AP2_PreCalculoEng_2016_1_gabarito

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Gabarito da AP2 - Pré-Cálculo para Engenharia - 2016-1
Considere as expressões abaixo e faça o que se pede nas questões 1 e 2.
f(x) = 2x− 1
x+ 1 g(x) =
1
x− 1
Questão 1 [0,5 ponto] Determine os doḿınios de f e g.
Solução: Como os denominadores não podem se anular temos Dom(f) = R− {−1} e Dom(g) =
R− {1}.
Questão 2 [1,5 ponto] Encontre as expressões de (f ◦ g)(x) e de (g ◦ f)(x) e os doḿınios das
funções compostas.
Solução: (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f( 1
x−1) =
2( 1
x−1)− 1
1
x−1 + 1
= 3−x
x
. Como sabemos, o doḿınio da
composta é {x ∈ Dom(g)/g(x) ∈ Dom(f)}, assim Dom(f ◦ g) = R − {0, 1} pois g(0) = −1 /∈
Dom(f).
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x−1
x+1 ) =
1
2x−1
x+1 −1
= x+1
x−2 . Analogamente temos Dom(g ◦ f) = {x ∈
Dom(f)/f(x) ∈ Dom(g)} = R− {−1, 2} pois f(2) = 1 /∈ Dom(g).
Considere as funções dadas e faça o que se pede nas questões 3 e 4.
f1 : R→ R+ f2 : R→ R+ g : R+ → R
f1(x) = x2 f2(x) =
{
x2 se x ≥ 0
−x se x < 0 g(x) =
√
x
Questão 3 [1,0 ponto] Verifique que (f1 ◦ g)(x) = (f2 ◦ g)(x) = x para todo x ∈ R+.
Solução: De fato, (f1 ◦ g)(x) = f1(g(x)) = f1(
√
x) = (
√
x)2 = x para todo x ∈ R+. Analoga-
mente, (f2 ◦ g)(x) = f2(g(x)) = f2(
√
x) = (
√
x)2 = x para todo x ∈ R+.
Questão 4 [1,5 ponto] A função g é invert́ıvel? Justifique a sua resposta.
Solução: A função g não é invert́ıvel pois não é sobrejetiva, uma vez que g(x) =
√
x ≥ 0, os valores
negativos do contra-doḿınio não estão na imagem da função.
Questão 5 [2,5 pontos] Resolva o sistema de equações{
log x− log y = log 2
4x−y = 16
Solução: Usando a propriedade do logaritmo de transformar produtos em somas (e quocientes em
diferenças), obtemos {
log x− log y = log 2⇔ log(x/y) = log 2
4x−y = 16⇔ 4x−y = 42
Pré-Cálculo para Engenharia AP2 2
As funções exponencial e logaritmo são injetivas em seus doḿınios usuais, portanto, das expressões
acima conclúımos que x/y = 2 e que x− y = 2. De onde obtemos facilmente que (x, y) = (4, 2).
Questão 5 [3,0 pontos] Esboce o gráfico da função f : [−2π, 2π] → R dada por f(x) =
1 + 5 sin(3x − π). (Sugestão: Faça os gráficos auxiliares f1(x) = sin(x), f2(x) = sin(3x),
f3(x) = sin(3x− π), etc nesta sequência)
Solução: Seguindo as ideias da sugestão temos:
(a) Conhecemos o gráfico da função seno de memória.
(b) Quando x percorre o intervalo [−2π, 2π] o valor 3x percorre [−6π, 6π], então o gráfico de
f2(x) = sin(3x) possui o aspecto abaixo.
(c) Ao substituirmos o valor 3x por 3x − π estamos efetuando uma translação no eixo x que
transforma o intervalo [−6π, 6π] em [−7π, 5π]. Assim o gráfico se mantém com o mesmo
aspecto de antes, mas o sistema de eixos se desloca para a esquerda. Segue um esboço do
gráfico de f3(x) = sin(3x− π).
(d) Multiplicando a função f3 por 5, significa multiplicar cada um dos valores y da função por 5,
então o gráfico de f4(x) = 5 sin(3x− π) fica dilatado como na figura abaixo.
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Pré-Cálculo para Engenharia AP2 3
(e) Somar 1 à função, corresponde a transladar o gráfico uma unidade para cima (cada valor de y
será acrescido de uma unidade para a função). Assim finalmente obtemos o gráfico de f .
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