Aula 9

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A representação gráfica da ___________________________ é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss (CRESPO, 2009).
	
	
	
	Distribuição Efetiva
	
	
	Distribuição Normal
	
	
	Distribuição Binomial
	
	
	Distribuição de Hipóteses
	
	
	Distribuição Subjetiva
		s alturas de determinados alunos de uma turma são normalmente distribuídas com média 1,55 m e desvio padrão 0,45 m. Encontre a probabilidade de um aluno ter estatura abaixo de 1,50 metros. OBS: consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 0,11) = 0,00438.
	
	
	
	21,23%
	
	
	71,23%
	
	
	28,77%
	
	
	12,35%
	
	
	45,62%
	
Explicação:
Como queremos calcular P(x < 150), para obter essa probabilidade precisamos em primeiro lugar calcular o valor de z que corresponde a x = 150. Para isso, faremos uso da fórmula z = (xi - Média) / Desvio Padrão:
z = (1,50 - 1,55) / 0,45
z = 0,05 / 0,45
z = 0,11
Conforme dado no problema, z = 0,11 corresponde a 0,0438. Com isso, P(1,50 < x < 1,55) = 4,38%.
Nas distribuições normais a probabilidade de um valor estar abaixo da média é de 50%. Daí, para calcular a probabilidade de ter um aluno com estatura abaixo de 1,50 metros é preciso fazer 50% - 4,38% = 45,62%.
	
		as alturas de determinados alunos de uma turma são normalmente distribuídas com média 1,55 m e desvio padrão 0,45 m. Encontre a probabilidade de um aluno ter estatura abaixo de 1,50 metros. OBS: consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 0,11) = 0,00438.
	
	
	
	21,23%
	
	
	71,23%
	
	
	28,77%
	
	
	12,35%
	
	
	45,62%
	
Explicação:
Como queremos calcular P(x < 150), para obter essa probabilidade precisamos em primeiro lugar calcular o valor de z que corresponde a x = 150. Para isso, faremos uso da fórmula z = (xi - Média) / Desvio Padrão:
z = (1,50 - 1,55) / 0,45
z = 0,05 / 0,45
z = 0,11
Conforme dado no problema, z = 0,11 corresponde a 0,0438. Com isso, P(1,50 < x < 1,55) = 4,38%.
Nas distribuições normais a probabilidade de um valor estar abaixo da média é de 50%. Daí, para calcular a probabilidade de ter um aluno com estatura abaixo de 1,50 metros é preciso fazer 50% - 4,38% = 45,62%.
		Na Distribuição Normal, a área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1. A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor menor do que zero é 0,5 e maior do que zero é 0,5. Qual probabilidade de ocorrer um valor MAIOR que z = 1,1?
(Na tabela da área sob a curva normal consta o valor 0,364 (36,4%) para z=1,1).
	
	
	
	11,6%
	
	
	36,6%
	
	
	13,6%
	
	
	26,6%
	
	
	18,6%
	
Explicação: 50 - 36,4 = 13,6%
	
		Dada o valor da Tabela da Distribuição Normal onde se encontra a probabilidade de P(0 ≤ Z ≤ 2,60) = 0,4953. Determine a probabilidade para Z ≥ 2,60.
	
	
	
	0,5
	
	
	0,9953
	
	
	1
	
	
	0,0047
	
	
	0,4953
	
Explicação:
Como o valor tabelado fornece o valor (0 ≤ Z ≤ x), e deseja-se calcular o valor para Z ≥ x, fazemos a seguinte conta: 0,5 - 0,4953 = 0,0047.
		Uma determinada variável contínua X possui média 13,52 e desvio padrão de 5,76. Qual o valor do escore z para X = 22,15 ?
	
	
	
	- 1,9803
	
	
	2,0124
	
	
	1,9803
	
	
	1,4983
	
	
	- 1,4983
	
Explicação:
Para calcular o valor de z que corresponde a x = 22,15, basta fazer uso da fórmula:
z = (xi - Média) / Desvio Padrão:
z = (22,15 ¿ 13,52) / 5,76
z = 8,63 / 5,76
z = 1,4983
		Consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 3) = 0,4987. Sabendo disso, determine a probabilidade para Z ≥ 3.
	
	
	
	0,5
	
	
	0,0013
	
	
	0,9987
	
	
	0,4987
	
	
	1
	
Explicação:
Como o valor tabelado fornece o valor (0 ≤ Z ≤ x), e deseja-se calcular o valor para Z ≥ x, fazemos a seguinte conta: 0,5 - 0,4987 = 0,0013.
		Distribuição Normal é utilizada em Estatística em diversas pesquisas. Podemos conhece-la também por uma Distribuição relacionada a um grande Matemático. Logo, marque a opção correta:
	
	
	
	Distribuição Gaussiana
	
	
	Distribuição de Testes de Hipóteses
	
	
	Distribuição Paramétricas
	
	
	Distribuição Contínua
	
	
	Distribuição de Poisson
		As alturas dos alunos de uma turma são normalmente distribuídas com média 1,55 m e desvio padrão 0,45 m. Encontre a probabilidade de um aluno ter estatura acima de 1,80 metros.
OBS: consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 0,56) = 0,2123.
	
	
	
	12,35%
	
	
	35,18%
	
	
	28,77%
	
	
	71,23%
	
	
	21,23%
	
Explicação:
Deseja-se calcular P (X ≥ 1,80).
Para isso, utilizamos a fórmula Z = (X - Média) / Desvio Padrão.
Z = (1,80 -1,55) / 0,45
Z = 0,25 / 0,45
Z = 0,56
Ou seja, P (X ≥ 1,80) = P (Z ≥ 0,56)
O enunciado nos fornece que P(0 ≤ Z ≤ 0,56) = 0,2123.
Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.
Então, para calcular a probabilidade de ter um aluno com estatura acima de 1,80 metros é preciso fazer 50% - 21,23% = 28,77%.
		Na Distribuição Normal, a área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1. A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor menor do que zero é 0,5 e maior do que zero é 0,5. Qual probabilidade de ocorrer um valor maior que z = 1,5? (Na tabela da área sob a curva normal consta o valor 0,4332 para z=1,5).
	
	
	
	6,68%
	
	
	16,68%
	
	
	43,32%
	
	
	26,68%
	
	
	13,32%
		Os pesos dos funcionários da empresa KHOMEBEN seguem uma distribuição normal com média 60 kg e desvio padrão 10 kg. Então, o valor padronizado de z (escore-z) de um funcionário que pesa 70 kg é:
	
	
	
	1,5
	
	
	2,5
	
	
	2,0
	
	
	0,5
	
	
	1,0
		Para uma variável contínua X, que admite uma distribuição normal de probabilidades, sabemos que a média é 100 e que o valor de z para x = 120 é 2,00. Assim, o desvio padrão dessa variável será:
	
	
	
	30
	
	
	25
	
	
	20
	
	
	15
	
	
	10
	
Explicação:
Com os dados da questão, para calcular o desvio padrão ¿s¿ iremos fazer uso da fórmula z = (xi - Média) / Desvio Padrão.
Substituindo na fórmula fica assim:
2 = (120 - 100) / s
2s = 20
s = 20 / 2
s = 10
		As alturas dos alunos de uma turma são normalmente distribuídas com média 1,55 m e desvio padrão 0,45 m. Encontre a probabilidade de um aluno ter estatura abaixo de 1,50 metros.
OBS: consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que:
P(0 ≤ Z ≤ 0,11) = 0,00438.
	
	
	
	28,77%
	
	
	71,23%
	
	
	12,35%
	
	
	45,62%
	
	
	21,23%
	
Explicação:
Deseja-se calcular P (X ≤ 1,50).
Para isso, utilizamos a fórmula Z = (X - Média) / Desvio Padrão.
Z = (1,50 -1,55) / 0,45
Z = -0,05 / 0,45
Z = -0,11
Ou seja, P (X ≤ 1,50) = P (Z ≤ -0,11)
O enunciado nos fornece que P(0 ≤ Z ≤ 0,11) = 0,00438.
Devido a simetria da Distribuição Normal temos que:
 P(-0,11 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 0,11)
Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.
Então, para calcular a probabilidade de ter um aluno com estatura abaixo de 1,50 metros é preciso fazer 50% - 4,38% = 45,62%.
		Consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 2,80) = 0,4974. Sabendo disso, determine a probabilidade para Z ≤ 2,80.
	
	
	
	0,0026
	
	
	0,4974
	
	
	0,5
	
	
	0,9974
	
	
	1
	
		Na Distribuição Normal, a área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1. A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor menor do que zero é 0,5 e maior do que zero é 0,5. Qual probabilidadede ocorrer um valor maior que z = 1,8? (Na tabela da área sob a curva normal consta o valor 0,4641 para z=1,8).
	
	
	
	46,41%
	
	
	3,59%
	
	
	13,59%
	
	
	16,41%
	
	
	23,59%
		Dada o valor da Tabela da Distribuição Normal onde se encontra a probabilidade de P(0 ≤ Z ≤ 2,50) = 0,4938. Determine a probabilidade para Z ≥ 2,50.
	
	
	
	0,0062
	
	
	1
	
	
	0,4938
	
	
	0,5
	
	
	0,9938
	
Explicação:
Como o valor tabelado fornece o valor (0 ≤ Z ≤ x), e deseja-se calcular o valor para Z ≥ x, fazemos a seguinte conta: 0,5 - 0,4938 = 0,0062.
		A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da Estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. A configuração da curva é dada por dois parâmetros:
	
	
	
	a média e a mediana
	
	
	a moda e a variância
	
	
	a média e a variância
	
	
	a moda e a mediana
	
	
	a média e a moda
		Seja X uma variável contínua com distribuição normal padrão. Se a probabilidade P para X pertencente ao intervalo [0; a] é tal que P (X) = 43%, então, a probabilidade P(X>a) será igual a:
	
	
	
	7%
	
	
	14%
	
	
	57%
	
	
	43%
	
	
	93%
	
Explicação:
Nas distribuições normais padronizadas a probabilidade de um valor estar acima de zero (média) é de 50%. Daí, para calcular a probabilidade de ter um valor acima de 43% é preciso fazer 50% - 43% = 7%.
		As alturas de 50 funcionários de uma fábrica são normalmente distribuídas com média 1,60 m e desvio padrão 0,55 m. Encontre o número aproximado de funcionários com menos de 1,50 metros.
OBS: consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 0,18) = 0,0714.
	
	
	
	18 funcionários
	
	
	16 funcionários
	
	
	13 funcionários
	
	
	19 funcionários
	
	
	21 funcionários
	
Explicação:
Deseja-se calcular P (X ≤ 1,50).
Para isso, utilizamos a fórmula Z = (X - Média) / Desvio Padrão.
Z = (1,50 -1,60) / 0,55
Z = -0,10 / 0,55
Z = -0,18
Ou seja, P (X ≤ 1,50) = P (Z ≤ -0,18)
O enunciado nos fornece que P(0 ≤ Z ≤ 0,18) = 0,0714.
Devido a simetria da Distribuição Normal temos que:
 P(-0,18 ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ 0,18)
Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.
Então, para calcular a probabilidade de ter um funcionário com estatura abaixo de 1,50 metros é preciso fazer 50% - 7,14% = 42,86%.
O número de funcionários com altura inferior a 1,50 metros é de:
50 x 0,4286 = 21,43, ou seja, 21 funcionários.
		Após analisar a Tabela da Distribuição Normal identificou-se que P(0 ≤ Z ≤ 0,51) = 0,1950. Em vista disso, a probabilidade de Z ≥ 0,51, em termos percentuais, é de:
	
	
	
	30,50%
	
	
	20,50%
	
	
	10,50%
	
	
	50,50%
	
	
	40,50%
		a Distribuição Normal, a área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1 (100%). A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor menor do que zero é 0,5 (50%) e maior do que zero é 0,5 (50%). Qual probabilidade de ocorrer um valor MAIOR que z = 1,9?
(Na tabela da área sob a curva normal consta o valor 0,471 (47,1%) para z=1,9).
	
	
	
	7,19%
	
	
	47,19%
	
	
	12,9%
	
	
	2,9%
	
	
	22,9%
		A mais importante distribuição de probabilidade contínua em todo o domínio da estatística é a distribuição normal. Seu gráfico, chamado de curva normal, é uma curva em forma de sino que, aproximadamente, descreve muitos fenômenos que ocorrem na natureza, indústria e pesquisa. A distribuição normal é muitas vezes chamada de?
	
	
	
	Distribuição de Poisson.
	
	
	Distribuição discreta.
	
	
	Distribuição de Bernoulli.
	
	
	Distribuição de Gauss.
	
	
	Distribuição binomial.
	
Explicação:
A distribuição normal é muitas vezes chamada de distribuição de Gauss.
		Na Distribuição Normal, a área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1. A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor menor do que zero é 0,5 e maior do que zero é 0,5. Qual probabilidade de ocorrer um valor maior que z = 1,7? (Na tabela da área sob a curva normal consta o valor 0,4554 para z=1,7).
	
	
	
	14,46%
	
	
	15,54%
	
	
	45,54%
	
	
	24,46%
	
	
	4,46%
		As alturas dos alunos de uma turma são normalmente distribuídas com média 1,55 m e desvio padrão 0,45 m. Encontre a probabilidade de um aluno ter estatura acima de 1,80 metros.
OBS: consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 0,56) = 0,2123.
	
	
	
	21,23%
	
	
	71,23%
	
	
	35,18%
	
	
	12,35%
	
	
	28,77%
		Na Distribuição Normal, a área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1 (100%). A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor menor do que zero é 0,5 (50%) e maior do que zero é 0,5 (50%). Qual probabilidade de ocorrer um valor MAIOR que z = 1,9?
(Na tabela da área sob a curva normal consta o valor 0,471 (47,1%) para z=1,9).
	
	
	
	7,19%
	
	
	47,19%
	
	
	12,9%
	
	
	2,9%
	
	
	22,9%
		Na Distribuição Normal, a área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1 (100%). A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor menor do que zero é 0,5 (50%) e maior do que zero é 0,5 (50%). Qual probabilidade de ocorrer um valor MAIOR que z = 1,9?
(Na tabela da área sob a curva normal consta o valor 0,471 (47,1%) para z=1,9).
	
	
	
	7,19%
	
	
	47,19%
	
	
	12,9%
	
	
	2,9%
	
	
	22,9%
	
Explicação: 50 - 47,1 = 2,9%
		uma determinada variável contínua X possui média 13,52 e desvio padrão de 5,76. Qual o valor do escore z para X = 22,15 ?
	
	
	
	1,4983
	
	
	- 1,4983
	
	
	2,0124
	
	
	1,9803
	
	
	- 1,9803
	
Explicação:
Para calcular o valor de z que corresponde a x = 22,15, basta fazer uso da fórmula:
z = (xi - Média) / Desvio Padrão:
z = (22,15 ¿ 13,52) / 5,76
z = 8,63 / 5,76
z = 1,4983
		Dada o valor da Tabela da Distribuição Normal onde se encontra a probabilidade de P(0 ≤ Z ≤ 2,60) = 0,4953. Determine a probabilidade para Z ≥ 2,60.
	
	
	
	0,0047
	
	
	0,5
	
	
	0,4953
	
	
	0,9953
	
	
	1
	
Explicação:
Como o valor tabelado fornece o valor (0 ≤ Z ≤ x), e deseja-se calcular o valor para Z ≥ x, fazemos a seguinte conta: 0,5 - 0,4953 = 0,0047.
		onsultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 2,70) = 0,4965. Sabendo disso, determine a probabilidade para Z ≤ 2,70.
	
	
	
	0,0035
	
	
	1
	
	
	0,4965
	
	
	0,5
	
	
	0,9965
Como o valor tabelado fornece o valor (0 ≤ Z ≤ x), e deseja-se calcular o valor para Z ≤ x, fazemos a seguinte conta: 0,5 + 0,4965 = 0,9965
		Na Distribuição Normal, a área total sob a curva normal vale 1. Isto significa que a probabilidade de ocorrer qualquer valor real é 1. A curva é simétrica em torno da média zero. Então a probabilidade de ocorrer valor menor do que zero é 0,5 e maior do que zero é 0,5. Qual probabilidade de ocorrer um valor MENOR que z = 1,1?
(Na tabela da área sob a curva normal consta o valor 0,364 (36,4%) para z=1,1).
	
	
	
	36,4%
	
	
	26,4%
	
	
	86,4%
	
	
	18,4%
	
	
	11,4%
	
Explicação: 50 + 36,4 = 86,4%
		Consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 3) = 0,4987. Sabendo disso, determine a probabilidade para Z ≥ 3.
	
	
	
	0,9987
	
	
	1
	
	
	0,4987
	
	
	0,5
	
	
	0,0013
	
Explicação:
Como o valor tabelado fornece o valor (0 ≤ Z ≤ x), e deseja-se calcular o valor para Z ≥ x, fazemos a seguinte conta: 0,5 - 0,4987 = 0,0013.
		Consultando a Tabela da Distribuição Normal verifica-se que P(0 ≤ Z ≤ 2,80) = 0,4974. Sabendo disso, determine a probabilidade para Z ≤ 2,80.
	
	
	
	1
	
	
	0,0026
	
	
	0,5
	
	
	0,9974
	
	
	0,4974
	
Explicação:Como o valor tabelado fornece o valor (0 ≤ Z ≤ x), e deseja-se calcular o valor para Z ≤ x, fazemos a seguinte conta:  0,5 + 0,4974 = 0,9974.