Inequações Trigonométricas - Exercícios

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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PROFESSOR(A): FABRÍCIO MAIA
ASSUNTO: INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
FRENTE: MATEMÁTICA I
006.306 – 132233/18
AULAS 21 E 22
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Inequações trigonométricas
Em Álgebra, costumamos defi nir as inequações como toda 
sentença matemática aberta expressa por uma desigualdade. Assim, 
uma inequação é dita trigonométrica quando em sua composição o 
valor desconhecido aparece relacionado com seno, cosseno, tangente, 
cotangente, secante ou cossecante. Resolvê-la, consiste em encontrar 
os valores que verifi cam a sentença.
Seno, Cosseno e Tangente (Arcos Notáveis)
α senα cosα tgα
0 0 1 0
π
6
1
2
3
2
3
3
π
4
2
2
2
2
1
π
3
3
2
1
2
3
π
2
1 0 ∃
Exercícios
01. Determine todos os valores α
π π
∈ −


2 2
, tais que a equação 
x tg4 4 22 3 0− + =( ) x ,α em x, admita apenas raízes mais simples.
02. Resolva a equação sen2 (4x) + cos2x – 2 · sen(4x) · cos4x = 0.
03. Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe 
um número real x satisfazendo 1 2− ≥ −x a x .
04. No intervalo π < x < 2π, quais são os valores de k que satisfazem 
a inequaçao (log
e
k)senx > 1?
A) para todo k > e
B) para todo k > 2
C) para todo k > 1
D) para todo 1 < k < e
E) para todo 0 < k < e
05. Determine para quais valores de x ∈ −



π π
2 2
, vale a desigualdade:
log
cosx
 (4 sen2x – 1) – log
cosx
 (4 – sec2x) > 2
06. Dado o polinômio P defi nido por P (x) = senθ – (tgθ)x + (sec2θ)x2, 
os valores de θ no intervalo [0,2π] tais que P admita somente 
raízes reais são:
A) 0
2
≤ ≤θ
π
B) 
π
θ π π θ
π
2
3
2
< < < <ou
C) π θ
π π
θ π≤ < < ≤
3
2
3
2
2ou
D) 0
3
≤ ≤θ
π
E) 
π
θ
π
2
3
2
≤ <
07. Determine os valores de θ ∈ [0,2π] tais que log
tgθ e
senθ ≥ 0.
08. Em R, o conjunto solução da inequação x2 – 2018 · sen x + 2019 ≥ 0 é:
A) ∅
B) [– 1, 1]
C) [0, 1]
D) R
E) [– 1, 0]
09. Resolva a inequação sen2x + senx > cos2x + cosx, sendo x ∈ [0, π].
10. No intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, a expressão y
senx tgx
x
=
+
+cosx cotg
 é tal que:
A) y > 0 somente se 0
2
< <x
π
B) y < 0 se x
k
≠
π
2
, k ∈ Z
C) y > 0 se x
k
≠
π
2
, k ∈ Z
D) y < 0 somente se π
π
< <x
3
2
E) NDA
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MÓDULO DE ESTUDO
006.306 – 132233/18
11. Determine os valores de x que satisfazem a sentença a seguir:
π πcos cos
2 22 0x x+ − ≤
12. No intervalo 0 < x < 2π , a inequação (senx + cosx)2 < 1 tem 
solução, se:
A) 0
2
3
2
< < < <x ou x
π
π
π
B) 
π
π
π
π
2
3
2
2< < < <x ou x
C) 0
2
3
2
2< < < <x ou x
π π
π
D) 0
2
< <x
π
E) π
π
< <x
3
2
13. Determine o conjunto solução da inequação 
senx
senx −
<
1
0.
14. A equação x x2 2 0+ + =cosθ , com 0 ≤ θ ≤ π, não admite raízes 
reais se, e somente se,
A) 0
3
≤ <θ
π
B) 
π
θ
π
3 2
< ≤
C) 
π
θ π
2
≤ ≤
D) 
π
θ
π
6
2
3
< <
E) 
π
θ
π
6 4
≤ ≤
15. Considere a inequação trigonométrica 
sen x( )
cos( x) cos(x)
,
2 2
2 3 1
0
−
+ −
> 
para 0 < x < 2π. 
 Encontre os valores de x, que satisfazem a sentença.
Gabarito
01 02 03 04 05
– – – D –
06 07 08 09 10
C – D – C
11 12 13 14 15
– B – A –
– Demonstração.
Anotações
SU
PE
RV
IS
O
R/
D
IR
ET
O
R:
 M
A
RC
EL
O
 P
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A
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 2
2/
10
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