Função Afim e Quadrática

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Unidade II
Unidade II
3 FUNÇÃO AFIM E FUNÇÃO QUADRÁTICA
3.1 Função afim ou de 1º grau
Figura 5 
É uma relação matemática que serve para modelar como ocorre a dependência entre duas variáveis. 
Muitas situações do nosso cotidiano podem ser modeladas através de uma função afim. Você já se 
perguntou como é feita a cobrança da corrida de táxi, ou do consumo de água, ou de energia elétrica, 
ou, ainda, o número de pizzas vendidas numa pizzaria em função do preço de cada uma? Todas essas 
situações podem ser modeladas por funções do 1º grau.
Figura 6 – Conta de água
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TÓPICOS DE MATEMÁTICA
 Saiba mais
Saiba mais sobre função afim na dissertação O Geogebra. O autor propõe 
a aprendizagem da função afim com o auxílio do software de mesmo nome:
ARAÚJO, W. A. de. O Geogebra: uma experimentação na abordagem 
da função afim. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Naturais 
e Matemática) – Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2014. 
Disponível em: https://ri.ufs.br/bitstream/riufs/5081/1/WELLINGTON_
ALVES_ARAUJO.pdf. Acesso em: 2 ago. 2019.
3.1.1 Lei e gráfico da função afim
A lei de uma função afim é f(x) = ax + b, onde a ∈  e b ∈ 
 Observação
O símbolo matemático ∈ significa “pertence” e o símbolo * significa 
conjunto dos números reais, com exceção do zero. Logo, a ∈ * significa que 
o número a pertence ao conjunto dos reais excluindo o zero.
O gráfico de uma função afim é uma reta. Todo ponto é um par ordenado (x, y), a coordenada x é 
denominada abscissa e a coordenada y chama‑se ordenada.
O domínio e a imagem de uma função afim, geralmente, exceto pelo contexto, são o conjunto dos 
números reais.
 Observação
Domínio é o conjunto dos valores que a incógnita x pode assumir. 
O conjunto imagem consiste nos valores que y pode assumir.
O coeficiente a da lei de formação f(x) = ax + b é denominado coeficiente angular ou taxa de 
variação, esse número está associado à inclinação da reta.
A função f(x) = 2x + 3 está representada no gráfico a seguir. O coeficiente angular vale 2 e podemos 
perceber que a reta é crescente.
https://ri.ufs.br/bitstream/riufs/5081/1/WELLINGTON_ALVES_ARAUJO.pdf
https://ri.ufs.br/bitstream/riufs/5081/1/WELLINGTON_ALVES_ARAUJO.pdf
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Unidade II
Figura 7 – Gráfico da função afim crescente
Quando uma função afim tem coeficiente angular a positivo, seu gráfico é uma reta crescente, como 
pode ser visto.
A função g(x) = –x + 2 está representada no gráfico a seguir. O coeficiente angular vale −1, porém 
agora a reta é decrescente.
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TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Figura 8 – Gráfico de uma função afim decrescente
Por outro lado, se o coeficiente angular a é negativo, o gráfico é uma reta decrescente, como pôde 
ser visto.
O coeficiente angular ou a taxa de variação pode ser interpretado como a variação em y a cada 
aumento de uma unidade em x. Exemplo: na função f(x) = 2x + 3, a taxa de variação a = 2 indica que, 
para aumento de 1 em x, y aumentará 2.
Outro exemplo: na função g(x) = –x + 2, a taxa de variação a = −1 indica que para aumento de 1 em 
x, y aumentará −1 (diminuirá 1).
82
Unidade II
A taxa de variação a pode ser calculada como a razão entre a variação em y pela variação em x:
A B
A B
y y y
a
x x x
∆ −
= =
∆ −
 Lembrete
Todo ponto é um par ordenado (x, y), a coordenada x é denominada 
abscissa e a coordenada y chama‑se ordenada.
Observamos que a reta do primeiro gráfico passa pelos pontos A(0,3) e B(1,5).
Aqui, temos:
A
A
x 0
Para A (0,3): 
y 3
=
 =
 e B
B
x 1
para B (1,5): 
y 5
=
 =
Podemos obter a taxa de variação:
A B
A B
y y y 3 5 2
a 2
x x x 0 1 1
∆ − − −
= = = = =
∆ − − −
O coeficiente b da lei de formação f(x) = ax + b é denominado coeficiente linear da reta, 
geometricamente é o valor em que ela intercepta o eixo y.
Assim, para obter o coeficiente linear b da função afim, devemos observar no gráfico em qual valor 
a reta corta o eixo y, caso tenhamos o gráfico ou, caso tenhamos apenas a lei da função, calculando o 
valor numérico da função, substituindo x = 0
( )
( )
( )
f 0 a 0 b
f 0 0 b
f 0 b
= ⋅ +
= +
=
Por exemplo, na função afim f(x) = 2x + 3, calculando o seu valor numérico para x = 0, obteremos o 
coeficiente angular 3, vejamos:
( )
( )
( )
f 0 2 0 3
f 0 0 3
f 0 3
= ⋅ +
= +
=
83
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Como f (0) = b, então b = 3. Outro modo de determinar o coeficiente linear seria observar no 
primeiro gráfico que a reta intercepta o eixo y em 3, logo b = 3
Quando uma função afim tem coeficiente linear nulo, denominaremos função linear. A função linear 
relaciona grandezas proporcionais. Diante de uma função afim, também é importante saber identificar 
sua raiz ou zero da função; para determiná‑la, basta resolver a equação f(x) = 0. Especificamente para 
uma função afim, teremos:
( )f x 0
ax b 0
ax b
b
x
a
=
+ =
= −
= −
Isto é, uma função afim f(x) = ax + b possui raiz b
a
− . Note que a raiz da função nada mais é que o 
valor que x deve assumir para que a função tenha valor numérico nulo:
b
f 0
a
 − = 
 
Na função f(x) = 2x + 3, obteremos a raiz igualando‑a a zero:
( )f x 0
2x 3 0
2x 3
3
x
2
=
+ =
= −
= −
Logo, a função f(x) = 2x + 3 possui raiz 
3
x
2
= −
 Lembrete
Uma função afim é da forma f(x) = ax + b, assim o coeficiente angular 
a é sempre quem multiplica a incógnita x, e o coeficiente linear b é o termo 
independente de x.
Diante dos conceitos aqui explanados, devemos ser capazes de construir o gráfico de uma função 
afim a partir de sua lei. Aproveitando a função f(x) = 2x + 3, já obtivemos que ela tem coeficiente 
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Unidade II
linear b (intersecção com o eixo y) igual a 3 e raiz (intersecção com o eixo x) igual a 3
2
− , assim, a 
 
função interceptará o eixo das ordenadas (eixo y) no 3 e o eixo das abscissas (eixo y) no 
3
2
− . Conforme 
o gráfico:
Figura 9 – Gráfico da função afim f(x) = 2x + 3
 Observação
Para a resolução de sistemas de equações, podemos usar o método da 
adição, que consiste em multiplicar uma das equações ou, se necessário, 
as duas equações por números reais, de modo que os coeficientes de uma 
mesma incógnita sejam opostos. Então, ao somar as equações, obtém‑se 
uma equação com uma única incógnita.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Também podemos nos deparar com outro tipo de problema: dado o gráfico de uma reta, obter a lei 
da função afim.
85
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Figura 10 – Gráfico de uma função afim de lei f(x) = ax + b
Resolução
Sempre que conveniente, podemos trocar f(x) por y, sabemos também que a lei de uma função que 
tem por gráfico uma reta é f(x) = y = ax + b, e que os pontos/pares ordenados (x; y) A (−1; 2) e B (3; −2) 
pertencem à reta. Então, devemos substituir esses pontos na lei da função.
Sendo A(−1; 2), substituindo x por −1 e y por 2 em y = ax + b, teremos:
( )2 a 1 b
2 a b
= ⋅ − +
= − +
Sendo B(3; −2), substituindo x por 3 e y por −2 em y = ax + b, teremos:
2 a 3 b
2 3a b
− = ⋅ +
− = +
Resolveremos o sistema linear 
a b 2
3a b 2
− + =
 + = −
 pelo método da adição.
Multiplicaremos a primeira equação por −1 e somaremos as duas equações:
( ) I+IIa b 2 1 a b 2 (I) 4
4a 4 a a 1
3a b 2 (II) 43a b 2
− + = ⋅ − − = − − ⇒ ⇒ = − ⇒ = ⇒ = −  + = −+ = − 
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Unidade II
Substituindo a = −1 em qualquer uma das equações do sistema linear, escolheremos a primeira 
equação –a + b = 2, por parecer um pouco mais simples que 3a + b = −2; obteremos:
( )1 b 2
1 b 2
b 2 1
b 1
− − + =
+ =
= −
=
Assim, o gráfico anterior tem lei f(x) = –x + 1
Note que poderíamos ter observado diretamente no gráfico que b = 1, já que a reta intercepta o eixo 
y em 1, então substituiríamos b = 1 em alguma das equações do sistema, dessa vez podemos escolher a 
segunda equação; ficará assim:
3a 1 2
3a 2 1
3a 3
3
a
3
a 1
+ = −
= − −
= −
−
=
= −
Exemplo 2
Classifique cada uma das funções afins como crescente ou decrescente.
a) f(x) = 2x + 3
b) f(x) = −3x + 4
c) ( ) 5
2
f x x= − −
Resolução
a) a = 2 → a > 0 → função crescente.
b) a = –3 →a < 0 → função decrescente.
c) a = −1 → a < 0 → função decrescente.
Exemplo 3
Para cada uma das funções afins, identifique o coeficiente angular a e o coeficiente linear b.
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TÓPICOS DE MATEMÁTICA
a) f(x) = 5x – 2
b) f(x) = −x + 4
c) f(x) = x
Resolução
a) Assim, em f(x) = 5x − 2 temos coeficiente angular a = 5 e coeficiente linear b = −2
b) Em f(x) = −x + 4 temos coeficiente angular a = −1 e coeficiente linear b = 4
c) Em f(x) = x temos coeficiente angular a = 1 e coeficiente linear b = 0. Aqui vale observar que, 
como o coeficiente linear b é nulo, temos uma função linear. Essa função f(x) = x, especificamente, 
chama‑se função identidade.
Exemplo 4
Construa o gráfico da função 
x 5
y
2 4
= − +
Resolução
Observe que aqui utilizamos y em vez de f(x). Podemos utilizar uma ou outra notação conforme 
for conveniente. Dois pontos distintos são suficientes para delimitar uma reta, aqui obteremos as 
intersecções com os eixos x e y.
Obteremos a intersecção com o eixo y fazendo x = 0 em 
x 5
y
2 4
= − +
0 5
y
2 4
5
y
4
= − +
=
O que significa que a reta corta o eixo y (tem coeficiente linear) em 
5
4
, isto é, um dos pontos da reta 
é o par ordenado 
5
0;
4
 
 
 
Podemos obter a intersecção com o eixo x (raiz ou zero da função) substituindo y = 0 em 
x 5
y
2 4
= − +
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Unidade II
x 5
0
2 4
x 5
2 4
x 4 2 5
4x 10
10 5
x x
4 2
= − +
=
⋅ = ⋅
=
= ⇒ =
O que significa que a reta corta o eixo x (tem raiz) em 
5
2
, isto é, um dos pontos da reta é o par 
ordenado 
5
,0
2
 
 
 
.
Marcando esses dois pontos no plano cartesiano e traçando a reta que os contém, obtemos:
Figura 11 – Gráfico da função afim 
x 5
y
2 4
= − +
Observe que, como esperado, o gráfico é uma reta decrescente, já que o coeficiente angular a é negativo.
Podemos concluir também que, como a função não tem condição de existência, x pode assumir 
qualquer valor real, formalizando matematicamente: o domínio D da função é o conjunto dos reais.
D = 
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TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Sobre os valores que y assume, observamos graficamente que a reta possui pontos que têm 
ordenadas (valores de y) variando do infinito negativo ao infinito positivo, então, a imagem Im da 
função x 5y
2 4
= − + é o conjunto dos reais.
Im = 
Exemplo 5
Obtenha a lei da função afim que tem o seguinte gráfico.
Figura 12 – Gráfico de função afim com dois pontos destacados
Resolução (modo 1)
Sabemos que a lei de uma função afim é f(x) = y = ax + b, então obtê‑la é determinar os coeficientes a e b.
Devemos lembrar que o coeficiente a é denominado coeficiente angular ou taxa de variação. Pois 
bem, essa última é obtida como a razão entre a variação em y e a variação em x. Obtemos:
( )
A B
A B
y
a
x
y y
a
x x
1 2
a
2 1,5
3 30 6
a
3,5 35 7
∆
=
∆
−
=
−
− −
=
− −
− −
= = = −
90
Unidade II
Agora que já obtivemos 
6
a
7
= − , obteremos o coeficiente linear b substituindo‑o juntamente de um 
 
dos dois pontos A ou B na lei da função; escolheremos o ponto A:
y a x b
6
1 2 b
7
12
1 b
7
12
1 b
7
5
b
7
= ⋅ +
− = − ⋅ +
− = − +
− + =
=
Assim, a lei da função é ( ) 6 5f x x
7 7
= − +
Resolução (modo 2)
Outra forma de obter a lei da função é substituindo os pontos A e B na lei da função.
Substituindo A (2; −1) em y = ax + b, temos: 1 a 2 b− = ⋅ +
Substituindo B (−1,5; 2) em y = ax + b, temos: ( )2 a 1,5 b= ⋅ − +
Devemos resolver o sistema de equações 
2a b 1
1,5a b 2
+ = −
− + =
Faremos pelo método da adição, multiplicando por (–1) a segunda equação:
( )
( )
( )
2a b 1 I2a b 1
1,5a b 2 1 1,5a b 2 II
 + = −+ = − ⇒ − + = ⋅ − − = −  
Somando as equações I e II, obteremos:
3,5a 3
3 30 6
a
3,5 35 7
= −
−
= = − = −
91
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
A partir daqui, deve‑se substituir 6a
7
= − e um dos pontos A ou B na lei da função para obter o 
 
coeficiente linear b, como foi feito no primeiro modo da resolução.
Exemplo 6
A cobrança pelo serviço de táxi é composta por uma tarifa fixa: a bandeirada de R$ 4,50 mais 
R$ 2,75 por quilômetro rodado. Faça o que se pede:
a) Escreva a lei da função que nos dá o valor y a ser cobrado pela corrida em função do número x de 
quilômetros rodados.
b) Quanto custará uma corrida de 23 km?
c) Se um passageiro pagou R$ 51,25 por uma corrida, qual foi a distância percorrida, em quilômetros?
Resolução
a) Transcrevendo da linguagem usual para a linguagem matemática, obtemos:
y 4,50 2,75 x= + ⋅
b) Como x é o número de quilômetros rodados, na lei y 4,50 2,75 x= + ⋅ , obtida no item a, 
substituiremos x por 23, então:
y 4,50 2,75 x
y 4,50 2,75 23
y 67,75
= + ⋅
= + ⋅
=
Uma corrida de 23 km custará R$ 67,75.
c) Sendo y o valor a ser cobrado, agora substituiremos y por 51,25 na lei obtida no item a:
51,25 4,50 2,75 x
51,25 4,50 2,75 x
46,75 2,75 x
46,75
x
2,75
4675
x 17
275
= + ⋅
− = ⋅
= ⋅
=
= =
A corrida foi de 17 km.
92
Unidade II
Exemplo 7
A seguir temos dados de uma conta de água de uma residência cujo consumo mensal foi 21 m³. 
A cobrança da água é feita respeitando faixas de consumo, conforme vemos. Vamos entender como se 
dá a cobrança.
Pelos primeiros 10 m³ consumidos, cobra‑se a tarifa mínima de R$ 25,00.
Do 11º ao 20º m³ consumidos, cobra‑se R$ 3,91 por m³.
Do 21º ao 50º m³ consumidos, cobra‑se R$ 9,77 por m³.
E do 51º m³ em diante, cobra‑se R$ 10,76 por m³.
Tabela 9 – Conta de água
Cálculo do valor da conta residencial por economia
Faixa 
consumo (m3)
Consumo (m3) 
por economia
Água
Tarifa (R$) Valor (R$)
Até 10 Mínimo 25,00 25,00
11 a 20 10 3,91 39,1
21 a 30 1 9,77 9,77 
31 a 50 9,77
Acima de 50 10,76
Total a pagar: 74,24
Assim, a residência que consumiu 21 m³ pagou R$ 25,00 pelos primeiros 10 m³ consumidos, 
10 × R$ 3,91 = R$ 39,10 do 11º ao 20º m³, e mais R$ 9,77 pelo 21º m³ consumido, totalizando 
R$ 74,24.
Contudo, determine:
a) Qual o valor a pagar por um consumo de 7 m³?
b) Qual o valor a pagar por um consumo de 18 m³?
c) Qual o valor a pagar por um consumo de 45 m³?
d) Qual o valor a pagar por um consumo de 84 m³?
e) A lei da função que dá o valor a ser cobrado f(x) em função do número x de m³ consumidos.
f) O gráfico da função obtida no item anterior.
93
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Resolução
a) Por 7 m³ paga‑se a tarifa mínima de R$ 25,00.
b) Uma residência que tenha consumido 18 m³ pagará: R$ 25,00 pelos primeiros 10 m³, mais 
8 × R$ 3,91 = R$ 31,28 do 11º ao 18º m³, totalizando R$ 25,00 + R$ 31,28 = R$ 56,28.
c) Uma residência que tenha consumido 45 m³ pagará R$ 25,00 pelos primeiros 10 m³, mais 10 × 
R$ 3,91 = R$ 39,10 do 11º ao 20º m³, mais 25 × R$ 9,77 = R$ 244,25 do 21º ao 45º m³, totalizando 
R$ 308,35.
d) Uma residência que tenha consumido 84 m³ pagará R$ 25,00 pelos primeiros 10 m³, mais 
10 × R$ 3,91 = R$ 39,10 do 11º ao 20º m³, mais 30 × R$ 9,77 = R$ 293,10 do 21º ao 50º m³, mais 
34 × R$ 10,76 = R$ 365,84, totalizando R$ 723,04.
e) Primeiramente devemos nos atentar que f(x) será uma função afim definida por mais de uma 
sentença devido às faixas de consumo. Assim, escreveremos a sentença de acordo com as faixas de 
consumo: se uma residência tem consumo x m³, onde x 10≤ , teremos:
f(x) = 25
Se uma residência tem consumo x m³, onde 10 x 20< ≤ , serão cobrados R$ 25,00 pelos primeiros 
10 m³ consumidos, mais R$ 3,91 por m³ excedente a partir do 10º, teremos:
( ) ( )
( )
( )
f x 25 x 10 3,91
f x 25 3,91x 39,1
f x 3,91x 14,1
= + − ⋅
= + −
= −
Se uma residência tem consumo x m³, onde 20 x 50< ≤ , serão cobrados R$ 25,00 pelos primeiros 
10 m³ consumidos, mais 10 × R$ 3,91 = R$ 39,10 do 11º ao 20º m³, e mais R$ 9,77 por m³ excedente a 
partir do 20º, teremos:
( ) ( )
( )
( )
f x 25 10 3,91 x 20 9,77
f x 25 39,1x 9,77x 195,4
f x 9,77x 131,3
= + ⋅ + − ⋅
= + + −
= −
Se uma residência tem consumo x m³, onde x > 50, serão cobrados R$ 25,00 pelos primeiros 10 m³ 
consumidos, mais R$ 39,10 do 11º ao 20º m³, mais 30 × R$ 9,77 = R$ 293,10 do 21º ao 50º m³, e mais 
R$ 10,76 por m³ excedente a partir do 50º, teremos:
94
Unidade II
() ( )
( )
( )
f x 25 39,1 293,1 x 50 10,76
f x 357,2 10,76x 538
f x 10,76x 180,8
= + + + − ⋅
= + −
= −
Então, ( )
25, se x 10
3,91x 14,1, se 10 x 20
f x
9,77x 131,3, se 20 x 50
10,76x 180,8, se x 50
≤
 − < ≤=  − < ≤
 − >
f) Dividiremos a construção do gráfico em quatro etapas, cada uma delas relativa a uma das sentenças.
Denominaremos If (x) 25, se x 10= ≤ à primeira sentença, notemos que If (x) é uma função constante, 
então seu gráfico será uma reta horizontal conforme mostra o gráfico da figura:
Figura 13 – Gráfico da primeira sentença: ( )If x 25, se x 10= ≤
95
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Denominaremos fII(x) à segunda sentença. Para construir o gráfico do segmento de reta que tem por 
domínio o intervalo ]10,20] (x pode assumir valores entre 10 e 20, incluindo o 20), obteremos os valores 
numéricos fII(10) e fII(20):
( )
( )
( )
II
II
II
f 10 3,91 10 14,1
f 10 39,1 14,1
f 10 25
= ⋅ −
= −
=
 e 
( )
( )
( )
II
II
II
f 20 3,91 20 14,1
f 20 78,2 14,1
f 10 64,1
= ⋅ −
= −
=
Então o segmento de reta correspondente à sentença fII(x), delimitado pelos pontos (10; 25) e (20; 64,1), 
conforme o gráfico a seguir:
Figura 14 – Gráfico da segunda sentença: ( )IIf x 3,91x 14,1, se 10 < x 20= − ≤
96
Unidade II
Assim como fizemos para as sentenças anteriores, chamaremos fIII(x) a terceira sentença. Para 
construir o gráfico do segmento de reta que tem por domínio o intervalo ]20, 50], obteremos os valores 
numéricos fIII(20) e fIII(50):
( )
( )
( )
III
III
III
f 20 9,77 20 131,3
f 20 195,4 131,3
f 20 64,1
= ⋅ −
= −
=
 e 
( )
( )
( )
III
III
III
f 50 9,77 50 131,3
f 50 488,5 131,3
f 50 357,2
= ⋅ −
= −
=
Então o segmento de reta correspondente à sentença fIII(x), delimitado pelos pontos (20; 64,1) e 
(50; 357,2), é conforme o gráfico a seguir:
Figura 15 – Gráfico da terceira sentença: ( )IIIf x 9,77x 131,3,se 20 < x 50= − ≤
97
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Enfim, chamaremos fIV(x) quarta e última sentença. Para construir o gráfico do segmento de reta 
que tem por domínio o intervalo ]50, +∞[, isto é, x > 50, obteremos os valores numéricos fIV(50) e fIV(60), 
sendo esse último escolhido aleatoriamente:
( )
( )
( )
IV
IV
IV
f 50 10,76 50 180,8
f 50 538 180,8
f 50 357,2
= ⋅ −
= −
=
 e 
( )
( )
( )
IV
IV
IV
f 60 10,76 60 180,8
f 60 645,6 180,8
f 60 464,8
= ⋅ −
= −
=
Então a semirreta correspondente à sentença fIV(x) tem origem no ponto (50; 357,2) passando pelo 
ponto (60; 464,8), conforme o gráfico a seguir:
Figura 16 – Gráfico da quarta sentença: ( )IVf x 10,76x 180,8, se x > 50= −
98
Unidade II
Enfim, podemos reunir num mesmo plano cartesiano todos os gráficos apresentados neste item, 
obtendo o seguinte gráfico da função f(x), definido por mais de uma sentença:
Figura 17 – Gráfico de ( )
25, se x 10
3,91x 14,1, se 10 < x 20
f x
9,77x 131,3, se 20 < x 50
10,76x 180,8, se x > 50
≤
 − ≤=  − ≤
 −Exemplo 8
Na figura, vemos um termômetro que nos mostra a temperatura em duas escalas diferentes: Celsius 
e Fahrenheit. Uma elevação de um grau Celsius é diferente de uma elevação de um grau Fahrenheit.
Figura 18 – Termômetro com escalas Celsius e Fahrenheit
99
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Os dois eixos apresentados na figura a seguir nos mostram a relação entre temperaturas nas duas 
escalas de medida:
Figura 19 – Conversão das escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit
Podemos observar que 0 °C equivale a 32 °F, e 100 °C equivale a 212 °F; essas são as temperaturas 
de fusão e ebulição da água, respectivamente.
a) Escreva a fórmula que nos dá a temperatura em Fahrenheit em função da temperatura em Celsius.
b) Uma elevação de um grau Celsius equivale a qual elevação em grau Fahrenheit?
Resolução
a) Observando a figura anterior, podemos montar a seguinte proporção:
C 0 F 32
100 0 212 32
C F 32
100 180
C
180 F 32
100
9C
F 32
5
9C
32 F
5
− −
=
− −
−
=
⋅ = −
= −
+ =
b) Com a fórmula obtida no item anterior, podemos encontrar a temperatura equivalente em 
Fahrenheit a 1 °C:
100
Unidade II
9 1
F 32
5
9
F 32
5
F 1,8 32
F 33,8
⋅
= +
= +
= +
=
Do enunciado, sabemos que o ponto de fusão da água é 0 °C ou 32 °F. Obtivemos que 1 °C equivale 
a 33,8 °F; logo, uma elevação de 1 °C equivale a uma elevação de 1,8 °F.
 Saiba mais
Mais problemas que podem ser resolvidos com conhecimentos em 
função afim podem ser encontrados na dissertação “Resolução de problemas 
no ensino de função afim” disponível em:
AZEVEDO, R. S. de. Resolução de problemas no ensino de função afim. 
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Instituto de Matemática Pura e 
Aplicada, Rio de Janeiro, 2014. Disponível em: https://impa.br/wp‑content/
uploads/2016/12/ricardo_azevedo.pdf. Acesso em: 5 ago. 2019.
4 FUNÇÃO QUADRÁTICA OU DE 2º GRAU
No nosso cotidiano, muitos fenômenos podem ser modelados por uma função quadrática ou função 
do 2º grau, como a trajetória descrita no lançamento de um foguete, o arremesso de uma bola de 
basquete à cesta, o chute de uma bola de futebol ao gol, o jato de água de uma mangueira, a receita de 
uma pizzaria, um restaurante ou qualquer outro tipo de negócio, entre outros.
Figura 20 – Trajetória parabólica de um foguete
101
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Figura 21 – Trajetória parabólica de um jato de água de mangueira
A parábola é uma das cônicas estudadas na matemática. A parábola é uma cônica porque é obtida 
da intersecção de um cone com um plano, conforme podemos verificar na figura a seguir:
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbole
Figura 22 – As cônicas
102
Unidade II
4.1 Lei e gráfico da função quadrática
A lei de uma função quadrática é da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a ∈ *, b e c ∈ *, e pode ser 
resolvida pela fórmula de Bhaskara:
2bx , onde =b 4 a c
2a
− ± ∆
= ∆ − ⋅ ⋅
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, a qual pode ser côncava para cima ou para 
baixo, dependendo do sinal do coeficiente dominante a. Será côncava para cima no caso de a > 0, e 
côncava para baixo no caso de a < 0.
O coeficiente c é o valor numérico assumido pela função quando x = 0 (f(0) = c), assim, graficamente 
é o valor em que a parábola interceptará o eixo das ordenadas (eixo y).
A(s) intersecção(ões) com eixo das abscissas (eixo x) se dará na(s) raiz(ízes) da função, caso possua. 
Assim como na função afim, as raízes da função quadrática poderão ser obtidas resolvendo a equação 
f(x) = 0. Ficará assim:
( )
2
f x 0
ax bx c 0
=
+ + =
 Saiba mais
A fórmula de Bhaskara na verdade não foi descoberta pelo matemático 
de mesmo nome. Acesse:
SILVEIRA, J. F. P. da. Bhaskara descobriu a fórmula de Bhaskara? 1999. 
Disponível em: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/bhaka.html. Acesso em: 
5 ago. 2019.
O discriminante ∆ determinará o número de raízes da função quadrática:
• Se ∆ > 0, a função possuirá duas raízes reais distintas.
• Se ∆ = 0, a função possuirá uma única raiz real ou duas raízes iguais.
• Se ∆ < 0, a função não admitirá raízes reais.
Assim as possibilidades para o gráfico de uma função quadrática dependem do sinal do coeficiente 
dominante a e do discriminante ∆ e estão apresentadas a seguir.
103
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Discriminante (número de raízes)
∆ > 0 (2 raízes) ∆ = 0 (1 raiz) ∆ < 0 (nenhuma raiz)
Co
nc
av
id
ad
e
a 
> 
0 
(c
ôn
ca
va
 p
ar
a 
ci
m
a)
a 
< 
0 
(c
ôn
ca
va
 p
ar
a 
ba
ix
o)
Figura 23 – Concavidade e número de raízes
Na figura a seguir, temos o gráfico de f(x) = x² − 6x + 5, observe que é uma parábola côncava para 
cima, já que a = 1 (quando a > 0, a parábola é côncava para cima).
104
Unidade II
Figura 24 – Gráfico da função quadrática f(x) = x² − 6x + 5
A parábola da figura intercepta o eixo das ordenadas (eixo y) em 5 (c = 5), e o eixo x em dois pontos, 
isto é, possui duas raízes reais distintas x1 = 1 e x2 = 5. Então, esperamos que o discriminante ∆ seja 
maior que 0. Vamos verificar:
( )
2
2
b 4ac
6 4 1 5
36 20
16
∆ = −
∆ = − − ⋅ ⋅
∆ = −
∆ =
Como obtivemos ∆ > 0, conforme nossa expectativa,a função possui duas raízes reais distintas. Note 
também que há um ponto de mínimo, chamado vértice V, da parábola. Ele possui coordenadas (xv, yv), 
onde V
b
x
2a
= − e Vy 4a
∆
= − , que ainda podem ser obtidas diretamente fazendo 1 2V
x x
x
2
+
= , onde 
 
x1 e x2 são as raízes da função quadrática, caso as possua, e yv = f (xv), isto é, o yv, é o valor numérico da 
função quando substituímos na lei de formação f(x) = ax² + bx + c o x pelo valor de xv.
105
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
 Observação
A parábola é simétrica em relação a uma reta vertical que passa pelo 
vértice V, o seu eixo de simetria. Como o nome sugere, todos os elementos 
à direita do eixo de simetria têm seus respectivos simétricos à sua esquerda. 
O eixo de simetria pode ser útil na obtenção de pontos da parábola.
Figura 25 – Eixo de simetria da parábola
O vértice é o ponto de mínimo numa parábola côncava para cima (conforme observamos no gráfico 
da função quadrática f(x) = x² − 6x + 5); em uma parábola côncava para baixo, o vértice será ponto de 
máximo (conforme poderá ser visto na figura mais a seguir).
Uma função quadrática, exceto pelo contexto, não possui condição de existência, então costuma 
ter como domínio o conjunto dos reais, mas diferentemente da função afim, sua imagem está limitada 
em uma das extremidades pelo vértice. No gráfico da função quadrática f(x) = x² − 6x + 5, todos os 
pontos da parábola têm ordenadas maiores ou iguais a −4, fazendo com que a imagem da função seja 
Im(f) = [–4; + ∞[, isto é, y assume valores a partir de −4.
Diante de tudo o que vimos sobre função quadrática, nesse momento devemos ser capazes de 
construir uma boa parábola dada a sua lei. Então, construiremos o gráfico da função f(x) = −x² − x + 6
Combinaremos aqui que para a obtenção de uma parábola, devemos seguir alguns passos, conforme 
o que segue.
1º passo: intersecção com o eixo das ordenadas (y).
Sabemos que a parábola interceptará o eixo y no valor do coeficiente c. Como a função quadrática 
f(x) = −x² −x + 6 possui c = 6, temos que ela interceptará o eixo y em 6, assim o ponto (0; 6) pertence 
à parábola.
106
Unidade II
2º passo: intersecção com o eixo das abscissas (x)/raízes da função.
Aqui faremos o mesmo que fizemos com a função afim: para obter as raízes de uma função, basta 
igualá‑la a zero:
−x² − x + 6 = 0
Resolveremos a equação de 2º grau fazendo uso da fórmula de Bhaskara. Calcularemos primeiramente 
o discriminante:
∆ = b2 – 4 . a . c
Substituiremos a = −1, b = −1 e c = 6, obtendo:
( ) ( )21 4 1 6
1 24
25
∆ = − − ⋅ − ⋅
∆ = +
∆ =
Então, substituímos a = −1, b = −1 e c = 6 na fórmula resolutiva de equações de 2º grau:
( )
( )
1 2
b
x
2a
1 25
x
2 1
1 5 1 5 6 1 5 4
x x 3 ou x 2
2 2 2 2 2
− ± ∆
=
− − ±
=
⋅ −
± + − −
= ⇒ = = = − = = =
− − − − −
Assim a parábola admite raízes −3 e 2 interceptando o eixo x nesses valores. Então ela contém os 
pontos (−3; 0) e (2,0).
3º passo: obtenção do vértice.
Para obter o vértice da parábola, usaremos as fórmulas V
b
x
2a
= − e Vy 4a
∆
= − . Obtendo 
primeiramente o xv:
( )V
V
V
1
x
2 1
1
x
2
1
x
2
−
= −
⋅ −
−
= −
−
= −
107
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Agora calcularemos o yv:
( )
V
V
V
V
V
y
4a
25
y
4 1
25
y
4
25
y
4
25
y
4
∆
= −
= −
⋅ −
= −
−
 = − − 
 
=
Logo, concluímos que a parábola possui vértice 
1 25
;
2 4
 − 
 
, que também pode ser obtido fazendo:
1 2
V
V
V
V
x x
x
2
3 2
x
2
1
x
2
1
x
2
+
=
− +
=
−
=
= −
E para obter yv, podemos calcular o valor numérico da função quando x = xv, isto é:
yv = f(xv)
V
2
V
V
V
V
1
y f
2
1 1
y 6
2 2
1 1
y 6
4 2
1 2 24
y
4
25
y
4
 = − 
 
   = − − − − +   
   
= − + +
− + +
=
=
108
Unidade II
Concordando, obviamente, com o que já tínhamos obtido.
Agora, no gráfico a seguir, marcaremos no plano cartesiano os pontos obtidos até o momento, 
destacando cada um dos três passos e o eixo de simetria (reta vertical que passa pelo vértice da parábola):
Figura 26 – Pontos notáveis do gráfico da função f(x) = −x² − x + 6
Conforme dito anteriormente, pelo vértice passa um eixo de simetria, assim os elementos à sua 
direita têm simétricos à esquerda. Então intuímos que a parábola contém o ponto (−1; 6), simétrico à 
esquerda do eixo de simetria do ponto (0; 6). Verificamos a seguir:
Figura 27 – Gráfico da função f(x) = −x² − x + 6
109
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
No gráfico, temos uma boa parábola com todos os seus pontos notáveis (raízes, intersecção com 
o eixo y e vértice). Nesse momento já estamos habilitados a fazer o caminho contrário: dada uma 
parábola, obter a função quadrática que a gera. Poderá ocorrer conforme o exemplo que segue.
Exemplo de aplicação
Obtenha a lei da função representada no gráfico a seguir.
Figura 28 – Gráfico de alguma função quadrática
Podemos observar que a parábola intercepta o eixo y no valor 6, assim concluímos que c = 6, já que o 
significado geométrico do coeficiente c é o valor em que a parábola intercepta o eixo das ordenadas (y).
Substituindo c = 6 em y = ax² + bx + c, temos:
y = ax2 + bx + 6
Também observamos que os pontos (−3; 0) e 
1 7
;
2 2
 
 
 
 pertencem à parábola. Com isso, escreveremos 
 
duas equações, sendo que em cada uma delas substituiremos um dos pontos. Substituindo (−3; 0) em 
y = ax2 + bx + 6
( ) ( )20 a 3 b 3 6
0 9a 3b 6
= ⋅ − + ⋅ − +
= − +
Substituindo 
1 7
;
2 2
 
 
 
 em y = ax2 + bx + 6
110
Unidade II
27 1 1
a b 6
2 2 2
7 a b
6
2 4 2
 = ⋅ + ⋅ + 
 
= + +
Obtivemos o sistema:
0 9a 3b 6
7 a b
6
2 4 2
= − +


= + +
Para tornar as equações do sistema mais fáceis, dividiremos a primeira equação por 3 e multiplicaremos 
a segunda por 4, obtendo:
0 3a b 2 3a b 2
14 a 2b 24 a 2b 10
= − + − = − 
⇒ = + + + = − 
Resolveremos esse sistema pelo método da adição, pois, ao somar as duas equações, obteremos uma 
equação com uma única incógnita. Assim, multiplicaremos a primeira equação por 2 e a somaremos à 
segunda:
6a 2b 4 14
7a 14 a a 2
a 2b 10 7
⊕− = − −
⇒ = − ⇒ = ⇒ = − + = −
Nesse momento, devemos substituir a = −2 em uma das equações do sistema. Faremos na segunda 
equação, que nos parece mais simples:
2 2b 10
2b 10 2
2b 8
8
b b 4
2
− + = −
= − +
= −
−
= ⇒ = −
Assim a lei da função que tem por gráfico a parábola da figura é f(x) = −2x² − 4x + 6
111
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
 Lembrete
Uma função quadrática ou de 2º grau tem lei de formação:
f(x) = y = ax² + bx + c 
Onde a, b e c são números reais, com a não nulo.
4.2 Otimização da função quadrática
Vimos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, e tal curva possui um ponto notável 
denominado vértice, que consiste no ponto de máximo ou mínimo de acordo com a parábola ser 
côncava para baixo ou para cima, respectivamente. A interpretação da abscissa e da ordenada desse 
ponto, algumas vezes chamado de ponto ótimo, pode ser muito relevante dependendo do contexto. Por 
exemplo, se tivermos uma função quadrática que representa a receita em função do preço, podemos 
calcular a receita máxima, assim como o preço ótimo que a maximiza.
Exemplo de aplicação
Considerem o seguinte problema: uma empresa fabrica parafusos e os vende por R$ 5,00 a unidade, 
vendendo mensalmente dois mil parafusos. O gerente de vendas observou que a cada desconto de 
R$ 0,10 na unidade, as vendas aumentam em duzentos parafusos. Deseja‑se obter o preço pelo qual 
cada parafuso deve ser vendido a fim de maximizar a receita da fábrica.
Resolução
Primeiramente, escreveremos as expressões do preço de cada parafuso p(x) e do número de parafusos 
vendidos n(x) em função do número x de descontos de R$ 0,10:
( )
( )
p x 5 0,10 x
n x 2000 200 x
= − ⋅
= + ⋅
Sendo a receita R(x) o produto entre o número de parafusos vendidos e o preço pelo qual são 
vendidos, teremos:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
R x n x p x
R x 2000 200x 5 0,10x
R x 20x² 800x 10000
= ⋅
= + ⋅ −
= − + +
Observemos que R(x) é uma função quadrática com a = −20 (a< 0 → parábola côncava para 
baixo → o vértice é ponto de máximo). Calculemos as coordenadas do vértice da função R(x):
112
Unidade II
( )
V
V
V
b
x
2a
800
x
2 20
800
x 20
40
= −
= −
⋅ −
−
= =
−
 e 
( )
( )
V
2
V
2
V
V
y
4 a
b 4 a c
y
4 a
800 4 20 10000
y
4 20
1440000
y 18000
80
∆
= −
⋅
− ⋅ ⋅
= −
⋅
− ⋅ − ⋅
= −
⋅ −
= − =
−
Obtivemos o vértice V (20, 18000), o que significa que para vinte descontos de R$ 0,10, obtém‑se 
a receita de R$ 18000,00. Se o preço inicialmente cobrado era de R$ 5,00, após vinte descontos de 
R$ 0,10, teremos que o preço que maximiza a receita é R$ 3,00.
 Saiba mais
Você pode encontrar outra expectativa sobre função quadrática na 
seguinte dissertação de mestrado:
RIBEIRO, D. M. A. de A. Uma abordagem didática para a função quadrática. 
Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Estadual do Norte 
Fluminense Darcy Ribeiro. Campos dos Goytacazes, 2013. Disponível em: 
http://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp‑content/uploads/sites/14/ 
2017/08/22032013Dayse‑Maria‑Alves‑de‑Andrade‑Ribeiro.pdf. Acesso 
em: 6 ago. 2019.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Construa o gráfico da função f(x) = x² − 7x + 10 e determine o conjunto imagem.
Resolução
A construção do gráfico de uma função quadrática é mais elaborada que de uma função afim, assim, 
seguiremos alguns passos.
1º passo: obtenção do ponto de intersecção da parábola com o eixo y.
A intersecção da parábola com o eixo das ordenadas sempre ocorrerá no ponto (0, c), como nesta 
função c = 10, temos que a intersecção será no par ordenado (0, 10).
113
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
2º passo: obtenção do(s) ponto(s) de intersecção da parábola com o eixo x (raízes da função). Caso 
a função quadrática tenha raízes (∆ > 0), podemos obtê‑las resolvendo a equação f(x) = 0
2
2
2
1 2
f(x) 0
x 7x 10 0
b b 4ac
x (Fórmula de Bhaskara)
2a
( 7) ( 7) 4 1 10
x
2 1
7 9
x
2
7 3
x
2
7 3 4 7 3 10
x 2 e x 5
2 2 2 2
=
− + =
− ± −
=
− − ± − − ⋅ ⋅
=
⋅
±
=
±
=
− +
= = = = = =
Então os pontos de intersecção de f(x) com o eixo das abscissas são (2, 0) e (5, 0).
3º passo: obtenção do vértice da parábola.
Para calcular as coordenadas do vértice, faremos uso das fórmulas:
v
v
v
b
x
2a
( 7)
x
2 1
7
x
2
= −
−
= −
⋅
=
 e 
v
2
v
2
v
y
4a
b 4ac
y
4a
( 7) 4 1 10 49 40 9
y
4 1 4 4
∆
= −
−
= −
− − ⋅ ⋅ −
= − = − = −
⋅
Logo, temos que o vértice da parábola é 
7 9
V ;
2 4
 − 
 
4º passo: o gráfico.
Observe no gráfico a seguir que, além de assinalarmos a intersecção com o eixo das ordenadas (0; 10), 
as raízes x1 e x2 e o vértice 
7 9
V ;
2 4
 − 
 
, destacamos também o eixo de simetria (reta vertical que passa 
 
pelo vértice da parábola). Em torno deste, como o próprio nome diz, tudo acontece simetricamente; isto é, todos 
os elementos à sua esquerda possuem simétricos à sua direita. Com isso, assinalamos no plano cartesiano do 
gráfico o ponto P (7; 10) simétrico ao ponto (0; 10), intersecção da parábola com o eixo das ordenadas.
114
Unidade II
Figura 29 – Pontos notáveis de uma função quadrática
Agora temos elementos suficientes para traçar a parábola que contém esses cinco pontos, como 
pode ser visto a seguir. A partir desse ponto, fica combinado que um bom gráfico de função quadrática 
deve ter, pelo menos, cinco pontos, entre eles os notáveis (intersecção com os eixos coordenados, raízes 
e vértice), certo?
Figura 30 – Gráfico da função f(x) = x² − 7x + 10
115
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Já que obtivemos como vértice o ponto 
7 9
V ;
2 4
 − 
 
, podemos concluir que a imagem da função é 
9
Im(f) ;
4
 = − +∞  
Exemplo 2
Construa o gráfico da função g(x) = 4x² − 12x + 9 e determine sua imagem.
Resolução
Seguiremos os mesmos passos do exemplo anterior.
1º passo: obtenção do ponto de intersecção da parábola com o eixo y.
A parábola interceptará o eixo das ordenadas no ponto (0; c) → (0; 9)
2º passo: obtenção do(s) ponto(s) de intersecção da parábola com o eixo x (raízes da função).
Para obter as raízes da função, basta resolver a função g(x) = 0. Aqui vale observar que 4x² − 12 x + 9 é 
um trinômio quadrado perfeito, 4x² − 12 x + 9 = (2x – 3)2, assim, a equação g(x) = 0 além de poder ser 
resolvida com o uso da fórmula de Bhaskara, conforme fizemos em exemplos anteriores, também pode 
ser resolvida pela fatoração do trinômio quadrado perfeito. Optamos pela segunda possibilidade de 
resolução para que haja mais um modo de resolução:
( )
2
2
g(x) 0
4x 12x 9 0
2x 3 0
2x 3 0
2x 3
3
x
2
=
− + =
− =
− =
=
=
Note que, para a equação de 2º grau 4x² − 12x + 9 = 0, obtivemos uma única raiz real 
3
x
2
= , isso 
 
ocorre porque tal equação tem discriminante ∆ nulo. Lembrando que a raiz da função é o valor em que 
a parábola intersecta o eixo das abscissas, temos que a parábola interceptará o eixo das abscissas num 
único ponto 
3
;0
2
 
 
 
.
116
Unidade II
3º passo: obtenção do vértice da parábola.
Nesse exemplo, escolhemos obter o vértice da parábola diferentemente de como fizemos no 
exemplo anterior:
1 2
V 1 2
V
x x 3
x , aqui temos x x
2 2
3 3 6
32 2 2x
2 2 2
+
= = =
+
= = =
 e 
v v
v
2
v
v
v
y g(x )
3
y g
2
3 3
y 4 12 9
2 2
9 36
y 4 9
4 2
y 9 18 9 0
=
 =  
 
 = ⋅ − ⋅ + 
 
= ⋅ − +
= − + =
Assim, a parábola tem como ponto de mínimo o vértice 
3
V ;0
2
 
 
 
.
4º passo: o gráfico.
No gráfico, marcamos no plano cartesiano os pontos já obtidos, o eixo de simetria passando pelo 
vértice e o ponto P (3; 9), simétrico ao ponto de intersecção com o eixo das ordenadas.
Figura 31 – Alguns pontos da função g(x) = 4x² − 12x + 9
117
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Porém temos apenas três pontos e combinamos que um bom gráfico de função quadrática deve ter, 
pelo menos, cinco pontos. Então obteremos mais dois pontos, simétricos em relação ao eixo de simetria 
(equidistantes do eixo de simetria), que podem ser os pontos de abscissas 1 e 2, ambos a 0,5 de distância 
do eixo de simetria:
2g(1) 4 1 12 1 9
g(1) 4 12 9
g(1) 1
= ⋅ − ⋅ +
= − +
=
 e 
2g(2) 4 2 12 2 9
g(2) 16 24 9
g(2) 1
= ⋅ − ⋅ +
= − +
=
Pontos simétricos em relação ao eixo de simetria sempre têm a mesma imagem: g(1) = g(2) = 1
Marcando mais estes dois pontos A (1; 1) e B (2; 1) no plano cartesiano do gráfico a seguir, temos:
Figura 32 – Os cinco pontos da parábola g(x) = 4x² − 12x + 9
No gráfico a seguir, traçamos a parábola que contém tais pontos.
118
Unidade II
Figura 33 – Gráfico da função g(x) = 4x² − 12x + 9
A função g(x) tem imagem Im(g) = [0; +∞[
Ao desenvolver o quadrado da diferença de dois números, obtemos um trinômio quadrado perfeito: 
(a – b)2 = a2 –2ab + b2
Exemplo:
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2
2x 3 2x 2 2x 3 3
2x 3 4x 12x 9
− = − ⋅ ⋅ +
− = − +
Assim, como pudemos ver, o exemplo anterior, que era um trinômio quadrado perfeito, também 
pôde ser resolvido pela fatoração do trinômio quadrado perfeito.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Construa o gráfico da função h(x) = −3x² − 12
119
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Resolução
1º passo: obtenção do ponto de intersecção da parábola com o eixo y.
A parábola interceptará o eixo das ordenadas no ponto (0; c) → (0; −12)
2º passo: obtenção do(s) ponto(s) de intersecção da parábola com o eixo x (raízes da função).
Resolveremos a equação h(x) = 0
2
2
2
2
h(x) 0
3x 12 0
3x 12
12
x
3
x 4
x 4 x
=
− − =
− =
=
−
= −
= ± − ⇒ ∉
A equação −3x² − 12 = 0 é de 2º grau incompleta, por isso pudemos resolvê‑la sem o auxílio da 
fórmula de Bhaskara, mas, caso prefira resolvê‑la dessa forma, pode fazer, obterá discriminante ∆ < 0, o 
que implica na ausência de raízes para a função h(x).
3º passo: obtenção do vértice da parábola.
V
V
b
x
2a
0 0
x 0
2 ( 3) 6
= −
= − = =
⋅ − −
 e 
v
2
v
2
v
y
4a
b 4ac
y
4a
0 4 ( 3) ( 12) 0 144
y 12
4 ( 3) 12
∆
= −
−
= −
− ⋅ − ⋅ − −
= − = − = −
⋅ − −
O vértice da parábola é o ponto de máximo (trata‑se de uma parábola côncava para baixo) V (0;−12) 
coincidente com a intersecção com o eixo y.
4º passo: o gráfico.
Obtivemos um único ponto para a parábola, o que é insuficiente. Marcando‑o no plano cartesiano 
do gráfico, teremos:
120
Unidade II
Figura 34 – Um ponto da função h(x) = −3x² − 12
Os outros quatro pontos necessários para o esboço de uma parábola serão dois pares de pontos 
simétricos ao eixo de simetria. Calcularemos h(−1), h(1), h(−2) e h(2).
( ) ( )
( ) ( )
2
2
h( 1) h(1) 3 1 12
h( 1) h(1) 3 12
h( 1) h(1) 15 Q 1; 15 e P 1; 15 são pontos da parábola
h( 2) h(2) 3 2 12
h( 2) h(2) 12 12
h( 2) h(2) 24 S 2; 24 e R 2; 24 são pontos da parábola
− = = − ⋅ −
− = = − −
− = = − ⇒ − − −
− = = − ⋅ −
− = = − −
− = = − ⇒ − − −
Marcando mais esses quatro pontos no plano cartesiano do gráfico a seguir:
121
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Figura 35 – Os cinco pontos da função h(x) = −3x² − 12
No próximo gráfico, traçamos a parábola que contém esses cinco pontos:
Figura 36 – Gráfico da função h(x) = −3x² − 12
122
Unidade II
Notemos que os pontos pertencentes à parábola têm ordenada (coordenada y) máxima −12, assim, 
a imagem de h(x) é Im(h) = ] −∞; −12]
Exemplo 2
Obtenha a lei da função cujo gráfico é a parábola do gráfico a seguir:
Figura 37 – Gráfico de uma função quadrática
Resolução
Sabemos que a lei que gera o gráfico de uma parábola é do tipo y = ax² + bx + c, como a parábola 
intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0; −8), temos que c = −8. Assim podemos substituir os outros 
dois pontos dados, (1; −12) e (4; 0), na lei da função e resolver o sistema obtido:
212 a 1 b 1 8
12 a b 8
4 a b
− = ⋅ + ⋅ −
− = + −
− = +
 e 
( )
20 a 4 b 4 8
0 16a 4b 8
8 16a 4b : 4
2 4a b
= ⋅ + ⋅ −
= + −
= +
= +
Resolvendo o sistema de equações:
123
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
( ) I IIa b 4 a b 4 a b 4 (I)1 6
 3a 6 a a 2
4a b 2 4a b 2 4a b 2 (II) 3
+ + = − + = − − − =⋅ − 
⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ =  + = + = + = 
Substituindo a = 2 na equação (I), obteremos:
–2 – b = 4
–b = 4 + 2
–b = 6
b = –6
Sendo a = 2, b = −6 e c = −8, a lei da função que tem como gráfico a parábola anterior é 
y = 2x² − 6x − 8
Exemplo 3
Obtenha a lei da função cujo gráfico é a parábola do gráfico a seguir.
Figura 38 – Gráfico de uma função quadrática
Resolução
Note que nesse exemplo, diferentemente do anterior, não está explícita a intersecção com o eixo y, 
então não temos c imediatamente.
124
Unidade II
Substituiremos os pontos ( ) 11;0,5 1;
2
 =  
 
 e ( ) 95;4,5 5;
2
 =  
 
 na lei da função de 2º grau y = ax² + bx + c
21 a 1 b 1 c
2
1
a b c
2
1 2a 2b 2c
= ⋅ + ⋅ +
= + +
= + +
 e 
29 a 5 b 5 c
2
9
25a 5b c
2
9 50a 10b 2c
= ⋅ + ⋅ +
= + +
= + +
Montando um sistema, temos:
2a 2b 2c 1 (*)
50a 10b 2c 9
+ + =
 + + =
Temos um sistema com duas equações e três incógnitas, falta‑nos uma equação.
Note que o terceiro ponto ainda não utilizado é o vértice ( ) 7 27V 3,5;6,75 V ;
2 4
 =  
 
. Utilizando a 
 
fórmula da abscissa do vértice, obtemos a terceira equação que nos faltava:
V
b
x
2a
7 b
2 2a
2b 14a
14a
b
2
b 7a
= −
= −
− =
=
−
= −
Substituindo b = −7a no sistema de equações, teremos:
I II
2a 2b 2c 1 2a 2( 7a) 2c 1 2a 14a 2c 1
50a 10b 2c 9 50a 10( 7a) 2c 9 50a 70a 2c 9
12a 2c 1 12a 2c 1 (I) 8
8a 8 a a 1
20a 2c 9 ( 1) 20a 2c 9 (II) 8
+
+ + = + − + = − + =  
⇒ ⇒  + + = + − + = − + =  
− + = − + =  −
⇒ ⇒ ⇒ = − ⇒ = ⇒ = − − + = − − = − 
Substituindo a = −1 em b = −7a
125
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
b 7a
b 7 ( 1)
b 7
= −
= − ⋅ −
=
Obtendo c em (*):
2a 2b 2c 1 (*)
2 ( 1) 2 7 2c 1
2 14 2c 1
2c 11
11
c
2
+ + =
⋅ − + ⋅ + =
− + + =
= −
= −
A lei que tem por gráfico a parábola do gráfico é 2
11
f(x) x 7x
2
= − + −
Exemplo 4
Os alunos de um curso desejam fazer uma festa de aniversário surpresa para o professor de 
matemática. Quando todos participam do rateio, arrecadam R$ 864,00; porém seis alunos não poderão 
participar, então o valor com que cada um participará ficará acrescido de R$ 12,00 ao valor inicial. 
Quantos alunos têm na turma? Com quanto cada aluno contribuirá no rateio?
Resolução
Chamaremos de n o número de alunos da turma e de x a quantia com que cada um contribuiria, caso 
todos contribuíssem. Assim, podemos montar o seguinte sistema de equações:
n x 864 (I)
(n 6) (x 12) 864 (II)
⋅ =
 − ⋅ + =
Aplicando a propriedade distributiva na equação (II) e substituindo (I) em (II), obteremos:
nx 12n 6x 72 nx
12n 6x 72 (:6)
2n x 12
2n 12 x (III)
+ − − =
− =
− =
− =
Substituindo (III) em (I):
126
Unidade II
2
2
n x 864
n (2n 12) 864
2n 12n 864 0 (:2)
n 6n 432 0
⋅ =
⋅ − =
− − =
− − =
Resolvendo a equação n² − 6n – 432 = 0 fazendo uso da fórmula de Bhaskara:
2
2
2
b 4 a c
( 6) 4 1 ( 432)
36 1728
1764
∆ = − ⋅ ⋅
∆ = − − ⋅ ⋅ −
∆ = +
∆ = 
2
1
2
b b 4ac
n
2a
( 6) 1764
n
2 1
6 42
n
2
48
n 24 
2
ou
36
n 18 (não convém)
2
 
− ± −
=
− − ±
=
⋅
±
=
= =
−
= = −
Assim obtivemos que há 24 alunos na turma. Substituindo n = 24 na equação (I):
24 x 864
864
x 36
24
⋅ =
= =
Então cada um contribui com 36 + 12 = 48 reais.
Exemplo 5
Os alunos de um curso de engenharia de produção devem definir as dimensões de um galpão 
retangular onde funcionará um dos laboratórios. Verificaram com a equipe da engenharia civil que há 
blocos disponíveis para a construção de um galpão que tenha perímetro de 128 m. Quais devem ser as 
dimensões do galpão para que ele tenha área máxima?
127
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Figura 39 – Modelo de galpão para o laboratório da engenharia de produção
Resolução
Conforme a figura a seguir, consideraremos que o galpão a ser construído terá dimensões a × b, 
em metros:
b
a
Figura 40 – Dimensões do galpão
Como o galpão retangular terá perímetro de 128 m, teremos:
2a 2b 128 (:2)
a b 64
b 64 a (*)
+ =
+ =
= −
Teremos então de obter a área S do galpão em função da dimensão a:
2
S a b
S a (64 a)
S a 64a
= ⋅
= ⋅ −
= − +
Note que S(a) é uma função do 2º grau com coeficiente dominante a = −1, a qual tem por gráfico 
uma parábola côncava para baixo com vértice como ponto de máximo. Assim, se calcularmos xv da 
função, teremos a dimensão a que maximizará a área S do galpão:
128
Unidade II
V
V
b
x
2a
64 64
x 32
2 ( 1) 2
= −
−
= − = =
⋅ − −
Se a = 32 m é uma das dimensões, substituindo em (*), teremos:
b = 64 − 32
b = 32
O galpão retangular de perímetro 128 m deve ter dimensões 32 m por 32 m, ou seja, deve 
ser um quadrado de lado 32 m. O resultado obtido já era esperado, sempre que desejarmos um 
retângulo de área máxima com perímetro fixo, devemos construir um quadrado com lado medindo 
um quarto do perímetro.
 Resumo
Uma função afim ou do 1º grau é do tipo f(x) = ax + b, a ∈ * e b ∈ R, 
e tem por gráfico uma reta. O coeficiente a é chamado coeficiente angular 
ou taxa de variação da função.
y
a
x
∆
=
∆
O coeficiente a determina se a função afim será crescente ou decrescente: 
quando a > 0, a reta é crescente, e quando a < 0, a reta é decrescente.
O coeficiente b é denominado coeficiente linear e corresponde ao valor 
onde a reta intercepta o eixo das ordenadas (eixo y), para obtê‑lo, faz‑se 
a leitura no gráfico do valor onde a reta está interceptando o eixo y ou 
calcula‑se o valor numérico da função quando x = 0
b = f(0)
Quando b = 0, temos um caso especial denominado função linear.
A raiz ou zero de uma função f(x) é o valor de x que a anula. Para 
obtê‑la, basta resolver a equação f(x) = 0. Uma função afim sempre terá 
 
exatamente uma raiz real e igual a b
a
− .
129
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Como uma função afim não possui condição de existência, exceto 
pelo contexto, ela geralmente tem por domínio, e também como imagem, 
o conjunto dos números reais.
A função quadrática ou do 2º grau tem como lei f(x) = ax² + bx + c, 
onde a ∈ * e b, c ∈ , e como gráfico uma parábola. O coeficiente 
dominante a determina se esta terá concavidade voltada para cima (a > 0) 
ou para baixo (a < 0).
O termo independente c determina em qualvalor a parábola interceptará 
o eixo das ordenadas.
O número de raízes de uma função quadrática pode ser zero, uma ou 
duas raízes de acordo com o discriminante ∆ = b2 –4 . a . c. Se ∆ > 0, a função 
possuirá duas raízes reais distintas; se ∆ = 0, a função possuirá uma única raiz 
real; e se ∆ < 0, a função não admitirá raiz real. As raízes poderão ser obtidas 
resolvendo a equação f(x) = 0. Para resolução de tal equação, geralmente 
fazemos uso da fórmula de Bhaskara:
b
x
2a
− ± ∆
=
A parábola possui um ponto de mínimo, quando côncava para cima, ou 
de máximo, quando côncava para baixo, denominado vértice.
O vértice é o ponto em que o crescimento da parábola muda: 
ela passa de decrescente para crescente se é ponto de mínimo, ou 
de crescente para decrescente quando o vértice é ponto de máximo. 
As suas coordenadas são V
b
x
2a
= − e Vy 4a
∆
= − , e por ele passa uma 
 
reta vertical imaginária chamada eixo de simetria da parábola, em torno 
da qual a parábola é simétrica.
Assim como na função afim, exceto pelo contexto, por não admitir condição 
de existência, o domínio de uma função quadrática costuma ser o conjunto 
dos números reais, porém sua imagem é [ [VIm(f) y ;= +∞ quando o gráfico é 
uma parábola côncava para cima, e ] ]VIm(f) ; y= −∞ quando o gráfico é uma 
parábola côncava para baixo.
130
Unidade II
 Exercícios
Questão 1. Em um parque nacional, um raio atingiu o topo da maior árvore da floresta nativa, que 
começou a queimar. A equipe de bombeiros foi acionada, mas como a floresta é densa, a única maneira 
seria posicionar o canhão de jato d’água o mais próximo possível das trilhas de inspeção.
Como a visão da árvore em chamas é bem prejudicada pela floresta ao redor, os bombeiros resolveram 
utilizar a geometria para uma localização precisa da base do incêndio. Como haviam dois bons pontos 
de observação e um caminho entre eles (figura 1), um soldado iria andar pelo caminho levando uma 
corda com balões de gás.
Figura 41 – Os observadores acompanham o soldado andando pelo caminho entre as árvores; ilustração de Olavo Ito
O observador A, ao ver o balão alinhado com a árvore, solicitou ao soldado para que dissesse a qual 
distância ele estava do ponto O (figura a seguir).
Figura 42 – Observador A, ao ver o balão, alinha‑se com a árvore em chamas; ilustração de Olavo Ito
131
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
O observador B também fez o mesmo procedimento: ao ver o balão se alinhar com a árvore, pediu 
ao soldado para que informasse a distância (figura a seguir).
Figura 43 – Observador B, ao ver o balão, alinha‑se com a árvore em chamas, ilustração de Olavo Ito
Dessa forma, o observador A, que antes estava a 200 metros da intersecção, ponto 0 no eixo x, 
observou o alinhamento quando o soldado estava a 200 metros no eixo y. O observador B, que estava 
250 metros após a intersecção, ponto 0 no eixo x, observou o alinhamento quando o soldado estava a 
500 metros no eixo y.
Com base nas informações e observando a figura a seguir:
Figura 44 – Posição dos canhões de água
Podemos afirmar que:
A) A melhor posição para posicionar o canhão d’água é o ponto M, a 100 metros de O.
132
Unidade II
B) A melhor posição para posicionar o canhão d’água é o ponto M, a 300 metros de O.
C) A melhor posição para posicionar o canhão d’água é o ponto N, a 100 metros de O.
D) A melhor posição para posicionar o canhão d’água é o ponto N, a 300 metros de O.
E) A melhor posição para posicionar o canhão d’água é o ponto 0.
Resposta correta: alternativa B.
Análise da questão
A transcrição do problema no gráfico é:
Figura 45 
Montando as funções:
A árvore fica no ponto de intersecção das retas, portanto:
Verificando y para x = 100:
Na posição y = 300, a árvore estará a 100 metros, portanto o ponto M deverá estar a 300 metros de 0.
Questão 2. Em um parque nacional, um raio atingiu o topo da maior árvore da floresta nativa, que 
começou a queimar. A equipe de bombeiros foi acionada, mas como a floresta é densa, a única maneira 
seria posicionar o canhão de jato d’água na posição mais próxima das trilhas de inspeção.
133
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Após estudos, a localização estava a 100 metros do local, mas havia a mata entre a equipe e a árvore, 
e a altura mínima para que a vértice do arco formado pela água teria que ser de 50 metros. O potente 
canhão de água poderia alcançar o fogo desde que os ajustes fossem bem feitos. Os controles do canhão 
obedecem a uma função quadrática (figura a seguir) para controlar a altura e a distância que o jato da 
água atinge.
Figura 46 – Painel de controle obedece à função ; ilustração de Olavo Ito
Considerando a situação do incêndio relatado, qual das alternativas a seguir é a configuração que 
permite ao canhão atingir a base da árvore (lembrando que A será multiplicado por 0,01)?
a) A = 1, B = 1
b) A = 2, B = 2
c) A = 2, B = 1
d) A = 3, B = 3
e) A = 10, B = 2
Resposta correta: alternativa B.
Análise da questão 
O termo c da função quadrática é zero, então: 
134
Unidade II
1
2
x 0
b
x
a
=
= −
Sendo assim, se x2 = 100, temos que 
b
a
100
= . Como o fundo de escala de A é 0,01, então A = B. 
Dessa forma as alternativas C e E estão descartadas.
Como o ponto do vértice se encontra na metade da distância entre 0 e 100, basta calcular o f(x) para 
50 de tal modo que o valor mínimo seja 50.
250 a 50 100 a 50≥ − × + × ×
50 2500a 5000a≥ − +
50 1
a 0,02
2500 200
≥ = =
Portanto a alternativa A é descartada, pois não alcança a altura necessária.
A alternativa D também será descartada, pois o controle não suporta os valores, portanto a alternativa 
correta é a B, que atinge o local correto e a altura mínima necessária.
Figura 47