Geometria de Posição e dos Poliedros

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: GeoMetria de Posição e dos Poliedros
frente: MateMática i
AULAS 46 E 47
EAD – ITA/IME
016.444 – 141779/19
Resumo Teórico
Determinação de retas
• Por um ponto P passam infinitas retas.
P
• Por dois pontos P e Q distintos passa uma única reta PQ
 
.
P
Q
Determinação de planos
• Três pontos não alinhados P, Q e R determinam um único plano 
Pl(PQR).
R
P
Q
• Uma reta r e um ponto P ∉ r determinam um único plano Pl(PQR).
P
r
Q
R
• Duas retas r e s concorrentes determinam um único plano Pl(PQR).
s
r
Q P
R
• Duas retas r e s paralelas distintas determinam um único plano 
Pl(PQR).
r
s
P
Q
R
Posições relativas de 
duas retas no espaço
• Duas retas são paralelas distintas, se elas estão no mesmo plano 
e não têm um ponto comum.
r
s
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Módulo de estudo
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• Se duas retas estão no mesmo plano e têm um único ponto comum 
(P), são chamadas de concorrentes.
P
s
r
• Se duas retas não estão contidas em um mesmo plano, as retas 
são chamadas de reversas.
s
r
• Se duas retas são coplanares e têm mais de um ponto comum, 
as retas são chamadas de coincidentes.
Q
P
r = s
Posições relativas entre plano e reta
• Uma reta r pode está contida no plano α.
r
α
• Uma reta r pode ser secante ao plano α.
α
r
• Uma reta r pode ser paralela ao plano α.
α
r
Posições relativas entre plano e plano
• Os planos α e β podem ser paralelos distintos.
α
β
• Os planos α e β podem ser secantes.
α
β
• Os planos α e β podem ser coincidentes.
α = β
Geometria dos Poliedros
Denomina-se poliedro o sólido ou corpo geométrico limitado 
pelo conjunto finito de polígonos planos, tais que cada um dos 
seus lados pertença a dois dos referidos polígonos e dois polígonos 
quaisquer que tenham um lado comum e não estejam situados no 
mesmo plano.
aresta
face
vértice
Os polígonos são denominados faces do poliedro.
Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, 
respectivamente, arestas e vértices do poliedro.
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Módulo de estudo
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Poliedros convexos e não convexos
Um poliedro é dito convexo quando o segmento da reta 
que une dois quaisquer de seus pontos está contido no poliedro. 
Em caso contrário, é não convexo.
Poliedro côncavo Poliedro convexo
De acordo com o número de faces, temos os seguintes 
poliedros:
• tetraedro ⇒ poliedro convexo com quatro faces;
• pentaedro ⇒ poliedro convexo com cinco faces;
• hexaedro ⇒ poliedro convexo com seis faces;
• heptaedro ⇒ poliedro convexo com sete faces;
• octaedro ⇒ poliedro convexo com oito faces;
• icosaedro ⇒ poliedro convexo com vinte faces.
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo, vale a relação:
V + F = A + 2
V = número de vértices
A = número de arestas
F = número de faces




Propriedades 
Em um poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as 
faces é dada por:
S = (V – 2) ⋅ 360º
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é dito regular quando as suas faces são 
polígonos regulares e congruentes, e todos os ângulos poliédricos 
são congruentes.
Há somente cinco tipos de poliedros regulares, que são:
Tetraedro regular
Planificação
Faces: triângulos equiláteros
Hexaedro regular (cubo)
Planificação
Faces: quadrados
Octaedro regular
Planificação
Faces: triângulos equiláteros
Dodecaedro regular
Planificação
Faces: pentágonos regulares
Icosaedro regular
Planificação
Faces: triângulos equiláteros
Características relevantes 
dos poliedros regulares
• Tetraedro
– Faces triangulares
– Vértices triédricos
• Hexaedro
– Faces quadrangulares
– Vértices triédricos
• Octaedro
– Faces triangulares
– Vértices tetraédricos
• Dodecaedro
– Faces pentagonais
– Vértices triédricos
• Icosaedro
– Faces triangulares
– Vértices pentaédricos
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Exercícios
01. Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. 
Sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares 
e o número de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma 
progressão aritmética de razão –5.
 Determine o número de vértices do poliedro.
02. Um poliedro convexo que tem 7 ângulos pentaédricos e os demais 
triédricos tem 5 faces triangulares e as demais quadrangulares e 
pentagonais. Sabendo que ele tem 25 faces, determine o número 
de diagonais desse poliedro.
03. Um poliedro convexo de 14 faces tem apenas faces regulares 
que são hexagonais e quadrangulares. Se todo os seus ângulos 
poliédricos são triedros e a soma das medidas de todas as arestas 
é 288 m, qual é a área desse poliedro?
04. Um poliedro convexo é platônico se, e somente se, satisfaz as três 
seguintes condições:
– Todas as faces têm o mesmo número n de arestas;
– Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de 
arestas.
Demonstre que existem apenas cinco poliedros de Platão.
05. Das afirmações:
I. Duas retas coplanares são concorrentes;
II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas;
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos 
paralelos, cada um contendo uma das retas;
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem 
um paralelogramo.
É(são) verdadeira(s) apenas
A) III
B) I e III
C) II e III
D) III e IV
E) I, II e IV
06. Considere as afirmações.
I. Existe um triedro cujas 3 faces tem a mesma medida α = 120º;
II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, 
respectivamente, 30º, 45º, 50º, 50º e 170º;
III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face 
quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 
9 vértices;
IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo 
com 10 vértices e 2880º.
Destas, é(são) correta(s) apenas
A) II
B) IV
C) II e IV
D) I, II e IV
E) II, III e IV
07. Um diedro mede 120º. A distância da aresta do diedro ao centro 
de uma esfera de volume 4 3 3πcm que tangencia as faces do 
diedro é, em cm, igual a
A) 3 3
B) 3 3
C) 2 3
D) 2 2
E) 2
08. Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares 
e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número 
de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é
A) 10
B) 17
C) 20
D) 22
E) 23
09. Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces 
triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano 
convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro 
convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo 
poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a 
mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m 
e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices 
do poliedro original, então
A) m = 9, n = 7
B) m = n = 9
C) m = 8, n = 10
D) m = 10, n = 8
E) m = 7, n = 9
10. Considere dois planos α e β perpendiculares e três retas distintas, 
r, s e t tais que r ⊂ α, s ⊂ β e t = α ∩ β.
 Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que
A) as retas r e s somente definirão um plano se forem concorrentes 
em t em um único ponto.
B) as retas r e s podem definir um plano paralelo à reta t.
C) as retas r e s são necessariamente concorrentes.
D) se r e s forem paralelas, então elas definem um plano 
perpendicular a α e β.
E) o plano definido por r e t é necessariamente paralelo a s.
11. Considere um plano α e os pontos A, B, C e D tais que
– o segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em α;
– o segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em α 
e é perpendicular a AB;
– o segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a α.
Nessas condições, a medida do segmento CD é
A) 26 cm B) 28 cm
C) 30 cm D) 32 cm
E) 34 cm
12. Dois planos π1 e π2 se interceptam ao longo de uma reta r, de 
maneira que o ângulo entre eles meça α radianos, 0
2
< <α π . 
Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido em π2,de 
modo que AB esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre 
o plano π1, e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo 
CÂD, satisfaça senθ = 6
4
 .
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 Nessas condições, determine, em função de l, 
A) o valor de α.
B) a área do triângulo ABD.
13. O ângulo é formado por dois planos α e β, é tal que tgθ = 5
5
. 
O ponto P pertence a α e a distância de P a β vale 1.
 Então, a distância de P à reta intersecção de α e β é igual a
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
14. Sobre os conhecimentos de geometria tridimensional, considere 
as afirmativas.
I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são 
concorrentes;
II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano;
III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano;
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único plano 
α que contém r e é paralelo a s.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é
A) I e II
B) I e IV
C) III e IV
D) I, II e III
E) II, III e IV
15. O ponto A pertence à reta r, contida no plano α. A reta s, 
perpendicular a α, o intercepta no ponto B. O ponto C pertence 
s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 
5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em 
centímetros, é igual a
A) 9 5
B) 9
C) 7
D) 4
E) 3 5
Gabarito
AULAS 46 E 47 – PROFESSOR FABRÍCIO MAIA
01 02 03 04 05
* * * – D
06 07 08 09 10
C E C B B
11 12 13 14 15
A * C C 9
– Demonstração.
* 01: seis
 02: 346
 03: 384 1 2 3 2+( )m
 12: 
 A) 
π
4
 B) 
l 6
8
2
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA 
DIG.: Zilmar – REV.: CARLA ARAÚJO
Anotações