Condução Unidimensional Transiente

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5S.1
Representação Gráfica da 
Condução Unidimensional Transiente 
na Parede Plana, no Cilindro Longo e na Esfera
Nas Seções 5.5 e 5.6, foram desenvolvidas aproximações pelo primeiro termo para a 
condução unidimensional transiente em uma parede plana (com condições convectivas 
simétricas) e em sistemas radiais (cilindro longo e esfera). Os resultados se aplicam 
para Fo  0,2 e podem ser convenientemente representados em formas gráficas que 
ilustram a dependência funcional da distribuição de temperatura transiente em relação 
aos números de Biot e de Fourier.
Resultados para a parede plana (Figura 5.6a) são apresentados nas Figuras 5S.1 
a 5S.3. A Figura 5S.1 pode ser usada para se obter a temperatura no plano central 
da parede, T(0, t)  To(t), a qualquer instante durante o processo transiente. Se To for 
conhecido para valores especificados de Fo e Bi, pode-se utilizar a Figura 5S.2 para 
determinar a temperatura correspondente em qualquer posição fora do plano central. 
Conseqüentemente, a Figura 5S.2 tem que ser usada em conjunto com a Figura 5S.1. 
Por exemplo, se desejamos determinar a temperatura na superfície (x*  1) em 
algum instante t, devemos usar a Figura 5S.1 em primeiro lugar para determinar To 
em t. A Figura 5S.2 deve então ser usada para determinarmos a temperatura na super-
fície a partir do conhecimento de To. O procedimento deve ser invertido se o problema 
FIGURA 5S.1 Temperatura no plano central como função do tempo em uma parede plana de espessura 2L [1]. Usado com 
permissão.
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CD-8 Capítulo 5S.1 Representação Gráfica da Condução Unidimensional Transiente... CD-9
for a determinação do tempo necessário para a superfície atingir uma temperatura 
especificada.
Resultados gráficos para a energia transferida a partir de uma parede plana durante 
o intervalo de tempo t são apresentados na Figura 5S.3. Esses resultados forem gerados 
a partir da Equação 5.46. A transferência de energia adimensional Q/Qo é representada 
exclusivamente em termos de Fo e Bi.
Resultados para o cilindro infinito são apresentados nas Figuras 5S.4 a 5S.6 e os 
resultados para a esfera são mostrados nas Figuras 5S.7 a 5S.9, em que o número de 
Biot está definido em termos de ro.
FIGURA 5S.2 Distribuição de temperaturas em parede plana de espessura 2L [1]. Usado com 
permissão.
FIGURA 5S.3 Variação da energia interna como função do tempo em uma parede plana de 
espessura 2L [2]. Adaptado com permissão.
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Representação Gráfica da Condução Unidimensional Transiente... CD-9
FIGURA 5S.4 Temperatura no eixo central como função do tempo em um cilindro infinito de raio ro [1]. Usado com permissão.
FIGURA 5S.5 Distribuição de temperaturas em um cilindro infinito de raio ro [1]. Usado com 
permissão.
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CD-10 Capítulo 5S.1 Representação Gráfica da Condução Unidimensional Transiente... CD-11
Os gráficos anteriores também podem ser usados para determinar a resposta tran-
siente de uma parede plana, de um cilindro infinito ou de uma esfera submetida a uma 
mudança súbita na temperatura superficial. Em tal condição, é necessário apenas 
substituir T pela temperatura superficial especificada Ts e fixar Bi1 igual a zero. 
Ao fazermos isto, admitimos que o coeficiente convectivo é implicitamente infinito, 
situação na qual T  Ts.
FIGURA 5S.6 Variação da energia interna como função do tempo em um cilindro infinito de raio 
ro [2]. Adaptado com permissão.
FIGURA 5S.7 Temperatura no centro como função do tempo em uma esfera de raio ro [1]. Usado com permissão.
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Representação Gráfica da Condução Unidimensional Transiente... CD-11
Referências
FIGURA 5S.8 Distribuição de temperaturas em uma esfera de raio ro [1]. Usado com 
permissão.
FIGURA 5S.9 Variação da energia interna como função do tempo em uma esfera de raio ro [2]. 
Adaptado com permissão.
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5S.2
Solução Analítica dos 
Efeitos Multidimensionais
Com freqüência são encontrados problemas transientes nos quais os efeitos bi- e 
mesmo tridimensionais são significativos. Soluções para uma classe desses problemas 
podem ser obtidas a partir dos resultados analíticos unidimensionais das Seções 5.5 
a 5.7.
Considere a imersão do cilindro curto da Figura 5S.10, que está inicialmente a 
uma temperatura uniforme Ti, em um fluido a uma temperatura T  Ti. Como o 
comprimento e o diâmetro do cilindro são comparáveis, a transferência de energia por 
condução subseqüente será significativa nas direções coordenadas r e x. A temperatura 
no interior do cilindro será então função de r, x e t.
Admitindo propriedades constantes e ausência de geração, a forma apropriada da 
equação do calor é, a partir da Equação 2.24,
onde x foi usado em lugar de z para designar a coordenada axial. Uma solução em 
forma fechada para essa equação pode ser obtida pelo método da separação de vari-
áveis. Ainda que essa solução não seja considerada em detalhes, é importante notar 
que o resultado final pode ser representado na forma a seguir:
Isto é, a solução bidimensional pode ser escrita como um produto das soluções 
unidimensionais que correspondem àquelas para uma parede plana com espessura 
2L e para um cilindro infinito com raio ro. Para Fo  0,2, essas soluções são forne-
cidas pelas aproximações pelo primeiro termo das Equações 5.40 e 5.49, assim 
como pelas Figuras 5S.1 e 5S.2 para a parede plana e Figuras 5S.4 e 5S.5 para o 
cilindro infinito.
CD-12 Capítulo 5S.2
FIGURA 5S.10 Condução transiente bidimensional em um cilindro curto. (a) Geometria. (b) 
Forma da solução do produto.
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Resultados para outras geometrias multidimensionais estão resumidos na Figura 
5S.11. Em cada caso a solução multidimensional é fornecida na forma de um produto 
que envolve uma ou mais das soluções unidimensionais a seguir:
Solução Analítica dos Efeitos Multidimensionais CD-13
FIGURA 5S.11 Soluções para sistemas multidimensionais expressas como produtos de resul-
tados unidimensionais.
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A coordenada x para o sólido semi-infinito é medida a partir da superfície, enquanto 
para a parede plana ela é medida a partir do plano intermediário. Ao usar a Figura 
5S.11, devemos observar com cuidado as origens das coordenadas. A distribuição 
tridimensional transiente de temperaturas em um paralelepípedo retangular, Figura 
5S.11h, é então, por exemplo, o produto de três soluções unidimensionais para paredes 
planas com espessuras 2L1, 2L2 e 2L3. Isto é,
As distâncias x1, x2 e x3 são todas medidas em relação a um sistema de coordenadas 
retangulares cuja origem se encontra no centro do paralelepípedo.
A quantidade de energia Q transferida para ou a partir de um sólido durante 
um processo de condução transiente multidimensional também pode ser determi-
nada através da combinação de resultados unidimensionais, conforme mostrado por 
Langston [1].
EXEMPLO 5S.1
Em um processo industrial, cilindros de aço inoxidável (AISI 304), inicialmente a 
600 K, são resfriados por submersão em um banho de óleo mantido a 300 K, com 
h  500 W/(m2  K). Cada cilindro possui comprimento 2L  60 mm e diâmetro D  
80 mm. Considere o instante 3 min após o início do processo de resfriamento e deter-
mine as temperaturas no centro do cilindro, no centro de uma das faces circulares e 
a meia altura da superfície lateral. Note que o Problema 5.124 requer uma solução 
numérica deste mesmo problema.
SOLUÇÃO
Dados: Temperatura inicial e dimensões do cilindro, assim como temperatura e 
condições convectivas no banho de óleo.
Achar: Temperaturas T(r, x, t) após 3 min no centro do cilindro, T(0, 0, 3 min) no 
centro de uma das faces circulares, T(0, L, 3 min), e a meia altura da superfície lateral, 
T(ro, 0, 3 min).
Esquema:
CD-14 Capítulo 5S.2
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Considerações:1. Condução bidimensional em r e x.
2. Propriedades constantes.
Propriedades: Tabela A.1, aço inoxidável, AISI 304 [T  (600  300)/2  450 K]:   
7900 kg/m3, c  526 J/(kg  K), k  17,4 W/(m  K),   k/(c)  4,19  106 m2/s.
Análise: O cilindro sólido de aço corresponde ao caso (i) da Figura 5S.11 e a tempe-
ratura em qualquer ponto no cilindro pode ser representada pelo seguinte produto de 
soluções unidimensionais:
onde P(x, t) e C(r, t) são definidas pelas Equações 5S.2 e 5S.3, respectivamente. Dessa 
forma, para o centro do cilindro,
Assim, para a parede plana, com
tem-se, pela Equação 5.41, que
onde, com Bi  0,862; na Tabela 5.1, C1  1,109 e 1  0,814 rad. Com Fo  0,84
Analogamente, para o cilindro infinito, com
tem-se, pela Equação 5.49c, que
onde, com Bi  1,15; na Tabela 5.1, C1  1,227 e 1  1,307 rad. Com Fo  0,47,
Assim, para o centro do cilindro,
Solução Analítica dos Efeitos Multidimensionais CD-15
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A temperatura no centro da face circular pode ser obtida através da exigência de 
que
onde, a partir da Equação 5.40b,
Assim, com x*  1, temos
A temperatura a meia altura da superfície lateral pode ser obtida a partir da exigência 
de que
onde, a partir da Equação 5.49b,
Com, r*  1 e o valor da função de Bessel obtido na Tabela B.4,
Assim,
CD-16 Capítulo 5S.2
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Comentários:
1. Verifique que a temperatura nas arestas do cilindro é T(ro, L, 3 min)  344 K.
2. Os gráficos de Heisler da Seção 5S.1 também podem ser usados para obtenção 
dos resultados desejados. Utilizando esses gráficos, obteríamos os seguintes resul-
tados: o/iParede plana  0,64; o/iCilindro infinito  0,55;  (L)/oParede plana  0,68; e 
 (ro)/oCilindro infinito  0,61; que apresentam uma boa concordância com os resul-
tados obtidos com as aproximações pelo primeiro termo.
Referência
Problemas
 5S.4 Estime o tempo necessário para cozinhar uma salsicha 
de cachorro-quente em água fervente. Considere que a 
salsicha esteja inicialmente a 6°C, que o coeficiente de 
transferência de calor por convecção seja de 100 W/(m2 
 K) e que a temperatura final no seu eixo central seja de 
80°C. Trate a salsicha como se fosse um longo cilindro 
de 20 mm de diâmetro, possuindo as seguintes proprie-
dades:   880 kg/m3, c  3350 J/(kg  K) e k  0,52 
W/(m  K).
 5S.5 Uma longa barra, com 70 mm de diâmetro e inicial-
mente a 90°C, é resfriada por imersão em um banho de 
água a 40°C, que proporciona um coeficiente convec-
tivo de 20 W/(m2  K). As propriedades termofísicas da 
barra são:   2600 kg/m3, c  1030 J/(kg  K) e k  
3,50 W/(m  K).
 (a) Quanto tempo deve a barra permanecer no banho para 
que, quando for retirada e deixada em repouso em 
condições de isolamento térmico total da vizinhança, 
ela atinja uma temperatura uniforme de 55°C?
 (b) Qual é a temperatura superficial da barra quando 
ela é retirada do banho?
Condução Unidimensional: A Esfera
 5S.6 Uma esfera com 80 mm de diâmetro (k  50 W/(m  K) 
e   1,5  106 m2/s), que se encontra inicialmente 
a uma temperatura uniforme elevada, é subitamente 
resfriada por imersão em um banho de óleo mantido a 
50°C. O coeficiente convectivo no processo de resfria-
mento é de 1000 W/(m2  K). Em um dado instante de 
tempo, a temperatura superficial da esfera é medida, 
sendo igual a 150°C. Qual é a temperatura correspon-
dente no centro da esfera?
Solução Analítica dos Efeitos Multidimensionais CD-17
Condução Unidimensional: A Parede Plana
 5S.1 Considere a unidade de armazenamento de energia térmica 
do Problema 5.11, porém construída em alvenaria, com   
1900 kg/m3, c  800 J/(kg  K) e k  0,70 W/(m  K), em 
lugar do alumínio originalmente utilizado. Quanto tempo 
será necessário para que se obtenham 75% do máximo 
armazenamento de energia possível? Quais são as tempe-
raturas máxima e mínima na alvenaria nesse instante?
 5S.2 Uma camada de gelo com 5 mm de espessura se forma 
sobre o pára-brisas de um carro enquanto ele permanece 
estacionado ao longo de uma noite fria, na qual a tempe-
ratura ambiente é de 20°C. Ao ser ligado o carro, um 
novo sistema de descongelamento faz com que a super-
fície interna do pára-brisas seja subitamente exposta a uma 
corrente de ar a 30°C. Supondo-se que o gelo se comporte 
como uma camada de isolamento térmico sobre a super-
fície externa do pára-brisas, qual coeficiente de transfe-
rência de calor por convecção na superfície interna permi-
tiria que a superfície externa do pára-brisas atinja 0°C em 
60 s? As propriedades termofísicas do pára-brisas são:  
 2200 kg/m3, cp  830 J/(kg  K) e k  1,2 W/(m  K).
Condução Unidimensional: O Cilindro Longo
 5S.3 Bastões cilíndricos de aço (AISI 1010), com 50 mm de 
diâmetro, são tratados termicamente ao passarem através 
de um forno de 5 m de comprimento, no interior do 
qual o ar é mantido à temperatura de 750°C. Os bastões 
entram a 50°C e atingem uma temperatura de 600°C 
no seu eixo central antes de deixarem o forno. Para um 
coeficiente convectivo de 125 W/(m2  K), estime a velo-
cidade à qual os bastões devem atravessar o forno.
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 5S.7 Uma pedra esférica de granizo, com 5 mm de diâmetro, 
é formada a 30°C em uma nuvem localizada a uma 
altitude elevada. Se a pedra começa a cair através do 
ar mais quente, a 5°C, quanto tempo ela irá levar até 
que sua superfície externa comece a derreter? Qual é a 
temperatura no centro da pedra de granizo nesse instante 
e quanta energia (J) foi transferida para a pedra até esse 
momento? Utilize um coeficiente de transferência de 
calor por convecção de 250 W/(m2  K) e considere as 
propriedades do granizo idênticas às do gelo.
 5S.8 Em um processo de fabricação de esferas de vidro (k  
1,4 W/(m  K),   2200 kg/m3, cp  800 J/(kg  K)) com 
3 mm de diâmetro, as esferas são suspensas em uma corren-
te ascendente de ar que se encontra a T  15°C e mantém 
um coeficiente convectivo de h  400 W/(m2  K).
 (a) Se as esferas estão inicialmente a uma temperatura de 
Ti  477°C, quanto tempo elas devem ficar suspensas 
para atingir uma temperatura no centro de 80°C? Qual 
é a temperatura superficial correspondente?
 (b) Calcule e represente graficamente as temperaturas no 
centro e na superfície como funções do tempo para 
0  t  20 s e h  100, 400 e 1000 W/(m2  K).
Condução Multidimensional
 5S.9 Um longo lingote de aço (aço-carbono não-ligado), com 
seção transversal quadrada de 0,3 m por 0,3 m e inicial-
mente a uma temperatura uniforme de 30°C, é colo-
cado no interior de um forno que se encontra à tempe-
ratura de 750°C. Se o coeficiente de transferência de 
calor por convecção para o processo de aquecimento é de 
100 W/(m2  K), quanto tempo o lingote deve permanecer 
no interior do forno até que a temperatura no seu centro 
atinja 600°C?
 5S.10 Um tijolo refratário com dimensões de 0,06 m  
0,09 m  0,20 m é removido de um forno a 1600 K e 
resfriado ao ar a 40°C, com h  50 W/(m2  K). Qual é a 
temperatura no centro e nos vértices do tijolo passados 
50 min do início do processo de resfriamento?
 5S.11 Um pino cilíndrico de cobre com 100 mm de compri-
mento e 50 mm de diâmetro está inicialmente a uma 
temperatura uniforme de 20°C. As faces de suas extre-
midades são subitamente submetidas a um aquecimento 
intenso que as leva a uma temperatura de 500°C. Ao 
mesmo tempo, a superfície cilíndrica é submetida ao 
aquecimento por escoamento de um gás com uma 
temperatura de 500°C e um coeficiente de transferência 
de calor por convecção de 100 W/(m2  K).
 
 (a) Determine a temperatura no ponto central do cilindro 
8 s após o repentino início do aquecimento.
 (b) Considerando-se os parâmetros que determinam 
a distribuição de temperaturas em problemas de 
difusão de calor transiente, pode alguma hipó-
tese simplificadora ser justificada na análise desse 
problema particular? Explique sucintamente.
 5S.12 Lembrando que a sua mãeuma vez lhe disse que uma 
peça de carne deve ser cozida até que todas as suas 
partes tenham atingido uma temperatura de 80°C, 
quanto tempo será necessário para cozinhar uma peça 
de carne com 2,25 kg? Admita que a carne se encontra 
inicialmente a 6°C e que a temperatura no forno é de 
175°C, com um coeficiente de transferência de calor 
por convecção de 15 W/(m2  K). Trate a peça como um 
cilindro com diâmetro igual ao comprimento e proprie-
dades iguais às da água líquida.
 5S.13 Um longo bastão com 20 mm de diâmetro é fabricado em 
alumina (óxido de alumínio policristalino) e se encontra 
inicialmente a uma temperatura uniforme de 850 K. O 
bastão é subitamente exposto a um fluido a 350 K, com 
h  500 W/(m2  K). Estime as temperaturas no eixo 
central do bastão, em uma das extremidades expostas e 
a uma distância axial de 6 mm dessa extremidade, 30 s 
após o início da exposição do bastão ao fluido.
 5S.14 Considere o cilindro de aço inoxidável do Exemplo 
5S.1, que se encontra inicialmente a 600 K e subita-
mente é imerso em um banho de óleo a 300 K com 
h  500 W/(m2  K). Elabore um programa para obter 
as soluções a seguir.
 (a) Calcule as temperaturas, T(r, x, t), após 3 min da 
imersão, no centro do cilindro, T(0, 0, 3 min), no 
centro de uma face circular, T(0, L, 3 min) e a meia 
altura da lateral, T(ro, 0, 3 min). Compare os seus 
resultados com aqueles do exemplo.
 (b) Calcule e represente graficamente os históricos 
de temperatura no centro do cilindro, T(0, 0, t) e 
a meia altura da lateral, T(ro, 0, t), para 0  t  
10 min. Comente sobre os gradientes presentes 
nesses locais e quais efeitos eles podem ter nas 
transformações de fases e nos estresses térmicos. 
Sugestão: Na sua varredura do intervalo de tempo, 
inicie em 1 s em vez de zero.
 (c) Para 0  t  10 min, calcule e represente grafica-
mente os históricos de temperatura no centro do 
cilindro, T(0, 0, t), para coeficientes convectivos 
de 500 W/(m2  K) e 1000 W/(m2  K).
CD-18 Capítulo 5S.2
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