Equação e posições relativas de circunferências

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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: Equação da circunFErência, rEconhEciMEnto E posiçõEs rElativas
frente: MatEMática i
018.272 – 143538/19
AULA 75 a 76
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Circunferência
Considere a circunferência de centro C = (a, b) e raio = r no 
plano a a seguir:
P(x, y)
C(a, b)
xa0
b
y
Chamamos de circunferência de centro C e raio r, o conjunto 
de todos os pontos P = (x, y) do plano a, cuja distância ao centro C 
é igual a r.
Algebricamente, temos:
dist P C r x a y b,( ) = = −( ) + −( )2 2
Equação reduzida da circunferência
(x – a)² + (y – b)² = r²
Desenvolvendo os quadrados da equação reduzida, obtemos:
Equação geral da circunferência
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0
Reconhecendo uma circunferência
Observe a seguinte equação (equação completa 2º grau a 
duas variáveis):
Comparando
as equações
1 0
1 1 2 2 0
2 2
2 2 2 2 2
x
B
A
y
C
A
xy
D
A
x
E
A
y
F
A
x y O xy ax b y a b r
+ + + + + =
+ + − − + + − =




Após a comparação da equação completa do 2º grau a duas 
variáveis com a equação geral da circunferência, deduz-se as condições 
de existência de uma circunferência, mostradas a seguir:
1 1
2 0 0
3 2
2
4 2
2
)
)
)
)
B
A
B A
C
A
C
D
A
a a
D
A
E
A
b b
E
A
= → =
= → = 

= − → = −
= − → = −






Coordenadas do centro
não existência do termo “Cxy”
5
2 2
4
2
2 2 2
2 2
2
2 2
)
,
F
A
a b r
F
A
D
A
E
A
r
r
D E AF
A
= + − → = −



+ −



−
→ =
+ −
ccom r e D E AF> + − >0 4 02 2
Devemos ter:
A = B ≠ 0, C = 0 e D² + E² – 4AF > 0
Posições relativas entre
um ponto P e uma circunferência
• Se dist(P, C) = r, então P pertence à circunferência.
C
r
P
• Se dist(P, C) > r, então P exterior à circunferência.
C
r P
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Módulo de estudo
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• Se dist(P, C) < r, então P é interior à circunferência.
C
r
P
Posições relativas entre uma 
reta s e uma circunferência
• Se dist(C, s) = r, então s é uma reta tangente
C
S
• Se dist(C, s) > r, então s é uma reta externa.
C
S
• Se dist(C, s) < r, então s é uma reta secante.
C
S
Posições relativas entre duas 
circunferências
Circunferências externas
r
1
r
2
d : distância entre os centros
d > r
1
 + r
2
Circunferências tangentes externamente
r
1
r
2
d : distância entre os centros
d > r
1
 + r
2
Circunferências secantes
r
1
r
2
d : distância entre os centros
|r
1
 – r
2
| < d < r
1
 + r
2
Circunferências tangentes internamente
r
1
r
2
d : distância entre os centros
d = |r
1
 – r
2
|
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Módulo de estudo
Circunferências concêntricas
r
2
r
1
d : distância entre os centros
d = 0
Circunferências internas não concêntricas
r
2
r
1
d : distância entre os centros
0 < d < |r
1
 – r
2
|
Exercícios
01. O lugar geométrico das soluções da equação x² + bx + 1 = 0, 
quando |b| < 2, b ∈ , é representado no plano complexo por
A) dois pontos.
B) um segmento de reta.
C) uma circunferência menos dois pontos.
D) uma circunferência menos um ponto.
E) uma circunferência.
02. Dada a circunferência x² + y² = 8, seja y = ax + b a reta tangente 
a esta circunferência no ponto (2, 2). Calcule o valor de a + b.
03. Demonstre que a reta tangente à circunferência x² + y² = R² no 
ponto (x
0
, y
0
) tem equação x · x
0
 + y · y
0
 = R2.
04. Duas retas r e s, concorrentes no ponto P = 



1
2
1
2
, , determinam 
na circunferência x² + y² = 1 cordas AB e CD, respectivamente. 
Sabendo-se que r é dada pela equação x – y – 1 = 0, o valor de 
PC · PD é:
A) 
1
3
 D) 
1
2
B) 
2
5
 E) 2
C) 3
05. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere 
a família de circunferência que passam pelo ponto 2
1
2
,−



e que 
são tangenciadas pela reta y = −
3
2
. Então, a equação do lugar 
geométrico dos centros de dessas circunferências é dada por:
A) x² – 4x – 2y + 2 = 0
B) y² – 2y – 5x – 2 = 0
C) x² + 2x – 7y + 3 = 0
D) y² – 4y – 2x – 3 = 0
E) x² + y² – 2x + y – 2 = 0
06. Seja C a circunferência de centro na origem, passando pelo ponto 
P = (3, 4). Se t é a reta tangente a C por P, determine a 
circunferência C’ de menor raio, com centro sobre o eixo x e 
tangente simultaneamente à reta t e à circunferência C.
07. Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos (x, 
y) do plano que satisfazem a equação det .
x y x y2 2 1
40 2 6 1
4 2 0 1
34 5 3 1
288
+











=
A) Uma elipse.
B) Uma parábola.
C) Uma circunferência.
D) Uma hipérbole.
E) Uma reta.
08. Duas retas r
1
 e r
2
 são paralelas à reta 3x – y = 37 e tangentes à 
circunferência x² + y² – 2x – y = 0. Se d
1
 é a distância de r
1
 até a 
origem e d
2
 é a distância de r
2
 até a origem, então d
1
 + d
2
 é igual a
A) 12
B) 15
C) 7
D) 10
E) 5
09. Considere a circunferência C de equação a² + y² + 2x + 2y + 1 = 0 
e a elipse E de equação x² + 4y² – 4x + 8y + 4 = 0. Então:
A) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.
B) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos.
C) C e E são tangentes exteriormente.
D) C e E são tangentes interiormente.
E) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.
10. Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de uma corda AB 
da circunferência (x – 1)² + y² = 4, então a equação da reta que 
contém A e B é dada por:
A) y = 2x – 3
B) y = x – 1
C) y = –x + 3
D) y = 3x/2 – 2
E) y = – (1/2)x + 2
11. são dadas as retas (r) x – y + 1 + 2 = 0 e (s) x 3 + y – 2 + 3 = 0 
e a circunferência (C) x² + 2x + y² = 0. Sobre a posição relativa 
desses três elementos, podemos afirmar que:
A) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C.
B) r e s são perpendiculares entre si a nenhuma delas é tangente à C.
C) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é tangente à C.
D) r e s são concorrentes, s é tangente à C e r não é tangente à C.
E) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.
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12. Sejam r a circunferência que passa pelos pontos (6, 7), (4, 1) e 
(8, 5) e t a reta tangente à r, que passa por (0, –1) e o ponto de 
tangência tem ordenada 5. A menor distância do ponto P(–1, 4) 
à reta t é:
A) 3 2
B) 4
C) 2 3
D) 3
E) 4 10 5/
13. No plano cartesiano são dadas as circunferências C1 : x² + y² = 1 
e C
2
 : (x – 4)² + y² = 4. Determine o centro e o raio de uma 
circunferência C tangente simultaneamente a C
1
 e C
2
, passando 
pelo ponto A = ( )3 3, .
14. Sejam S
1
 = {(x, y)∈ ² : y ≥ ||x| –1|} e S
2
 = {(x, y) ∈ ² : x² + (y + 1)² ≤ 25}. 
A área da região S
1
 ∩ S
2
 é
A) 
25
4
2π −
B) 
25
4
1π −
C) 
25
4
π
D) 75
4
1π −
E) 75
4
2π −
15. Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente 
ao eixo Ox e à reta r : x – y = 0. Sabendo-se que a potência do 
ponto O = (0,0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então 
o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a
A e
B e
C e
D
) ,
) ,
) ,
) ,
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2 2 1 2 1
2 2 2
−( ) −
−




−
−( ) −
−( ) ee
E e
2 2
2 4 2 4 4 2 4
−
−( ) −) ,
Gabarito
01 02 03 04 05
C – – D A
06 07 08 09 10
– C E C C
11 12 13 14 15
E E – A A
– Demonstração
02. 3
03. Demonstração
06. C’: 16x² + 16y² – 200x – 225 = 0
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Fabrício Maia
DIG.: RodErick – 08/10/19 – REV.: ??
13. λ
λ
1
2
23
4
7 3
4
11
2
: Centrono ponto ,
: Centrono pon
−




e raio igual a
tto ,
1
4
15 3
4
11
2
−




e raio igual a