GDA soluções manual

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SOLUÇÕES
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções apresentadas não consideraram o centímetro como unidade. De facto, no sentido do 
estudante, o objetivo da consulta das soluções dos exercícios deve ser a verificação da correção dos raciocínios e dos traçados e não a comparação métrica dos mesmos. Dessa 
forma, considerou -se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. 
A escala utilizada foi de ½, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções.
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INTRODUÇÃO
1.
O ponto A tem afastamento positivo (+3), pelo que o ponto A está para a frente do plano frontal – o ponto pode situar -se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. 
A cota do ponto A é positiva (+1), pelo que o ponto A se situa para cima do plano horizon tal. Assim sendo, o ponto A situa -se necessariamente no 1o Diedro 
(A 1o Diedro).
O ponto B tem afastamento negativo (– 5), pelo que o ponto B está para trás do plano frontal – o ponto pode situar -se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. 
A cota do ponto B é negativa (–3), pelo que o ponto B se situa para baixo do plano horizon tal. Assim sendo, o ponto B situa -se necessariamente no 3o Diedro 
(B 3o Diedro).
O ponto C tem afastamento positivo, pelo que o ponto C está para a frente do plano frontal – o ponto pode situar -se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. 
A cota do ponto C é nula (é 0), pelo que o ponto C se situa no plano horizontal (a distância do ponto ao plano horizontal é zero). Assim sendo, o ponto C situa -se 
necessariamente no SPHA (C SPHA).
O ponto D tem afastamento positivo (+3), pelo que o ponto D está para a frente do plano frontal – o ponto pode situar -se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. 
A cota do ponto D é negativa (–4), pelo que o ponto D se situa para baixo do plano hori zontal. Assim sendo, o ponto D situa -se necessariamente no 4o Diedro 
(D 4o Diedro).
O ponto E tem afastamento nulo, pelo que o ponto E se situa no plano frontal (a distância do ponto ao plano frontal é zero) – no plano frontal, o ponto pode situar-
-se no SPFS, no eixo X ou no SPFI. A cota do ponto E é nula, pelo que o ponto E se situa no plano horizontal. Assim sendo, o ponto E situa -se necessariamente 
no eixo X (situa -se nos dois planos, pelo que se situa na reta de interseção dos dois planos, que é o eixo X) – E eixo X.
O ponto F tem afastamento negativo (– 4), pelo que o ponto F está para trás do plano frontal – o ponto pode situar -se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. A cota 
do ponto F é positiva (+4), pelo que o ponto F se situa para cima do plano horizontal. Assim sendo, o ponto F situa -se necessariamente no 2o Diedro (F 2o Diedro).
O ponto G tem afastamento nulo, pelo que o ponto G se situa no plano frontal (a distância do ponto ao plano frontal é zero) – no plano frontal, o ponto pode situar-
-se no SPFS, no eixo X ou no SPFI. A cota do ponto G é negativa (–5), pelo que o ponto G se situa para baixo do plano horizontal. Assim sendo, o ponto G situa -se 
necessariamente no SPFI (G SPFI).
O ponto H tem afastamento negativo (– 3), pelo que o ponto H está para trás do plano frontal – o ponto pode situar -se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. 
A cota do ponto H é nula (é 0), pelo que o ponto H se situa no plano horizontal (a dis tância do ponto ao plano horizontal é zero). Assim sendo, o ponto H situa -se 
necessariamente no SPHP (H SPHP).
O ponto I tem afastamento positivo (+2), pelo que o ponto I está para a frente do plano frontal – o ponto pode situar -se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. A cota 
do ponto I é positiva (+2), pelo que o ponto I se situa para cima do plano horizontal. Assim sendo, o ponto I situa -se necessariamente no 1o Diedro (I 1o Diedro).
O ponto J tem afastamento nulo, pelo que o ponto J se situa no plano frontal (a distância do ponto ao plano frontal é zero) – no plano frontal, o ponto pode situar-
-se no SPFS, no eixo X ou no SPFI. A cota do ponto J é positiva (+7), pelo que o ponto J se situa para cima do plano horizontal. Assim sendo, o ponto J situa -se 
necessariamente no SPFS (J SPFS).
O ponto L tem afastamento positivo (+1), pelo que o ponto L está para a frente do plano frontal – o ponto pode situar -se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. A cota 
do ponto L é negativa (–5), pelo que o ponto L se situa para baixo do plano hori zontal. Assim sendo, o ponto L situa -se necessariamente no 4o Diedro (L 4o Diedro).
O ponto M tem afastamento negativo (– 7), pelo que o ponto M está para trás do plano frontal – o ponto pode situar -se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. A cota 
do ponto M é negativa (–3), pelo que o ponto M se situa para baixo do plano hori zontal. Assim sendo, o ponto M situa -se necessariamente no 3o Diedro (M 3o Diedro).
O ponto N tem afastamento positivo (+1), pelo que o ponto N está para a frente do plano frontal – o ponto pode situar -se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. 
A cota do ponto N é nula (é 0), pelo que o ponto se situa no plano horizontal (a distância do ponto ao plano horizontal é zero). Assim sendo, o ponto N situa -se 
necessariamente no SPHA (N SPHA).
O ponto O tem afastamento negativo (– 2), pelo que o ponto O está para trás do plano frontal – o ponto pode situar -se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. A cota 
do ponto O é positiva (+5), pelo que o ponto O se situa para cima do plano horizontal. Assim sendo, o ponto O situa -se necessariamente no 2o Diedro (O 2o Diedro).
O ponto P tem afastamento nulo, pelo que o ponto P se situa no plano frontal (a distância do ponto ao plano frontal é zero) – no plano frontal, o ponto pode situar-
-se no SPFS, no eixo X ou no SPFI. A cota do ponto P é negativa (–2), pelo que o ponto se situa para baixo do plano horizontal. Assim sendo, o ponto P situa -se 
necessariamente no SPFI (P SPFI).
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SOLUÇÕES
2.
O ponto A situa -se no 1o Diedro (ver justificação do ponto A do exercício anterior). No 1o Diedro, o ponto A pode situar -se no 1o Octante, no 1/3 ou no 2o Octante. 
A distância do ponto A ao SPFS (que é 3 cm) é igual à distância do ponto A ao SPHA (que é também 3 cm), pelo que o ponto A está equidistante do plano frontal 
e do plano horizontal. Assim, o ponto A situa -se no 1/3 (A 1o Diedro, 1/3).
O ponto B situa -se no 1o Diedro (ver justificação do ponto A do exercício anterior). No 1o Diedro, o ponto B pode situar -se no 1o Octante, no 1/3 ou no 2o Octante. 
A distância do ponto B ao SPFS (que é 3 cm) é inferior à distância do ponto B ao SPHA (que é 5 cm), pelo que o ponto B está mais próximo do plano frontal do 
que do plano horizontal – o ponto B é, assim, um ponto do 2o Octante (B 1o Diedro, 2o Octante).
O ponto C situa -se no 1o Diedro (ver justificação do ponto A do exercício anterior). No 1o Diedro, o ponto C pode situar -se no 1o Octante, no 1/3 ou no 2o Octante. 
A distância do ponto C ao SPFS (que é 7 cm) é superior à distância do ponto C ao SPHA (que é 3 cm), pelo que o ponto C está mais distante do plano frontal do 
que do plano horizontal – o ponto C é, assim, um ponto do 1o Octante (C 1o Diedro, 1o Octante). 
O ponto D situa -se no 2o Diedro (ver justificação do ponto F do exercício anterior). No 2o Diedro, o ponto D pode situar -se no 3o Octante, no 2/4 ou no 4o Octante. 
A distância do ponto D ao SPFS (que é 2 cm) é igual à distância do ponto D ao SPHP (que é também 2 cm), pelo que o ponto D está equidistante do plano frontal 
e do plano horizontal. Assim, o ponto D é um ponto do 2/4 (D 2o Diedro, 2/4).
O ponto E situa -se no SPFS (ver justificação do ponto J do exercício anterior). Note que, situando -se no SPFS, o ponto E não se pode situar em nenhum dos 
Octantes estudados, pois o SPFS separa o 2o Octante do 3o Octante (E SPFS).
O ponto F situa -se no 2o Diedro (ver justificação do ponto F do exercício anterior). No 2o Diedro, o pontoF pode situar -se no 3o Octante, no 2/4 ou no 4o Octante. 
A distância do ponto F ao SPFS (que é 1 cm) é inferior à distância do ponto F ao SPHP (que é 5 cm), pelo que F está mais próximo do plano frontal do que do plano 
horizontal – o ponto F é, assim, um ponto do 3o Octante (F 2o Diedro, 3o Octante).
O ponto G situa -se no 4o Diedro (ver justificação do ponto L do exercício anterior). No 4o Diedro, o ponto G pode situar -se no 7o Octante, no 2/4 ou no 8o Octante. 
A distância do ponto G ao SPFI (que é 3 cm) é inferior à distância do ponto G ao SPHA (que é 8 cm), pelo que o ponto G está mais próximo do plano frontal do que 
do plano horizontal – o ponto G é, assim, um ponto do 7o Octante (G 4o Diedro, 7o Octante).
O ponto H situa -se no SPHP (ver justificação do ponto H do exercício anterior). Note que, situando -se no SPHP, o ponto H não se pode situar em nenhum dos 
Octantes estudados, pois o SPHP separa o 4o Octante do 5o Octante (H SPHP).
O ponto I situa -se no 3o Diedro (ver justificação do ponto B do exercício anterior). No 3o Diedro, o ponto I pode situar -se no 5o Octante, no 1/3 ou no 6o Octante. 
A distância do ponto I ao SPFI (que é 6 cm) é igual à distância do ponto I ao SPHP (que é também 6 cm), pelo que o ponto I está equidistante do plano frontal 
e do plano horizontal. Assim, o ponto I é um ponto do 1/3 (I 3o Diedro, 1/3).
O ponto J situa -se no 2o Diedro (ver justificação do ponto F do exercício anterior). No 2o Diedro, o ponto J pode situar -se no 3o Octante, no 2/4 ou no 4o Octante. 
A distância do ponto J ao SPFS (que é 5 cm) é superior à distância do ponto J ao SPHP (que é 1 cm), pelo que J está mais distante do plano frontal do que do 
plano horizontal – o ponto J é, assim, um ponto do 4o Octante (J 2o Diedro, 4o Octante).
O ponto L situa -se no 4o Diedro (ver justificação do ponto L do exercício anterior). No 4o Diedro, o ponto L pode situar -se no 7o Octante, no 2/4 ou no 8o Octante. 
A distância do ponto L ao SPHA (que é 3 cm) é igual à distância do ponto L ao SPFI (que é também 3 cm), pelo que o ponto L está equidistante do plano frontal 
e do plano horizontal. Assim, o ponto L é um ponto do 2/4 (L 4o Diedro, 2/4).
O ponto M situa -se no 3o Diedro (ver justificação do ponto B do exercício anterior). No 3o Diedro, o ponto M pode situar -se no 5o Octante, no 1/3 ou no 6o Octante. 
A distância do ponto M ao SPFI (que é 1 cm) é inferior à distância do ponto M ao SPHP (que é 5 cm), pelo que o ponto M está mais distante do plano frontal do que 
do plano horizontal – o ponto M é, assim, um ponto do 6o Octante (M 3o Diedro, 6o Octante).
O ponto N situa -se no 4o Diedro (ver justificação do ponto L do exercício anterior). No 4o Diedro, o ponto N pode situar -se no 7o Octante, no 2/4 ou no 8o Octante. 
A distância do ponto N ao SPFI (que é 7 cm) é superior à distância do ponto N ao SPHA (que é 2 cm), pelo que o ponto N está mais distante do plano frontal do 
que do plano horizontal – o ponto N é, assim, um ponto do 8o Octante (N 4o Diedro, 8o Octante).
O ponto O situa -se no 3o Diedro (ver justificação do ponto B do exercício anterior). No 3o Diedro, o ponto O pode situar -se no 5o Octante, no 1/3 ou no 6o Octante. 
A distância do ponto O ao SPFI (que é 3 cm) é inferior à distância do ponto O ao SPHP (que é 1 cm), pelo que o ponto O está mais distante do plano frontal do que 
do plano horizontal – o ponto O é, assim, um ponto do 5o Octante (O 3o Diedro, 5o Octante).
O ponto P situa -se no SPFI (ver justificação do ponto G do exercício anterior). Note que, situando -se no SPFI, o ponto P não se pode situar em nenhum dos 
Octantes estudados, pois o SPFI separa o 6o Octante do 7o Octante (G SPFI).
O ponto Q situa -se no 1o Diedro (ver justificação do ponto A do exercício anterior). No 1o Diedro, o ponto Q pode situar -se no 1o Octante, no 1/3 ou no 2o Octante. 
A distância do ponto Q ao SPFS (que é 1 cm) é superior à distância do ponto Q ao SPHA (que é 5 cm), pelo que o ponto Q está mais próximo do plano frontal do 
que do plano horizontal – o ponto Q é, assim, um ponto do 2o Octante (Q 1o Diedro, 2o Octante). 
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SOLUÇÕES
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PROJEÇÕES
3.
a) Centro de Projeção – lâmpada do projetor; retas projetantes – raios luminosos emitidos pela lâmpada; Plano de Projeção – ecrã da sala de cinema.
b) Centro de Projeção – lâmpada do projetor; retas projetantes – raios luminosos emitidos pela lâmpada; Plano de Projeção – parede da sala de aula.
c) Centro de Projeção – lâmpada do candeeiro; retas projetantes – raios luminosos emitidos pela lâmpada; Plano de Projeção – chão.
d) Centro de Projeção – Sol; retas projetantes – raios luminosos emitidos pelo Sol; Plano de Projeção – muro.
4.
Na alínea a) trata -se do Sistema de Projeção Cónica ou Central, pois o Centro de Projeção (a lâmpada do projetor) está a uma distância finita do plano de proje-
ção (o ecrã da sala de cinema) – os raios luminosos (as retas projetantes) são retas concorrentes no Centro de Projeção (a lâm pada). 
Na alínea b) trata -se do Sistema de Projeção Cónica ou Central, pois o Centro de Projeção (a lâmpada do projetor) está a uma distância finita do plano de pro-
jeção (a parede da sala de aula) – os raios luminosos (as retas projetantes) são retas concorrentes no Centro de Projeção (a lâm pada). 
Na alínea a) trata -se do Sistema de Projeção Cónica ou Central, pois o Centro de Projeção (a lâmpada do candeeiro) está a uma distância finita do plano de 
projeção (o chão) – os raios luminosos (as retas projetantes) são retas concorrentes no Centro de Projeção (a lâm pada). 
Na alínea d) trata -se do Sistema de Projeção Pa ralela ou Cilíndrica, pois o Centro de Projeção (o Sol) está a uma dis tância que pode ser considerada como 
infinita do plano de projeção (o muro). Os raios luminosos (as retas projetantes) são, assim, paralelos. Por outro lado, tendo em conta que os raios luminosos não 
são ortogonais ao Plano de projeção (o muro), trata -se necessariamente do Subsistema de Projeção Clinogonal (Oblíqua).
5.
a) O Método das Projeções Cotadas Insere -se no Sistema de Projeção Paralela ou Cilíndrica, pois as retas projetantes são paralelas entre si. Dentro do 
Sistema de Projeção Paralela ou Cilíndrica, insere -se no Sub sistema da Projeção Ortogonal, pois as retas projetantes são ortogonais ao Plano de 
Projeção.
b) O Centro de Projeção situa -se no infinito, pois as retas projetantes são paralelas entre si (são retas concor rentes num ponto do infinito).
6.
A diferença entre Projeção Oblíqua (ou Clinogonal) e Projeção Orto gonal reside na posição das retas projetantes em relação ao Plano de Projeção em cada uma 
das situações. No primeiro caso (Projeção Oblíqua), as retas projetantes são oblíquas ao Plano de Projeção. No segundo caso (Projeção Ortogonal), as retas 
projetantes são ortogonais ao Plano de Projeção.
7.
O Método da Dupla Projeção Ortogonal (ou Sistema de Monge) é um método de representação baseado no Sis tema de Projeção Para lela ou Cilíndrica, na 
sua variante da Projeção Ortogonal, e fundamenta -se na representação de um dado objeto em dois planos de projeção distintos, ortogonais entre si, com o 
recurso a dois Sistemas de Projeção Ortogonal distintos mas complementares. Existem, assim, dois planos de projeção e dois feixes de retas projetantes. Cada 
feixe de retas projetantes é ortogonal ao respetivo Plano de Projeção (porque se trata da Projeção Ortogonal). A informação fornecida pelo conjunto das duas 
representações do objeto, à partida, é suficiente para que se verifique o Critério de Reversibilidade. 
8.
O Sistema Axonométrico é um método de representa ção incluído no Sistema de Projeção Paralela ou Cilín drica (as retas projetantes são paralelas entre si), 
independentemente da sua variante, uma vez que o Sistema Axonométrico recorre tanto à Projeção Ortogonal como à Projeção Oblíqua.
9.
A perspetiva cavaleira é um método de representação proveniente do Subsistema de Projeção Oblíqua – as retas projetantes, paralelas entre si, são oblíquasao Plano de Projeção, em virtude de um dos planos coordenados ser paralelo ao Plano de Projeção. A perspetiva isométrica é um método de representação 
proveniente do Subsistema de Projeção Ortogonal – as retas projetantes, também para lelas entre si, são ortogonais ao Plano de Projeção, pois nenhum dos 
planos coordenados é paralelo ao Plano de Projeção.
10.
Semelhanças – ambos os métodos de representação provêm do Sistema de Projeção Ortogonal, ou seja, em ambas as situações as retas projetantes são 
paralelas entre si e ortogonais ao Plano de Projeção; ambos os métodos de representação se fundamentam na representação do objeto em vários Planos de 
Projeção, permitindo mais do que uma representação do objeto.
Diferenças – o Método da Dupla Projeção Ortogonal (Sistema de Monge) fundamenta -se na representação do objeto em dois Planos de Projeção apenas, 
facultando -nos, assim, uma dupla representa ção do objeto (duas projeções); o Método da Múltipla Projeção Ortogonal, pelo seu lado, fundamenta -se na 
representação do objeto em três ou mais Planos de Projeção (até um máximo de seis), facultando -nos igual número de repre sentações do objeto (múltiplas 
projeções). 
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SOLUÇÕES
11.
Semelhanças – em ambas as situações o objeto está representado numa única projeção (uma representação bidimensional), na qual se vêem, de forma direta, 
as três dimensões do objeto, permitindo -nos uma percepção empírica e imediata da forma e da volumetria do objeto.
Diferenças – as perspetivas axonométricas provêm do Sistema da Projeção Paralela ou Cilíndrica (as retas projetantes são paralelas entre si, concorrentes 
num ponto situado a distância infinita), nas suas variantes Ortogonal e Oblíqua, enquanto a perspetiva cónica provém do Sistema de Projeção Cónica ou Central 
(as retas projetan tes são concorrentes no Centro de Projeção, que está situado a uma distância finita do plano de projeção); dos dois tipos de representação, a 
perspetiva cónica é aquela que mais se assemelha à nossa visão real do objeto.
12.
a) Centro de Projeção.
b) Porque cada olho é um Centro de Projeção. Assim, considerando os dois olhos do observador teríamos dois Cen tros de Projeção e, consequentemente, dois 
feixes de retas projetantes e duas projeções do objeto no mesmo plano de projeção (Quadro), o que resultaria na existência de dois Sistemas de Projeção 
distintos mas parti lhando, entre si, o mesmo plano de projeção.
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REPRESENTAÇÃO DO PONTO E DA RETA
NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções aqui apresentadas não consideraram o centímetro como unidade. De facto, entende -se 
que o objetivo da consulta das soluções dos exercí cios, nas perspetiva do estudante, deve ser a verificação da correcção dos raciocínios e dos traçados e não a com paração métrica 
dos mesmos. Dessa forma, considerou -se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de com-
paração métrica. De qualquer forma, considera -se relevante informar que a escala utilizada nas resoluções apresentadas foi de ½, o que significa que a cada centímetro da resolução do 
aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções. Por fim, há ainda a dizer que a cada exercício corresponderá uma única resolução, independentemente do número de alíneas do exercício. 
A título de exemplo, ao exercício 13, no qual são pedidas as projeções de doze pontos, corresponderá uma única resolução na qual estejam as projeções dos doze pontos. De forma 
semelhante, ao exercício 18, por exemplo, que tem duas alíneas, corresponderá uma única resolução na qual se apresente o que é pedido nas duas alienas do exercício.
13.
Atendendo a que, neste exercício, o objetivo principal consiste na representação dos pontos em Du-
pla Projeção Orto gonal e não apenas na sua localização no espaço, omitir -se -á, aqui, a apresenta-
ção dos raciocínios que justificam a localização de cada ponto. Para melhor compreender a localiza-
ção dos pontos que em seguida se apresenta, sugere -se a leitura dos relatórios dos exercícios 1 e 2.
Localização no espaço:
A 1o Diedro, 2o Oct.; B 2o Diedro, 4o Oct.; C 1o Diedro, 1o Oct.; 
D 4o Diedro, 8o Oct.; E 2o Diedro, 3o Oct.; F 3o Diedro, 5o Oct.; 
G 2o Diedro, 3o Oct.; H 3o Diedro, 6o Oct.; I 4o Diedro, 7o Oct.; 
J 2o Diedro, 3o Oct.; L 1o Diedro, 1o Oct.; M 3o Diedro, 5o Oct.
Determinação das projeções:
Ponto A:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante 
horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto (A1), que se situa no 
SPHA, a 2 cm (o afastamento é 2) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o 
ponto de interseção da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal 
do ponto (A2), que se situa no SPFS, a 5 cm (a cota é 5) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Fron-
tal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto A (A1) situa -se 
2 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal do ponto A (A2) situa -se 5 cm para cima do eixo X.
Ponto B:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante 
horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto B (B1), que se situa 
no SPHP, a 3 cm (o afastamento é –3) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante fron-
tal – o ponto de interseção da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção 
frontal do ponto B (B2), que se situa no SPFS, a 1 cm (a cota é 1) do eixo X. Após o rebatimento do 
Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto B 
(B1) situa -se 5 cm acima do eixo X e a projeção frontal do ponto B (B2) situa -se 1 cm igualmente 
para cima do eixo X.
Ponto C:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do 
ponto C (C1), que se situa no SPHA, a 5 cm (o afastamento é 5) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da reta projetante frontal 
com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto C (C2), que se situa no SPFS, a 1 cm (a cota é 1) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção 
sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto C (C1) situa -se 5 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal do ponto C (C2) situa -se 1 cm para cima 
do eixo X.
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SOLUÇÕES
Ponto D:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção hori-
zontal do ponto D (D1), que se situa no SPHA, a 3 cm (o afastamento é 3) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da 
reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto D (D2), que se situa no SPFI, a 2 cm (a cota é –2) do eixo X. Após o rebatimento 
do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto D (D1) situa -se 3 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal 
do ponto D (D2) situa -se 2 cm igualmente para baixo do eixo X.
Ponto E:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção hori-
zontal do ponto E (E1), que se situa no SPHP, a 2 cm (o afastamento é –2) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da 
reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto E (E2), que se situa no SPFS, a 4 cm (a cota é 4) do eixo X. Após o rebatimento 
do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto E (E1) situa -se 2 cm para cima doeixo X e a projeção frontal do 
ponto E (E2) situa -se 4 cm igualmente para cima do eixo X.
Ponto F:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção hori-
zontal do ponto F (F1), que se situa no SPHP, a 3 cm (o afastamento é –3) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da 
reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto F (F2), que se situa no SPFI, a 2 cm (a cota é –2) do eixo X. Após o rebatimento 
do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto F (F1) situa -se 3 cm para cima do eixo X e a projeção frontal do 
ponto F (F2) situa -se 2 cm para baixo do eixo X.
Ponto G:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção hori-
zontal do ponto G (G1), que se situa no SPHP, a 1 cm (o afastamento é –1) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da 
reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto G (G2), que se situa no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X. Após o rebatimento 
do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto G (G1) situa -se 1 cm para cima do eixo X e a projeção frontal 
do ponto G (G2) situa -se 2 cm igualmente para cima do eixo X.
Ponto H:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção hori-
zontal do ponto H (H1), que se situa no SPHP, a 1 cm (o afastamento é –1) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da 
reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto H (H2), que se situa no SPFI, a 4 cm (a cota é –4) do eixo X. Após o rebatimento 
do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto H (H1) situa -se 1 cm para cima do eixo X e a projeção frontal 
do ponto H (H2) situa -se 4 cm para baixo do eixo X.
Ponto I:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção ho-
rizontal do ponto I (I1), que se situa no SPHA, a 1 cm (o afastamento é 1) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da 
reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto I (I2), que se situa no SPFI, a 4 cm (a cota é –4) do eixo X. Após o rebatimento 
do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto I (I1) situa -se 1 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal do 
ponto I (I2) situa -se 4 cm igualmente para baixo do eixo X.
Ponto J:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção hori-
zontal do ponto J (J1), que se situa no SPHP, a 2 cm (o afastamento é –2) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da 
reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto J (J2), que se situa no SPFS, a 5 cm (a cota é 5) do eixo X. Após o rebatimento 
do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto J (J1) situa -se 2 cm para cima do eixo X e a projeção frontal do 
ponto J (J2) situa -se 5 cm igualmente para cima do eixo X.
Ponto L:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção hori-
zontal do ponto L (L1), que se situa no SPHA, a 3 cm (o afastamento é 3) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da 
reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto L (L2), que se situa no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X. Após o rebatimento 
do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto L (L1) situa -se 3 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal 
do ponto L (L2) situa -se 2 cm para cima do eixo X.
Ponto M:
Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção 
horizontal do ponto M (M1), que se situa no SPHP, a 4 cm (o afastamento é –4) do eixo X. Conduz -se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de inter-
seção da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto M (M2), que se situa no SPFI, a 3 cm (a cota é –3) do eixo X. Após 
o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto M (M1) situa -se 4 cm para cima do eixo X e a 
projeção frontal do ponto M (M2) situa -se 3 cm para baixo do eixo X.
5
SOLUÇÕES
14.
Atendendo a que, neste exercício, e tal como no anterior, o objetivo principal 
consiste na representação dos pontos em Dupla Projeção Ortogonal e 
não apenas na sua localização no espaço, omitir -se -á, aqui, a apresenta-
ção dos raciocí nios que justificam a localização de cada ponto. Para me-
lhor compreender a localização dos pontos que em seguida se apresenta, 
sugere -se a leitura dos relatórios dos exercícios 1 e 2. Por outro lado omitir-
-se -á, também, os raciocínios espaciais que nos conduzem à determinação 
das projeções de cada ponto, expostos no relatório do exercício anterior, 
referindo -se, apenas, a localização das projeções de cada ponto, após a sua 
determinação com o recurso às retas projetantes (retas projetantes hori-
zontais e retas projetantes frontais).
Localização no espaço:
A SPFS; B SPHP; C eixo X; D 1o Diedro, ;
E 4o Diedro, ; F SPFI; G SPFS; H 3o Diedro, ;
I 2o Diedro, J SPFS; L 1o Diedro, ; M 2o Diedro, ;
N 4o Diedro, ; O 3o Diedro, ; P SPHA Q SPFI.
Determinação das projeções:
Ponto A:
A projeção horizontal do ponto A (A1) situa -se no eixo X (o afastamento é 0) e a projeção frontal do ponto A (A2) situa -se no SPFS, a 3 cm do eixo X (a cota é 3). 
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto A (A1) situa -se no eixo X e a projeção frontal 
do ponto A (A2) situa -se 3 cm para cima do eixo X.
Ponto B:
A projeção horizontal do ponto B (B1) situa -se no SPHP, a 4 cm do eixo X (o afastamento é –4) e a projeção frontal do ponto B (B2) situa -se no eixo X (a cota é 0). 
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto B (B1) situa -se 4 cm para cima do eixo X 
e a projeção frontal do ponto B (B2) situa -se no eixo X.
Ponto C:
A projeção horizontal do ponto C (C1) situa -se no eixo X (o afastamento é 0) e a projeção frontal do ponto C (C2) situa -se igualmente no eixo X (a cota também 
é 0), ou seja, as duas projeções do ponto estão coincidentes, num ponto do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal 
de Projeção, a projeção horizontal do ponto C (C1) e a projeção frontal do ponto C (C2) situam -se, ambas, num mesmo ponto do eixo X (estão coincidentes), 
assinalando -se C1 C2.
Ponto D:
A projeção horizontal do ponto D (D1) situa -se no SPHA, a 2 cm do eixo X (o afastamento é 2) e a projeção frontal do ponto (D2) situa -se no SPFS, a 2 cm (a cota é 
2) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto D (D1) situa -se 2 cm para baixo 
do eixo X e a projeção frontal do ponto D (D2) situa -se 2 cm para cima do eixo X – as projeções do ponto D são simétricas emrelação ao eixo X, pois o ponto D 
é um ponto do 1/3.
Ponto E: 
A projeção horizontal do ponto E (E1) situa -se no SPHA, a 4 cm do eixo X (o afastamento é 4) e a projeção frontal do ponto E (E2) situa -se no SPFI, a 4 cm do eixo X 
(a cota é –4). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto E (E1) situa -se 4 cm para 
baixo do eixo X e a projeção frontal do ponto E (E2) situa -se 4 cm igualmente para baixo do eixo X – as duas projeções do ponto E ficam, assim, coincidentes, pois 
o ponto E é um ponto do 2/4.
Ponto F:
A projeção horizontal do ponto F (F1) situa -se no eixo X (o afastamento é 0) e a projeção frontal do ponto F (F2) situa -se no SPFI, a 2 cm do eixo X (a cota é –2). 
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto F (F1) situa -se no eixo X e a projeção frontal 
do ponto F (F2) situa -se 2 cm para baixo do eixo X.
Ponto G: 
A projeção horizontal do ponto G (G1) situa -se no eixo X (o afastamento é 0) e a projeção frontal do ponto G (G2) situa -se no SPFS, a 1 cm do eixo X (a cota é 1). 
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto G (G1) situa -se no eixo X e a projeção frontal 
do ponto G (G2) situa -se 1 cm para cima do eixo X.
Ponto H:
A projeção horizontal do ponto H (H1) situa -se no SPHP, a 3 cm do eixo X (o afastamento é –3) e a projeção frontal do ponto H (H2) situa -se no SPFI, a 3 cm do 
eixo X (a cota é –3). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto H (H1) situa -se 3 cm 
para cima do eixo X e a projeção frontal do ponto H (H2) situa -se 3 cm para baixo do eixo X – as projeções do ponto H são simétricas em relação ao eixo X, pois 
o ponto H é um ponto do 1/3.
Ponto I:
A projeção horizontal do ponto I (I1) situa -se no SPHP, a 2 cm do eixo X (o afastamento é –2) e a projeção frontal do ponto I (I2) situa -se no SPFS, a 2 cm do eixo X 
(a cota é 2). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto I (I1) situa -se 2 cm para cima 
do eixo X e a projeção frontal do ponto I (I2) situa -se 2 cm igualmente para cima do eixo X – as duas projeções do ponto I ficam, assim, coincidentes, pois o ponto 
I é um ponto do 2/4.
6
SOLUÇÕES
Ponto J:
A projeção horizontal do ponto J (J1) situa -se no eixo X (o afastamento é 0) e a projeção frontal do ponto J (J2) situa -se no SPFS, a 5 cm do eixo X (a cota é 5). Após 
o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto J (J1) situa -se no eixo X e a projeção horizontal 
do ponto J (J2) situa -se 5 cm para cima do eixo X.
Ponto L:
A projeção horizontal do ponto L (L1) situa -se no SPHA, a 1 cm do eixo X (o afastamento é 1) e a projeção frontal do ponto L (L2) situa -se no SPFS, a 1 cm do eixo X 
(a cota é 1). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto L (L1) situa -se 1 cm para baixo 
do eixo X e a projeção horizontal do ponto L (L2) situa -se 1 cm para cima do eixo X – as projeções do ponto L são simétricas em relação ao eixo X, pois o ponto 
L é um ponto do 1/3.
Ponto M:
A projeção horizontal do ponto M (M1) situa -se no SPHP, a 1 cm do eixo X (o afastamento é –1) e a projeção frontal do ponto M (M2) situa -se no SPFS, a 1 cm do 
eixo X (a cota é 1). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto M (M1) situa -se 1 cm 
para cima do eixo X e a projeção frontal do ponto M (M2) situa -se 1 cm igualmente para cima do eixo X – as duas projeções do ponto M ficam, assim, coincidentes, 
pois o ponto M é um ponto do 2/4.
Ponto N:
A projeção horizontal do ponto N (N1) situa -se no SPHA, a 2 cm do eixo X (o afastamento é 2) e a projeção frontal do ponto N (N2) situa -se no SPFI, a 2 cm do eixo X 
(a cota é –2). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto N (N1) situa -se 2 cm para 
baixo do eixo X e a projeção horizontal do ponto N (N2) situa -se 2 cm igualmente para baixo do eixo X – as duas projeções do ponto N ficam, assim, coincidentes, 
pois o ponto N é um ponto do 2/4.
Ponto O:
A projeção horizontal do ponto O (O1) situa -se no SPHP, a 1 cm do eixo X (o afastamento é –1) e a projeção frontal do ponto O (O2) situa -se no SPFI, a 1 cm do 
eixo X (a cota é –1). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto O (O1) situa -se 1 cm 
para cima do eixo X e a projeção frontal do ponto O (O2) situa -se 3 cm para baixo do eixo X – as projeções do ponto O são simétricas em relação ao eixo X, pois 
o ponto O é um ponto do 1/3.
Ponto P:
A projeção horizontal do ponto P (P1) situa -se no SPHA, a 4 cm do eixo X (o afastamento é 4) e a projeção frontal do ponto P (P2) situa -se no eixo X (a cota é 0). 
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto P (P1) situa -se 4 cm para baixo do eixo X 
e a projeção frontal do ponto P (P2) situa -se no eixo X.
Ponto Q:
A projeção horizontal do ponto Q (Q1) situa -se no eixo X (o afastamento é 0) e a projeção frontal do ponto Q (Q2) situa -se no SPFI, a 5 cm do eixo X (a cota é –5). 
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto Q (Q1) situa -se no eixo X e a projeção frontal 
do ponto Q (Q2) situa -se 5 cm para baixo do eixo X.
15.
Os pontos B, C, G e J situam -se para a esquerda do Plano de Perfil (plano YZ), Os pontos B, C, G e J situam -se para a esquerda do Plano de Perfil (plano YZ), pois 
têm abcissa positiva. Os pon tos A, D, F, H, I, L e M situam -se para a direita do Plano de Perfil (plano YZ), pois têm abcissa negativa. O ponto E situa -se no Plano 
de Perfil (plano YZ), pois tem abcissa nula. 
Ponto A – a sua abcissa é negativa (é –3), pelo que a linha de chamada do ponto 
se situa 3 cm para a direita do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 13 (ponto A). 
Ponto B – a sua abcissa é positiva (é 2), pelo que a linha de chamada do ponto se 
situa 2 cm para a esquerda do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto A). 
Ponto C – a sua abcissa é positiva (é 5), pelo que a linha de chamada do ponto se 
situa 5 cm para a esquerda do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 13 (ponto F). 
Ponto D – a sua abcissa é negativa (é –4), pelo que a linha de chamada do ponto 
se situa 4 cm para a direita do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 13 (ponto B). 
Ponto E – a sua abcissa é nula (é 0), pelo que a linha de chamada do ponto se 
sobre o eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções do ponto, ver relatório 
do exercício 13 (ponto D). 
7
SOLUÇÕES
Ponto F – a sua abcissa é negativa (é –1), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 1 cm para a direita do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto P). 
Ponto G – a sua abcissa é positiva (é 6), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 6 cm para a esquerda do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto F). 
Ponto H – a sua abcissa é negativa (é –5), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 5 cm para a direita do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 13 (ponto A). 
Ponto I – a sua abcissa é negativa (é –3), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 3 cm para a direita do eixo Y Z. Note que os pontos A e I têm a mesma 
abcissa,pelo que se situam, ambos, sobre a mesma linha de chamada, tendo -se assinalado esse facto convenientemente – Ao Io. Sobre a determinação das 
projeções do ponto, ver relatório do exercício 13 (ponto E). 
Ponto J – a sua abcissa é positiva (é 1), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 1 cm para a esquerda do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto D). 
Ponto L – a sua abcissa é negativa (é –5), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 5 cm para a direita do eixo Y Z. Note que os pontos H e L têm a mesma 
abcissa, pelo que se situam, ambos, sobre a mesma linha de chamada, tendo -se assinalado esse facto convenientemente – Ho Lo. Sobre a determinação das 
projeções do ponto, ver relató rio do exercício 14 (ponto I). 
Ponto M – a sua abcissa é negativa (é –6), pelo que a linha de chamada do ponto se situa 6 cm para a direita do eixo Y Z. Sobre a determinação das projeções 
do ponto, ver relatório do exercício 14 (ponto C). 
16.
O ponto B situa -se na mesma projetante frontal do ponto A, pelo que a cota do ponto B é igual à cota do ponto A. Como B 
se si tua no 1/3, as suas coor dena das são iguais. As coordenadas de B são ( 3; 3). Os pontos A e B situam -se na mesma 
projetante fron tal, pelo que a reta que projeta o ponto A no Plano Frontal de Projeção é a mesma reta que projeta o ponto B 
no Plano Frontal de Projeção – as projeções fron tais dos dois pon tos estão coinci den tes.
17.
O ponto M tem coordenadas iguais, pois o ponto M situa -se no 1/3 as coordenadas do ponto M são ( 4; 4). Os dois 
pontos situam -se na mesma projetante horizontal, pelo que têm o mesmo afastamento – o afastamento do ponto N é 4. 
As coordenadas do ponto N são si métricas, pois o ponto N situa -se no 2/4. As coordenadas do ponto N são ( 4; –4). Os 
pontos M e N situam -se na mesma projetante horizontal, pelo que a reta que projeta o ponto M no Plano Horizontal de 
Projeção é a mesma reta que projeta o ponto N no Plano Horizontal de Projeção – as projeções horizontais dos dois 
pon tos estão coinci den tes.
18.
a) Os pontos A e B situam -se na mesma projetante frontal, pelo que têm a mes ma cota – a cota do ponto B é 1. O ponto 
B situa -se no 1/3, pelo que o ponto B tem coor denadas iguais as coordenadas do ponto B são ( 1; 1). Os pontos A e B 
situam -se na mesma projetante fron tal, pelo que a reta que projeta o ponto A no Plano Frontal de Projeção é a mesma 
reta que projeta o ponto B no Plano Frontal de Projeção – as projeções fron tais dos dois pon tos estão coinci den tes.
b) Os dois pontos são simétricos em relação ao Plano Frontal de Projeção – atendendo a que ponto A se situa no 10 Die-
dro, o ponto C situa -se necessariamente no 20 Diedro. O ponto C é si métrico do ponto A em relação ao Plano Frontal 
de Projeção, pelo que os pontos A e C se situam na mesma reta projetante frontal – o ponto C tem cota igual à cota 
do pontos A e afasta mento si mé trico ao afastamento do ponto A. As coordenadas do ponto C são ( 5; –1). Pontos si-
métri cos em relação ao Plano Frontal de Projeção situam -se na mesma reta projetante frontal, pelo que as projeções 
frontais dos dois pontos estão coinci dentes.
8
SOLUÇÕES
19.
Os pontos R e S são simétricos em relação ao Plano Horizontal de Projeção, pelo que se situam na 
mesma reta projetante horizontal – têm o mesmo afastamento e co tas simétricas. O afastamento o 
ponto S é 3, pelo que o ponto R também tem 3 cm de afastamento. A cota do ponto R é du pla do seu 
afastamento, pelo que o ponto R tem 6 cm de cota. Os dois pontos são simétricos em relação ao Plano 
Horizontal de Projeção – atendendo a que ponto R se situa no 10 Diedro, o ponto S situa -se necessa-
riamente no 40 Diedro – as cotas dos dois pontos são simétricas, pelo que a cota de do ponto S é –6. 
As coordenadas do ponto R são ( 3; 6) e as do ponto S são ( 3; –6). Pontos si métri cos em relação ao 
Plano Horizontal de Projeção situam -se na mesma reta projetante horizontal, pelo que as projeções 
horizontais dos dois pontos estão coinci dentes.
20.
Em primeiro lugar desenharam -se as projeções dos dois pontos, em função das suas coordenadas. 
Em seguida desenharam -se as projeções da reta r. A projeção horizontal da reta r (r1) está definida 
pelas projeções horizontais dos dois pontos (r1 passa por A1 e B1). A projeção frontal da reta r (r2) está 
definida pelas projeções fron tais dos dois pontos (r2 passa por A2 e B2). Para se determinar as proje-
ções do ponto C, teve -se em conta a condição para que um ponto pertença a uma reta, segundo a 
qual se tem que a projeção horizontal do ponto (C1) tem de estar sobre a projeção horizontal da reta 
(r1) e a projeção frontal do ponto (C2) tem de estar sobre a projeção frontal da reta (r2). O ponto C é um 
ponto qualquer que verifique a condição atrás enunciada.
21.
a) Em primeiro lugar desenharam -se as projeções dos dois pontos, em função dos dados. Em seguida 
desenharam -se as projeções da reta s. A projeção horizontal da reta s (s1) está definida pelas proje-
ções horizontais dos dois pontos (s1 passa por R1 e S1). A projeção frontal da reta s (s2) está definida 
pelas projeções fron tais dos dois pontos (s2 passa por R2 e S2).
b) Para se determinar as projeções do ponto A, há que ter em conta a condição para que um ponto 
pertença a uma reta, segundo a qual se tem que a projeção horizontal do ponto (A1) tem de estar 
sobre a projeção horizontal da reta (s1) e a projeção frontal do ponto (A2) tem de estar sobre a proje-
ção frontal da reta (s2). Assim, em primeiro lugar determinou -se a projeção frontal do ponto A (A2) 
sobre a projeção frontal da reta s (s2), em função da sua cota – A2 situa -se 3 cm para cima do eixo X 
(a cota do ponto A é positiva) e situa -se sobre s2. Em seguida, determinou -se a projeção horizontal 
do ponto A (A1), sobre a projeção horizontal da reta s (s1) e na linha de chamada de A2.
9
SOLUÇÕES
22.
a) Em primeiro lugar desenharam -se as projeções dos dois pontos, em função dos dados. Em seguida 
desenharam -se as projeções da reta m. A projeção horizontal da reta m (m1) está definida pelas 
projeções horizontais dos dois pontos (m1 passa por G1 e H1). A projeção frontal da reta m (m2) está 
definida pelas projeções fron tais dos dois pontos (m2 passa por G2 e H2).
b) Determinaram -se as projeções dos dois pontos, atendendo à condição para que um ponto per-
tença a uma reta. O ponto A é o ponto da reta que tem 0 de abcissa (abcissa nula) – a linha de 
chamada do ponto A é o próprio eixo Y Z. A projeção horizontal do ponto (A1) está sobre a projeção 
horizontal da reta (m1) e a projeção frontal do ponto (A2) está sobre a projeção frontal da reta (m2). 
O ponto B é o ponto da reta que tem 4 cm de afastamento. Assim, em primeiro lugar determinou -se 
a projeção horizontal do ponto B (B1) sobre a projeção horizontal da reta m (m1), em função do seu 
afastamento – B1 situa -se 4 cm para baixo do eixo X (o afastamento do ponto B é positivo) e situa -se 
sobre m1. Em seguida, determinou -se a projeção frontal do ponto B (B2), sobre a projeção frontal da 
reta m (m2) e na linha de chamada de B1.
23.
a) Em primeiro lugar determinaram -se as projeções do ponto P, em função das suas coordenadas. Em 
seguida, desenharam -se as projeções da reta r, em função dos ângulos dados. A projeção frontal 
da reta r (r2) passa pela projeção frontal do ponto P (P2) e faz, com o eixo X, um ângulo de 45o de 
abertura para a direita (a.d.). Note que o ângulo que a projeção frontal da reta r (r2) faz com o 
eixo X se mediu para cima do eixo X (sentido positivo das cotas). A projeção horizontal da reta r (r1) 
passa pela projeção horizon tal do ponto P (P1) e faz, com o eixo X, um ângulo de 30
o de abertura 
para a direita (a.d.). Note que o ângulo que a projeção horizontal da reta r (r1) faz com o eixo X se 
mediu para baixo do eixo X (sentido positivo dos afastamentos)
b) Determinaram -se as projeções dos dois pontos, atendendoà condição para que um ponto per-
tença a uma reta. O ponto A é o ponto da reta que tem 4 cm de afastamento. Assim, em primeiro 
lugar determinou -se a projeção horizontal do ponto A (A1) sobre a projeção horizontal da reta r (r1), 
em função do seu afastamento – A1 situa -se 4 cm para baixo do eixo X (o afastamento do ponto A 
é positivo) e situa -se sobre r1. Em seguida, determinou -se a projeção frontal do ponto A (A2), sobre 
a projeção frontal da reta r (r2) e na linha de chamada de A1. O ponto B é o ponto da reta com –4 de 
cota. Assim, em primeiro lugar determinou -se a projeção frontal do ponto B (B2) sobre a projeção 
frontal da reta r (r2), em função da sua cota – B2 situa -se 4 cm para baixo do eixo X (a cota do ponto 
B é negativa) e situa -se sobre r2. Em seguida, determinou -se a projeção horizontal do ponto B (B1), 
sobre a projeção horizontal da reta r (r2) e na linha de chamada de B2. Note que o ponto B tem –4 
de cota e as projeções frontais de pontos com cota negativa situam -se no SPFI, que fica para baixo 
do eixo X (após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção).
24.
O ponto P é um ponto do 1/3, pelo que tem coordenadas iguais e projeções simétricas em relação ao 
eixo X – as coor denadas do ponto P são ( 4; 4). Assim, em primeiro lugar, determinaram -se as proje-
ções do ponto P, em função ds suas coordenadas. Em seguida desenhou -se a projeção frontal da reta 
a (a2), passando pela projeção frontal do ponto P (P2) e fazendo, com o eixo X e acima deste (sentido 
positivo das co tas), um ângulo de 45o (a.e.). O enunciado é omisso em relação à projeção horizontal da 
reta, mas dá -nos mais um ponto da reta – o ponto Q. Assim, em seguida determinaram -se as proje-
ções do ponto Q, a partir da sua cota – a projeção frontal do ponto Q (Q2) tem de estar so bre a projeção 
frontal da reta a (a2), 1 cm para cima do eixo X (o ponto Q tem 1 cm de cota e a cota é positiva, pelo que 
Q2 se situa acima do eixo X). Determinou -se, também, a projeção horizontal do ponto Q (Q1), em fun-
ção do seu afastamento, que é dado no enunciado. Em seguida determinou -se a projeção horizontal 
da reta a (a1), passando pelas projeções horizontais dos dois pontos (a1 passa por P1 e por Q1). Em se-
guida determinaram -se as projeções dos pontos R, S e T, perten centes à reta e em função dos dados 
(as coordenadas dadas). Tenha em conta que os três pontos verificam a condição para que um ponto 
pertença a uma reta, tal como exposto nos relatórios dos exercícios anteriores – as projeções hori-
zontais dos três pontos (R1, S1 e T1) situam -se sobre a projeção horizontal da reta a (a1) e as projeções 
frontais dos três pontos (R2, S2 e T2) situam -se sobre a projeção frontal da reta a (a2). As projeções do 
ponto R determinaram -se em função do afastamento do ponto – R1 (a projeção horizontal do ponto R) 
situa -se sobre a1 (a projeção horizontal da reta a), 3 cm para baixo do eixo X (o afastamento do ponto 
R é positivo). As projeções do ponto S determinaram -se em função do afasta mento do ponto – S1 (a 
projeção horizontal do ponto S) situa -se sobre a1 (a projeção horizontal da reta a), 1 cm para cima do 
eixo X (o afastamento do ponto S é nega tivo). As projeções do ponto T determinaram -se em função do 
afastamento do ponto – T1 (a projeção horizontal do ponto T) situa -se sobre a1 (a projeção horizontal 
da reta a), no eixo X, pois o ponto T tem afastamento nulo. O ponto T situa -se no SPFI.
10
SOLUÇÕES
25.
Sobre a determinação das projeções da reta a, ver relatório do exercício anterior. 
As projeções dos pontos A, B e C, pertencentes à reta a, determinaram -se em fun-
ção dos dados (as coordenadas dadas). Tenha em conta que os três pontos ve-
rificam a condição para que um ponto pertença a uma reta, tal como expos-
to nos relatórios dos exercícios anteriores – as projeções horizontais dos três pontos 
(A1, B1 e C1) situam -se sobre a projeção horizontal da reta a (a1) e as projeções frontais dos 
três pontos (A2, B2 e C2) situam -se sobre a projeção frontal da reta a (a2). As projeções do 
ponto A determinaram -se em função da cota do ponto – A2 (a projeção frontal do ponto A) 
situa -se sobre a2 (a projeção frontal da reta a), 2 cm para cima do eixo X (a cota do ponto A 
é positiva). As projeções do ponto B determinaram -se em função da cota do ponto – B2 (a 
projeção frontal do ponto B) situa -se sobre a2 (a projeção frontal da reta a), 3 cm para baixo 
do eixo X (a cota do ponto B é negativa). As projeções do ponto C determinaram -se em 
função da cota do ponto – C2 (a projeção frontal do ponto C) situa -se sobre a2 (a projeção 
frontal da reta a), no eixo X, pois o ponto C tem cota nula. O ponto C situa -se no SPHA.
26.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções do ponto P, em função das suas coorde-
nadas. Em seguida, desenharam -se as projeções da reta r, em função dos ângulos dados. A 
projeção frontal da reta r (r2) passa pela projeção frontal do ponto P (P2) e faz, com o eixo X 
e acima deste (sentido positivo das cotas), um ângulo de 45o de abertura para a esquerda 
(a.e.). A projeção horizontal da reta r (r1) passa pela projeção horizon tal do ponto P (P1) e 
faz, com o eixo X e abaixo deste (sentido positivo dos afasta mentos), um ângulo de 30o de 
abertura para a esquerda (a.e.). Em seguida determinaram -se as projeções dos pontos R, 
S e T, perten centes à reta e em função dos dados (as coordenadas dadas). Tenha em conta 
que os três pontos verificam a condição para que um ponto pertença a uma reta, tal como 
exposto nos relatórios dos exercícios anteriores – as projeções horizontais dos três pontos 
(R1, S1 e T1) situam -se sobre a projeção horizontal da reta r (r1) e as projeções frontais 
dos três pontos (R2, S2 e T2) situam -se sobre a projeção frontal da reta r (r2). O ponto R 
tem afastamento nulo, pelo que a sua projeção horizontal (R1) se situa no eixo X, sobre a 
projeção horizontal da reta r (r1). O ponto S tem cota nula, pelo que a sua projeção frontal 
(S2) se situa no eixo X, sobre a projeção frontal da reta r (r2). O ponto T é o único ponto 
da reta que tem projeções coincidentes (note que T é um ponto do 2/4 e pontos do 2/4 
têm as suas projeções coincidentes). Assim, a projeção horizontal do ponto T (T1) situa -se 
sobre a projeção horizontal da reta r (r1) e a projeção frontal do ponto T (T2) situa -se sobre 
a projeção frontal da reta r (r2) – tendo em conta que as duas projeções do ponto T (T1 e 
T2) têm de estar coincidentes, as projeções do ponto T situam -se no ponto de concorrência 
das duas projeções da reta (r1 e r2) – T1 T2 no ponto em que as duas projeções da reta 
se intersetam.
27.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções dos pontos A e B, em função das suas 
coordenadas, e desenharam -se as projeções da reta r, passando pelas projeções homó-
nimas dos pontos A e B. Em seguida procedeu -se à determinação dos pontos notáveis da 
reta –o ponto F (o traço frontal da reta), o ponto H (o traço horizontal da reta), o ponto Q (o 
traço da reta no 1/3) e o ponto I (o traço da reta no 2/4). Para que os pontos pertençam 
à reta r, todos os pontos têm de verificar a condição para que um ponto pertença a 
uma reta – as projeções horizontais dos quatro pontos têm de se situar sobre a projeção 
horizontal da reta r e as projeções frontais dos quatro pontos têm de se situar sobre a 
projeção frontal da reta r. O traço frontal (F) da reta r é o único ponto da reta que tem 
afastamento nulo, pelo que F1 (a projeção horizontal do ponto F) se situa no eixo X – F2 
(a projeção frontal do ponto F) tem de se situar sobre r2 (a projeção frontal da reta r). 
O traço horizontal (H) da reta r é o único ponto da reta que tem cota nula, pelo que H2 (a 
projeção frontal do ponto H) se situa no eixo X – H1 (a projeção horizontal do ponto H) 
tem de se situar sobre r1 (a projeção horizontal da reta r). O ponto Q é o traço da reta r no 
1/3 e é o único ponto da reta r que tem projeçõessimétricas em rela ção ao eixo X. Para 
a determinação do ponto Q recorreu -se a uma reta auxiliar, simétrica da projeção frontal 
da reta r (r2) em relação ao eixo X – o ponto em que a reta auxiliar interseta a projeção 
horizontal da reta r (r1) é Q1, a projeção horizontal do ponto Q. Q2 (a projeção frontal do 
ponto Q) tem de se situar sobre r2 (a projeção frontal da reta r). O ponto I é o traço da 
reta r no 2/4 e é o único ponto da reta s que tem projeções coincidentes (ver relatório do 
exercício anterior – ponto T).
11
SOLUÇÕES
28.
O traço horizontal da reta (dado no enunciado) é o ponto H e é um ponto do Plano Horizontal de 
Projeção – o ponto H tem cota nula, pelo que as coordenadas do ponto H são ( 3; 2; 0). Assim, em 
primeiro lugar determinaram -se as projeções dos pontos P e H em função das respetivas coorde-
nadas e, em seguida, desenharam -se as projeções da reta m, passando pelas projeções homóni-
mas dos pontos P e H. O traço frontal (F) da reta m é o único ponto da reta que tem afastamento 
nulo, pelo que F1 (a projeção horizontal do ponto F) se situa no eixo X – F2 (a projeção frontal do 
ponto F) tem de se situar sobre m2 (a projeção frontal da reta m).
29.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções do ponto P, em função das suas coorde-
nadas. Em seguida, desenhou -se a projeção frontal da reta s (s2), passando pela projeção 
frontal do ponto P (P2) e de acordo com o ângulo dado – s2 passa por P2 e faz, com o eixo X 
e acima deste, um ângulo de 30.o (a.e.). O enunciado é omisso no que respeita à projeção ho-
rizontal da reta, mas dá -nos o afastamento do ponto H, que é o traço horizontal da reta. 
O traço horizontal (o ponto H) da reta tem cota nu la, pelo que H2 se situa no eixo X. Sabendo-
-se que o afastamento do ponto H é –3, é possível determinar a sua projeção horizontal (H1). A 
projeção horizontal da reta s (s1) passa por H1 e por P1. Em seguida determinaram -se os res-
tantes pontos notáveis da reta s – o ponto F (o traço frontal da reta s), o ponto Q (o traço da 
reta s no 1(/3) e o ponto I (o traço da reta s no 2/4). Para que os pontos pertençam à reta s, 
todos os pontos têm de verificar a condição para que um ponto pertença a uma reta – as 
projeções horizontais dos três pontos têm de se situar sobre a projeção horizontal da reta s e as 
projeções frontais dos três pontos têm de se situar sobre a projeção frontal da reta s. O traço 
frontal (F) da reta s é o único ponto da reta que tem afastamento nulo, pelo que F1 (a projeção 
horizontal do ponto F) se situa no eixo X – F2 (a projeção frontal do ponto F) situa -se sobre s2 (a 
projeção frontal da reta s). O ponto Q é o traço da reta s no 1/3 e é o único ponto da reta s que tem 
projeções simétricas em rela ção ao eixo X. Para a determinação do ponto Q recorreu -se a uma 
reta auxiliar, simétrica da projeção frontal da reta s (s2) em relação ao eixo X – o ponto em que a 
reta auxiliar interseta a projeção horizontal da reta s (s1) é Q1, a projeção horizontal do ponto Q. 
Q2 (a projeção frontal do ponto Q) situa -se sobre s2 (a projeção frontal da reta s). O ponto I é o 
traço da reta s no 2/4 e é o único ponto da reta s que tem projeções coincidentes (ver relatório 
do exercício 26 – ponto T).
30.
O enunciado permite -nos concluir que o ponto F, o traço frontal da reta a (que tem 3 de cota), tem 
necessariamente 0 de afasta mento (o traço frontal de uma reta tem afastamento nulo), pelo que 
as coordenadas do ponto F são ( 2; 0; 3). O enunciado permite -nos concluir ainda que o ponto I, o 
traço da reta a no 2/4 (que tem –2 de cota), tem neces sariamente 2 de afastamento (pois pontos 
do 2/4 têm coordenadas simétricas), pelo que as coordenadas do ponto I são ( –5; 2; –2). As 
projeções da reta a ficam de finidas pelas projeções homónimas dos pontos F e I. Após se terem 
desenhado as projeções da reta a, de acordo com o exposto, determinaram -se as projeções dos 
outros dois pontos notáveis da reta a. O traço horizontal (H) da reta a é o único ponto da reta que 
tem cota nula, pelo que H2 (a projeção frontal do ponto H) se situa no eixo X – H1 (a projeção hori-
zontal do ponto H) tem de se situar sobre a1 (a projeção horizontal da reta a). O ponto Q é o traço 
da reta a no 1/3 e é o único ponto da reta a que tem projeções simétricas em rela ção ao eixo X. 
Para a determinação do ponto Q recorreu -se a uma reta auxiliar, simétrica da projeção frontal da 
reta a (a2) em relação ao eixo X – o ponto em que a reta auxiliar interseta a projeção horizontal 
da reta a (a1) é Q1, a projeção horizontal do ponto Q. Q2 (a projeção frontal do ponto Q) tem de se 
situar sobre a2 (a projeção frontal da reta a).
12
SOLUÇÕES
31.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções dos pontos R e S, em função dos dados. 
Em seguida desenharam -se as projeções da reta n, passando pelas projeções ho mónimas 
dos pontos R e S. Esta reta tem a particulari dade de todos os seus pontos terem a mesma 
cota, que é 3. Em seguida determinaram -se as projeções dos pontos notáveis da reta n. Para 
que os pontos pertençam à reta n, todos os pontos têm de verificar a condição para que um 
ponto pertença a uma reta – as projeções horizontais dos pontos têm de se situar sobre 
a projeção horizontal da reta n e as projeções frontais dos pontos têm de se situar sobre a 
projeção frontal da reta n. O traço frontal (F) da reta n é o único ponto da reta que tem afasta-
mento nulo, pelo que F1 (a projeção horizontal do ponto F) se situa no eixo X – F2 (a projeção 
frontal do ponto F) situa -se sobre n2 (a projeção frontal da reta n). O ponto I é o traço da reta n 
no 2/4 e é o único ponto da reta s que tem projeções coincidentes (ver relatório do exercício 26 
– ponto T) – tem -se necessariamente I1 I2. Tendo em conta que todos os pontos da reta 
têm 3 cm de cota, o traço da reta n no 1/3 (o ponto Q) é o ponto da reta n que tem 3 cm de 
afastamento – as projeções do ponto Q determinaram -se, precisamente, a partir deste facto. 
A projeção horizontal do ponto Q (Q1) situa -se sobre n1 (a projeção horizontal da reta n), 3 cm 
para baixo do eixo X (o afastamento do ponto Q é positivo) – Q2 (a projeção frontal do ponto Q) 
situa -se sobre n2 (a projeção frontal da reta n). O ponto H (o traço horizontal da reta n) 
é o único ponto da reta n que tem cota nula. Acontece que todos os pontos da reta n têm a 
mesma cota, que não é nula (é 3 cm), pelo que não há nenhum ponto da reta com cota nula 
– a reta n não tem traço horizontal (a reta n não interseta o Plano Horizontal de Projeção).
32.
O traço frontal da reta (dado no enunciado) é um ponto do Plano Frontal de Projeção – o 
ponto F tem afastamento nulo, pelo que as coordenadas do ponto F são ( 2; 0; 2). Assim, em 
primeiro lugar determinaram -se as projeções dos pontos T e F e, em seguida, desenharam-
-se as projeções da reta a, passando pelas projeções homónimas dos dois pontos. O ponto H 
(o traço horizontal da reta a) é o único ponto da reta a que tem cota nula – H2 situa -se no 
eixo X (ver relatório do exercício 27). O ponto I (o traço da reta a no 2/4) é o ponto da reta a 
que tem projeções coincidentes (ver relatório do exercício 26). Para determinar o ponto Q (o 
traço da reta a no 1/3), desenhou -se uma reta auxiliar, simétrica de a1 (a projeção horizontal 
da reta a) em relação ao eixo X. Esta reta auxiliar é paralela a a2 (a projeção frontal da reta a), 
pelo que não é possível de terminar as projeções do ponto Q. Conclui -se, então, que a reta a 
não tem traço no 1/3 – a reta a não interseta o 1/3 (a reta é paralela ao 1/3).
33.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções do ponto P (em função das suas 
coordenadas), pelas quais se conduziram as projeções homónimas da reta g. A proje-
ção frontal da reta g (g2) passa por P2 e faz, com o eixo X e acima deste, um ângulo de 
30o (a.e.). Por P1 (a projeção horizontal do ponto P) conduziu -se g1 (a projeção hori-
zontal de g), que é paralela a g2 (a projeção frontal da reta g; pois no enunciado é re-
feridoque as projeções da reta g são paralelas entre si (no papel). Determinaram -se 
o traço frontal e o traço horizontal da reta g – H (o traço horizontal da reta g), por-
que tem cota nula, tem a sua projeção frontal (H2) no eixo X e F (traço frontal da reta g), 
porque tem afastamento nulo, tem a sua projeção horizontal (F1) no eixo X (ver relató-
rio do exercício 27). O traço da reta g no 1/3 tem projeções simétricas em relação ao 
eixo X – recorreu -se a uma reta auxiliar, simétrica da projeção horizontal da reta g (g1) 
 em relação ao eixo X. Q2 (a projeção frontal do ponto Q) é o ponto em que a reta 
auxiliar interseta g2 (a projeção frontal da reta g) – ver relatório do exercício 27). 
Não há nenhum ponto da reta g com projeções coincidentes, pelo que a reta g 
não tem traço no 2/4 – a reta g não interseta o 2/4 (a reta g é paralela ao 2/4).
13
SOLUÇÕES
34.
Em primeiro lugar desenharam -se as projeções da reta, em função dos dados (ver rela-
tório do exercício 27). Ao nível do percurso da reta, os pontos que separam as partes da 
reta que se situam em Diedros distintos são os traços da reta nos planos de projeção (o 
traço frontal e traço horizontal da reta), pois é nos pontos em que a reta interseta os pla-
nos de projeção que a reta muda de Diedro. Assim, determinaram -se os traços da reta r 
nos planos de projeção e percebeu -se que a reta atravessa três Diedros. Analisando -se 
a localização dos pontos da reta que se situam em cada uma das três partes da reta, 
conclui -se: a parte da reta situada entre os traços da reta (os pontos F e H) situa -se no 1o 
Diedro (os pontos desta parte da reta têm cota e afasta mento positivos); a parte da reta 
que se situa para a esquerda do traço horizontal da reta (o ponto H) situa -se no 4o Diedro 
(os pontos desta parte da reta têm afastamento posi tivo e cota negativa); a parte da reta 
que se situa para a direita do traço frontal da reta (o ponto F) situa -se no 2o Diedro (os 
pontos desta parte da reta têm cota positiva e afastamento negativo). O percurso da reta 
foi assinalado numa reta paralela ao eixo X, situada abaixo da figura, na qual se indicaram, 
previamente, os pontos em que a reta interseta os planos de projeção (os pontos em que 
a reta muda de Diedro). No que respeita às visibi lida des/invisibilida des da reta, teve -se 
em conta que a parte da reta que é visível é aquela que se situa no 1o Diedro, pelo que as 
partes da reta que se situam no 2o e no 4o Diedros são invisíveis.
35.
Em primeiro lugar desenharam -se as projeções da reta, em função dos dados (ver relatório do 
exercício 30). Em rela ção ao percurso ao nível dos Diedros, ver relatório do exercício anterior. 
Note que, nesta situação, a parte da reta que se situa no 2o Diedro é a que se situa à esquerda 
do traço frontal da reta (à esquerda do ponto F) e que a parte que se situa no 4o Diedro é a parte 
da reta que se situa para a direita do traço horizontal da reta (a direita do ponto H). Tal como no 
exercício anterior, o percurso da reta foi assina lado numa reta paralela ao eixo X, situada abaixo 
da figura, na qual se indicaram, previamente, os pontos em que a reta interseta os planos de 
projeção. Percurso ao nível dos Octantes: no que respeita aos Octantes, os Octantes são sepa-
rados pelos planos de projeção e pelos planos bissetores (são os planos de projeção e os planos 
bissetores que dividem o espaço em Octantes). Nesse sentido, são os traços da reta nos planos 
de projeção (os pontos F e H) e nos planos bissetores (os pontos Q e I) que sepa ram as partes da 
reta que se situam em Octantes dis tintos – note que é nos pontos notáveis da reta que esta muda 
de Octante. Tenha ainda em conta que, quando a reta muda de Diedro, a reta tam bém muda 
necessariamente de Octante. Assim, a reta muda de Octante no ponto F, no ponto Q, no ponto H 
e no ponto I, ou seja, a reta atravessa cinco Octantes distintos. Uma vez que para a esquerda do 
traço frontal da reta (para a esquerda do ponto F) não existe mais nenhum ponto notável, a reta 
não muda de Octante – toda a parte da reta situada à esquerda do seu traço frontal situa -se no 
3o Octante (os pontos estão mais próximos do SPFS do que do SPHP). A parte da reta que está 
entre o traço frontal (o ponto F) e o traço da reta no 1/3 (o ponto Q) situa -se no 2o Octante, pois 
os pontos estão mais próximos do SPFS do que do SPHA. A parte da reta que está entre o traço 
da reta no 1/3 (o ponto Q) e o traço horizontal (o ponto H) situa -se no 1o Octante, pois os pontos estão mais próxi mos do SPHA do que do SPFS. A parte da reta 
que está entre o traço horizontal (o ponto H) e o traço da reta no 2/4 (o ponto I) situa -se no 8o Octante, pois os pontos estão mais próximos do SPHA do que do 
SPFI. A parte da reta que está para a direita do traço da reta no 2/4 (o ponto I) situa -se no 7o Octante, pois os pontos estão mais próximos do SPFI do que do 
SPHA. O percurso ao nível dos Octantes assinalou -se numa outra reta paralela ao eixo X, situada abaixo da anterior (a reta que assinala o percurso ao nível dos 
Diedros), na qual se indicaram, previamente, os pontos em que a reta interseta os planos de projeção e os planos bissetores. Invisibilidades e visibilidades: ver 
exercício anterior e respetivo relatório.
36.
Em primeiro lugar desenharam -se as projeções da reta, em função dos dados (ver relatório 
do exercício 31). Tendo em conta que esta reta não tem traço horizontal (ver relatório do 
exercício 31), a reta n atravessa apenas dois Diedros – o 1o e o 2o Diedros, pois todos os seus 
pontos têm cota positiva (pontos do 3o e 4o Diedros têm cota negativa). Assim, em relação 
ao percurso ao nível dos Diedros, ver relatório do exercício 35 (atendendo a que, neste 
caso, apenas se indicam dois Diedros na reta que assinala o percurso da reta). Em relação 
ao percurso ao nível dos Octantes, ver relatório do exercício anterior. Note que, dos quatro 
pontos notáveis, esta reta apenas apresenta três pontos notáveis, pelo que a reta muda de 
Octante apenas três vezes – a reta atravessa, apenas, quatro Octantes. Nesse sentido, neste 
caso, apenas se indicam quatro Octantes na reta que assinala o percurso da reta (ao nível dos 
Octantes). Invisibilidades e visibilidades: ver exercício 34 e respetivo relatório.
14
SOLUÇÕES
37.
Em primeiro lugar desenharam -se as projeções da reta, em função dos dados (ver relatório 
do exercício 32). Sobre o percurso ao nível dos Octantes, ver relatório do exercício 35. Tenha 
em conta que o estudo do percurso da reta ao nível dos Octantes deverá ser precedido, sem-
pre, pelo estudo do percurso da reta ao nível dos Diedros, mesmo que este não seja pedido 
nem apresentado. Assim, nesta situação, a parte da reta que se situa no 1o Diedro é a parte 
da reta que se situa para a direita do seu traço frontal (a parte para a direita do ponto F), pois 
é a parte da reta em que os pontos têm cota e afasta mento positivos. A parte da reta que se 
situa entre o traço frontal da reta (o ponto F) e o traço horizontal da reta (ponto H) situa -se no 
2o Diedro, pois os seus pontos têm afastamento negativo e cota positiva. Por fim, a parte da 
reta que se situa para a esquerda do seu traço horizontal (para a esquerda do ponto H) situa-
-se no 3o Diedro, pois os seus pontos têm cota e afastamento negativos. Como se observou 
anteriormente (ver relatório do exercício 35.), a reta é paralela ao 1/3 – assim, a sua parte 
situada no 10 Diedro situa -se, na totalidade, no 2o Octante (não interseta o 1/3, logo não muda 
de Octante nem no 1o Diedro nem no 3o Diedro). Assim, à semelhança do exposto no relatório 
do exercício anterior, a reta atravessa apenas quatro Octantes, pois esta reta só tem três dos 
quatro pontos notáveis. Invisibilidades e visibilidades: ver exercício 34 e respetivo relatório.
38.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções dos pontos A e B, em função das res-
petivas coordenadas. Em seguida, desenhou -se a projeção frontal da reta a, em função do 
dado – a projeçãofrontal da reta a (a2) passa pela projeção frontal do ponto A (A2) e faz, 
com o eixo X, o ângulo dado (um ângulo de 30o, de abertura para a direita – a abertura foi 
medida para cima do eixo X). Em seguida, determinou -se o ponto F (o traço frontal da reta a), 
em função da sua cota e sabendo que o afastamento do ponto F é nulo (a sua projeção 
horizontal situa -se no eixo X). Este facto permitiu -nos desenhar, em seguida, a projeção 
horizontal da reta a, passando pela projeção horizontal do ponto A (A1) e pela projeção ho-
rizontal do ponto F (F1). A partir das projeções da reta a, desenharam -se as projeções da 
reta b, passando pelas projeções homóni mas de B e paralelas às projeções homónimas 
da reta a (retas paralelas têm as suas projeções horizontais paralelas entre si e as suas 
projeções frontais paralelas entre si) – b1 (a projeção horizontal da reta b) passa por B1 
(a projeção horizontal do ponto B) e é paralela a a1 (a projeção horizontal da reta a), 
tal como b2 (a projeção frontal da reta b) passa por B2 (a projeção frontal do ponto B) 
e é paralela a a2 (a projeção frontal da reta a).
39.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções do ponto P, em função das suas coorde-
nadas. Em seguida, desenharam -se as projeções da reta r, passando pelas projeções ho-
mónimas do ponto P e com os ângulos dados – r2 (a projeção frontal da reta r) passa por P2 
(a projeção frontal do ponto P) e faz, com o eixo X (e acima deste), um ângulo de 50o (a.e.), 
enquanto r1 (a projeção horizontal da reta r) passa por P1 (a projeção horizontal do ponto P) e 
é paralela a r2 (a reta r tem as suas projeções paralelas entre si – dado no enunciado). A reta 
s é concor rente com a reta r no ponto P, pelo que o ponto P pertence, simultanea mente, às 
duas retas. Assim, as projeções da reta s passam também pelas projeções homónimas de P 
(retas concorrentes têm as suas projeções horizontais concorrentes entre si sobre a projeção 
horizontal do ponto de concorrência, bem como as suas projeções frontais concorrentes entre 
si sobre a projeção frontal do ponto de concorrência) – s1 (a projeção horizontal da reta s) pas-
sa por P1 (a projeção horizontal do ponto P) e é perpendicular a r1 (a projeção horizontal da 
reta r), enquanto s2 (a projeção frontal da reta s) passa por P2 (a projeção frontal do ponto P) 
e faz, com o eixo X e acima deste, um ângulo de 30o (a.e.).
15
SOLUÇÕES
40.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções dos pontos A e B, em função das 
suas coordenadas, e desenharam -se as projeções da reta m, em função dos dados (ver 
exercício 28 e respetivo relatório). Em seguida desenharam -se as projeções da reta n 
– a projeção horizontal da reta n (n1) passa pela projeção horizontal do ponto B (B1) e é 
paralela à projeção horizontal da reta m (m1), tal como a projeção frontal da reta n (n2) 
passa pela projeção horizontal do ponto B (B2) e é paralela à projeção frontal da reta m 
(m2). Em seguida determinou -se o ponto da reta n que tem abcissa nula – o ponto N. 
O ponto N pertence à reta n, pois tem as suas projeções sobre as projeções homónimas 
da reta n (que é a condição para que um ponto pertença a uma reta). O ponto N é o 
ponto de concorrência da reta r com a reta n. Em seguida desenhou -se a projeção frontal 
da reta r, de acordo com os dados – a projeção frontal da reta r faz, com o eixo X (e acima 
deste), um ângulo de 30o (a.d.). A reta r é, também, concorrente com a reta m (é dado 
que a reta r é concorrente com as retas anteriores – as retas m e n) – nesse sentido, 
determinaram -se as projeções do ponto de concorrência das retas r e m (o ponto M). 
O ponto M determinou -se em função da sua projeção frontal – M2 (a projeção frontal do 
ponto M) é o ponto de concorrência de r2 (a projeção frontal da reta r) com m2 (a projeção 
frontal da reta m) e M1 (a projeção horizontal do ponto M) situa -se necessariamente so-
bre m1 (a projeção horizontal da reta m). A projeção horizontal da reta r (r1) fica definida 
pelas projeções horizontais dos pontos M e N – M1 e N1.
41.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções dos pontos P e R, em função das res-
petivas coordenadas, e desenharam -se as projeções das retas a e b, em função dos 
dados. As projeções frontais das duas retas são concorrentes sobre a projeção frontal do 
ponto de concorrência (o ponto P), tal como as projeções horizontais das duas retas são 
concorrentes sobre a projeção horizontal do ponto de concorrência (o ponto P). As proje-
ções da reta a passam pelas projeções homónimas dos pontos P e R – a1 passa por P1 e 
por R1 e a2 passa por P2 e por R2. A projeção horizontal da reta b (b1) passa pela projeção 
horizontal do ponto P (P1) e faz, com o eixo X (e abaixo deste), um ângulo de 30
o (a.d.). 
Sobre b1 (a projeção horizontal da reta b) determinou -se H1, a projeção horizontal do tra-
ço horizontal da reta (que tem 2 cm de afastamento) – H2 situa -se no eixo X (porque tem 
cota nula). A projeção frontal da reta b (b2) passa pelas projeções frontais dos pontos P e 
H – P2 e H2. Em seguida, de terminaram -se as projeções do ponto da reta b que tem 2 cm 
de cota – o ponto S (as projeções do ponto S situam -se sobre as projeções homónimas 
da reta b, pois o ponto S pertence à reta b). Em seguida desenharam -se as projeções da 
reta r, passando pelas projeções homóni mas do ponto S e paralelas às projeções homó-
nimas da reta a (retas paralelas têm as suas projeções horizontais paralelas entre si e as 
suas projeções frontais paralelas entre si) – r1 (a projeção horizontal da reta r) passa por 
S1 (a projeção horizontal do ponto S) e é paralela a a1 (a projeção horizontal da reta a), 
tal como r2 (a projeção frontal da reta r) passa por S2 (a projeção frontal do ponto S) e é 
paralela a a2 (a projeção frontal da reta a).
42.
Em primeiro lugar desenharam -se as projeções das retas a e b, em função dos dados 
(ver exercício anterior e respetivo relatório). Em seguida, desenhou -se a projeção frontal 
da reta n, que é paralela ao eixo X e se situa 4 cm acima deste. A reta n é concorrente 
com as retas a e b, pelo que existem dois pontos de concorrência. O ponto A é o ponto 
de con corrência da reta n com a reta a – o ponto A foi determinado a partir da sua pro-
jeção frontal. A projeção frontal do ponto A (A2) é o ponto de con corrência das projeções 
frontais das duas retas (A2 é o ponto de concorrência de n2 com a2) e A1 (a projeção 
horizontal do ponto A) situa -se sobre a1 (a projeção horizontal da reta a). O ponto B é o 
ponto de con corrência da reta n com a reta b – o ponto B foi igualmente determinado a 
partir da sua projeção frontal. A projeção frontal do ponto B (B2) é o ponto de con corrência 
das projeções frontais das duas retas (B2 é o ponto de concorrência de n2 com b2) e B1 
(a projeção horizontal do ponto B) situa -se sobre b1 (a projeção horizontal da reta b). A 
projeção horizontal da reta n fica definida pelas projeções horizontais dos pontos A e 
B – n1 passa por A1 e por B1.
16
SOLUÇÕES
43.
Em primeiro lugar determinaram -se as projeções dos pontos P e R, em função 
das respetivas coordenadas. Uma reta horizontal (de nível) é paralela ao Plano 
Horizontal de Projeção – todos os seus pontos têm a mesma cota, pelo que a 
sua projeção frontal da reta h é pa ra lela ao eixo X. Assim, a projeção frontal da 
reta h (h2) passa por P2 e é paralela ao eixo X. Por outro lado, o ângulo que a 
reta h faz com o Plano Frontal de Projeção representa -se, em verdadeira gran-
deza, no ângulo que a projeção horizontal da reta (h1) faz com o eixo X. Assim, 
a projeção horizontal da reta h (h1) passa pela projeção horizontal do ponto P 
(P1) e faz, com o eixo X e abaixo deste, um ângulo de 30.
o (a.e.). Em seguida 
desenharam -se as projeções da reta n – as projeções da reta n são paralelas 
às projeções homónimas da reta h e passam pelas projeções homónimas do 
ponto R (ver exercício 38 e respetivo relatório). Por fim, determinaram -se os 
pontos notáveis da reta n – ver exercício