 3x+ 4)
(g) 3x(1 + 2x+ 3x2)
(i) 5x(2x2− 3x+ 4)
10. (a) (5− y)(x+ 3)
(b) (2x+ 3)(a+ 2b)
(c) (x− 2)(a+ 1)
(d) (2x− 1)(y − 3)
(e) (2x− 3y)(5x− 2)
(f) (a+ b)(m+ n)
(g) (x− 1)(3a+ b)
(h) (x+ 3)(x2 + 2)
(i) (a− 1)(a2 + 1)
(j) (2a− 1)(x− 3)
11. 20
12. (a) a(a+ 1)(a− 1)
(b) 3x(2x− y)(2x+ y)
(c) b(a− b)(a+ b)
(d) a(a− 3)(a+ 3)
(e) (x+ 3)2
(f) (2x+ 3y)2
(g) (x2 + 2)2
(h) (xy − 5)2
(i) (4a− 1)2
(j) (a− 1)(a2 + a+ 1)
(k) (2x− 1)(4x2 + 2x+ 1)
(l) (3x−2y)(9x2+6xy+4y2)
22
13. (a) x1 = 0 e x2 = −12
(b) x1 = 0 e x2 =
5
6
(c) x1 = 5 e x2 = 15
(d) y1 = y2 =
5
6
(e) a1 = a2 = −
3
2
(f) d1 = d2 =
1
3
14. (a) 196 (b) 40 (c) 36
15. −15x− 30 ou −15(x− 2).
16. 2ab− 2b2 ou 2b(a− b).
17. 64
23
6 Equações de 2◦ grau
Resumo
Uma equação, na incógnita x, é chamada de equação do 2◦ grau, se pode ser escrita da forma
ax2 + bx+ c = 0
onde a, b, c ∈ R e a 6= 0.
Como fazer:
Trinômio quadrado perfeito
Se a equação contém um trinômio quadrado perfeito, logo podemos reescrevê-la da forma
(x− k)2 = 0. Logo,
x = k
Regra da soma e do produto
Dizemos que as ráızes x1 e x2 são as soluções da equação ax
2 + bx+ c = 0 se elas satisfazem as
duas condições abaixo:
x1 · x2 =
c
a
e x1 + x2 = −
b
a
Equações da forma ax2 + c = 0
A equação ax2 + bx+ c = 0 pode ser reescrita como ax2 + c = 0. Logo,
x = ±
√
−c
a
Equações da forma ax2 + bx = 0
A equação ax2 + bx+ c = 0 pode ser reescrita como ax2 + bx = 0. Logo,
x(ax+ b) = 0, ou seja, x = 0 ou x = − b
a
Fórmula de Báskara
x =
−b±
√
∆
2a
, onde ∆ = b2 − 4ac
Se ∆ > 0, exitem dois valores distintos para x. Se ∆ = 0, existe um valor para x; se ∆ < 0,
não possui solução real.
É sempre posśıvel utilizara fórmula de Báskara porém os métodos alternativos tornam a
resolução mais simples.
24
Lista de Exerćıcios - Equações de 2◦ grau
1. Resolva as equações abaixo utilizando o trinômio quadrado perfeito:
(a) x2 + 8x+ 16 = 0 (b) 4x2 + 12x+ 9 = 0 (c) x2 − 10x+ 25 = 0
2. Resolva as equações abaixo usando a fórmula de Báskara:
(a) 2x2 + 7x+ 5 = 0
(b) x2 + 5x− 14 = 0
(c) −x2 + 8x+ 9 = 0
(d) 25x2 − 10x+ 1 = 0
(e) x2 − 9x+ 8 = 0
(f) 2x2 + 3x+ 11 = 0
3. Resolva as equações incompletas abaixo, utilizando o método adequado:
(a) y2 − 121 = 0
(b) 2y2 − 98 = 0
(c) x2 − 3x = 0
(d) x2 − 13x = 0
(e) 8x2 − 8x = 0
(f) 4x2 − 1 = 0
(g) 6x2 − 54x = 0
(h) 7x2 − 28 = 0
(i) 7x2 + 28 = 0
(j) 3x2 − 2 = 0
4. Resolva as equações abaixo usando a soma e produto:
(a) x2 − 8x+ 15 = 0
(b) x2 + 6x+ 8 = 0
(c) x2 − x− 12 = 0
(d) x2 − 14x− 32 = 0
(e) x2 + 4x+ 4 = 0
5. Resolva as equações abaixo utilizando o método que preferir:
(a) x2 − 11x+ 30 = 2
(b) x2 − 6x+ 9 = 49
(c) x2 − 5x+ 6 = −x2 + x+ 42
(d) x2 + 2x+ 1 = 100
(e) x2 = x+ 6
(f) 10x2 − 11x+ 1 = 0
(g) 4x2 − 36x+ 81 = 9
(h) 3x2 + 12x = 0
(i) 9x2 − 1 = 0
(j) 8x2 + 4x = 0
25
Respostas - Equações de 2◦ grau
1. (a) S = {−4} (b) S =
{
−3
2
}
(c) S = {5}
2. (a) S =
{
−1,−5
2
}
(b) S = {−7, 2}
(c) S = {−1, 9}
(d) S =
{
1
5
}
(e) S = {1, 8}
(f) S = ∅
3. (a) S = {−11, 11}
(b) S = {−7, 7}
(c) S = {3, 0}
(d) S = {0, 13}
(e) S = {0, 1}
(f) S =
{
−1
2
,
1
2
}
(g) S = {0, 9}
(h) S = {−2, 2}
(i) S = ∅
(j) S =
{
−
√
6
3
,
√
6
3
}
4. (a) S = {3, 5}
(b) S = {−2,−4}
(c) S = {−3, 4}
(d) S = {−2, 16}
(e) S = {−2}
5. (a) S = {4, 7}
(b) S = {−4, 10}
(c) S = {−3, 6}
(d) S = {9,−11}
(e) S = {−2, 3}
(f) S =
{
1
10
, 1
}
(g) S = {6, 3}
(h) S = {−4, 0}
(i) S =
{
−1
3
,
1
3
}
(j) S =
{
0,−1
2
}
26
7 Frações Algébricas
Resumo
Fração algébrica: é o quociente de duas expressões algébricas.
É importante lembrar que o valor numérico do denominador não pode ser zero. Assim, a parte
literal do denominador tem restrições.
Simplificação: Só pode ser simplificada uma fração algébrica se as expressões do numerador
e do denominador tem um fator comum. Ou seja, as expressões devem conter multiplicações para
poder simplificar. Se elas contém somente somas, não é posśıvel simplificar.
Operações:
� Adição: só pode ser realizada a soma de frações algébricas se elas possuem o mesmo deno-
minador.
Como fazer: Transforma-se todas as frações num denominador comum, soma-se os numera-
dores e mantém-se o denominador comum.
� Substração: só pode ser realizada a subtração de frações algébricas se elas possuem o
mesmo denominador.
Como fazer: Transforma-se todas as frações num denominador comum, subtráı-se os nume-
radores e mantém-se o denominador comum.
� Multiplicação:
Como fazer: Multiplica-se os numeradores e multiplica-se os denominadores.
� Divisão:
Como fazer: Multiplica-se a primeira fração algébrica pelo inverso da segunda fração.
� Equação fracionária:
Como fazer: Determina-se o conjunto no qual as variáveis podem assumir, em seguida
utiliza-se as regras para resolução de equação.
27
Lista de Exerćıcios - Frações Algébricas
1. Simplifique as frações algébricas:
(a)
6ab3x3
9a3b2x2
(b)
5x
5x
(c)
x2 − 4
x2 + 4x+ 4
(d)
4x2 − y3
y3 − 4x2
(e)
a2 − a
a
(f)
2x2 − 2y2
2x2 − 4xy + 2y2
(g)
10xy
10x2 + 20xy
(h)
x2 − 2xy + y2
3x− 3y
(i)
x− 2
x2 − 4
(j)
x2 − 10x+ 25
2x− 10
2. Calcule:
(a)
2a2 − 5
a2
− a
2 + 3
a2
+
9− a2
a2
(b)
1
y2
− 2
xy
+
1
x2
(c)
a− b
a2 + ab
− 2
a+ b
+
1
b
(d)
3a+ 1
2a− 2
− a+ 1
a− 1
(e)
x
x− y
+
2y2
x2 − y2
+
y
x+ y
(f)
3
2a− 4
+
2
3a− 6
(g)
3
3x− x2
− x
9− 3x
(h) 1− x
2
x2 + xy
+
y2
xy + y2
− y
x+ y
(i)
a
a− b
+
2b2
a2 − b2
+
b
a+ b
(j)
x2 + 4
x2 − 4
+
3
x− 2
− x
x+ 2
3. Efetue, simplificando sempre que posśıvel.
(a)
4x
3
· 7
y
(b)
6a2
10b2c
· 15b
9a
(c)
a− 5
3a2
2a
a− 5
(d)
a2 − b2
ab
a
a+ b
(e)
5x
x2 − 2xy + y2
3x− 3y
2
(f)
a2 − 1
a− 2b
a2 − 4ab+ 4b2
a2 − 2a+ 1
(g)
a+ ab
x2
:
2 + 2b
3x
(h)
x2 − 4x
x2 + 1
:
x2 − 16
2x2 + 2
(i)
x2 − 1
x2 − 2x+ 1
:
x2 + 2x+ 1
x− 1
(j)
x
1− 2a+ a2
y
1− a2
(k)
(
a− 1
3a
)2
·
(
−2a2
5a3
)3
(l)
(
2a4b2
3cd3
)2
·
(
3c2d
2a
)3
4. Escreva quais valores a incógnita não pode assumir e depois resolva a equação.
(a) 2 +
2
x
=
1
2x
(b)
12
x
=
4
x− 2
(c)
x
x− 2
− x− 2
x
=
4
x2 − 2x
(d)
1
x2 − 1
− 1
x+ 1
=
1
x− 1
28
(e)
1
2y
+
3
4
=
4
3y
+
1
3
(f)
y + 3
y − 1
+
2
y2 − 1
=
y − 2
y + 1
(g)
1
x
+
2
x
=
3
2x2
(h)
3m
m− 4
− m+ 1
m+ 4
=
2m2 + 6
m2 − 16
(i)
2
x− 3
+
4
x2 − 9
= 0
(j)
4x− 2
x2 − 1
− 5
x− 1
=
3
x+ 1
5. Dividir o número 360 por x dá o mesmo que dividir 400 por x+ 2. Qual o valor de x?
6. A razão da idade que Marta terá daqui a 5 anos e a idade que ela tinha há 5 anos é
3
2
. Qual
a idade atual de Marta?
7. Gustavo pensou em um número, somou 4 e dividiu o resultado pela diferença entre o número
pensado e 2. A seguir, subtraiu 6 do número pensado e o dividiu pela diferença entre esse
número e 9. Ao obter a resposta, Gustavo percebeu que os dois quocientes eram iguais. Em
qual número Gustavo pensou?
8. Resolva as equações na incógnita x:
(a) 5x− a = x+ 5a
(b) 4x+ 3a = 3x+ 5
(c)
2x
5
− x− 2a
3
=
a
2
(d) x− a
2
=
x+ 1
3
− 2a
(e) 4ax− 2b = 2ax+ 2b, com a 6= 0
(f) 3(m− 2) = m(x− 3), com m 6= 0
(g) 4m(x−2)+5a = 2m(x+3), com m 6= 0
(h) (x−m)2 − 1 = x(x−m), com m 6= 0
(i) 3ab+ 3a(a− b) = 2x(a− b), com a 6= b
(j)
x− 1
a+ 1
− x+ 1
a− 1
=
2a+ 4
a2 − 1
, com a 6= ±1
9. Calcule o valor da expressão
x2 − y2
x+ y
· x
2 + 2xy + y2
x− y
para x = 1, 25 e y = −0, 75.
10. Simplifique as expressões:
(a)
1
x
−
(
1
6x
− 1
3x
)
(
1
6x
+
1
2x
)2
+
3
2x
(b)
m
m+ n
+
n
m− n
n
m+ n
− m
m− n
+
1 +
m
n
1+
(m− n)2
4mn
·
(
1 +
n
m
)
29
Respostas - Frações Algébricas
1. (a)
2bx
3a2
(b) 1
(c)
x− 2
x+ 2
(d) −1
(e) a− 1
(f)
x+ y
x− y
(g)
y
x+ 2y
(h)
x− y
3
(i)
1
x+ 2
(j)
x− 5
2
2. (a)
1
a2
(b)
(
x− y
xy
)2
(c)
a− b
ab
(d)
1
2
(e)
x+ y
x− y
(f)
13
6(a− 2)
(g)
3 + x
3x
(h)
y
x+ y
(i)
a+ b
a− b
(j)
5
x− 2
3. (a)
28x
3y
(b)
a
bc
(c)
2
3a
(d)
a− b
b
(e)
15x
2(x− y)
(f)
(a+ 1)(a− 2b)
a− 1
(g)
3a
2x
(h)
2x
x+ 4
(i)
1
x+ 1
(j)
x(1 + a)
y(1− a)
(k) −8a
2 − 16a+ 8
1125a5
(l)
3a5b4c4
2d3
4. (a) x 6= 0 e x = −3
4
(b) x 6= 0, x 6= 2 e x = 3
(c) x 6= 2, x 6= 0, x /∈ R
(d) x 6= 1, x 6= −1 e x = 1
2
(e) y 6= 0 e y = 2
(f) y 6= 1, 6= −1 e y = −3
7
(g) x 6= 0 e x = 1
2
(h) m 6= ±4 e 2
15
(i) x 6= ±2 e x = −5
(j) x 6= ±1 e x /∈ R
5. x = 18 6. 25 anos. 7. 16
8. (a) x =
3a
2
(b) x = 5− 3a
(c) x = −5a
2
(d) x =
1
2
− 9a
4
(e) x =
2b
a
(f) x =
6(m− 2)
m
(g) x = 7− 5a
2m
(h) x =
m2 − 1
m
(i) x =
3a2
2(a− b)
(j) x = −2(a+ 1)
9. 0, 25 10. (a)
21x
8 + 27x
(b) 3
30
8 Polinômios
Resumo
Um polinômio real na variável x é toda expressão p(x) da forma
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
em que os elementos an, an−1, · · · , a1, a0 são números reais chamados constantes, e n ∈ N.
Grau: é o maior expoente da variável x.
Polinômio nulo: quando todas as constantes são iguais a zero.
Raiz: O número a tal que p(a) = 0.
Polinômio constante: Quando não possui termos com a variável (ou seja, a0).
Dois polinômios a(x) = anx
n+an−1x
n−1+ · · ·+a1x+a0 e b(x) = bnxn+bn−1xn−1+ · · ·+b1x+b0
são ditos idênticos se aj = bj, para todo j ∈ N.
As operações de adição, subtração e multiplicação são efetuadas da mesma maneira das
expressões algébricas.
31
Lista de Exerćıcios - Polinômios
1. Calcule o valor de a, b, c e d de modo que:
(a+ b+ c+ d)x3 + (2b− c)x2 + (c− d)x+ 4d− 8 = 0.
2. Sejam os polinômios p(x) = ax2 + bx − 4 e q(x) = x2 + ax + b. Determine a e b para que
p(x+ 1) = q(2x).
3. Calcule a+ b+ c sabendo que x2 − 2x+ 1 = a(x2 + x+ 1) + (bx+ c)(x+ 1).
4.Sabendo que
A
x+ 4
+
B
x− 1
=
5x+ 10
x2 + 3x− 4
, calcule A e B.
5. Calcule A ·B, sabendo que:
x
x2 − 3x+ 2
=
A
x− 1
+
B
x− 2
.
6. Calcule A, B e C, sabendo que:
x+ 5
(x+ 2)(x− 1)2
=
A
x+ 2
+
B
x− 1
+
C
(x− 1)2
.
7. Determine A, B e C na decomposição:
1
x3 − 1
=
A
x− 1
+
Bx+ C
x2 + x+ 1
.
8. Determine A, B e C, sabendo que:
5− 3x
x3 − 5x2 + 6x
=
A
x
+
B
x− 2
+
C
x− 3
.
9. Calcule a− b, sabendo que:
ax+ c
x+ 1
+
b
x− 1
=
2x− 1
x2 − 1
.
32
Respostas - Polinômios
1. a = −5, b = 1, c = 2 e d = 2.
2. a = 4 e b = 0.
3. a+ b+ c = −2.
4. A = 2 e B = 3.
5. A ·B = −2.
6. A =
1
3
, B = −1
3
e C = 2.
7. A =
1
3
, B = −1
3
e C = −2
3
.
8. A =
5
6
, B =
1
2
e C = −4
3
.
9. a− b = 1
2
.
33
9 Divisão de polinômios
Resumo
Para dividir polinômios utilizamos o mesmo processo de divisão por números, ou seja, para
calcular
p(x)
t(x)
:
p(x) t(x)
... q(x)
r(x)
Onde, q(x) é o quociente e r(x) é o resto da divisão.
Porém, quando dividimos um polonômio qualquer por outro da forma x− a podemos utilizar
o dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Exemplo: p(x) = e4x
4 + e3x
3 + e2x
2 + e1x+ e0 dividido por x− a:
Assim, o quociente é q(x) = e4x
3 + (aq3 + e3)x
2 + (aq2 + e2)x + aq1 + e1 e o resto será
r(x) = aq0 + e0.
34
Lista de Exerćıcios - Divisão de polinômios
1. Efetue as seguintes divisões pelo método de chaves:
(a) 4a3 − 2a2 + 5a− 6 por a− 1.
(b) x5 + 3x2 − 6x+ 8 por x+ 2.
(c) x4 − 10x3 + 24x2 + 10x− 24 por x2 − 6x+ 5.
(d) x4 + x3 − 7x2 + 9x− 1 por x2 + 3x− 2.
(e) x3 + 4x2 + x− 6 por x+ 2.
(f) x4 + 4x+ 5 por x− 1.
2. Considere os polinômios f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 5x3 + 2 e h(x) = x + 1. Determine o
polinômio u(x), sabendo que u(x) = [f(x) + g(x)] : h(x).
3. Dividindo um polinômio A(x) por B(x) = x2 − 3x + 1, obtêm-se o quociente Q(x) = x + 1
e o resto R(x) = 2x+ 1. Qual o valor de A(x)?
4. Sabendo que o polinômio p(x) é diviśıvel por f(x) = x + 3 e o quociente é q(x) = 4x − 1.
Calcule p(x).
5. Use o dispositivo prático de Briott-Ruffini para calcular o quociente e o resto das divisões
abaixo:
(a) p(x) = x4 − 5x3 + 2x2 + 3x− 1 por x− 2.
(b) p(x) = 2x3 − x2 − 1 por x− 1.
(c) p(x) = 4x5 − 5x4 + 1 por x− 1.
(d) p(x) = x2 − 2x+ 1 por 2x− 3.
(e) p(x) = x6 − 1 por x+ 1.
(f) p(x) = 3x3 − 5x2 + x− 2 por x− 2.
6. Calcule:
(a) (x2 + 11x+ 18) : (x+ 2)
(b) (y2 − 2y − 35) : (y + 5)
(c) (6x2 − x− 2) : (3x− 2)
(d) (8x2 − 10x+ 2) : (2x− 2)
(e) (12x3 − 17x2 + 10x− 3) : (3x2 − 2x+ 1)
(f) (4x2 + 11x− 20) : (x+ 4)
7. Verifique se o polinômio p(x) = 2x3 − 3x2 − 8x− 3 é diviśıvel por (x− 3)(x+ 1).
35
8. Verifique se o polinômio p(x) = 2x3 + 5x2 − x− 6 é diviśıvel por (x− 1)(x+ 2).
9. Ache a e b para que o polinômio 2x3 − x2 + ax+ b seja diviśıvel por (x− 1)2.
10. Decomponha os polinômios abaixo em fatores do 1◦ grau:
(a) p(x) = x2 − 4.
(b) p(x) = x2 − 2x+ 1.
(c) p(x) = x2 − 5x− 6.
(d) p(x) = 2x2 − 7x+ 3.
(e) p(x) = 4x2 − 11x− 3.
(f) p(x) = x2 − 13x+ 30.
(g) p(x) = 2x3 − x2 − x.
(h) p(x) = x4 − 7x3 + 13x2 + 3x− 18.
(i) p(x) = x3 − x.
(j) p(x) = 2x3 − 6x2 − 12x+ 16.
11. Decomponha os polinômios abaixo em fatores de menor grau posśıvel:
(a) p(x) = x3 + x.
(b) p(x) = x5 − 3x4 + 6x3 − 10x2 + 9x− 3.
(c) p(x) = x4 − 7x3 + 17x2 − 17x+ 6.
(d) p(x) = x4 − 2x3 + x2 − 8x− 12.
36
Respostas - Divisão de polinômios
1. (a) q(a) = 4a2 + 2a+ 7 e r(a) = 1
(b) q(x) = x4 − 2x3 + 4x2 − 5x+ 4 e r(x) = 0
(c) q(x) = x2 − 4x− 5 e r(x) = 1
(d) q(x) = x2 − 2x+ 1 e r(x) = 2x+ 1
(e) q(x) = x2 + 2x− 3 e r(x) = 0
(f) q(x) = x3 + x2 + x+ 5 e r(x) = 10
2. u(x) = 5x2 − 3x+ 3.
3. A(x) = x3 − 2x2 + 2.
4. p(x) = 4x2 + 11x− 3.
5. (a) q(x) = x3 − 3x2 − 4x− 5 e r(x) = −11
(b) q(x) = 2x2 + x+ 1 e r(x) = 0
(c) q(x) = 4x4 − x3 − x2 − x− 1 e r(x) = 0
(d) q(x) =
2x− 1
4
e r(x) =
1
4
(e) q(x) = x5 − x4 + x3 − x2 + x− 1 e r(x) = 0
(f) q(x) = 3x2 + x+ 3 e r(x) = 4
6. (a) x+ 9
(b) y − 7
(c) 2x− 1
(d) 4x− 1
(e) 4x− 3
(f) 4x− 5
7. Sim.
8. Sim.
9. a = −4 e b =3.
10. (a) p(x) = (x− 2)(x+ 2).
(b) p(x) = (x− 1)2.
(c) p(x) = (x+ 1)(x− 6).
(d) p(x) = (2x− 1)(x− 3).
(e) p(x) = (4x+ 1)(x− 3).
(f) p(x) = (x− 3)(x− 10).
(g) p(x) = x(2x+ 1)(x− 1).
(h) p(x) = (x+ 1)(x− 2)(x− 3)2.
(i) p(x) = x(x+ 1)(x− 1).
(j) p(x) = 2(x+ 2)(x− 1)(x− 4).
11. (a) p(x) = x(x2 + 1).
(b) p(x) = (x− 1)3(x2 + 3).
(c) p(x) = (x− 1)2(x− 2)(x− 3).
(d) p(x) = (x+ 1)(x− 3)(x2 + 4).
37
10 Matrizes (parte I)
Resumo
Matriz do tipo m× n é uma tabela de números dispostos em m linhas e n colunas.
Matriz genérica do tipo m× n:
a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 am3 · · · amn

Matrizes especiais:
� Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
A diagonal principal de uma matriz quadrada A são os elementos do tipo add.
Exemplos:
[
1 2
3 8
]
e

4 0 8
−2 14
√
2
π 6 0
.
� Matriz identidade In é uma matriz quadrada cuja diagonal principal tem entradas 1 e as
demais todas 0.
Exemplos: I2 =
[
1 0
0 1
]
e I3 =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
� Matriz nula é uma matriz com todas as entradas nulas.
Exemplos:
[
0 0 0
0 0 0
]
e
[
0 0
0 0
]
.
� Matriz transposta é chamada a matriz At = (bij)n×m de uma matriz A = (aij)m×n, onde
bij = aji para todos i, j.
Exemplo: Se A =
[
1 3
2 4
]
então At =
[
1 2
3 4
]
.
Matrizes iguais
Duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)s×d são ditas iguais se m = s, n = d e aij = bij para
todos i, j.
Operações:
38
� Soma: A soma de duas matrizes pode ser realizada se são do mesmo tipo e a soma é
realizada elemento a elemento. Se A = (aij)m×n e B = (bij)m×n, então A + B = (cij)m×n,
onde cij = aij + bij.
Exemplo: Se A =
[
1 3
2 4
]
e B =
[
−1 4
3 0
]
, então A+B =
[
0 7
5 4
]
.
� Subtração: A subtração de duas matrizes pode ser realizada se são do mesmo tipo e a soma
é realizada elemento a elemento. Se A = (aij)m×n e B = (bij)m×n, então A− B = (cij)m×n,
onde cij = aij − bij.
Exemplo: Se A =
[
1 3
2 4
]
e B =
[
−1 4
3 0
]
, então A−B =
[
2 −1
−1 0
]
.
39
Lista de Exerćıcios - Matrizes (parte I)
1. Represente explicitamente a matriz A = a(ij)2×3 tal que aij = 5i− j.
2. Represente explicitamente cada uma das matrizes:
(a) A = (aij)3×2 tal que aij = i+ 2j
(b) A = (aij)2×3 tal que aij =
{
1, se i = j
i+ j, se i 6= j
(c) A = (aij)2×2 tal que aij = i
2 + j
(d) A = (aij)4×1 tal que aij = i− 3j
3. Determine o número real x tal que:
(
x2 4
0 x+ 2
)
=
(
9 4
0 −1
)
4. Uma rede é composta por 5 lojas, numeradas de 1 a 5. A tabela a seguir apresenta o
faturamento, em reais, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro:
1950 2030 1800 1950
1500 1820 1740 1680
3010 2800 2700 3050
2500 2420 2300 2680
1800 2020 2040 1950

Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j.
(a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2?
(b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3?
(c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?
5. Sabendo que as matrizes A =
(
2 4 3
5 2 1
)
e B =

x2 − 2 5
x+ 6 2
3 1
 obedecem à condição
At = B, quanto vale x?
6. Sendo I2 a matriz identidade de ordem 2, determine x, tal que:(
x2 − 15 0
0 x− 3
)
= I2
40
7. Dada as matrizes A =
(
2 3 8
1 −4 0
)
, B =
(
4 5 −9
6 2 7
)
e C =

2 0
8 6
−4 −10
, deter-
mine:
(a) A+B
(b) 2A−B
(c) Ct − 2A
(d) 3A− 1
2
Ct
41
Respostas - Lista de Exerćıcios - Matrizes (parte I)
1.
[
4 3 2
9 8 7
]
2. (a)

3 5
4 6
5 7
 (b)
[
1 3 4
3 1 5
]
(c)
[
2 3
5 6
] (d)

−2
−1
0
1

3. S = {−3}
4. (a) 2800 (b) 10580 (c) 7730
5. S = {−2}
6. S = {4}
7. (a)
[
6 8 −1
7 −2 7
]
(b)
[
0 1 25
−4 −10 −7
]
(c)
[
−2 2 −20
−2 14 −10
]
(d)
[
5 5 26
3 −15 5
]
42
11 Matrizes (parte II)
Resumo
Operações:
� Multiplicação de linha por coluna: Sejam A = (aij)m×k e B = (bij)k×n. Considerando
a linha i de A e a coluna j de B, isto é:
(
ai1 ai2 ai3· · · aik
)
e

b1j
b2j
b3j
...
bkj

O produto da linha pela coluna é ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + · · ·+ aikbkj.
� Produto de matrizes: o produto da matriz A = (aij)m×k pela matriz B = (bij)k×n que se
indica por AB ou A ·B é a matriz C = (cij)m×n tal que cada elemento cij é igual ao produto
da linha i de A depla coluna j de B.
Exemplo: Se A =
[
1 3
2 4
]
e B =
[
−1 4
3 0
]
, então
AB =
[
1 · (−1) + 3 · 3 1 · 4 + 3 · 0
2 · (−1) + 4 · 3 2 · 4 + 4 · 0
]
=
[
8 4
10 8
]
.
43
Lista de Exerćıcios - Matrizes (parte II)
1. Sejam A =
(
1 2 3
2 1 −1
)
, B =
(
−2 0 1
3 0 1
)
, C =

−1
2
4
 e D = ( 2 −1 ). Encontre
(a) A+B
(b) A · C
(c) B · C
(d) C ·D
(e) D · A
(f) D ·B
(g) −A
(h) −D
(i) AT
(j) −BT
2. Sejam as matrizes A =
[
1 2 3
0 6 1
]
, B =

1 1
4 4
2 2
 e C =
[
1 −1 1
−1 1 −1
]
, determine:
(a) AB
(b) BA
(c) AI3
(d) I2A
(e) BC
3. Verdadeiro ou falso?
(a) (−A)t = −At.
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
(g) Se A ·B = 0, então B · A = 0.
4. Dadas A =

1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
, B =

1 4 1 0
2 1 1 1
1 −2 1 2
 e C =

2 1 −1 −2
3 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
 mostre
que AB = AC.
5. Se A 6= 0 e AB = AC onde A, B e C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.
Então B = C?
6. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Ferro Madeira V idro T inta T ijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterrâneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
(a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos modernos, mediterrâneo e colonial, respec-
tivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
(b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam,
respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
44
Respostas - Lista de Exerćıcios - Matrizes (parte II)
1. (a)
(
−1 2 4
5 1 0
)
(b)
(
−15
−4
)
(c)
(
6
1
)
(d)

−2 1
4 −2
8 −4

(e)
(
0 3 7
)
(f)
(
−7 0 1
)
(g)
(
−1 −2 −3
−2 −1 1
)
(h)
(
−2 1
)
(i)

1 2
2 1
3 −1

(j)

2 −3
0 0
−1 −1

2. (a)
(
15 15
26 26
)
(b)

1 8 4
4 32 16
2 16 8

(c) A
(d) A
(e) 0
3. (a) V
(c) F
(g) F
4. Sem resposta.
5. Falso.
6. (a)
Ferro Madeira V idro T inta T ijolo
146 526 60 158 388
(b)
Custo
Moderno 492
Mediterrâneo 528
Colonial 465
45
12 Determinantes
Resumo
� Determinante: é um número obtido por meio de adições e multiplicações dos elementos
de uma matriz quadrada.
� 2x2: é o produto da diagonal principal menos a diagonal secundária.
Exemplo: Se A =
[
1 3
2 4
]
, então detA = −2.
� 3x3: é feito através da Regra de Sarrus, no qual se repete as duas primeiras colunas e
efetua-se a operação como mostra a figura abaixo. Observa que é realizado o produto dos
elementos sobre a flecha, para cima mantém-se o sinal, para baixo, inverte-se o sinal.
Exemplo: Se A =

2 1 3
1 −2 4
3 −2 1
, então detA = 15.
46
Lista de Exerćıcios - Determinantes
1. Calcule o determinante das matrizes abaixo:
(a) A =
[
1 3
3 1
]
(b) A =

1 2 −1
−2 −3 2
1 4 5

(c) C =

1 2 1
2 3 −1
−1 −1 1

(d) D =

1 2 2
2 −3 −1
4 1 3

(e) E =

3 2 1
1 1 2
1 −1 −7

(f) F =

1 0 1
2 1 3
4 3 7

(g) G =

1 1 0
2 1 1
0 1 1

(h) B =

1 0 3
2 −1 4
−6 −1 −17

(i) B =

1 3 2
−1 −4 1
2 6 5

(j) A =
[
−1 4
7 2
]
(k) A =
[
−6 −5
−3 −1
]
(l) A =
[ √
2 3
−2
√
6
]
2. Dada as matrizes A =
(
1 2
1 0
)
e B =
(
3 −1
0 1
)
, calcule:
(a) det A+ det B
(b) det (A+B)
3. Resolva, em R, as equações abaixo:
(a)
∣∣∣∣∣ x 39 3x
∣∣∣∣∣ = 0 (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
x 3 1
1 5 2
0 2 x
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 8
47
Respostas - Lista de Exerćıcios - Determinantes
1. (a) -8
(b) 6
(c) 1
(d) 0
(e) 1
(f) 0
(g) -2
(h) -3
(i) -1
(j) -30
(k) -9
(l) 6 + 2
√
3
2. (a) 1
(b) 3
3. (a) S = {−3, 3} (b) S =
{
−3
5
}
48
13 Sistemas de equações
Resumo
Um sistema de equações é um conjunto de equações simultâneas.
Exemplos:
1.

x+ y − z = −1
2x+ y − z = 1
3x+ y + 2z = 5
4x+ 2y + z = 4
2.
{
x+ y = 1
x− y = 17 3.

x2 + 4y + z = −3
x+ y2 + z = 11
x− 5y + 2z = −5
Solução de um sistema linear:
� Sistema posśıvel e determinado (SPD) é todo sistema que admite uma única solução.
� Sistema posśıvel e indeterminado (SPI) é todo sistema que admite mais de uma solução.
� Sistema imposśıvel (SI) é todo sistema que não admite solução.
Operações:
� Soma: sempre é posśıvel somar duas equações de um sistema de equações.
� Multiplicação por escalar real: sempre é posśıvel multiplicar uma equação de um sistema
de equações por algum escalar real.
Através destas duas operações podemos, se posśıvel, encontrar soluções para os sistemas.
49
Lista de Exerćıcios - Sistemas de equações
1. Resolva os seguintes sistemas:
(a)
{
2x+ y = 12
x+ 3y = 11
(b)
{
x+ y = 14
x− y = 6
(c)
{
x+ y = 2
y − 3x = 0
(d)

x− 2y = − 4
12
x = y +
1
12
2. Numa prova de Matemática com 40 questões, o número de acertos de Fernanda foi nove
vezes o número de erros. Quantas questões ela acertou e quantas ela errou?
3. Vânia tem x notas de 5 reais e y notas de 10 reais, num total de 16 notas e 100 reais.
Quantas notas de 5 reais Vânia possui?
4. Resolva os seguintes sistemas:
(a)

x− y + z = 1
2x+ y − 2z = 1
x− 3y − z = −3
(b)

y − z = −1
3x− y − z = −2
2x+ 3y + z = 11
(c)

x+ 2y − z = 3
2x+ y + z = 3
x+ y + 2z = 4
5. Um litro de creme contém suco de fruta, leite e mel. A quantidade de leite é o dobro da
quantidade de suco de fruta, e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros
dois ĺıquidos juntos. Qual é a quantidade de suco de fruta que contém esse litro de creme?
6. Um ourives cobrou 150 reais para cunhar medalhas de ouro com 3 g cada; de pratas, com
5 g cada; e de bronze, com 7 g cada, ao preço unitário de R$30, 00, R$10, 00 e R$5, 00,
respectivamente. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas com massa total de 87 g,
determine o número de medalhas de ouro que foram confeccionadas.
7. Sabendo que a função polinomial de grau dois é descrita como f(x) = ax2+bx+c, determine
a função polinomial de grau dois na qual:
(a) f(1) = 0, f(3) = 2 e f(4) = 6.
(b) (1) = −1, f(2) = 5 e f(−1)− 7.
50
Respostas - Lista de Exerćıcios - Sistemas de equações
1. (a) S = {(5, 2)}
(b) S = {(10, 4)}
(c) S =
{(
1
2
,
3
2
)}
(d) S =
{(
1
2
,
5
12
)}
2. Acertou 36 questões e errou 4.
3. 12 notas.
4. (a) S = {(1, 1, 1)} (b) S = {(1, 2, 3)} (c) S = {(0, 2, 1)}
5. 300 ml
6. 2 medalhas de ouro.
7. (a) f(x) = x2 − 3x+ 2
(b) f(x) = x2 + 3x− 5
51
14 Intervalos e Inequações
Resumo
Tipos de intervalos na reta real
∅ = //oo
(a, b) = ◦ ◦
a b
(a, b] = ◦ •
a b
[a, b) = • ◦
a b
[a, b] = • •
a b
[a,∞) = • //
a
(a,∞) = ◦ //
a
(−∞, b] = oo •
b
(−∞, b) = oo ◦
b
R = //oo
Inequações de 1◦ grau
É uma desigualdade que pode ser representada da seguinte forma:
ax+ b > 0
(ou com as relações <, ≤, ≥) onde a e b são constantes reais e a 6= 0.
Propriedades:
� ax+ b > 0⇒ ax+ b+ c > c, para todo c ∈ R.
� ax+ b > 0⇒ c(ax+ b) > 0, para todo c > 0.
� ax+ b > 0⇒ c(ax+ b) < 0, para todo c < 0.
52
Lista de Exerćıcios - Intervalos e Inequações
1. Escreva os seguintes conjuntos em forma de intervalos e represente-os na reta real:
(a) A = {x ∈ R; 1 < x < 6}
(b) B = {x ∈ R;−3 < x ≤ 7}
(c) C = {x ∈ R;x < 8 e x ≥ 5}
(d) D = {x ∈ R;x ≥ 9}
(e) E = {x ∈ R;−8 ≤ x ≤ 0}
(f) F = {x ∈ R;x < 3}
2. Escreva os seguintes intervalos em forma de conjunto e represente-os na reta real:
(a) G = [2, 9]
(b) H = (3, 5)
(c) I = (−∞, 5]
(d) J = (−∞,+∞)
(e) K = (3, 6]
(f) L = (−2, 7]
(g) M = [−1,+∞) ∩ (−∞, 4)
(h) N = (−∞,−1] ∪ [2,+∞)
3. Com os conjuntos dos exerćıciosacima, faça o que se pede:
(a) A ∩G
(b) A ∪G
(c) C ∩M
(d) B ∪ E
(e) F ∩ L
(f) M ∪N
(g) J ∩H
(h) C ∩ E
(i) F ∩ I
4. Quais das desigualdades seguintes são verdadeiras se a = −3 e b = 2?
(a) a < b
(b) 3a < 3b
(c) |a| < |b|
(d) 4a < −4b
(e) ab > 0
(f)
1
a
<
1
b
5. Identifique as sentenças verdadeiras e justifique as falsas.
(a) Se x < 18 e x < 19, então x < 18.
(b) Se x > 7, então 2x > 14.
(c) Se x < 4, então −3x < −12.
(d) Se 3a < 6b, então a < 2b.
(e) Se x > y, então 5x > 5y.
(f) Se x > 9, então
x
9
< 4, 5.
(g) Se n > 6, então −n > −6.
(h) Se x > y, então x− y > 0.
53
6. Quais das seguintes inequações abaixo têm a mesma solução que a inequação 12x < −15?
(a) 12x+ 15 < 0
(b) 12x− 15 < 0
(c) −12x < 15
(d) −12x > 15
7. Encontre a forma mais simples para as inequações abaixo:
(a) 5n− 4 < 26
(b) 4(x− 2) ≤ 2(3x+ 1) + 5
(c) 2y − 1
5
>
y
2
+ 1
(d)
x− 2
4
+
1
2
> x− 2x− 1
3
(e) 5x+ 1 ≤ 3x− 15
(f) 2(3x− 5) > 3(x− 12)
(g) 3(x− 2)− (x+ 1) ≤ 2(3x+ 5)
(h) 9x− 2(x+ 1) < 10− 3(x− 2)
(i) 2 + 5(3x+ 1) > 0
(j) x− 1
3
>
x
2
+
1
4
8. Resolva as inequações determinadas por uma dupla desigualdade, sendo x um número real.
(a) −3 < x− 2 < 8
(b) −1 ≤ x+ 4 ≤ 4
(c) −3 ≤ x+ 1
2
≤ 5
(d) 2 <
2x− 1
3
< 4
9. Determine todos os números inteiros que são soluções das inequações abaixo.
2− 4x < −14 e x
2
− x
3
< 1
10. Determine a soma dos números inteiro maiores que -6 que satisfazem a inequação
2− x− 2
4
> 3 +
x− 3
3
11. O comprimento, a largura e a altura de um paraleleṕıpedo são representados por três números
inteiros consecutivos. A soma deles é maior que 24 e menor que 30. Suas medidas são dadas
em cent́ımentos. Qual o volume desse paraleleṕıpedo?
12. Na aula de Matemática, faltaram 2 meninos. Ainda assim, nessa aula, o número de meninos
era maior que o número de meninas. Sabendo que havia 10 meninas na classe, qual é o
menor número posśıvel de alunos desta classe?
13. Subtraindo 2 anos da idade de uma pessoa e multiplicando a diferença por 7, obtém-se um
número menor que o sêxtuplo da idade dela aumentado de 8. Qual a idade máxima dessa
pessoa?
54
Respostas - Intervalos e Inequações
1. (a) A = (1, 6)
◦ ◦
1 6
(b) B = (−3, 7]
◦ •
−3 7
(c) C = [5, 8)
• ◦
5 8
(d) D = [9,∞)
• //
9
(e) E = [−8, 0]
• •
−8 0
(f) F = (−∞, 3)
oo ◦
3
2. (a) G = {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 9}
• •
2 9
(b) H = {x ∈ R; 3 < x < 5}
◦ ◦
3 5
(c) I = {x ∈ R;−x ≤ 5}
• //
5
(d) J = R
//oo
(e) K = {x ∈ R; 3 < x ≤ 6}
◦ •
3 6
(f) L = {x ∈ R;−2 < x ≤ 7}
◦ •
−2 7
(g) M = {x ∈ R;−1 ≤ x < 4}
• ◦
−1 4
(h) N = {x ∈ R;x ≤ −1 ou x ≥ 2}
•oo • //
−1 2
3. (a) [2, 6)
(b) (1, 9]
(c) ∅
(d) [−8, 7]
(e) (−2, 3)
(f) R
(g) H
(h) ∅
(i) I
4. (a) V (b) V (c) F (d) V (e) F (f) V
5. (a) V (b) V (c) F (d) V (e) V (f) F (g) F (h) V
6. letras: a e d.
7. (a) n < 6
(b) x ≥ −15
2
(c) y >
4
5
(d) x < −4
(e) x ≤ −8
(f) x > −26
3
(g) x ≥ −17
4
(h) x <
9
5
(i) x > − 7
15
(j) x >
7
6
8. (a) −1 < x < 10 (b) −5 ≤ x ≤ 0 (c) −7 ≤ x ≤ 9 (d) 7
2
< x <
13
2
9. S = {5}
10. A soma é −15.
11. O volume é 720 cm3.
12. No mı́nimo 23 alunos.
13. A idade máxima é 21 anos.
55
15 Inequações do 2◦ grau
Resumo
Inequações do 2◦ grau é uma desigualdade que pode ser representada da seguinte forma:
ax2 + bx+ c > 0
(ou com as relações <, ≤, ≥) onde a e b são constantes reais e a 6= 0.
Propriedades:
� ax2 + bx+ c > 0⇒ ax2 + bx+ c+ d > d, para todo d ∈ R.
� ax2 + bx+ c > 0⇒ d(ax2 + bx+ c) > 0, para todo d > 0.
� ax2 + bx+ c > 0⇒ d(ax2 + bx+ c) < 0, para todo d < 0.
56
Lista de Exerćıcios - Inequações do 2◦ grau
1. Resolva, em R, as inequações do 2◦ grau:
(a) x2 − 3x− 4 > 0
(b) 3x2 − 2x ≤ 0
(c) −x2 + x+ 12 > 0
(d) x2 − 2x+ 1 < 0
(e) x2 − 6x+ 9 ≤ 0
(f) x2 − x+ 6 > 0
(g) −3x
2
2
+ x− 1
2
≥ 0
(h) x2 − 7x+ 10 ≥ 0
(i) −x2 − 2x+ 8 ≥ 0
(j) 3x2 < 2x
(k) 3x2 + 1 > 4x
(l) −3x2 + 4x− 4
3
≥ 0
(m) x2 < 9
(n) x2 < x
(o)
x2 − 1
7
− x
2 − 1
35
+ 2 < x
2. Para quais valores de m, com m ∈ R, teremos que 4x2 − 3x + m − 1 é sempre positiva,
indiferente do valor de x?
3. Quantos números inteiros satisfazem a inequação x2 − 10x < −16?
4. Calcule o conjunto solução de cada sistema abaixo:
(a)

3x+ 2 < 7− 2x
48x < 3x+ 10
11− 2(x− 3) > 1− 3(x− 5)
(b)
{
2x+ 1 > 3x− 2
x2 − 6x+ 8 ≤ 0
57
Respostas - Inequações do 2◦ grau
1. (a) S = (−∞,−1) ∪ (4,∞)
(b) S =
[
0,
2
3
]
(c) S = (−3, 4)
(d) S = ∅
(e) S = {3}
(f) S = R
(g) S = ∅
(h) S = (−∞, 2] ∪ [5,∞)
(i) S = [−4, 2]
(j) S =
(
0,
2
3
)
(k) S =
(
−∞, 1
3
)
∪ (1,∞)
(l) S =
{
2
3
}
(m) S = (−3, 3)
(n) S = (0, 1)
(o) S =
(
11
4
, 6
)
2. m <
25
16
3. 5 números.
4. (a) S =
(
−1, 2
9
)
(b) S = [2, 3)
58
16 Inequações Produto e Quociente
Resumo
São inequações particulares que possuem produtos ou quocientes.
Como fazer: Sempre deixar o número zero de um dos lados da desigualdade.
59
Lista de Exerćıcios - Inequações Produto e Quociente
1. Resolva, em R, as inequações abaixo:
(a) (x2 − 7x+ 6)(2x+ 4) < 0
(b) (x2 − 6x+ 8)(−x2 + 8x− 15) ≥ 0
(c)
x2 − 6x+ 5
2x− 4
< 0
(d)
x2 − 5x+ 6
−x2 + 25
≥ 0
(e) (x2 − 5x)(2x− 4) < 0
(f) (x2 − 8x+ 7)(x2 − 9) ≥ 0
(g) (2x− 1)(x− 2) > 0
(h) (−3x+ 12)(2x2 − 8) ≥ 0
(i)
x2 − 6x+ 8
x2 − 8x+ 15
≥ 0
(j)
x2 − 7x+ 6
2x+ 4
< 0
(k)
5x
6x− 1
≥ −2x
(l)
2
x
≥ 2 + 4x
2. Qual o conjunto solução que satisfaz a desigualdade − 5
x2 − 4
≥ 0?
3. Qual o conjunto solução de
−2
x
< 0? E o conjunto solução de
−2
x2
< 0?
4. Quantos números naturais tornam verdadeira a desigualdade abaixo?
(2− x)12(x− 3)13(4− x)14 ≤ 0
5. Quantos números inteiros e estritamente positivos satisfazem a sentença:
1
x− 20
≤ 1
12− x
?
6. Qual o conjunto solução da inequação
x− 4
x+ 2
>
x− 2
x− 4
?
7. Qual o conjunto solução da inequação
x+ 3
x− 3
− x+ 1
x− 1
≤ 3
x− 3
?
8. O custo diário de produção de um artigo, é dado por C = 50 + 2x + 0, 1x2, em que x é a
quantidade diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por R$6, 50. Entre quais
valores deve variar x para não haver prejúızo?
60
Respostas - Inequações Produto e Quociente
1. (a) S = (−∞,−2) ∪ (1, 6)
(b) S = [2, 3] ∪ [4, 5]
(c) S = (−∞, 1) ∪ (2, 5)
(d) S = (−5, 2] ∪ [3, 5)
(e) S = (−∞, 0) ∪ (2, 5)
(f) S = (−∞,−3] ∪ [1, 3] ∪ [7,∞)
(g) S =
(
−∞, 1
2
)
∪ (2,∞)
(h) S = (−∞,−2] ∪ [2, 4]
(i) S = (−∞, 2] ∪ (3, 4] ∪ (5,∞)
(j) S = (−∞,−2) ∪ (1, 6)
(k) S =
[
−1
4
, 0
]
∪
(
1
6
,∞
)
(l) S = (−∞,−1] ∪
(
0,
1
2
]
2. S = ∅
3. S1 = (0,∞) e S2 = R− {0}
4. 4 números.
5. 4 números.
6. S = (−∞,−2) ∪
(
5
2
, 4
)
7. S = (−∞,−3] ∪ (1, 3)
8. S = [20, 25]
61
17 Módulo
Resumo
Módulo de um número real
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Propriedades:
� |x| ≥ 0
� |x| = 0⇔ x = 0
� |x||y| = |xy|
�
|x|
|y|
=
∣∣∣∣xy
∣∣∣∣, y 6= 0
� |x|n = xn somente se n é par.
� |x| = a⇔ x = ±a
Desigualdades com módulo:
� |x| < a, então −a < x < a. � |x| > a, então x < −a ou x > a.
62
Lista de Exerćıcios - Módulo
1. julgue (V ou F) cada uma das sentenças a seguir:
i. |8| = 8
ii. | − 0| = 0
iii. | − 8| = 8
iv. |
√
2− 2| =
√
2− 2
v. |
√
5− 2| =
√
5− 2
vi. | 3
√
10− 2, 3| = 2, 3− 3
√
10
vii. | 4
√
9−
√
3| = 0
viii. |π − 3| = π − 3
ix. |π − 3, 14| = 0
x. |π − 3, 15| = 3, 15− π
2. Resolva, em R:
(a) |x− 8| = 3
(b) |2x− 1| = 0
(c) |3x− 1| = −4
(d) |x||x− 2| = 1
(e) x2 − 3|x| = 0
(f) |x− 3| = 4
(g) x2 − 3|x| − 4 = 0
(h) |3x− 1| ≤ 8
(i) |3x+ 5| ≤ 11
(j)
∣∣∣∣2x+ 32
∣∣∣∣ = 0
(k) |2x− 5| > 3
3. Resolva:
(a) |x| = 2
(b) |x+ 1| = 3
(c) |2x− 1| = 1
(d) |x− 2| = −1
(e) |2x+ 3| = 0
(f) |x| = 2x+ 1
(g) |x+ 5| < 3
(h) |2x2 + 3x+ 3| ≤ 3
(i)
1
|x+ 1||x− 3|
≥ 1
5
(j) |x+ 3| < 0, 01
(k) |3x− 7| ≥ 5
(l) | − 11− 7x| > 6
(m) |x| ≤ 1
(n) |2x− 1| < 3
(o) |3x− 1| < −2
(p) |3x− 1| < 1
3
(q) |x− 3| ≤ 4
(r) |x| > 3
(s) |x+ 3| > 1
(t) |2x− 3| > 3
(u) |2x− 1| < x
(v) |x− 3| < x+ 1
(x) |4− x| > x
63
Respostas - Módulo
1. i. V
ii. V
iii. V
iv. F
v. V
vi. Vvii. V
viii. V
ix. F
x. V
2. (a) S = {5, 11}
(b) S =
{
1
2
}
(c) S = ∅
(d) S =
{
1−
√
2, 1 +
√
2, 1
}
(e) S = {−3, 0, 3}
(f) S = {1, 7}
(g) S = {−4, 4}
(h) S =
[
−7
3
, 3
]
(i) S =
[
−16
3
, 2
]
(j) S =
{
−3
4
}
(k) S = (−∞, 1) ∪ (4,∞)
3. (a) S = {−2, 2}
(b) S = {−4, 2}
(c) S = {0, 1}
(d) S = ∅
(e) S =
{
−3
2
}
(f) S =
{
−1
3
}
(g) S = (−2,−8)
(h) S =
[
−3
2
, 0
]
(i) S = [−2,−1) ∪ (−1, 3) ∪ (3, 4]
(j) S = (3, 01,−2.99)
(k) S =
(
−∞, 2
3
]
∪ [4,∞)
(l) S =
(
−∞,−17
7
)
∪
(
−5
7
,∞
)
(m) S = [−1, 1]
(n) S = (−1, 2)
(o) S = ∅
(p) S =
(
2
9
,
4
9
)
(q) S = [−1, 7]
(r) S = (−∞, 3) ∪ (3,∞)
(s) S = (−∞,−4) ∪ (−2,∞)
(t) S = (−∞, 0) ∪ (3,∞)
(u) S =
(
1
3
, 1
)
(v) S = (1,∞)
(x) S = (−∞, 2)
64
18 Funções (parte I)
Resumo
Funções
Dados dois conjuntos A e B diferentes do vazio, dizemos que f de A em B é uma função se
todo elemento de A estiver associado, por meio de f , a um único elemento de B.
O conjunto de partida A é chamado de Domı́nio.
O conjunto de chegada B é chamado de Contra-domı́nio.
Os elementos de B que estão associados a algum elemento de A formam o conjunto chamado
Imagem.
Funções de 1◦ grau
Toda função do tipo f(x) = ax + b, com a, b, c,∈ R e a 6= 0 é chamada função de primeiro
grau.
Chama-se raiz da função ou zero da função o elemento x tal que f(x) = 0.
Nas funções de 1◦ grau, a raiz é x = − b
a
.
O gráfico de uma função de 1◦ grau é sempre uma reta.
Gráficos:
a < 0 a > 0
65
Lista de Exerćıcios - Funções (parte I)
1. Os gráficos representam relações de A em B. Em qual caso R é função de A em B? Por
quê?
(a) A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8} (b) A = {1, 2, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4}
2. Quais dos gráficos seguintes representam funções de A = [−2, 5] em R? Por quê?
3. Dada a função f : R→ R, definida por f(x) = 4x− 3, calcule:
(a) f(0)
(b) f(1)
(c) f(3)
(d) f(−2)
(e) f
(
1
2
)
(f) f
(
−2
3
)
(g) f(π)
(h) f(
√
2)
(i) f(a)
4. Dada a função f : R→ R, definida por f(x) = −x2 − 4x+ 3, calcule:
(a) f(0)
(b) f(1)
(c) f(−1)
(d) f(−2)
(e) f(
√
2)
(f) f
(
1
2
)
(g) f(−
√
3)
(h) f(π)
(i) f(a)
5. Seja a função f(x) = ax3 + b. Se f(−1) = 2 e f(1) = 4, então quanto valem a e b,
respectivamente?
66
6. O gráfico a seguir representa uma função f de [−4, 2] em R.
Determine:
(a) f(−4)
(b) f(−1)
(c) f(2)
(d) f(0)
7. Determine o domı́nio das funções abaixo:
(a) f(x) =
√
x+
√
x− 4
(b) f(x) =
√
1 + x
3
√
x+ 3
(c) f(x) =
5
x2 + 2x− 3
(d) f(x) =
√
−x
x2 − 1
(e) f(x) =
√
x
2x+ 1
(f) f(x) =
2x3 − x2
x5 − x3
8. Determine o domı́nio e a imagem das funções abaixo, representadas pelos gráficos a seguir:
67
9. Observando os gráficos das funções f e g representados a seguir, julgue (V ou F) cada uma
das afirmações:
(i.) f(1) > 0
(ii.) g(6) > 0
(iii.) g(−2) > 0
(iv.) f(0) · g(0) = −2
(v) f(4) · g(4) > 0
(vi.) f(−2) · g(−2) > 0
(vii.)
f(1)
g(1)
< 0
10. Seja a função f , de R em R, dada por f(x) = kx+ t, em que t e k são constantes reais. Se
os pontos (−1, 3) e (0,−1) pertencem ao gráfico de f , então:
(a) f é crescente, ∀x ∈ R
(b)
3
4
é raiz da equação f(x) = 0
(c) o ponto (−10, 41) pertence ao gráfico de f
(d) f(x) < 0 se x = −2
(e) f(x) ≤ 0 se x = 1
2
11. Construa o gráfico de cada uma das funções:
(a) y = 2x− 4
(b) y = −2x− 4
(c) y = 5x
(d) y = −5x
(e) y = 2x− 3
(f) y =
x
3
+ 1
(g) y =
3x
2
12. O gráfico da função y = ax+ b é:
Determine:
(a) os valores de a e b.
(b) a raiz da função.
68
13. A despesa mensal de uma pequena empresa com encargos sociais é descrita pela função
D(x) = 20+
x
10
, em que D(x) é a despesa em milhares de reais e x é o número de funcionários.
(a) Qual será a despesa quando a empresa tiver 100 funcionários?
(b) Qual será o número de funcionários quando a despesa dessa empresa for 50 mil reais?
(c) Construa o gráfico da função D para 5 ≤ x ≤ 10.
14. Uma fábrica produz rolos de papel de presente. a folha enrolada é retangular com 0, 8 m de
largura, e o comprimento é determinado pelos clientes da fábrica.
(a) Um cliente comprou um rolo de 50 m de comprimento. Que área de papel ele adquiriu?
(b) Um cliente comprou um rolo de x metros de comprimento. Indicando por y a área
de papel adquirida, dê a equação que expressa y em função de x; construa o gráfico
cartesiano determinado por essa equação, para x > 0.
(c) Um cliente comprou 5 rolos de 50 m de comprimento cada um e 3 rolos de x metros de
comprimento cada um. Indicando por y a parea de papel adquirida, dê a equação que
expressa y em função de x; contrua o gráfico cartesiano determinado por essa equação
para x > 0.
15. Construa o gráfico da função
x2 − 9
x− 3
.
16. O preço unitário y, em reais, de um produto diminui de acordo com a quantidade x de
unidades compradas. Para 1 ≤ x ≤ 50, os pontos (x, y) pertencem à reta r representada a
seguir.
Comprando-se 40 unidades desse produtos, o preço unitário será?
17. Sabe-se que o valor de um carro novo é R$9000, 00 e, com quatro anos de uso, passa a ser
R$4000, 00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, qual será o
valor de um carro com um ano de uso?
69
Respostas - Funções (parte I)
1. (a) É função. Cada elemento do domı́nio têm
somente um elemento no contra-domı́nio.
(b) Não é função. O elemento 6 possui duas
imagens.
2. (a) É função. Cada elemento do domı́nio
têm somente um elemento no contra-domı́nio.
(b) Não é função, pois existem elementos do
domı́nio que não possuem imagem.
(c) Não é função. O elemento 2 possui duas
imagens.
(d) É função. Cada elemento do domı́nio têm
somente um elemento no contra-domı́nio.
3. (a) −3
(b) 1
(c) 9
(d) −11
(e) −1
(f) −17
3
(g) 4π − 3
(h) 4
√
2− 3
(i) 4a− 3
4. (a) 3
(b) −2
(c) 6
(d) 7
(e) 1− 4
√
2
(f)
3
4
(g) 4
√
3
(h) −π2 − 4π + 3
(i) −a2 − 4a+ 3
5. a = 1 e b = 3.
6. (a)
1
2
(b) 5
(c) 7
(d)
17
3
7. (a) S = {x ∈ R;x ≥ 4}
(b) S = {x ∈ R;x 6= −3 e x ≥ −1}
(c) S = {x ∈ R;x 6= 1 e x 6= −3}
(d) S = {x ∈ R;x ≤ 0 e x 6= −1}
(e) S = {x ∈ R;x ≥ 0}
(f) S = {x ∈ R;x 6= 0 e x 6= ±1}
8. (a) D = [−5, 7] e I = [−3, 6]
(b) D = (−6, 0] ∪ (5, 8] e I = (−5, 3] ∪ (6, 7]
(c) D = [−7,−3) e I = [−7,−4)
9. (i.) F (ii.) V (iii.) V (iv.) V (v) F (vi.) V (vii.) V
10. (a) F (b) F (c) F (d) F (e) V
70
11. .
12. (a) a = 2 e b = 1. (b) −1
2
13. (a) A despesa será de 30 mil reais.
(b) 300 funcionários.
(c) .
14. (a) Ele adquiriu 40 m2 de papel.
(b) y = 0, 8x.
(c) y = 2, 4x+ 120.
15. . 16. O preço unitário será 60 reais.
17. O valor de um carro com um ano de uso será
R$7750, 00.
71
19 Funções (parte II)
Resumo
Toda função do tipo f(x) = ax2+bx+c, com a, b, c,∈ R e a 6= 0 é chamada função quadrática
ou de segundo grau.
Resolvendo ax2 + bx+ c = 0 encontramos as ráızes da função.
O vértice (Vx, Vy) de uma função de segundo grau é um ponto importante. Ele é dado por:
Vx = −
b
2a
e Vy = −
∆
4a
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola.
Gráficos:
Se ∆ > 0
a > 0 a < 0
Se ∆ = 0
a > 0 a < 0
Se ∆ < 0
a > 0 a < 0
72
Lista de Exerćıcios - Funções (parte II)
1. Determine o ponto de máximo (ou mı́nimo) de cada uma das funções:
(a) y = 2x2 − 12x+ 10
(b) y = −x2 + 4x+ 5
(c) y = x2 − 9
(d) y = −x2 + 16
(e) y = 3x2
(f) y = x2 − 2x+ 4
(g) y = −x2 + 3x− 5
(h) y = x2 + 9x
(i) y = −x2 − 4x
2. Determine m, sendo m ∈ R, de modo que o valor mı́nimo da função f(x) = x2 + 4x + m
seja 1.
3. Esboce o gráfico de cada um das funções, dando seu domı́nio e imagem:
(a) y = −5x2 + 2x− 1
(b) y = x2 − 6x+ 9
(c) y = −x2 − 4x− 4
(d) y = 3x2
(e) y = −5x2
4. O gráfico da função y = ax2 + bx+ c é:
Determine:
(a) os valores de a, b e c.
(b) a imagem dessa função.
5. Escreva as funções quadráticas da forma f(x) = ax2 + bx + c considerando cada um dos
casos:
(a) a = 3 e as ráızes de f sãox1 = 1 e x2 = 7.
(b) a = 1 e as ráızes de f são x1 = 2 e x2 = −2.
(c) a = 2 e as ráızes de f são x1 = 2 e x2 = 1.
6. Sabe-se que, sob um certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em
função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = −20t2 + 200t. Qual é a altura máxima
atingida pela bala? Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima?
7. Uma indústria pode produzir diariamente x refrigeradores, com 20 ≤ x ≤ 50, com custo y,
em reais, dado pela função y = x2 − 80x+ 2000.
(a) Qual será o custo de produção se forem fabricados 20 refrigeradores por dia?
(b) Qual será o custo de produção se forem fabricados 50 refrigeradores por dia?
73
(c) Quantos refrigeradores devem ser fabricados por dia para que o custo unitário de
produção seja mı́nimo?
(d) Qual o custo mı́nimo de produção?
8. Na figura, está representado o gráfico da função f(x) = 4− x2. Qual é a medida da área do
retângulo colorido?
9. O gráfico abaixo é da função y = ax2 + bx+ c, determine a, b e c.
10. Um clube recreativo vai colocar piso numa área externa retangular e vai cercar as laterais
com uma tela, com exceção de uma abertura de entrada. Esa área está representada na figura
abaixo com suas dimensões dadas, em metros, em função do comprimento L. A empresa
contratada para o serviço cobra R$10, 00 por metro quadrado de piso e R$2, 50 por metro
colocado de tela. Qual é a expressão que fornece o preço total do serviço?
74
Respostas - Funções (parte II)
1. (a) (3,−8)
(b) (2, 9)
(c) (0,−9)
(d) (0, 16)
(e) (0, 0)
(f) (1, 3)
(g)
(
3
2
,−11
4
)
(h)
(
−9
2
,−81
4
)
(i) (−2, 4)
2. m = 5.
3. (a) D = R e I =
(
−∞,−4
5
]
(b) D = R e I = [0,∞)
(c) D = R e I = (−∞, 0]
(d) D = R e I = [0,∞)
(e) D = R e I = (−∞, 0]
4. (a) a = 1, b = −2 e c = −3. (b) [−4,∞)
5. (a) f(x) = 3x2 − 24x+ 21 (b) f(x) = x2 − 4 (c) f(x) = 2x2 − 6x+ 4
6. A altura máxima atingida pela bala é 500 m e após o tiro, a bala atinge a altura máxima
em 5 s.
7. (a) O custo de produção será 800 reais.
(b) O custo de produção será 500 reais.
(c) 40 refrigeradores.
(d) O custo de produção mı́nimo é de
400 reais.
8. A medida da área é 6.
9. a = −1
4
, b = 1 e c = 0.
10. f(L) = 5L2 + 7L
75
20 Funções (parte III)
Resumo
Função composta
Sejam A, B e C conjuntos não nulos. Se f : A→ B e g : B → C são funções, então chamamos
g(f(x)) de função composta de g e f . Denotamos por g ◦ f .
Função Inversa
A função id(x) = x é chamada de função identidade.
Chama-se de função inversa de f : A → B, e se indica por f−1 a função f−1 : B → A tal
que
f ◦ f−1 = id e f−1 ◦ f = id
76
Lista de Exerćıcios - Funções (parte III)
1. Dadas as funções reais de variável real f(x) = x+ 3 e g(x) = x2 − 5, determine:
(a) (f ◦ g)(4)
(b) (g ◦ f)(4)
(c) (f ◦ g)(x)
(d) (g ◦ f)(x)
(e) (g ◦ g)(x)
(f) (f ◦ f)(x)
2. Dadas as funções reais de variável real f(x) = x+ 1 e g(x) = 3x+ 2, determine:
(a) (f ◦ g)(5)
(b) (g ◦ f)(5)
(c) (f ◦ g)(x)
(d) (g ◦ f)(x)
(e) (f ◦ f)(x)
(f) (g ◦ g)(x)
3. Sendo f(x) = x2 + 5 e g(x) = 2x− 3, obtenha:
(a) f(g(4)) (b) g(f(−2)) (c) f(g(x)) (d) g(f(x))
4. Determine a inversa de cada uma das funções:
(a) f(x) = 3x− 5
(b) y = 8x+ 4
(c) g(x) =
x+ 3
x− 2
(d) f(x) =
5x− 2
x+ 8
(e) y =
x
2x+ 4
(f) f(x) = 3x− 1
(g) f(x) =
x+ 2
2x+ 5
(h) h(x) =
x
π
5. Se f(x) =
x
x− 1
, então quanto vale f(f(x))? E f(f(f(x)))?
6. Se f : R → R é da forma f(x) = ax + b e f(f(x)) = x + 1, para todo x real. Calcule os
valores de a e b.
7. Sabendo que a função polinomial de 1◦ grau f passa pelos pontos (0, 2) e (3, 4), calcule a
inversa de f .
8. Sejam f(x) = x2 + 3x+ 4 e g(x) = ax+ b duas funções. Determine as constantes a e b para
que f(g(x)) = g(f(x)) para todo x real.
9. Sendo f(x− 1) = x2 + 2x, calcule o valor de f(−1).
10. Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x) = kx+ 3 e g(x) = 2x. Se f(g(−3)) = −9,
calcule g ◦ f .
11. Identifique as funções f e g tais que resultaram nas composições abaixo:
(a) (f ◦ g)(x) = (2x+ 1)3
(b) (f ◦ g)(x) = (−x+ 3)5
(c) (f ◦ g)(x) = x2 + 8x+ 16
(d) (f ◦ g)(x) = x2 − 10x+ 25
77
Respostas - Funções (parte III)
1. (a) (f ◦ g)(4) = 14
(b) (g ◦ f)(4) = 44
(c) (f ◦ g)(x) = x2 − 2
(d) (g ◦ f)(x) = x2 + 6x+ 4
(e) (g ◦ g)(x) = x4 − 10x2 + 20
(f) (f ◦ f)(x) = x+ 6
2. (a) (f ◦ g)(5) = 18
(b) (g ◦ f)(5) = 20
(c) (f ◦ g)(x) = 3x+ 3
(d) (g ◦ f)(x) = 3x+ 5
(e) (f ◦ f)(x) = x+ 2
(f) (g ◦ g)(x) = 9x+ 8
3. (a) f(g(4)) = 30
(b) g(f(−2)) = 15
(c) f(g(x)) = 4x2 − 12x+ 14
(d) g(f(x)) = 2x2 + 7
4. (a) f(x)−1 =
x+ 5
3
(b) y−1 =
x− 4
8
(c) g−1(x) =
3 + 2x
x− 1
(d) f−1(x) =
−2− 8x
x− 5
(e) y−1 =
−4x
2x− 1
(f) f−1(x) =
x+ 1
3
(g) f−1(x) =
2− 5x
2x− 1
(h) h−1(x) = πx
5. f(f(x)) = x e f(f(f(x))) = f(x) =
x
x− 1
6. a = 1 e b =
1
2
.
7. f−1(x) =
3x− 6
2
8. a = 1 e b = 0.
9. 0
10. g ◦ f(x) = 4x+ 6.
11. (a) f(x) = x3 e g(x) = 2x+ 1
(b) f(x) = x5 e g(x) = −x+ 3
(c) f(x) = x2 e g(x) = x+ 4
(d) f(x) = x2 e g(x) = x− 5
78
21 Funções (parte IV)
Resumo
Função por partes
Uma função é dita por partes quando é definida por mais de uma sentença.
f(x) =

primeira sentença
segunda sentença
...
última sentença
Função modular
Função modular é um caso particular de função por partes, na qual pode ser definida através
do módulo.
Exemplo: f(x) = |x|
Domı́nio: R Imagem: [0,∞)
79
Lista de Exerćıcios - Funções (parte IV)
1. Construa o gráfico de cada uma das funções e dê o seu domı́nio e conjunto imagem.
(a) f(x) =
{
4, se x ≤ 3
x+ 1, se x > 3
(b) f(x) =
{
3, se x ≤ 5
x− 2, se x > 5
(c) f(x) =
{
x+ 3, se x ≤ 1
4, se x > 1
(d) f(x) =
{
2x− 1, se x ≤ 4
x+ 3, se x > 4
(e) f(x) =

x+ 1, se x ≤ 2
3, se 2 < x ≤ 4
x− 1, se x > 4
(f) f(x) =
{
4, se x ≤ 0
x+ 2, se x > 0
(g) f(x) =
{
x− 1, se x ≤ 3
x+ 2, se x > 3
(h) f(x) =

2x− 3, se x ≤ 2
−x+ 3, se 2 < x ≤ 4
x− 1, se x > 4
2. Um elevador é constrúıdo seguindo as seguintes especificações:
� Para carga de massa menor ou igual a 1000 kg, são usados cabos de aço de 20 cm de
diâmetro;
� Para carga de massa x kg com x > 1000, são usados cabos de aço de
x
50
cm de diâmetro.
(a) Indicando por f(x) o diâmetro, em cent́ımetros, de cada cabo, expresse f(x) em função
da massa x, em kg.
(b) Construa o gráfico de f .
3. Contrua o gráfico de cada uma das funções e determine seu domı́nio e a imagem:
(a) f(x) = |2x− 1|
(b) f(x) = | − 3x+ 6|
(c) h(x) = |2x2 − 4x|
(d) h(x) = | − x2 + 2x− 2|
(e) f(x) = −|3x+ 1|
(f) g(x) = −|x2 − 5x+ 6|
(g) h(x) = 3|2x− 4|
(h) f(x) = |x||3x− 6|
(i) h(x) = |2x− 1|+ 2
(j) g(x) = |x+ 1||x− 1| − 4
(k) f(x) = 4− |x− 1|
(l) f(x) =
|x|
x
80
Respostas - Funções (parte IV)
1. (a) D = R e I = [4,∞)
(b) D = R e I = [3,∞)
(c) D = R e I = (−∞, 4]
(d) D = R e I = R
(e) D = R e I = R
(f) D = R e I = (2,∞)
(g) D = R e I = (−∞, 2] ∪ (5,∞)
(h) D = R e I = (−∞, 1) ∪ (3,∞)
2. (a) f(x) =
 20, se x ≤ 1000x
50
, se x > 1000
(b) .
81
3. (a) D = R e I = [0,∞)
(b) D = R e I = [0,∞)
(c) D = R e I = [0,∞)
(d) D = R e I = [1,∞)
(e) D = R e I = (−∞, 0]
(f) D = R e I = (−∞, 0]
(g) D = R e I = [0,∞)
(h) D = R e I = [0,∞)
(i) D = R e I = [2,∞)
(j) D = R e I = [−4,∞)
(k) D = R e I = (−∞, 4]
(l) D = R− {0} e I = {−1, 1}
82
22 Exponencial
Resumo
Definição de equação exponencial:
É toda equação cuja incógnita se apresenta
no expoente de uma ou mais potências de
base positiva e diferente de 1.
Exemplos:
(1) 3x = 9
(2)
(
2
3
)2x
=
(
2
3
)5
Definição de inequação exponencial:
É toda inequação cuja incógnita se apre-
senta no expoente de uma ou mais potências
de base positiva e diferente de 1.
Exemplos:
(1) 5x < 25
(2) 3x + 3x+1 ≥ 12
Propriedades dos exponenciais
• Sendo a > 0 e a 6= 1 :
ax = ay ⇔ x = y
• ∀a ∈ R, com a > 1 :
ax > ay ⇔ x > y
• ∀a ∈ R, com a < 1 :
ax > ay ⇔ x < y
83
Lista de Exerćıcios - Exponencial1. Resolva, em R, as equações:
(a) 2x = 64
(b) 64x = 256
(c) 25x+2 = 125x+5
(d) 92x−1 = 275x+1
(e) 52x−1 = 1
(f) 7x = 8x
(g) 3x =
√
3
(h) 23x+1 = 4x−2
2. Determine o conjunto solução, em R:
(a)
(
3
2
)x
=
(
27
8
)
(b)
(
8
27
)3x+1
=
(
4
9
)x
(c) 10x =
√
0, 1
(d) 3
√
25x = 5
(e)
(
1
2
)x
=
(
1
32
)
(f)
(
1
4
)4x
= 0, 25
(g) 101−4x = 0, 001
(h)
(
8
125
)2x−1
=
(
25
4
)2x
3. Resolva, em R, as equações abaixo:
(a) 2−5x+x
2
=
1
64
(b) 3x
2−x−3 = 27
(c)
24x−2
23x+5
=
1
2
(d) 2x−2 =
8
2x−3
4. Determine o conjunto solução, em R, das equações abaixo:
(a) 3 · 5x2 + 3x2+1 − 8 · 3x2 = 0
(b) 21+x +
√
8 =
√
72
(c) 4x−4 − 3
x
81
= 0
(d) 2x+1 + 2x−1 = 20
(e) 3x+1 − 3x+2 = −54
(f) 2 · 3x−1 + 4 · 3x−2 = 30
5. Usando uma incógnita auxiliar, resolva as equações abaixo:
(a) 32x − 28 · 3x + 27 = 0
(b) 22x + 32 = 12 · 2x
(c) 2x−4 + 2x = 34
(d) 3x + 3x−1 − 3x−2 = 11
6. Resolva, em R as inequações abaixo:
(a) 163x−1 > 82x+5
(b)
(
1
9
)3x−1
≤
(
1
3
)2x
(c) (0, 3)4x−5 > (0, 3)2x+1
(d) (
√
2)3x−1 ≤ 4
√
8
(e) (
√
0, 6)3x−2 ≥ 0, 6
(f)
(
1
3
)2x−1
> 3x+2
84
Respostas - Exponencial
1. (a) S = {6}
(b) S =
{
4
3
}
(c) S = {−11}
(d) S =
{
− 5
11
}
(e) S =
{
1
2
}
(f) S = {0}
(g) S =
{
1
2
}
(h) S = {−5}
2. (a) S = {3}
(b) S =
{
−3
7
}
(c) S =
{
−1
2
}
(d) S =
{
3
2
}
(e) S = {5}
(f) S =
{
1
4
}
(g) S = {1}
(h) S =
{
3
10
}
3. (a) S = {2, 3}
(b) S = {−2, 3}
(c) S = {6}
(d) S = {4}
4. (a) S = {−1, 1}
(b) S =
{
3
2
} (c) S = {4}
(d) S = {3}
(e) S = {2}
(f) S = {3}
5. (a) S = {0, 3}
(b) S = {2, 3}
(c) S = {5}
(d) S = {2}
6. (a) S =
{
x ∈ R;x > 19
6
}
(b) S =
{
x ∈ R;x ≥ 1
2
}
(c) S = {x ∈ R;x < 3}
(d) S =
{
x ∈ R;x ≤ 5
6
} (e) S =
{
x ∈ R;x ≤ 4
3
}
(f) S =
{
x ∈ R;x < −1
3
}
85
23 Logaritmo
Resumo
Definição:
logb a = x⇔ a = bx
Condições de existência
∃ logb a⇔ a > 0 e 1 6= b > 0
Consequências da definição
(1) logb 1 = 0
(2) logb b = 1
(3) logb b
n = n
(4) blogb a = a
(5) logb a = logb c⇔ a = c
Logaritmos especiais
• Logaritmo na base 10
log x = log10 x
• Logaritmo natural
lnx = loge x
Propriedades dos logaritmos
• Logaritmo de um produto
logb(a · c) = logb a+ logb c
• Logaritmo de um quociente
logb
a
c
= logb a− logb c
• Logaritmo de uma potência
logb a
n = n · logb a
• Logaritmo de uma raiz
logb
n
√
am = logb a
m
n =
m
n
logb a
• Mudança de base
logb a =
logc a
logc b
onde a > 0, 0 < b 6= 1 e 0 < c 6= 1
86
Lista de Exerćıcios - Logaritmo
1. Transforme em um só logaritmo:
(a) log a+ log b− 2 log c
(b) log5 4 + log5 x− log5 3
(c)
1
3
log 7− 3 log x
(d) 3 log5 x+ 2 log5 4
2. Sabendo que log a = 2, log b = 3 e log c = −6, calcule log 5
√
a2b2
c3
.
3. Determinar o conjunto solução das equações:
(a) log4 x = 2
(b) logx(2x
2 − 2x) = 2
(c) log12(x
2 − x) = 1
(d) logx(3x
2 − x) = 2
(e) logx−1 4 = 2
(f) log2(x− 6) = 3
(g) log2(x− 3) + log2 x = 2
(h) log2(x+ 7)− log2(x− 11) = 2
(i) 2 log10 x = log10 4 + log10 3x
(j) log3(x
2 − 3x− 1) = 1 + log3(x− 2)
(k) log5(x
2 + 3) = log5(x+ 3)
(l) log 1
5
(x2 − 4x+ 4) = 0
(m) log4[log2(log3 x)] =
1
2
(n) (log8 x)
2 − 4 log8 x+ 4 = 0
4. Sendo log 2 = 0, 3, log 3 = 0, 4 e log 5 = 0, 7, calcule:
(a) log2 50
(b) log3 45
(c) log9 2
(d) log8 600
(e) log5 3
(f) log6 15
5. Efetue o produto log3 2 · log2 5 · log5 3.
6. Sendo logx a = 6, logx b = 4 e logx c = 2, calcule:
(a) logc
√
abc (b) logc(a
3b2)
7. Solucione as equações:
(a) log5 x+ log25 x = 3
(b) log4 x− log8 x = 1
(c) log2 x+ log4 x+ log16 x = 7
(d) log4 x+ log8 x− log2 x = −1
(e) log3(a− 2)− log 1
3
(a− 2) = 2
8. Solucione os sistemas de equações:
(a)
{
log10 x− log10 y = log10 3
x+ 2y = 15
(b)
{
log10 x+ log10 y = 2
x+ y = 20
87
(c)
{
log10 x− log10 y = 1
x+ y2 = 24
(d)
{
log3 x− 1 = log3 y
3x = 729 · 3y
(e)
{
log2 x+ log2 y = 3
x+ 2y = 10
9. Segundo uma pesquisa, após x meses da constatação da existência de uma epidemia, o
número de pessoas por ela atingida é
f(x) =
20000
2 + 15 · 4−2x
.
Supondo que log 2 = 0, 3 e log 3 = 0, 48, daqui a quanto tempo, aproximadamente, o número
de pessoas atingidas por essa epidemia será de 2000?
88
Respostas - Logaritmo
1. (a) log
ab
c2
(b) log5
4x
3 (c) log
3
√
7
x3
(d) log5 16x
3
2.
28
5
3. (a) {16}
(b) {2}
(c) {−3; 4}
(d)
{
1
2
}
(e) {3}
(f) {14}
(g) {4}
(h) {17}
(i) {12}
(j) {5}
(k) {0; 1}
(l) {1; 3}
(m) {81}
(n) {64}
4. (a)
17
3
(b)
15
4
(c)
3
8
(d) 3 (e)
4
7
(f)
11
7
5. 1
6. (a) 3 (b) 13
7. (a) {25} (b) {64} (c) {16} (d) {64} (e) {5}
8. (a) {(9; 3)}
(b) {(10; 10)}
(c) {(20; 2)}
(d) {(9; 3)}
(e) {(2; 4), (8, 1)}
9. 7 dias.
89
24 Funções (parte V)
Resumo
Definição: Chama-se de função exponen-
cial toda função f : R → R∗+, tal que
f(x) = ax, com a ∈ R∗+ e a 6= 1.
Exemplos:
� Se a > 1, então f(x) = ax é da forma:
� Se 0 < a < 1, então f(x) = ax é da forma:
Definição: Chama-se de função logaŕıtmica
toda função f : R∗+ → R, tal que f(x) =
logb x, com b ∈ R∗+ e b 6= 1.
Exemplos:
� Se b > 1, então f(x) = logb x é da forma:
� Se 0 < b < 1, então f(x) = logb x é da
forma:
90
Lista de Exerćıcios - Funções (parte V)
1. Grafique:
(a) f(x) = 3x (b) f(x) = 3x − 1 (c) f(x) =
(
1
3
)x
(d) f(x) = −3x
2. Se a função exponencial f : R → R∗+ definida pela equação f(x) = ax é tal que seu gráfico
passa pelo ponto (−2, 8), calcule o valor de a.
3. Se a função exponencial f : R → R∗+ definida pela equação f(x) = ax + b é tal que seu
gráfico passa pelos pontos (2, 7) e (0, 2), calcule o valor de a e de b.
4. As pesquisas de um antropólogo revelaram que as populações ind́ıgenas de duas reservas A
e B, variam de acordo com as funções f(t) = 2t+2 + 75 e g(t) = 2t+1 + 139, em que t é
o tempo, em anos, e as expressões f(t) e g(t) representam o número de indiv́ıduos dessas
reservas, respectivamente. Daqui a quantos anos as duas reservas terão o mesmo número de
indiv́ıduos?
5. A partir de um determinado instante t, que denominou-se instante zero (t = 0), um biólogo
começou a estudar o crescimento das populações de duas culturas bacterianas A e B. Após
o estudo, o cientista concluiu que em cada instante t, em minutos, os números f(t) e g(t)
de indiv́ıduos de A e B, respectivamente, eram dados pelas funções f(t) = 300 · 2t−1 + 900
e g(t) = 70 · 2t+2 − 140.
(a) Qual era o número de indiv́ıduos de cada população no instante zero?
(b) Durante quanto tempo desse estudo o número de indiv́ıduos da população A permane-
ceu maior ou igual ao número de indiv́ıduos da população B?
6. Grafique:
(a) f(x) = log3 x (b) f(x) = log 1
3
x (c) f(x) = − log3 x (d) f(x) = log3(x+ 1)
7. Determine o domı́nio das funções abaixo:
(a) f(x) = log8(5x− 15)
(b) f(x) = log5(x
2 − 3x)
(c) f(x) = logx(6x− 1)
(d) f(x) = logx2 x
8. Estudando o decaimento radioativo de duas amostras de substâncias, A e B, um cientista
conclui que os tempos f e g, em séculos, necessários para que cada uma delas perca x gramas
de sua massa são dados, respectivamente, por f(x) = log0,99
12− x
12
e g(x) =
1
2
log0,99
8− x
8
.
Sabendo que (0, 99)8 = 0, 92, responda:
(a) Em quantos anos a substância A perde 0, 12 g de sua massa?
91
(b) Em 4 séculos, que quantidade de massa terá perdido a substância B?
(c) Para que quantidade x de massa perdida tem-se f(x) = g(x)?
9. Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o
planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse
número passará a ser igual 10 vezes o inicial? (Use log 2 = 0, 3)
10. Se f(x) = 5x+3, calcule a inversa de f .
92
Respostas - Funções (parte V)
1. (a) .
(b) .
(c) .
(d) .
2. a =
√
2
4
3. a =
√
6 e b = 1.
4. Daqui a 5 anos as duas reservas terão o mesmo número de indiv́ıduos.
5. (a) f(0) = 1050 e g(0) = 140.
(b) Durante 3 minutos o número de indiv́ıduos da populaçãoA permaneceu maior ou igual
ao número de indiv́ıduos da população B.
6. (a) .
(b) .
(c) .
(d) .
93
7. (a) D = {x ∈ R;x > 3}
(b) D = {x ∈ R;x < 0 ou x > 3}
(c) D =
{
x ∈ R; 1
6
< x < 1 ou x > 1
}
(d) D = {x ∈ R;x > 0 e x 6= 1}
8. (a) Em 1 anos a substância A perde 0, 12 g de sua massa.
(b) Em 4 séculos, a substância B terá perdido 0, 64 g.
(c) Para 6 g de massa perdida.
9. Após
10
3
anos esse número passará a ser igual 10 vezes o inicial.
10. f−1(x) =
log x
log 5
− 3.
94
25 Relações Trigonométricas
Resumo
Do triângulo, temos:
senβ =
CO
hip
cos β =
CA
hip
tg β =
CO
CA
sen 2β + cos2 β = 1
Ângulos Notáveis
30◦ 45◦ 60◦
sen
cos
tg
Ângulos Complementares
senβ = cos(90◦ − β)
cos β = sen (90◦ − β)
95
Lista de Exerćıcios - Relações Trigonométricas
1. Sabendo que sen 28◦ = 0, 46, cos 28◦ = 0, 88 e tg 28◦ = 0, 53, calcule o valor de x em cada
figura abaixo.
2. Um engenheiro deve medir a largura de um rio. Para isso, fixa um ponto A na margem em
que está e um ponto B na margem oposta (conforme a figura). A seguir, desloca-se 40 m
perpendicularmente à reta que contém A e B até o ponto C e mede o ângulo AĈB, obtendo
44◦. Dados: sen 44◦ = 0, 69, cos 44◦ = 0, 71 e tg 44◦ = 0, 97, calcule a largura do rio.
3. Um teleférico deve unir os topos A e B de dois morros. Para calcular a quantidade de cabos
de aço necessária, um engenheiro mediu as alturas dos morros em relação a um mesmo plano
horizontal, obtendo 108 m e 144 m.
A seguir, mediu o ângulo que a reta que contém A e B forma com a horizontal, obtendo 32◦.
(a) Desenhe na figura a seguir um esquema que represente essa situação.
(b) Calcule a distância entre os pontos A e B, sabendo que sen 32◦ = 0, 52, cos 32◦ = 0, 84 e
tg 32◦ = 0, 62.
4. Sabendo que sen 55◦ = 0, 81 e cos 55◦ = 0, 57, determine o valor de x na figura.
96
5. Complete a tabela com resultados de apenas duas casas decimais:
6. Sabendo que α é a medida de um ângulo agudo e que sen α =
3
5
, calcule o valor da expressão:
E =
sen α · sen (90◦ − α)
cos α · cos (90◦ − α)
+ cos (90◦ − α).
7. Calcule o valor da expressão:
E =
sen2 45◦ + cos4 60◦
tg4 60◦
.
8. Sendo x = 10◦, determine o valor da expressão:
E =
sen 3x+ cos 3x
2
− sen 15x
2
tg2 6x
.
9. Na figura a seguir, as retas r e s formam entre si um ângulo de 37◦, e o segmento AB, contido
em r, mede 18 cm.
Calcule a medida da projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta s, dado que sen 53◦ =
0, 79.
10. Determine o valor de x na figura:
97
11. Uma torre está localizada em um terreno plano e horizontal. Sobre o terreno tomam-se dois
pontos, A e B, distantes 120 m um do outro e pertencentes a uma mesma semirreta de origem
na base da torre. Do ponto A, vê-se o ponto P mais alto da torre, sob um ângulo de 30◦ com
o plano do terreno; do ponto B vê-se P sob um ângulo de 60◦ com o plano terreno. Calcule a
altura da torre.
12. Dois ńıveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 3 m de comprimento e 30◦ de
inclinação, conforme a figura.
Devem-se construir sobre a rampa 6 degraus de mesma altura. A altura de cada degrau será
de quantos metros?
98
Respostas - Relações Trigonométricas
1. (a) 3, 52 cm (b) 2, 3 cm (c) 3, 68 cm 2. l = 38, 8 m
3. (a)
(b) Aproximadamente, 69, 23 m.
4. 38, 3 cm, aproximadamente.
5.
6. E =
8
5
7. E =
1
16
8. E =
1
6
9. 14, 22 cm
10. 10
√
3 cm
11. 60
√
3 m
12. 0, 25 m
99
26 Ćırculo Trigonométrico
Resumo
Graus e radianos
180◦ = π rad
Relações Trigonométricas
senβ =
CO
hip
cos β =
CA
hip
tgβ =
CO
CA
cossecβ =
hip
CO
sec β =
hip
CA
cotgβ =
CA
CO
Fórmulas
tgβ =
senβ
cos β
sen 2β + cos2 β = 1
Ângulos Importantes
0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦
sen
cos
tg
100
Lista de Exerćıcios - Ćırculo Trigonométrico
1. Determine a medida, em radianos, equivalentes a:
(a) 240◦ (b) 315◦ (c) 210◦ (d) 45◦
2. Determine a medida, em graus, equivalentes a:
(a)
π
2
rad (b)
5π
6
rad (c)
3π
4
rad (d)
11π
6
rad
3. Um mecanismo liga o veloćımetro a uma das rodas dianteiras de um automóvel, de tal maneira
que, quando essa roda gira 72π rad, uma engrenagem que compõe o veloćımetro gira 2π rad.
Quando a roda gira
18π
5
rad, essa engrenagem gira quantos graus?
4. Calcule o valor da expressão:
E =
cos 0◦ · sen 270◦ + sen 90◦ · cos 180◦
sen2 90◦ + cos2 180◦
5. Localize os arcos
π
6
,
3π
4
,
4π
3
e
5π
3
, e analise os sinais das razões trigonométricas de cada um
deles.
6. Qual é o sinal de cada um das seguintes expressões?
(a) a = sec 300◦ · cos 300◦
(b) b = sec 279◦ · cossec 45◦
(c) c = cos 44◦ · sen 324◦ + cos 90◦
7. Calcule as expressões:
(a) sen
π
3
+ sen
π
4
− sen 2π
(b) cos
π
3
+ cos
π
4
− cos 2π
(c) tg
π
3
+ tg
π
4
− tg 2π
8. Reduza ao primeiro quadrante:
(a) cos 178◦
(b) cotg
7π
6
(c) sen
7π
6
(d) sen
5π
4
(e) sen 251◦
(f) sec 124◦
(g) cos
5π
3
(h) cos
7π
6
(i) tg 290◦
(j) cossec
11π
6
(k) tg
3π
4
(l) tg
5π
3
9. Com o aux́ılio da tabela dos arcos notáveis, calcule:
101
(a) sen 120◦
(b) cos 120◦
(c) sen 210◦
(d) cos 210◦
(e) sen 300◦
(f) cos 300◦
(g) sen 135◦
(h) cos 135◦
(i) sen 225◦
(j) cos 225◦
(k) sen 315◦
(l) cos 315◦
10. Calcule o valor da expressão:
E =
sen
5π
6
− cos 4π
3
sen2
7π
4
11. Observando a figura, julgue (V ou F) cada uma das afirmações:
I. ( ) sen (180◦ − α) = sen α
II. ( ) sen (180◦ − α) = −sen α
III. ( ) sen (180◦ + α) = sen α
IV. ( ) sen (180◦ + α) = −sen α
V. ( ) sen (360◦ − α) = sen α
V I. ( ) sen (360◦ − α) = −sen α
V II. ( ) cos (180◦ − α) = cos α
V III. ( ) cos (180◦ − α) = −cos α
IX. ( ) cos (180◦ + α) = cos α
X. ( ) cos (180◦ + α) = −cos α
XI. ( ) cos (360◦ − α) = cos α
XII. ( ) cos (360◦ − α) = −cos α
12. De acordo com suas conclusões no exerćıcio anterior, simplifique a expressão:
E =
sen (180◦ − α)− sen (180◦ + α)
sen (360◦ − α)
13. Dois arcos de medidas opostas quaisquer, α e −α, têm extremidades simétricas em relação ao
eixo dos cossenos. Observando a figura, julgue (V ou F) cada uma das afirmações:
102
I. ( ) cos (−α) = cos α
II. ( ) cos (−α) = −cos α
III. ( ) sen (−α) = sen α
IV. ( ) sen (−α) = −sen α
14. De acordo com suas conlusões no exerćıcio anterior, calcule:
(a) sen (−30◦)
(b) cos (−45◦)
(c) sen (−210◦)
(d) cos (−300◦)
15. Sendo cos α =
5
13
e
3π
2
< α < 2π, calcule o valor de sen α e de cossec α.
16. Calcule o valor de cos α, sabendo que sen α = −1
3
e que π < α <
3π
2
.
17. Sendo sen x =
4
5
e
π
2
< x < π, calcule o valor das demais razões trigonométricas.
18. Sendo cossec x = −25
24
e π < x <
3π
2
, calcule o valor das demais razões trigonométricas.
19. Obtenha m, sendo m ∈ R, de modo que:
sen x =
m
5
e cos x =
m+ 1
5
20. Resolva a equação, na variável x:
x2 + 2x+ sen2 α = 0
21. Resolva a equação na variável x:
x2 − 2x+ cos2 α = 0
22. Determine o valor do cos x, sabendo que 3sen2 x− 4sen x+ 1 = 0 e que 0 < x < π
2
.
Sugestão: Faça a mudança de variável sen x = y.
23. Sabendo que 4cos2 x+ 5sen x− 5 = 0 e que π
2
< x < π, calcule o valor de sen x.
Sugestão: Substitua cos2 x por 1− sen2 x.
103
24. Sabendo que sec x = 3, calcule o valor da expressão
y = sen2 x+ 2tg2 x
25. Sabendo que cotg x =
24
7
e π < x <
3π
2
, calcule o valor da expressão:
y =
tg x · cos x
(1 + cos x)(1− cos x)
26. Calcule m de modo que tg x = m− 2 e cotg x = m
3
.
104
Respostas - Ćırculo Trigonométrico
1. (a)
4π
3
(b)
7π
4
(c)
7π
6
(d)
π
4
2. (a) 90◦ (b) 150◦ (c) 135◦ (d) 330◦
3. 18◦ 4. E = −1
5.
Quadrante sen/cossec cos/sec tg/cotg
π
6
1o + + +
3π
4
2o + − −
4π
3
3o − − +
5π
3
4o − + −
6. (a) positivo (b) positivo (c) negativo
7. (a)
√
3 +
√
2
2
(b)
−1 +
√
2
2
(c)
√
3 + 1
8. (a) −cos 2◦
(b) cotg 30◦
(c) −sen 30◦
(d) −sen 45◦
(e) −sen 71◦
(f) −sec 56◦
(g) cos 60◦
(h) −cos 30◦
(i) −tg 70◦
(j) −cossec 30◦
(k) −tg 45◦
(l) −tg 60◦
9. (a)
√
3
2
(b) −1
2
(c) −1
2
(d) −
√
3
2
(e) −
√
3
2
(f)
1
2
(g)√
2
2
(h) −
√
2
2
(i) −
√
2
2
(j) −
√
2
2
(k) −
√
2
2
(l)
√
2
2
10. E = 2
11. I. V
II. F
III. F
IV. V
V. F
V I. V
V II. F
V III. V
IX. F
X. V
XI. V
XII. F
12. e = −2
13. I. V II. F III. F IV. V
14. (a) −1
2 (b)
√
2
2
(c)
1
2
(d)
1
2
15. sen α = −12
13
e cossec α = −13
12
. 16. cos α = −2
√
2
3
.
17. cos x = −3
5
, tg x = −4
3
, cotg x = −3
4
, cossec x =
5
4
e sec x = −5
3
.
18. cos x = − 7
25
, sen x = −24
25
, tg x =
24
7
, cotg x =
7
24
e sec x = −25
7
.
105
19. m = 3 ou m = −4.
20. S = {−1 + cos x,−1− cos x}
21. S = {1 + sen x, 1− sen x}
22. cos x =
2
√
2
3
.
23. sen x =
1
4
24. y =
152
9
25. y = −25
7
26. m = −1 ou m = 3.
106
27 Operações com Arcos
Resumo
Fórmulas de adição de arcos
Obedecidas as condições de existência, vale:
sen (α + β) = senα cos β + senβ cosα
sen (α− β) = senα cos β − senβ cosα
cos(α + β) = cosα cos β − senαsenβ
cos(α− β) = cosα cos β + senαsenβ
tg (α + β) =
tgα + tgβ
1− tgαtgβ
tg (α− β) = tgα− tgβ
1 + tgαtgβ
Fórmulas de arco duplo
Obedecidas as condições de existência, vale:
sen 2β = 2senβ cos β
cos 2β = cos2 β − sen 2β
tg 2β =
2tgβ
1− tg 2β
107
Lista de Exerćıcios - Operações com Arcos
1. Calcule:
(a) cos 75◦
(b) cos 105◦
(c) sen 75◦
(d) sen 15◦
(e) tg 15◦
(f) tg 75◦
2. Sabendo que sen a =
3
5
e que 0 < a <
π
2
, calcule cos
(π
3
+ a
)
.
3. Simplifique a expressão sen
(π
2
+ x
)
+ cos
(
3π
2
+ x
)
.
4. Calcule o valor da expressão abaixo, sabendo que x =
π
8
:
E = sen 3x · cos x− sen x · cos 3x
5. Sabendo que tg x = 3, calcule tg
(
x− π
4
)
.
6. Com o aux́ılio das fórmulas de adição dos arcos, complete a tabela abaixo, representando os
valores com apenas uma casa decimal:
7. Sabendo que sen x = − 5
13
e que π < x <
3π
2
, calcule sen 2x e cos 2x.
8. No quadrilátero ABCD, representado abaixo, calcule o seno do ângulo BÂD.
9. Calcule o valor do cos x, sabendo que cos
x
2
=
3
5
.
10. Sabendo que cos x =
3
4
, sabendo que 0 < x <
π
2
, calcule cos
x
2
.
11. Dado tg x = 3, calcule tg 2x.
12. Sendo α + β =
π
4
, determine o valor de (cosα + cos β)2 + (senα− senβ)2.
13. As ráızes da equação x2 − 3x+ 2 = 0 são tg α e tg β. Quanto vale tg (α + β)?
14. Se sen (x+ π) = cos(π − x), quais valores x pode assumir?
108
15. Calcule o valor da expressão:
E = sen 17◦ ·cos 13◦+cos 17◦ ·sen 13◦+cos 73◦ ·cos 17◦−sen 73◦ ·sen 17◦+ tg 31
◦ + tg 14◦
1− tg 31◦ · tg 14◦
16. Mostre que:
(a)
cosx
secx
+
senx
cossecx
= 1
(b)
sec a− cos a
cossec a− sen a
= tg 3a
(c) (cosx)(1− tgx) + (senx)(1− cotgx) = 0
(d)
sen 2x
1 + cos x
= 1− cosx
(e) sec2 x− cossec 2x = (tgx+ cotgx)(tgx− cotgx)
(f)
1 + sen 2x
cos 2x
=
1 + cotgx
cotgx− 1
109
Respostas - Operações com Arcos
1. Calcule:
(a)
√
6−
√
2
4
(b)
−
√
6 +
√
2
4
(c)
√
2 +
√
6
4
(d)
√
6−
√
2
4
(e) 2−
√
3
(f) 2 +
√
3
2.
4− 3
√
3
10
3. senx+ cosx
4. E =
√
2
2
5.
1
2
6.
7. sen 2x =
120
169
e cos 2x =
119
169
.
8. senBÂD =
24
25
.
9. − 7
25
10.
√
14
4
11. −3
4
12. 2 +
√
2
13. −3
14. S =
{
x =
π
4
+ kπ; k ∈ Z
}
15.
3
2
110
28 Funções Trigonométricas
Resumo
Função Seno
f(x) = a+ bsen (mx+ n), b 6= 0
Exemplo: f(x) = senx
Domı́nio: R Imagem: [−1, 1]
Função Cosseno
f(x) = a+ b cos(mx+ n), b 6= 0
Exemplo: f(x) = cos x
Domı́nio: R Imagem: [−1, 1]
Função Tangente
f(x) = a+ btg (mx+ n), b 6= 0
Exemplo: f(x) = tgx
Domı́nio:
{
x ∈ R/x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
Imagem: R
Peŕıodo de uma função trigonométrica: P = 2π
m
111
Lista de Exerćıcios - Funções Trigonométricas
1. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções, determinando seu domı́nio, sua imagem
e seu peŕıodo:
(a) f(x) = senx
(b) f(x) = 2senx
(c) f(x) = −2senx
(d) f(x) = sen (2x)
(e) f(x) = 2sen
(x
2
)
(f) f(x) = 2 + senx
2. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções, determinando seu domı́nio, sua imagem
e seu peŕıodo:
(a) f(x) = cos x
(b) f(x) = 3 cosx
(c) f(x) = − cosx
(d) f(x) = cos(2x)
(e) f(x) = cos
(x
2
)
(f) f(x) = 1 + cosx
3. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções, determinando seu domı́nio, sua imagem
e seu peŕıodo:
(a) f(x) = tgx (b) f(x) = −tgx (c) f(x) = tg (2x)
4. Qual é o valor máximo da função f(x) = 4 + 5senx?
5. Qual é o valor mı́nimo da função f(x) = 5 + sen (4x)?
6. Determine os valores reais de m de modo que seja posśıvel a igualdade senx = 4m− 2.
7. Qual é o valor mı́nimo da função f(x) = 1 + 4 cosx?
8. O conjunto imagem da função f definida por f(x) = h+ senx é [−2, 0], qual o valor de h?
9. Dada a função f(x) = 5− 3 cos
(
x− 2
π
)
, calcule sua imagem e seu peŕıodo.
112
Respostas - Funções Trigonométricas
1. (a) D = R e I = [−1, 1]
(b) D = R e I = [−2, 2]
(c) D = R e I = [−2, 2]
(d) D = R e I = [−1, 1]
(e) D = R e I = [−2, 2]
(f) D = R e I = [1, 3]
2. (a) D = R e I = [−1, 1]
(b) D = R e I = [−3, 3]
(c) D = R e I = [−1, 1]
(d) D = R e I = [−1, 1]
(e) D = R e I = [−1, 1]
(f) D = R e I = [0, 2]
3. (a) D =
{
x ∈ R;x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
e I = R
113
(b) D =
{
x ∈ R;x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
}
e
I = R
(c) D =
{
x ∈ R;x 6= π
4
+
kπ
2
, k ∈ Z
}
e
I = R
4. 9
5. 4
6. S =
{
m ∈ R; 1
4
≤ m ≤ 3
4
}
7. −3
8. h = −1
9. I = [2, 8] e P = 2π2
114
29 Funções Trigonométricas Inversas
Resumo
Função Seno
Domı́nio:
[
−π
2
,
π
2
]
Imagem: [−1, 1]
Função Arco Seno
Domı́nio: [−1, 1] Imagem:
[
−π
2
,
π
2
]
Função Cosseno
Domı́nio: [0, π] Imagem: [−1, 1]
Função Arco Cosseno
Domı́nio: [−1, 1] Imagem: [0, π]
Função Tangente
Domı́nio:
(
−π
2
,
π
2
)
Imagem: R
Função Arco Tangente
Domı́nio: R Imagem:
(
−π
2
,
π
2
)
115
Lista de Exerćıcios - Funções Trigonométricas Inversas
1. Justificando sua resposta, classifique em verdadeiro ou falso as seguintes afirmações:
(a) ( ) Existe arctg
π
2
, e arctg
π
2
= 0.
(b) ( ) Não existe arcsenπ.
(c) ( ) Existe arccosπ, e arccosπ = −1.
(d) ( ) Exite arcsen 300◦, pois arcsen 300◦ = arcsen
(
−π
3
)
.
(e) ( ) Exite arcsen 300◦, pois arcsen 300◦ = arcsen
(
−π
6
)
.
(f) ( ) Não existe arccos
(
3π
2
)
.
(g) ( ) Existe arctg
π
7
.
(h) ( ) Existe arctg 0.
2. Sabendo que f : [−1, 1]→
[
−π
2
,
π
2
]
definida por f(x) = arcsenx, calcule:
(a) f(1)
(b) f(−1)
(c) f
(
−
√
2
2
)
(d) f
(
1
2
) (e) f
(√
3
2
)
(f) f (0)
3. Sabendo que f : [−1, 1]→ [0, π] definida por f(x) = arccos x, calcule:
(a) f(1)
(b) f(0)
(c) f
(
1
2
)
(d) f
(√
2
2
) (e) f
(
−
√
3
2
)
(f) f (−1)
4. Sabendo que f : R→
(
−π
2
,
π
2
)
definida por f(x) = arctgx, calcule:
(a) f(1)
(b) f(0)
(c) f(−1)
(d) f
(√
3
3
) (e) f
(
−
√
3
3
)
(f) f
(
−
√
3
)
5. Calcule, considerando o domı́nio adequado para as funções:
(a) sen
(
arcsen
1
2
)
(b) sen
(
arcsen
3
4
) (c) cos
(
arccos
1
2
)
(d) cos (arccos 0)
(e) tg (arctg 1)
(f) tg (arctg 5)
116
6. Calcule, considerando o domı́nio adequado para as funções:
(a) arcsen
(
sen
π
6
)
(b) arcsen (senπ)
(c) arccos
(
cos
3π
4
)
(d) arccos (cos 0)
(e) arctg
(
tg
π
4
)
(f) arctg
(
tg
π
6
)
7. Calcule, considerando o domı́nio adequado para as funções:
(a) cos
(
arcsen
2
3
)
(b) tg (arcsen 0, 8)
(c) cotg (arctg 20)
(d) cos (arccotg 1)
(e) tg
(
arccos
2
3
)
(f) sen (arccossec 20)
8. Calcule, considerando o domı́nio adequado para as funções:
(a) tg (arccosx)
(b) cotg (arcsenx)
(c) cos (arctgx)
(d) tg (arcsenx)
117
Respostas - Funções Trigonométricas Inversas
1. (a) F
(b) V
(c) V
(d) V
(e) F
(f) V
(g) V
(h) V
2. (a)
π
2
(b) −π
2
(c) −π
4
(d)
π
6
(e)
π
3
(f) 0
3. (a) 0 (b)
π
2
(c)
π
3
(d)
π
4 (e)
5π
6
(f) π
4. (a)
π
4
(b) 0 (c) −π
4
(d)
π
6
(e) −π
6
(f) −π
3
5. (a)
1
2
(b)
3
4
(c)
1
2
(d) 0 (e) 1 (f) 5
6. (a)
π
6
(b) π (c)
3π
4
(d) 0 (e)
π
4
(f)
π
6
7. (a)
√
5
3
(b)
4
3
(c)
1
20 (d)
√
2
2
(e)
√
5
2
(f)
1
20
8. (a)
√
1− x2
x
(b)
√
1− x2
x
(c)
1√
1 + x2
(d)
x√
1− x2
118
30Números Complexos - Forma Algébrica (parte I)
Resumo
O número i é chamado unidade imaginária e vale i =
√
−1, ou seja, i2 = −1.
O conjunto dos números complexos é da forma {a+ bi; a, b ∈ R}.
� Um número é dito real se b = 0.
� Um número é dito imaginário puro se a = 0.
� O número real a é chamado de parte real e o número b de parte imaginária.
� Dois números complexos a+ bi e c+ di são iguais se a = c e b = d.
119
Lista de Exerćıcios - Números Complexos - Forma
Algébrica (parte I)
1. Obtenha x ∈ R de modo que o número complexo 5 + (x2 − 9)i seja real.
2. Determine x ∈ R para que o número complexo (x2 − 25) + (x− 5)i seja imaginário puro.
3. Para quais valores reais de x o número complexo (x2 − 4) + (x− 2)i é imaginário puro?
4. Para quais valores reais de k o número complexo (15k − 15) + (k2 − 9)i é real?
5. Determine valores reais para a e b de modo que (a− 2b) + ai = 3 + (3b− 2)i.
6. Determine os números reais x e y tais que 2x+ 55 + (x+ 2y)i = 11− 9i.
7. Resolva em C:
(a) x2 = −1
(b) x2 = −3
(c) x2 = −49
(d) x2 + 60 = 0
(e) x2 − 2x+ 5 = 0
(f) x2 + 2x+ 5 = 0
(g) x2 − x+ 1 = 0
(h) 3x2 + x+ 4 = 0
(i) x2 − 4x+ 13 = 0
(j) x2 − 6x+ 10 = 0
(k) x2 − 2x+ 26 = 0
(l) x2 + 2x+ 7 = 0
120
Respostas - Números Complexos - Forma Algébrica (parte
I)
1. S = {3,−3}
2. S = {−5}
3. S = {−2}
4. S = {3,−3}
5. a = 13 e b = 5
6. x = −22 e y = 13
2
7. (a) S = {i,−i}
(b) S =
{√
3i,−
√
3i
}
(c) S = {7i,−7i}
(d) S =
{
2
√
15i,−2
√
15i
}
(e) S = {1− 2i, 1 + 2i}
(f) S = {−1− 2i,−1 + 2i}
(g) S =
{
1 +
√
3i
2
,
1−
√
3i
2
}
(h) S =
{
−1 +
√
47i
6
,
−1−
√
47i
6
}
(i) S = {2− 3i, 2 + 3i}
(j) S = {3− i, 3 + i}
(k) S = {1− 5i, 1 + 5i}
(l) S =
{
1−
√
6i, 1 +
√
6i
}
121
31 Números Complexos - Forma Algébrica (parte II)
Resumo
Propriedades:
Adição
Se z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, então z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.
Subtração
Se z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, então z1 − z2 = (a1 − a2) + (b1 − b2)i.
Multiplicação
Se z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, então z1 + z2 = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Divisão
Sempre deve-se racionalizar o denominador para conter um número real no denominador.
Conjugado
Se z = a+ bi, chamamos de conjugado o número z̄ = a− bi.
122
Lista de Exerćıcios - Números Complexos - Forma
Algébrica (parte II)
1. Determine o conjugado dos seguintes complexos:
(a) z = 3 + 2i
(b) z = −2 + 5i
(c) z = 4− i
(d) z = −5− 2i
(e) z = 7i
(f) z = 3
2. Dado os números complexos z1 = 8, z2 = −3 + 5i, z3 = 7 + i e z4 = −2i, calcule:
(a) z2 + z3
(b) z1 + z̄3 − z4
(c) z4 − z̄2 − (z3 + z1)
(d) z1 · z2
(e) z2 · z3 + z4
(f) z1 · z̄4
3. Dado os números complexos z1 = 4 + 3i, z2 = 5− i, z3 = 2i e z4 = 5, calcule:
(a)
z4
z1
(b)
z4
z2
(c)
z3
z1
(d) (z1)
−1
(e)
z1
z3
− z2
4. Calcule (1 + i)2 e (1− i)2.
5. Calcule:
(a) (1 + i)10
(b) (1− i)8
(c) (2 + 2i)10
(d) (3− 3i)4
(e) i4
(f) i10
(g) i53
(h) i−37
6. Calcule o valor da expressão i35 + i73 − i962 + i−80.
7. Determine o menor natural n tal que in+21 = 1.
123
Respostas - Números Complexos - Forma Algébrica (parte
II)
1. (a) z̄ = 3− 2i
(b) z̄ = −2− 5i
(c) z̄ = 4 + i
(d) z̄ = −5 + 2i
(e) z̄ = −7i
(f) z̄ = 3
2. (a) 4 + 6i
(b) 15 + i
(c) −12 + 2i
(d) −24 + 40i
(e) −26 + 30i
(f) 16i
3. (a)
4− 3i
5
(b)
25 + 5i
26
(c)
6 + 8i
25
(d)
4− 3i
25
(e)
−7− 2i
2
4. 2i e −2i
5. (a) 32i
(b) 16
(c) 215i
(d) −324
(e) 1
(f) −1
(g) i
(h) −i
6. 0
7. n = 0
124
32 Números Complexos - Forma Trigonométrica (parte I)
Resumo
Módulo
Se z = a+ bi, chamamos de módulo de um número complexo o valor
ρ = |z| =
√
a2 + b2
Argumento
Se z = a+ bi, chamamos de argumento de um número complexo o valor do ângulo θ que
satisfaz as seguintes condições:
cos θ =
a
ρ
e sen θ =
b
ρ
Forma trigonométrica
Se z é um número complexo de módulo ρ e argumento θ então z pode ser escrito da seguinte
forma:
z = ρ(cos θ + isen θ)
125
Lista de Exerćıcios - Números Complexos - Forma
Trigonométrica (parte I)
1. Calcule o módulo dos seguintes números complexos:
(a) z = 3 + 4i
(b) z = −5 + 12i
(c) z = 4i
(d) z = −5
(e) z = 3− 2i
(f) z = −6 + 3i
2. Calcule o argumento dos seguintes números complexos:
(a) z =
√
3 + i
(b) z = 2− 2i
(c) z = −1 +
√
3i
(d) z =
√
3
2
− i
2
(e) z = −3− 3i
(f) z = 5
3. Represente na forma algébrica cada um dos números complexos a seguir:
(a) z = 2(cos 60◦ + isen 60◦)
(b) z = cos
3π
2
+ isen
3π
2
(c) z = cos 240◦ + isen 240◦
(d) z = 4
(
cos
π
2
+ isen
π
2
)
4. Represente na forma trigonométrica cada um dos números complexos a seguir:
(a) z =
√
3 + i
(b) z = 1− i
(c) z = −1−
√
3i
(d) z = 3i
(e) z = −2
(f) z = −
√
3 + i
(g) z =
5
2
+
5
√
3
2
i
(h) z =
√
3
2
− 1
2
i
(i) z = i
(j) z =
3
√
2
2
+
3
√
2
2
i
126
Respostas - Números Complexos - Forma Trigonométrica
(parte I)
1. (a) ρ = 5
(b) ρ = 13
(c) ρ = 4
(d) ρ = 5
(e) ρ =
√
13
(f) ρ = 3
√
5
2. (a) θ =
π
6
(b) θ =
7π
4
(c) θ =
2π
3
(d) θ =
11π
6
(e) θ =
5π
4
(f) θ = 0
3. (a) z = 1 +
√
3i
(b) z = −i
(c) z = −1
2
−
√
3
2
i
(d) z = 4i
4. (a) z = 2(cos 30◦ + isen 30◦)
(b) z =
√
2(cos 315◦ + isen 315◦)
(c) z = 2(cos 240◦ + isen 240◦)
(d) z = 3(cos 90◦ + isen 90◦)
(e) z = 2(cos 180◦ + isen 180◦)
(f) z = 2(cos 150◦ + isen 150◦)
(g) z = 5(cos 60◦ + isen 60◦)
(h) z = (cos 330◦ + isen 330◦)
(i) z = (cos 90◦ + isen 90◦)
(j) z = 3(cos 45◦ + isen 45◦)
127
33 Números Complexos - Forma Trigonométrica (parte
II)
Resumo
Multiplicação
Se z = ρ1(cos θ1 + isen θ1) e w = ρ2(cos θ2 + isen θ2) então
z · w = ρ1ρ2(cos(θ1 + θ2) + isen (θ1 + θ2))
Divisão
Se z = ρ1(cos θ1 + isen θ1) e w = ρ2(cos θ2 + isen θ2) então
z
w
=
ρ1
ρ2
(cos(θ1 − θ2) + isen (θ1 − θ2))
Potenciação
Se z = ρ(cos θ + isen θ) então
zn = ρn(cos(nθ) + isen (nθ))
128
Lista de Exerćıcios - Números Complexos - Forma
Trigonométrica (parte II)
1. Dados os números complexos z = 3(cos 35◦ + isen 35◦), w = 6(cos 50◦ + isen 50◦) e u =
2(cos 10◦ + isen 10◦), determine a forma algébrica dos seguintes números:
(a) zu (b) wu (c) u3
2. Dado os números complexos z = 12
(
cos
5π
6
+ isen
5π
6
)
, w = 4
(
cos
7π
12
+ isen
7π
12
)
e u =
cos
π
12
+ isen
π
12
, determine a forma algébrica dos seguintes números:
(a)
z
w
(b)
w
u
(c)
z
wu
3. Calcule:
(a) (1 +
√
3i)6
(b) (
√
3 + i)10
(c)
(
1
2
+
√
3
2
i
)100
(d) (−1 + i)4
4. Determine as ráızes quartas de z = 1.
5. Determine as ráızes cúbicas de z = −1.
6. Determine as ráızes quintas de
1
2
+
√
3
2
i.
129
Respostas - Números Complexos - Forma Trigonométrica
(parte II)
1. (a) 3
√
2 + 3
√
2i (b) 6 + 6
√
3i (c) 4
√
3 + 4i
2. (a)
3
√
2 + 3
√
2i
2
(b) 4i
(c)
3
√
3
2
+
3i
2
3. (a) 64
(b) 512− 512
√
3i
(c) −1
2
−
√
3
2
i
(d) −4
4. S = {1,−1, i,−i}
5. S =
{
−1, 1
2
+
√
3
2
i,
1
2
−
√
3
2
i
}
6. S =
{
cos 12◦ + isen 12◦, cos 84◦ + isen 84◦, cos 156◦ + isen 156◦,
cos 228◦ + isen 288◦, cos 300◦ + isen 300◦
}
130