Sólidos de Revolução - Exercícios de Matemática

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MATEMÁTICA
F B O N L I N E . C O M . B R
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PROFESSOR(A): FABRÍCIO MAIA
ASSUNTO: SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
FRENTE: MATEMÁTICA I
AULAS 60 E 61
EAD – ITA/IME
016.452_141805/19
Resumo Teórico
Introdução
Superfície de revolução é a superfície gerada por uma linha 
girando ao redor do eixo e.
e
P
Q
e
P
Q
N
M
O segmento PQ gera a superfície 
lateral de um cilindro.
A poligonal MNPQ gera a superfície 
total de um cilindro.
e
P
Q
e
P
Q M
O segmento PQ gera a superfície 
lateral de um cone.
A poligonal MPQ gera a superfície 
total de um cilindro.
Por outro lado, sólidos de revolução, são sólidos obtidos a partir 
da rotação de uma superfície plana em torno de um eixo e.
Os mais conhecidos sólidos de revolução são: o cilindro,
o cone e a esfera.
Exercícios
01. Achar 
V
π
, onde V cm3 é o volume de um sólido gerado por um 
triângulo equilátero de lado igual a 63 cm, quando se efetua uma 
volta completa deste triângulo em torno de um eixo passando 
por um vértice e paralelo ao lado oposto.
02. Um triângulo retângulo tem catetos medindo 2 cm e 2 3 cm.
Se A é a medida, em cm2, da área da superfície do sólido 
gerado pela rotação completa deste triângulo em torno de sua 
hipotenusa, determine o valor de 
A
π 3 3+( ) .
03. Sejam A e B dois vértices diametralmente opostos de um hexágono 
regular inscrito em um círculo de raio igual a 6 cm. Se V é a medida, 
em cm3, do volume do sólido obtido pela rotação completa do 
hexágono em torno do segmento AB, determine o valor de 
V
4π
.
04. No quadrilátero convexo ABCD, o ângulo DAB é reto, AB e AD
medem 1 cm e o triângulo BCD é equilátero. Seja V o volume, em 
cm3,do sólido gerado pelo quadrilátero ABCD ao girar em torno 
de AB. Determine o valor de 
36
30 3
V
π
−

 ⋅ .
05. Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta 
situada no seu plano, distante 3 cm do seu baricentro. Calcule a 
área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno 
da reta r.
A) 8π cm2 B) 9π cm2
C) 12π cm2 D) 16π cm2
E) 36π cm2
06. Três circunferências C
1
, C
2
 e C
3
 são tangentes entre si, duas a duas, 
externamente. Os raios r
1
, r
2
 e r
3
 destas circunferências constituem, 
nesta ordem, uma progressão geométrica de razão 
1
3
. A soma 
dos comprimentos de C
1
, C
2
 e C
3
 é igual a 26π cm. Determine:
A) a área do triângulo cujos vértices são os centros de C
1
, C
2
 e C
3
.
B) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do 
triângulo em torno da reta que contém o maior lado.
07. Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um 
triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC
que dista 0,25 cm do vértice A e 0,75 cm da base BC. Se o lado 
AB mede 
π
π
2 1
2
+
cm, o volume desse sólido, em cm3, é igual a 
A) 
9
16
 B) 
13
96
C) 
7
24
 D) 
9
24
E) 
11
96
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MÓDULO DE ESTUDO
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08. Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro 
de C. Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C. Traça-se 
a reta s passando pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t
tangente à circunferência C no ponto A. Determine o volume do 
sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo 
arco AE e pelos segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB.
09. Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de 
comprimento 2 R e lado AB de comprimento 2R. O volume do 
sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que 
passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a:
A) 
πR3
2
 B) πR3
C) 
4
3
3πR
 D) 2 3πR
E) 3 3πR
10. Considere a região do plano cartesiano xy definida pela 
desigualdade
x2 + 4x + y2 – 4y – 8 ≤ 0
Quando esta região rodar um ângulo de π/6 radianos em torno 
da reta x + y = 0, ela irá gerar um sólido de superfície extrema 
total com área igual a
A) 128 π/3 B) 128 π/4
C) 128 π/5 D) 128 π/6
E) 128 π/7
11. Em um triângulo retângulo, a medida do menor cateto é 6 cm. 
Rotacionando esse triângulo ao redor desse cateto, obtém-se um 
sólido de revolução, cujo volume é 128 π cm3. Nessas condições, a 
área total da superfície do sólido obtido na revolução, em cm2, é
A) 144 π B) 120 π
C) 80 π D) 72 π
E) 64 π
12. Na fi gura a seguir, a equação da circunferência é x2 + y2 = 3 e a reta 
suporte do segmento MN tem coefi ciente angular igual a 3.
M
N
O
P
x
y
O volume do sólido gerado pela rotação do trapézio MNPO em 
relação ao eixo y é
A) 
3
8
π
 B) 
21
8
π
C) 
9 3
8
π
 D) 
24 3
8
π
E) 
63 3
8
π
13. Um trapézio é delimitado pelos eixos x e y do plano cartesiano e 
pelas retas de equações y = 2x + 1 e x = 4. O sólido de revolução 
obtido quando esse trapézio sofre uma rotação completa em torno 
do eixo y tem volume, em unidades cúbicas de comprimento dos 
eixos cartesianos, igual a
A) 
304
3
π
 B) 101π
C) 
302
3
π
 D) 96π
E) 
286
3
π
14. Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360° do 
triângulo ABC em torno da reta que passa por C e é paralela ao 
lado AB.
Sabe-se que este triângulo é isósceles, com AC BC R m≡ ≡ 2 ,
AB R m= 2 (sendo R uma constante real não nula), e que o volume 
do sólido obtido é V m= 4 3 3π .
A medida de R, em metros, é igual a
A) 36
B) 33
C) 93
D) 3
E) n.d.a.
15. Considere a região E do plano cartesiano dada por
E
y x
y x
x
y
=
+ ≤
+ ≥
≥
≥







3 3
1
1
0
0
O volume do sólido gerado, se E efetuar uma rotação de 270° 
em torno do eixo Ox em unidades de volume, é igual a
A) 
26
3
π
B) 26π
C) 
13
2
π
D) 
13
3
π
E) 31π
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MÓDULO DE ESTUDO
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SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA
DIG.: Georgenes – REV.: Carla Araújo
Gabarito
01 02 03 04 05
* * * * E
06 07 08 09 10
* C * C A
11 12 13 14 15
A B A D C
* 01. 3
 02. 2
 03. 54
 04. 54
 06. A) 3 39 2cm
 B) 39 πcm3
08. (2πr3)/3
Anotações