exercico calculo 1

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08/04/2019 EPS: Alunos
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 1a Questão
Para mostrar que existe uma raiz da equação 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 entre 1 e 2 devermos utilizar um determinado teorema que
supõe que seja f contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja
diferente de f (b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) = N . Podemos afirmar que:
 
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Medio e a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1,2).
O teorema descrito é o Teorema do Valor Médio e a equação não tem raiz c no intervalo (1,2).
 O teorema descrito é o Teorema de Rolle e a equação não tem uma raiz c no intervalo (1,2).
 O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1,2).
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação não tem uma raiz c no intervalo (1,2).
 
 
Explicação:
O teorema descrito é o Teorema do Valor intermediário que garante que supondo f contínua em um intervalo fechado [a,b] e seja N
um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja diferente de f (b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) = N .
Queremos encontrar um c entre 1 e 2, tal que f (c) = 0.Tomando a = 1 e b = 2 e N = 0, pelo Teorema do Valor intermediário,
temos:
 f (1) = −1 < 0
 f (2) = 12 > 0:
 Logo, f (1) < 0 < f (2), isto é N = 0 é um número entre f (1) e f (2). Como f é contínua, por ser um polinômio, o TVI afirma que
existe um número c entre 1 e 2 tal que f (c) = 0. Em outras palavras, a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2).
 
 
 2a Questão
Supondo que um certo fenômeno físico é descrito pela equaçao, definida a seguir. Utilize o Teorema do valor Intermediário, para
verificar que a equação 2 x 4 - 9 x 2 + 4 = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 , 1 ) .
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f =
R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
f é contínua em [0,1].
f(0) > 0
f(1) >0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da
equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
 Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f =
R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
f é contínua em [0,1].
f(0) = 4 > 0
f(1) = -3 < 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da
equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f nao é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f
= R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
f nao é contínua em [0,1].
f(0) > 0
f(1) > 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da
equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f =
R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
f nao é contínua em [0,1].
f(0) < 0
f(1) < 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da
equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f =
R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
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f nao é contínua em [0,1].
f(0) = 4 > 0
f(1) = -3 < 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da
equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
 
 
 3a Questão
Para demonstrar que a equação x3 + x - 1 = 0 existe uma raiz entre 0 e 1 devemos:
 Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é descontínua, não é uma função polinomial, f (0) = 1 e f (1) = 1, logo
existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua, é uma função polinomial, f (0) = 2 e f (1) = 1, logo
não existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é contínua, é uma função polinomial, f (0) = 1 e f (1) = - 3, logo existe
um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é descontínua, é uma função polinomial, f (0) = 2 e f (1) = 1,
logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
 Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua , é uma função polinomial, f (0) = - 1 e f (1) = 1, logo
existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
 
 
Explicação:
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário podemos afirmar que f é contínua pois é uma função polinomial, f (0) = -1 e f
(1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
 
 
 4a Questão
O fólio de Descartes é representado pela expressão .
Encontre 
 
 
 
 
 5a Questão
Calcule a derivada de cada função f(x) = e sen x
 f´(x) = cos x e sen x
f´(x) = e
x3 + y3 = 6xy
dy
dx
=dy
dx
x2
y2 − 2x
=dy
dx
2y3 − x2
y2 − 2x
=dy
dx
2y + x2
y2 + 2x
=dy
dx
2y3 − x2
y − 2x
=dy
dx
2y − x2
y2 − 2x
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f´(x) = -e sen x
f´(x) = - cos x e sen x
Nenhuma das respostas anteriores
 
 
 6a Questão
O Teorema de Rolle é definido como:
 Seja f uma função descontínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b).
Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0.
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b).
Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) diferente de zero.
Nenhuma das respostas anteriores
 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b).
Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0.
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja não diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b).
Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0.
 
 
 7a Questão
Seja f a função polinomial definida pela equação f(x) = x5 - 2 x3 -1. Usando o teorema do valor intermediário podemos afirmar que
existe uma raiz de f(x) entre
 Não existe raiz real
Só possui raiz complexa.
zero é a única raiz
Nenhuma das repostas anteriores
 1,5 e 1,6
 
 
 8a Questão
Dada a equação e , calcule quando .
2
 6
- 6
- 2
 5
y = 3x + 5 = 2dx
dt
dy
dt
x = 1