Geometria do Tetraedro e Octaedro Regular

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Fabrício Maia
assunto: GeoMetria do tetraedro reGular e do octaedro
frente: MateMática i
AULAS 52 E 53
EAD – ITA/IME
016.447 – 141808/19
Resumo Teórico
GEOMETRIA DO TETRAEDRO REGULAR
• Tetraedro Regular: é um poliedro regular limitado por quatro 
faces triangulares regulares e congruentes.
h
a
a
c
V
a
a
Ba
V’
A
2x
x D
Comentários
• V’ é a projeção ortogonal do vértice V.
• Como a pirâmide é regular → V’ é o baricentro do DABC → 
AV’ = 2 ⋅ (V’D)
• 3
3
2
x
a= (altura do D equilátero de lado a) → 2 3
3
x
a= .
• Pitágoras (DVV’A):
a x h a
a
h h
a
h
a2 2 2 2
2
2 2
2
2
3
9
6
9
6
3
= + → = + → = → =( )
• Área da base (DABC) = a
2 3
4
.
• Área lateral da pirâmide (V – ABC) = ⋅





3
3
4
2a
.
• Área total da pirâmide (V – ABC) = ⋅





 =4
3
4
3
2
2a a .
• Volume da pirâmide (V – ABC) =
⋅
=
a a
a
2
3
3
4
6
3
3
2
12
.
GEOMETRIA DO OCTAEDRO REGULAR
• Octaedro regular: é um poliedro regular limitado por oito faces 
triangulares regulares e congruentes.
M
a
a
B
A
N
a
a
a
a
a
a
a
a
C
D
a
Comentários
• Diagonal do octaedro = MN = AC = BD = a 2
• Distância entre duas faces paralelas = 
a 6
3
• Área total (octaedro) = 8
3
4
2 3
2
2⋅




=a a
• Volume (octaedro) = 2
2
2
3
2
3
2
3a a⋅










=
2F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Módulo de estudo
016.447 – 141808/19
Exercícios
01. Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas 
medem 1 cm. Se M é o ponto médio do segmento AB e N é o 
ponto médio do segmento CD , determine a área do triângulo 
MND, em cm2.
02. Quatro dos oito vértices de um cubo são vértices de um tetraedro 
regular. Se r é a razão entre a área da superfície do cubo e a área 
da superfície do tetraedro, determine 2r2.
03. Ligam-se os pontos médios das arestas de um tetraedro regular. 
Prove que o volume do octaedro corresponde a metade do volume 
do tetraedro primitivo.
04. Seja OABC um tetraedro tri-retângulo em O com OA = a, 
OB = b, OC = c e seja h o comprimento da altura relativa ao 
vértice O. Prove que:
1 1 1
2 2 2h b c
= + +
05. Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e um octaedro inscrito 
no tetraedro, com seus vértice posicionados nos pontos médios 
das arestas do tetraedro. Obtenha a área da seção do octaedro 
formada pelo plano horizontal paralelo à base do tetraedro BCD, 
distando desta base de um quarto da altura do tetraedro.
A) 
3
192
2a B) 
3
96
2a
C) 
3 3
32
2a D) 
3 3
64
2a
E) 
9 3
64
2a
06. Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura 
mede 3a cm, onde a é a medida da aresta de sua base. Então, 
a área total desta pirâmide, em cm2, vale
A) 
a2 327
4
( )
B) 
a2 109
2
( )
C) 
a2 3
2
( )
D) 
a2 3 2 33
2
⋅ +( ) 
E) 
a2 3 1 109
4
⋅ +( ) 
07. Um triedro tri-retângulo é contado por um plano que intercepta 
as três arestas, formando um triângulo com lados medidndo 
8 m, 10 m e 12 m. O volume, em m3, do sólido formado é
A) 15 6
B) 5 30
C) 6 15
D) 30 6
E) 45 6
08. Em relação a um sistema de eixos cartesiano ortogonal no plano, 
três vértices de um tetraedro regular são dados por A = (0; 0), 
B = (2, 2) e C = 1 3 1 3− +( ), . O volume do tetraedro é
A) 
8
3
B) 3
C) 
3 3
2
D) 
5 3
2
E) 8
09. Um plano intercepta as arestas de um triedro triretângulo de 
vértice v, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, 
respectivamente, 10 , 17 e 5 cm. O volume, em cm3, do sólido 
VABC é
A) 2
B) 4
C) 17
D) 6
E) 5 10
10. Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum AB . 
Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de CD . 
Se MN – CN – 2 cm, então a altura relativa ao lado CD , 
do triângulo ACD mede, em cm,
A) 
60
3
 B) 
50
3
C) 
40
3
 D) 
30
3
E) 
2 6
3
11. Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados 
13 cm, 14 cm e 15 cm, as outras arestas medem l. Sabendo que 
o volume da pirâmide é de 105 22 3cm , o valor de l, em cm, 
é igual a:
A) 
155
8
 B) 
335
11
C) 
275
9
 D) 
205
8
E) 
95
8
3 F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Módulo de estudo
016.447 – 141808/19
12. Cada aresta do tetraedro regular ABCD mede 10. Por um ponto 
P na aresta AC, passa o plano α paralelo às arestas AB e CD . 
Dado que AP = 3, o quadrilátero determinado pelas interseções 
de α com as arestas do tetraedro tem área igual a
A) 21 B) 
21 2
2
C) 30 D) 
30
2
E) 
30 3
2
13. A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o volume e a área 
total do poliedro cujos vértices são os centros das faces do cubo 
será
A) 
3
9
x cm
B) 
3
18
x cm
C) 
3
6
x cm
D) 
3
3
x cm
E) 
3
2
x cm
14. Um octaedro regular é um poliedro constituído por 8 faces 
triangulares congruentes entre si e ângulos poliédricos 
congruentes entre si, conforme mostra a figura a seguir.
 Se o volume desse poliedro é 72 2 3cm , a medida de sua aresta, 
em centímetros, é
A) 2
B) 3
C) 3 2
D) 6
E) 6 2 
15. Um terreno regular, com arestas de comprimento igual a d, 
é cortado por 2 planos paralelos entre si e a uma das bases, 
dividindo-o em 3 sólidos de volumes iguais. Determine a altura 
de cada um destes 3 sólidos em função de d.
Gabarito
AULAS 52 E 53 – PROFESSOR FABRÍCIO MAIA
01 02 03 04 05
* * – – C
06 07 08 09 10
E A A A A
11 12 13 14 15
A A B D *
– Demonstração.
* 01: 2
8
cm2
 02: 6
 15:
h
d
h
d
e h
d
1 3 2
3
3 3
3 3
3
6
3 3
6 2 1
3 3
6 3 2
3 3
= =
−( )
=
−( )
,
 
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA 
DIG.: Zilmar – REV.: CARLA ARAÚJO