Esfera circunscrita a um octaedro regular

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PROFESSOR 
TELMO 
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	91	 (UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou 
um pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma 
esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir.
r
	92	 (UFPI) A esfera circunscrita a um octaedro regular de aresta a tem raio igual a:
a a c e a
b a d a
) ) )
) )
2
2
2a 3
2
32
Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de comprimento, o volume da 
pérola, em cm3, é:
a c e
b d
) ) )
) )
2
3
2
9
6
27
8
3
6
9
p p p
p p
8 8
4
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	91	 (UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou 
um pingente, com o formato de um octaedro regular, contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma 
esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir.
r
	92	 (UFPI) A esfera circunscrita a um octaedro regular de aresta a tem raio igual a:
a a c e a
b a d a
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32
Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de comprimento, o volume da 
pérola, em cm3, é:
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6
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8
3
6
9
p p p
p p
8 8
4
Resolução:
Considerando o triângulo ABC da figura:
D
A BE
C
B
E
A
D
C
r
AC é a altura da face: h
2 2
cm.
AB
5 5 5
5
 3 2 3 3
2 ccm 1 cm No AEC, temos:
AC AE EC2 2 2
⇒ ⇒
⇒
AE 5
5 1

3
2( ) 55 1 51 EC EC cm
No AEC, DE é a altura relat
2 2 ⇒ 2
 iiva à base AC e igual a r.
Pelas relações méétricas nos triângulos retângulos sabemos qque
cateto altura, logo:
2
3 5 3cateto hipotenusa
33 5 ? 5 ? 51 3 2
3
3
3
6
3
3
r r⇒ cm
Sendo 6 cm o raio da ppérola, seu volume será:
V
3 3
5 ? ? 5 ? ?4 6
3
4
3
p p( ) 66 627 24 681 8 6275 5p p cm3.
Resolução:
O raio da esfera circunscrita será igual a metade da diagonal do quadrado ABCD representado na 
figura abaixo:
Sendo a a aresta do octaedro, a diagonal do quadrado será a 2 , logo, o raio da esfera será: 
r a5 2
2
B C
A D