Apostila Calculo Vetorial

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Maranha˜o
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
Departamento de Matema´tica
CA´LCULO VETORIAL
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6
Maxwell Mariano de Barros
Sa˜o Lu´ıs - MA
2011
Prefa´cio
Este texto foi produzido como base para o Curso de Licenciatura em Matema´tica,
na modalidade de Ensino a` Distaˆncia, mantido pela Universidade Federal do Maranha˜o.
Ele tem como u´nico pre´-requsito um curso regular de Geometria Anal´ıtica. A exposic¸a˜o
foi conduzida de forma a apresentar em bases so´lidas os conceitos e resultados apre-
sentados, deixando, ao mesmo tempo, um conjunto de atividades, distribu´ıdas entre as
questo˜es presentes no corpo do texto e as grupos de exerc´ıcios ao fim de cada cap´ıtulo.
E´ fundamental que o aluno se esforce para realizar as atividades propostas. O conheci-
mento adquirido de forma ativa e´ duradouro, comparado ao pseudo-aprendizado obtido
com a mera leitura.
O texto esta´ estruturado da seguinte forma. Inicialmente, uma linguagem ba´sica
e fundamental e´ introduzida: os conceitos de matrizes e sistemas de equac¸o˜es lineares.
Mesmo aqui o leitor notara´ que o rigor e a precisa˜o sa˜o preocupac¸o˜es constantes.
Em seguida sa˜o apresentados os conceitos e resultados sobre os objetos centrais
do curso: vetores. A partir daqui, revisita-se, sob uma o´tica diferente daquela da
Geometria Anal´ıtica, alguns dos principais entes geome´tricos: retas e planos. O texto
finaliza com uma apresentac¸a˜o resumida de algumas coˆnicas e qua´dricas.
Comenta´rios e correc¸o˜es devem ser enviados diretamente ao autor.
Sa˜o Lu´ıs, 10 de janeiro de 2011.
Maxwell Mariano de Barros
DEMAT - UFMA
mxwbarros@gmail.com
i
ii
Suma´rio
Prefa´cio i
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Operac¸o˜es com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Somas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Multiplicac¸a˜o de um Escalar por uma Matriz . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 A Transposta de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Multiplicac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 O Trac¸o de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Definic¸o˜es e Resoluc¸a˜o por Operac¸o˜es Elementares . . . . . . . . 18
1.4.2 Um Pouco da Teoria das Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Vetores no Espac¸o 29
2.1 Reta Orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 A´lgebra de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Soma de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Produto de Nu´meros Reais por Vetores . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Soma de Pontos com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iii
iv SUMA´RIO
2.3 Dependeˆncia e Indepedeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.1 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.2 Orientac¸a˜o em V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Retas e Planos 63
3.1 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Intersec¸a˜o de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Distaˆncia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Equac¸a˜o do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Intersec¸a˜o de Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Intersec¸a˜o de dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.8 Distaˆncia de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.9 Distaˆncia entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.9.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
SUMA´RIO v
4 Coˆnicas e Qua´dricas 85
4.1 Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.1.1 A Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.1.2 A Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.3 A Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 Hiperbolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.1 Hiperbolo´ide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.2 Hiperbolo´ide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4 Parabolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.1 Parabolo´ide Hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Refereˆncias Bibliogra´ficas 107
vi SUMA´RIO
1 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
Sejam X um conjunto qualquer na˜o vazio e m,n nu´meros inteiros maiores ou
iguais a 1. Chamaremos de matriz de ordem m × n (lemos: m por n) de objetos de
X a qualquer quadro (arranjo retangular) da forma
x11 x12 . . . x1n
x21 x22 . . . x2n
...
...
...
...
xm1 xm1 . . . xmn
 , (1.1.1)
onde para cada 1 ≤ i ≤ m e cada 1 ≤ j ≤ n, os xij sa˜o elementos de X . Assim,
(
2 1 0
pi 5
√
3
)
,

1 200
2
5
−10
8 0
 ,
 0, 518
−3, 4555
 e ( 2 0 1
5
)
(1.1.2)
sa˜o exemplos de matrizes de nu´meros reais. A primeira matriz em (1.1.2) e´ de ordem
2× 3, a segunda de ordem 3× 2, a terceira 3× 1 e a quarta e´ de ordem 1× 3.
Note que um elemento x ∈ X pode ser considerado como uma matriz de ordem
1× 1, ou seja, podemos identificar x com a matriz (x) de ordem 1.
As filas horizontais de uma matriz sa˜o chamadas de linhas e as filas verticais sa˜o
chamadasde colunas da matriz.
i-e´sima linha→

x11 x12 · · · x1j · · · x1n
...
... · · · ... ... ...
xi1 xi2 · · · xij · · · xin
...
... · · · ... ... ...
xm1 xm2 · · · xmj · · · xmn

︷ ︸︸ ︷
j-e´sima coluna
(1.1.3)
Se m = n (isto e´, se o nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de colunas) dizemos
que a matriz e´ quadrada de ordem n.
1
2 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
As matrizes de ordem 1×n (uma linha e n colunas) sa˜o chamadas de matriz linha
e as matrizes de ordem m×1 (m linhas e uma coluna) sa˜o chamadas de matriz coluna.
Em (1.1.2), a terceira matriz e´ uma matriz coluna e quarta matriz e´ uma matriz linha.
Em uma matriz, o objeto que esta´ situado na i-e´sima linha e na j-e´sima coluna
e´ chamado de elemento de ordem ij da matriz e e´ denotado por xij . Por exemplo, na
matriz abaixo temos x12 = −3 , x21 = 0 , x42 = 32 e x33 = 6 .
5 -3 8
0
√
2 5
8
1, 444.. −13 6
9 32 −55
 . (1.1.4)
Numa matriz quadrada de ordem n a n-u´pla (x11, x22, ..., xnn), formada pelos
elementos de ordem ii e´ chamada de diagonal principal da matriz.
Normalmente sa˜o usadas letras maiu´scula para denotar um matriz. Escrevemos
enta˜o
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am1 . . . amn
 ou A = (aij) , i = 1, 2, ...n, j = 1, 2, ..., m. (1.1.5)
E´ comum tambe´m o uso da notac¸a˜o Am×n para indicar que A e´ uma matriz de ordem
m× n.
Iremos dizer que duas matrizes A = (aij) e B = (bkl) sa˜o iguais se possuem
a mesma ordem e os elementos de ordens iguais sa˜o os mesmos, isto e´ A = B se
1 ≤ i, k ≤ m, 1 ≤ j, l ≤ n e aij = bij para cada i, j.
1.2 Operac¸o˜es com matrizes
Estamos interessados em definir operac¸o˜es envolvendo matrizes e isto implica em
definir operac¸o˜es que envolvem os elementos das matrizes. Portanto e´ natural e menos
complicado, considerarmos apenas matrizes cujos elementos pertenc¸am a um conjunto
que admita operac¸o˜es “bem comportadas”ou seja, com propriedades semelhantes a`s da
adic¸a˜o e da multiplicac¸a˜o de nu´meros reais. Assim sendo, iremos considerar apenas
1.2. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES 3
matrizes cujos elementos pertencem a um conjunto K, no qual esta˜o definidas duas
operac¸o˜es que chamaremos de:
(a) K-adic¸a˜o, que a cada par de elementos x, y ∈ K, associa um elemento x� y ∈ K
chamado de K-soma de x com y e
(b) K-multiplicac¸a˜o, que a cada par de elementos x, y ∈ K, associa um elemento
x� y ∈ K chamado de K-produto de x por y,
satisfazendo as seguintes propriedades:
1. x� y = y � x e x� y = y � x para todo x, y ∈ K;
2. x� (y � z) = (x� y)� (x� z) para todo x, y, z ∈ K;
3. x� (y � z) = (x� y)� z e x� (y � z) = (x� y)� z para todo x, y, z ∈ K;
4. Existe um elemento em K denotado por 0K tal que, para todo x ∈ K, vale
x� 0K = x;
5. Para cada x ∈ K, existe um elemento em K, denotado por �x tal que x� (�x) =
0K;
6. Existe um elemento em K, denotado por 1K, tal que 1K�x = x para todo x ∈ K;
7. Se x 6= 0K enta˜o existe um elemento de K, denotado por x−1 tal que x�x−1 = 1K.
Conjuntos munidos de duas operac¸o˜es satisfazendo as propriedades acima sa˜o chamados
de corpos. Os elementos de um corpo sera˜o chamados de escalares.
Por exemplo, os conjuntos dos nu´meros reais R e o conjunto dos nu´meros com-
plexos C, com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸o˜es usuais sa˜o corpos.
1.2.1 Somas de Matrizes
Se A = (aij) e B = (bij) sa˜o matrizes de mesma ordem cujos elementos pertencem
a um corpo (K,�,�), definimos a soma A + B com sendo a matriz cujo elemento de
ordem ij e´ igual a aij � bij , ou seja se A+B = (cij) enta˜o cij = aij � bij .
4 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Exemplo 1.2.1. Sejam A =
 2 0 1−5 1 0
3 −1 1
2
 e B =
 −3 5 06 −4 2
2 −1 4
. Enta˜o
A+B =
 2 0 1−5 1 0
3 −1 1
2
+
 −3 5 06 −4 2
2 −1 4
 =
 −1 5 11 −3 2
5 −2 9
2
 .
Chamamos a atenc¸a˜o para o fato de que, por definic¸a˜o, so´ podemos somar ma-
trizes de mesma ordem. Logo quando escrevermos A + B estaremos sempre supondo
verdadeiro esse pre´-requisito.
Observac¸a˜o 1.2.1. De agora em diante, estaremos sempre trabalhando com o corpo
dos nu´meros reais ou dos nu´meros complexos ou seja, no que segue a palavra corpo
deve ser entendida como o conjunto do nu´meros reais R ou como o conjunto
dos nu´meros complexos C, munido das operac¸o˜es usais. Assim sendo, usaremos os
s´ımbolos “+”e “.”ao inve´s de “�”e “�”respectivamente. Em outras palavras escrever-
emos x+ y no lugar de x� y e x.y ou simplesmente xy no lugar de x� y. Usaremos
tambe´m 0 (zero) para denotar o elemento 0K, 1 (um) para denotar o elemento 1K, −x
para denotar �x e finalmente, usaremos a notac¸a˜o x− y (lemos: x menos y) no lugar
de x+ (−y).
1.2.2 Multiplicac¸a˜o de um Escalar por uma Matriz
Se β ∈ K e A = (aij) e´ uma matriz de elementos em K, o produto de β por A
e´ por definic¸a˜o, a matriz βA = (βaij) o seja, o elemento de ordem ij da matriz βA e´
igual ao K-produto de β pelo elemento de ordem ij da matriz A.
Exemplo 1.2.2. Se A =
(
4 −3
0 2
)
enta˜o,
2A =
(
8 −6
0 4
)
, (−2)A =
(
−8 6
0 −4
)
e piA =
(
4pi −3pi
0 2pi
)
Se A e B sa˜o matrizes com elementos em um corpo K, por convenc¸a˜o escreveremos
−A no lugar de (−1)A, e A− B (lemos: A menos B) no lugar de A + (−1)B.
A matriz A = (aij) de ordem m × n cujos elementos sa˜o todos iguais a zero e´
chamada de matriz nula de ordem m× n e sera´ denotada tambe´m pelo s´ımbolo “0”.
1.2. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES 5
E´ fa´cil ver que se Am×n e´ uma matriz com elementos em um corpo K enta˜o
A−A = 0, ou seja A + (−A) e´ a matriz nula de ordem m× n.
Proposic¸a˜o 1.2.1. Sejam A,B,C matrizes com elementos em um mesmo corpo K e
α, β ∈ K. Enta˜o valem as seguintes propriedades:
1. A+ (B + C) = (A+B) + C
2. A+ B = B + A
3. 0 + A = A
4. α(A+B) = αA+ αB
5. (α + β)A = αA+ βA
6. (αβ)A = α(βA)
7. 1A = A
Demonstrac¸a˜o. Tais propriedades sa˜o consequeˆncias diretas das definic¸o˜es e deixaremos
como exerc´ıcio.
1.2.3 A Transposta de uma Matriz
Dada uma matriz A = (aij) de ordem m × n, a matriz transposta de A e´ a de
ordem n ×m cujos elementos de ordem ji e´ igual aij para cada i ∈ {1, ..., m} e cada
j ∈ {1, ..., n}. Denotaremos por At a transposta da matriz A. Portanto se At = (a˜ij)
enta˜o a˜ji = aij .
Note que para se obter a transposta de uma matriz basta trocar as linhas pelas
colunas, ou seja os elementos da linha i da matriz A formara˜o a coluna i da matriz At.
Exemplo 1.2.3. Se A =
(
1 0 −5
2 2 1
)
, B =
(
2 −1 0 1
)
e C =
(
M �
F �
)
enta˜o
At =
 1 20 2
−5 1
 , Bt =

2
−1
0
1
 e Ct =
(
M F
� �
)
.
Como consequeˆncia direta da definic¸a˜o temos o seguinte resultado:
6 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Proposic¸a˜o 1.2.2. Seja A,B matrizes cujos elementos esta˜o em um corpo K e β ∈ K.
Enta˜o
1. (A+B)t = At +Bt.
2. (βA)t = βAt.
3. (At)
t
= A.
Uma matriz quadrada A e´ dita ser sime´trica se At = A. Se At = −A, dizemos
enta˜o que a matriz A e´ anti-sime´trica. Observe que, no contexto em que estamos, so´
faz sentido falar em matriz anti-sime´trica se os elementos dessa matriz pertencem a
um conjunto em que existem “sime´tricos”, por exemplo se os elementos dessa matriz
forem proveneinetes de um corpo.
Note que em uma matriz sime´trica a i-linha e´ igual a sua i-coluna. Por outro
lado, se A e´ anti-sime´trica enta˜o os elementos de sua diagonal principal sa˜o todos iguais
a zero. De fato, a propriedade de anti-simetria nos diz que aij = −aji para todo i, j e
isto implica, quando i = j, em 2aii = 0, ou seja aii = 0 para todo i = 1, ..., n.
1.2.4 Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Sejam A = (aij)uma matriz de ordem m× n e B = (bjk) uma matriz de ordem
n×s cujos elementos pertencem a um mesmo corpo. O produto de A por B e´ a matriz
AB = (cik), de ordem m × s onde, para cada i ∈ {1, 2, ..., m} e cada k ∈ {1, 2, ..., s}
fixos, cik e´ obtido da seguinte maneira:
cik =
n∑
j=1
aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + ... + ainbnk. (1.2.1)
Observac¸a˜o 1.2.2. Observe que o produto de duas matrizes so´ pode ser calculado se o
nu´mero de colunas da primeira matriz for igual ao nu´mero de linhas da segunda matriz
e que o resultado e´ uma matriz cujo nu´mero de linhas e´ igual ao da primeira matriz e
o de colunas igual ao da segunda matriz (ver esquema abaixo).
m× n n× s
m× s
Segue da observac¸a˜o 1.2.2 que, mesmo que seja poss´ıvel calcular o produto AB,
o produto BA pode na˜o existir.
1.2. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES 7
Exemplo 1.2.4. Sejam A =
(
a b c
d e f
)
2×3
e B =
 x1 x2 x3 x4y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4

3×4
matrizes
cujos elementos pertencem a um mesmo corpo. Enta˜o,
AB =
(
ax1 + by1 + cz1 ax2 + by2 + cz2 ax3 + by3 + cz3 ax4 + by4 + cz4
dx1 + ey1 + fz1 dx2 + ey2 + fz2 dx3 + ey3 + fz3 dx4 + ey4 + fz4
)
Exemplo 1.2.5. Sejam A =
(
0 0
1 0
)
e B =
(
0 1
0 0
)
. Enta˜o,
AB =
(
0 0
0 1
)
e BA =
(
1 0
0 0
)
.
O exemplo 1.2.5 mostra que o produto de matrizes na˜o e´, em geral, comutativo.
Proposic¸a˜o 1.2.3. Sejam A,B e C matrizes sobre o mesmo corpo K.
1. Se A e´ de ordem m× n e B,C sa˜o de ordem n× s, enta˜o,
A(B + C) = AB + AC.
2. Se A e´ de ordem n× s e B,C sa˜o de ordem m× n, enta˜o,
(B + C)A = BA + CA.
3. Se A e´ de ordem m× n, B de ordem n× s e λ ∈ K, enta˜o,
A(λB) = (λA)B = λ(AB).
4. Se A e´ de ordem m× n, B de ordem n× s e C de ordem s× k, enta˜o,
A(BC) = (AB)C
.
Demonstrac¸a˜o. Para provar o item (1) usaremos a notac¸a˜o: A = (aij), B = (bjk),
C = (cjk), B + C = (djk), A(B + C) = (eik), AB = (fik) e AC = (gik).
Segue da definic¸a˜o de soma e de produto de matrizes que, para cada j ∈ {1, 2, ..., n},
k ∈ {1, 2, ..., s} temos djk = bjk + cjk.
8 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Por outro lado, segue da definic¸a˜o de produto de matrizes que, para cada i ∈
{1, ..., m} e k ∈ {1, 2, ..., s} fixos
fik =
n∑
j=1
aijbjk e gik =
n∑
j=1
aijcjk.
Portanto, temos que para cada i ∈ {1, ..., m} e k ∈ {1, 2, ..., s} fixos, vale
eik =
n∑
j=1
aijdjk =
n∑
j=1
aij(bjk + cjk) =
n∑
j=1
aijbjk +
n∑
j=1
aijcjk = fik + gik,
ou seja, A(B + C) = AB + AC.
As provas dos itens (2), (3) e (4) da proposic¸a˜o 1.2.3 sa˜o deixadas como exerc´ıcios.
Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos pertencem a
um corpo. Se aij = 0 para todo i 6= j, dizemos que A e´ uma matriz diagonal. A matriz
diagonal I = (aij) de ordem n tal que aii = 1 para todo i ∈ {1, 2, ..., n} e´ chamada
de matriz identidade de ordem n e este nome se justifica pelo fato de que se A e´ uma
matriz de ordem m × n e B uma matriz de ordem n ×m, enta˜o AI = A e IB = B.
Portanto se A e´ de ordem n teremos AI = IA = A. Por exemplo, as matrizes abaixo
sa˜o as matrizes identidade de ordem 2, 3 e 4, repectivamente.
I2 =
(
1 0
0 1
)
, I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 , I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 . (1.2.2)
Suponha agora que A,B e C sa˜o matrizes quadradas de mesma ordem, digamos
n, e seja In a matriz identidade de ordem n. Diremos que B e´ uma inversa a` esquerda
de A se BA = In e diremos que C e´ uma inversa a` direita de A se AC = In.
Vamos admitir que A admite inversa a` esquerda e inversa a` direita. Seja B uma
de suas inversas a` esquerda e C uma de suas inversas a` direita, ou seja BA = In e
AC = In. Enta˜o, usando o item (4) da proposic¸a˜o 1.2.3, temos
B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C. (1.2.3)
A igualdade em (1.2.3) nos diz que se uma matriz quadrada admite uma inversa
a` direita e uma inversa a` esquerda enta˜o essas inversas sa˜o iguais. Uma matriz que
satisfaz essa propriedade sera´ chamada de uma inversa da matriz A.
1.2. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES 9
Proposic¸a˜o 1.2.4. Seja A e´ uma matriz quadrada de ordem n. Enta˜o,
1. A tem no ma´ximo uma inversa (que sera´ denotada por A−1);
2. se existe a matriz A−1 ela tambe´m possui uma (u´nica) inversa (A−1)−1 e ale´m
disso (A−1)−1 = A.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que B e C sa˜o inversas de A. Enta˜o AB = AC = I e
AC = CA = I. Logo AB = CA, pois ambas sa˜o iguais a` matriz identidade. Logo.
B = B(AB) = B(AC) = (BA)C = IC = C.
Isto prova o item (1).
Suponha agora que existe A−1. E´ claro que A−1A = I e AA−1 = I, ou seja A
e´ uma inversa a` direita e a esquerda de A−1, isto e´, A e´ uma inversa de A−1. Logo,
pelo item (1), A e´ a inversa de A−1, ou seja (A−1)−1 = A.
Quando existe a matriz A−1, dizemos que A e´ uma matriz invers´ıvel (ou uma
matriz na˜o singular) e que A−1 e´ a inversa de A.
Uma matriz invers´ıvel A tal que A−1 = At e´ chamada de matriz ortogonal.
1.2.5 O Trac¸o de uma Matriz Quadrada
Seja A uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos pertencem a um corpo
K. O trac¸o de A, denotado por trA e´, por definic¸a˜o, a soma dos elementos da diagonal
principal de A. Assim, se A = (aij) e´ uma matriz quadrada de ordem n,
tr A =
n∑
i=1
aii = a11 + a22 + ... + ann.
Em particular, tr In = n.
Proposic¸a˜o 1.2.5. Se A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem n com elementos em
um corpo K e β ∈ K, enta˜o:
1. tr (A+B) = tr A+ tr B;
2. tr (βA) = βtr A;
3. tr (AB) = tr (BA).
10 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Demonstrac¸a˜o. A prova dos itens (1) e (2) sa˜o deixadas como exerc´ıcio. Provaremos
apenas o item (3).
Sejam A = (aij) e B = (bkl) com 1 ≤ i, j, k, l ≤ n. Assim, os elementos da
diagonal principal de AB sa˜o da forma cii =
∑n
k=1 aikbki e os elementos da diagonal
principal de BA da forma dkk =
∑n
i=1 bkiaik. Logo,
tr (AB) =
n∑
i=1
(
n∑
k=1
aikbki
)
=
n∑
k=1
(
n∑
i=1
aikbki
)
=
n∑
k=1
(
n∑
i=1
bkiaik
)
= tr (BA).
1.2.6 Exerc´ıcios
1. Prove as afirmac¸o˜es feitas na proposic¸a˜o 1.2.1.
2. Prove as afirmac¸o˜es feitas na proposic¸a˜o 1.2.2.
3. Prove os itens (2), (3) e (4) da proposic¸a˜o 1.2.3.
4. Sejam
A =
 2 10 −1
5 3
 e B =
 −1 11 5
0 4
 .
Encontre A+B, 2A, −2B, 3A +B, A−B, B − A e −2A + 5B.
5. Encontre At e Bt, onde A e B sa˜o as matrizes dadas no Exerc´ıcio anterior.
6. Prove que se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o a matriz B = A+At e´ uma matriz
sime´trica.
7. Em cada um dos casos abaixos, encontre A(BC) e (AB)C.
(a)
A =
(
2 1
3 1
)
, B =
(
−1 1
1 0
)
, C =
(
1 4
2 3
)
.
(b)
A =
(
2 4 1
3 0 −1
)
, B =
 1 1 02 1 −1
3 1 5
 , C =
 1 23 1
−1 4

1.2. OPERAC¸O˜ES COM MATRIZES 11
8. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem que satisfazendo
AB = BA.
Mostre que:
(a) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2, e
(b) (A+B)(A− B) = A2 − B2
onde, A2 significa AA, B2 = BB, etc.
9. Considere as seguintes matrizes:
X1 =
 10
0
 , X2 =
 01
0
 , e X3 =
 00
1
 .
Dadas as matrizes A =
(
2 1 1
−1 0 −3
)
e B =
 1 9 −10 −2 7
5 3 2
 , encontre as
matrizes AX1, AX2, AX3, BX1, BX2 e BX3.
10. Seja X a matriz coluna de ordem n×1 em que todos os seus elementos sa˜o iguais
a 0 exceto o elemento de ordem i1 que e´ igual a 1. Seja A uma matriz quadrada
de ordem n. Quem e´ AX?
11. Sejam A = (aij) uma matriz de ordem m× n e B = (bjk) uma matriz de ordem
n × s. Seja C = AB. Denotemos por A(j) a j-e´sima coluna de A e por C(k) a
k-e´sima coluna de C. Mostre que podemos escrever
C(k) = b1kA
(1) + b2kA
(2) + ... + bnkA
(n) =
n∑
j=1
bjkA
(j).
12. Encontre a matriz inversa da matrizA =
(
1 a
0 1
)
onde a e´ um nu´mero real
qualquer.
13. Determine uma matriz A, quadrada de ordem 2 tal A2 = −I2 onde I2 e´ a matriz
identidade de ordem 2.
14. Dadas as matrizes A =
(
3 1
−1 1
)
e B =
(
−2
10
)
entre a matriz X =
(
x
y
)
tal que AX = B.
12 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
1.3 Determinantes
Nesta sec¸a˜o vamos definir uma func¸a˜o que associa a cada matriz quadrada A, de
nu´meros reais (ou de nu´meros complexos) um nu´mero real (ou complexo), chamada
de determinante de A denotada por detA. Faremos isso de maneira indutiva, isto e´,
primeiro iremos definir detA de uma matriz quadrada de ordem 1. Depois, para cada
n, definimos o determinante de uma matriz de ordem n fazendo uso do determinante
de matrizes de ordem n− 1.
Dada uma matriz qualquer A, chamaremos de menor de ordem ij da matriz A,
que denotaremos por Aij , a matriz que obtemos retirando de A a linha de ordem i e a
coluna de ordem j.
Por exemplo se A =

1 0 8
−1 5 2
3 −2 5
0 6 −4
, enta˜o
A11 =
 5 2−2 5
6 −4
 , A12 =
 −1 23 5
0 −4
 , A21 =
 0 8−2 5
6 −4
 ,
A32 =
 1 8−1 2
0 −4
 , A22 =
 1 83 5
0 −4
 e A43 =
 1 0−1 5
3 −2
 .
Estamos agora em condic¸o˜es de definir o determinante de uma matriz quadrada
de ordem n.
Se A = (a) e´ uma matriz de ordem n = 1, definimos detA = a. Prosseguimos
indutivamente: se A = (aij) e´ uma matriz quadrada de ordem n, definimos
detA =
n∑
j=1
(−1)j+1a1j detA1j = a11 detA11−a12 detA12+ ...− (−1)n detA1n, (1.3.1)
ou seja o determinante de A e´ a soma, alternando os sinais, dos produtos dos elementos
da primeira linha da matriz pelo determinante da sua menor correspondente.
Exemplo 1.3.1. Vamos usar a definic¸a˜o para calcular o determinante da matriz
A =
 2 1 3−1 1 0
0 2 4
 .
1.3. DETERMINANTES 13
Por (1.3.1), temos que
detA = 2detA11 − 1 detA12 + 3detA13. (1.3.2)
Logo, devemos encontrar as menores A11, A12 e A13 e calcular os seus determinantes.
Temos que
A11 =
(
1 0
2 4
)
, A12 =
(
−1 0
0 4
)
, e A13 =
(
−1 1
0 2
)
.
Usando novamente (1.3.1), temos:
detA11 = 1det(4)− 0 det 2 = 4
detA12 = −1 det(4)− 0 det(0) = −4
detA13 = −1 det(2)− 1 det(0) = −2.
(1.3.3)
Substituindo esses resultados em (1.3.2), obtemos
detA = 2detA11 − detA12 + 3detA13 = 2(4)− (−4) + 3(−2) = 6.
Observe que se A = (aij) e´ uma matriz quadrada de ordem 2, ou seja
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
,
enta˜o A11 = a22 e A12 = a21. Portanto, por (1.3.1), temos que
detA = det
(
a11 a12
a21 a22
)
= a11a22 − a12a21.
As vezes nos referimos ao determinante de A, escrevendo a matriz A entre duas
barras verticais. Por exemplo, se
A =
 2 1 3−1 1 0
0 2 4
 , enta˜o
∣∣∣∣∣∣∣
2 1 3
−1 1 0
0 2 4
∣∣∣∣∣∣∣
significa o mesmo que detA.
14 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
1.3.1 Propriedades do Determinante
Lembvre-se que a nossa definic¸a˜o de determinante e´ indutiva. Como consequeˆncia
disso, a maioria das provas das propriedades do determinante tambe´m sera´ indutiva.
Proposic¸a˜o 1.3.1. Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas de mesma ordem.
Suponha que B foi obtida de A mutiplicando-se uma coluna de A por um escalar β.
Enta˜o, detB = β detA.
A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
an1 an2 . . . anj . . . ann

e B =

a11 a12 . . . βa1j . . . a1n
a21 a22 . . . βa2j . . . a2n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
an1 an2 . . . βanj . . . ann

Demonstrac¸a˜o. Usaremos induc¸a˜o sobre a ordem n da matriz. Suponha que A (e
consequentemente B) e´ de ordem 1. Enta˜o se A = (a) teremos B = (βa). Logo,
detA = a e detB = βa, ou seja, detB = β detA.
Vamos supor agora que se as matrizes sa˜o de ordem n − 1 (n > 1), enta˜o a
proposic¸a˜o e´ verdadeira. Usaremos essa hipo´tese para provar que se a ordem de A e´ n,
enta˜o detB = β detA. Para facilitar, denotaremos por bk e ak as colunas de ordem k
de B e de A, respectivamente. Por hipotese, existe j tal que bj = βaj e bk = ak para
todo k 6= j. Isso significa que b1j = βa1j e que para k 6= j, o menor B1k e´ obtido de
A1k, multiplicando-se uma coluna por β.
Observe que B1k e A1k sa˜o matrizes quadradas de ordem (n− 1) e portanto, pela
hipo´tese de induc¸a˜o, detB1k = β detA1k. Por outro lado, ainda B1j = A1j e para
k 6= j, b1k = a1k. Logo, para qualquer k (igual ou na˜o a j), tem-se
b1k detB1k = βa1k detA1k.
Assim sendo, teremos
detB =
n∑
k=1
(−1)k+1b1k detB1k =
n∑
k=1
(−1)k+1βa1k detA1k = β detA.
Como consequeˆncias da proposic¸a˜o 1.3.1 temos que se uma matriz tem uma coluna
nula, seu determinante e´ igual a zero e que se A e´ uma matriz quadrada de ordem n e
α ∈ R, enta˜o detαA = αn detA.
1.3. DETERMINANTES 15
Exemplo 1.3.2. Sejam
A =
 0 1 2−1 1 1
1 −2 3
 e B =
 0 5 2−1 5 1
1 −10 3
 .
Observe que B foi obtida de A, mutiplicando-se a segunda coluna por 5. Enta˜o,
a proposic¸a˜o 1.3.1 nos diz que detB = 5detA. Como
detA = (−1) det
(
−1 1
1 3
)
+ 2det
(
−1 1
1 −2
)
= (−1)(−3 − 1) + 2(2− 1) = 4 + 2 = 6,
temos que
detB = 5detA = 5.6 = 30
comio voceˆ pode verificar com um ca´lculo direto.
Proposic¸a˜o 1.3.2. Sejam A,B e C matrizes quadradas de ordem n. Suponha que
A,B,C sa˜o iguais exceto pela coluna j. Suponha ainda que a coluna j de C e´ igual a
soma das colunas j de A e B. Enta˜o detC = detA+ detB.
A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j . . . a2n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
an1 an2 . . . anj . . . ann

, B =

a11 a12 . . . b1j . . . a1n
a21 a22 . . . b2j . . . a2n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
an1 an2 . . . bnj . . . ann

e
C =

a11 a12 . . . a1j + b1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2j + b2j . . . a2n
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
. . . .
.
.
.
an1 an2 . . . anj + bnj . . . ann

Demonstrac¸a˜o. Usaremos novamente, induc¸a˜o sobre a ordem n da matriz. Para n = 1,
temos A = (a11), B = (b11) e C = (a11 + b11). Logo, detA = a11, detB = b11 e
detC = a11 + b11 = detA+ detB.
Suponha que, para matrizes de ordem n− 1 (n > 1), a proposic¸a˜o e´ verdadeira e
sejam A = (aik), B = (bik) e C = (cik) matrizes de ordem n satisfazendo as hipo´teses da
16 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
proposic¸a˜o. Logo c1j = a1j+b1j e os menores A1j, B1j e C1j satisfazem C1j = A1j = B1j.
Para k 6= j, teremos c1k = a1k = b1k e A1k, B1k e C1k sa˜o iguais, exceto pela coluna
j de C1k que e´ igual a soma das colunas j de A1k e B1k e, pela hipo´tese de induc¸a˜o,
detCik = detA1k + detB1k. Assim, para k 6= j, teremos
c1k detC1k = c1k detA1k + c1k detB1k
= a1k detA1k + b1k detB1k.
Por outro lado,
c1j detC1j = (a1j + b1j) detC1k
= a1k detC1k + b1k detC1k
= a1k detA1k + b1k detB1k.
Logo,
detC =
∑n
k=1(−1)k+1c1k detC1k
=
∑n
k=1(−1)k+1a1k detA1k +
∑n
k=1(−1)k+1b1k detB1k
= detA+ detB.
Corola´rio 1.3.1. Se uma matriz possui uma coluna nula, enta˜o seu determinante e´
igual a zero.
As demonstrac¸o˜es das proposic¸o˜es que se seguem podem ser obtidas, como nas
provas dos resultados anteriores, usando induc¸a˜o e sera˜o deixadas a cargo do leitor.
Proposic¸a˜o1.3.3. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n ≥ 2. Se B
e´ obtida de A permutando-se duas colunas (ou duas linhas) adjacentes, enta˜o detB =
− detA.
Exemplo 1.3.3. Considere a matriz
 1 2 30 1 2
1 0 0
. Note que det
 1 2 30 1 2
1 0 0
 = 1.
Logo, usando a proposic¸a˜o 1.3.3, obtemos
det
 1 2 31 0 0
0 1 2
 = −1 e det
 1 0 01 2 3
0 1 2
 = 1.
Corola´rio 1.3.2. Se duas colunas (ou linhas) de uma matriz A sa˜o iguais, enta˜o
detA = 0.
1.3. DETERMINANTES 17
Proposic¸a˜o 1.3.4. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Enta˜o
det(AB) = detA detB.
Uma consequeˆncia importante da proposic¸a˜o 1.3.4, e´ o seguinte resultado:
Corola´rio 1.3.3. Uma matriz A e´ invers´ıvel se, e somente se, detA 6= 0. Neste caso
detA−1 =
1
detA
.
Para finalizar essa sec¸a˜o, enunciaremos um resultado bastante u´til.
Proposic¸a˜o 1.3.5. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Enta˜o detA = detAt.
QUESTA˜O 1.1. Lembramos que definimos o determinante de uma matriz A como
sendo a soma alternando os sinais, dos produtos dos elementos da primeira linha da
matriz pelo determinante da sua menor correspondente. Podemos obter o determinante
de uma matriz A fazendo a soma alternando os sinais, dos produtos dos elementos da
primeira coluna da matriz pelo determinante da sua menor correspondente? Podemos
obter o determinante de A escolhendo uma linha (coulna) arbrita´riamente e fazendo a
soma alternando os sinais dos produtos dos elementos dessa linha (coluna) pelo deter-
minante de sua menor correspondente?
1.3.2 Exerc´ıcios
1. Comprove a regra do produto para as matrizes:
A =
 2 1 20 3 −1
4 1 1
 e B =
 3 −1 5−1 2 1
−2 4 3
 .
2. Qual e´ o determinante de uma matriz diagonal
a11 0 0 · · · 0
0 a22 0 · · · 0
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · a(n−1)(n−1) 0
0 0 0 · · · ann

?
3. Qual a relac¸a˜o entre detA e det−A?
18 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
4. Use a regra do produto para mostrar que, se A e´ invers´ıvel, enta˜o detA 6= 0 e
detA−1 = (detA)−1.
5. Mostre que
(a) Se x1, x2, x3 sa˜o nu´meros, enta˜o∣∣∣∣∣∣∣
1 x1 x
2
1
1 x2 x
2
2
1 x3 x
2
3
∣∣∣∣∣∣∣ = (x2 − x1)(x3 − x1)(x3 − x2).
(b) Se x1, x2, x3, ..., xn sa˜o nu´meros, enta˜o∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 x1 · · · xn−11
1 x2 · · · xn−12
...
... · · · ...
1 xn · · · xn−1n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∏
i<j
(xj − xi),
onde o s´ımbolo
∏
i<j(xj−xi) significa o produto de todos os termos xj −xi,
com i < j e i, j inteiros de 1 ate´ n. Este determinante e´ chamado de
determinante de Vandermonde.
6. Sejam A uma matriz quadrada de ordem m e B uma matriz quadrada de ordem
n. Seja
Q =
(
A 0
0 B
)
a matriz quadrada de ordem (m + n) que tem no canto superior esquerdo a
matriz A, no canto inferior direito a matriz B e zero nas outras posic¸o˜es. Prove
que detQ = (detA)(detB).
1.4 Sistemas Lineares
1.4.1 Definic¸o˜es e Resoluc¸a˜o por Operac¸o˜es Elementares
A partir de agora, se nenhuma menc¸a˜o expl´ıcita em contra´rio for feita, todas
as varia´veis e elementos matriciais citados sa˜o nu´meros (ou escalares) do corpo dos
nu´meros reais ou complexos.
1.4. SISTEMAS LINEARES 19
Uma equac¸a˜o do tipo
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b,
onde os valores de ai (i = 1, ...n) e b sa˜o dados e os valores de xi (i = 1, ...n) devem ser
determinados e´ chamada de equac¸a˜o linear. Os termos ai sa˜o chamados de coeficientes,
o nu´mero b e´ chamado de termo independente e os xi de varia´veis ou inco´gnitas.
Uma sequeˆncia de nu´meros (s1, ..., sn) e´ uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o linear a1x1+
a2x2 + . . .+ anxn = b se a igualdade
a1s1 + a2s2 + . . .+ ansn = b
se verifica.
Exemplo 1.4.1. O terno (5,−1, 0) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2x1 + 8x2 − 5x3 = 2.
E´ comum, quando se tem treˆs, quatro ou cinco varia´veis, substituir os s´ımbolos
xi pelas letras x, y, z, w e t. Por exemplo, e´ usual escrever 2x + 8y − 5z = 2 no lugar
de 2x1 + 8x2 − 5x3 = 2.
Um sistema de equac¸o˜es lineares e´ um conjunto finito de m equac¸o˜es lineares com
n inco´gnitas, geralmente escrito da seguinte maneira:
a11x1 + a12x2+ . . . +a1nxn = b1
a21x1 + a22x2+ . . . +a2nxn = b2
... . . .
...
am1x1 + am2x2+ . . . +amnxn = bm.
(1.4.1)
Exemplo 1.4.2.
(a)
{
2x− 3y = 5
x+ 7y = −2
(b)

x− 2 + 4y + z = 8
−x+ 2y − 3z = −3
3x− y + 2z = 0
(c)
{
x− y + z − w = 0
2y + 3z + 4w = 3
O exemplo (a) e (b) teˆm o mesmo nu´mero de equac¸o˜es e inco´gnitas e no exemplo (c),
o nu´mero de inco´gnitas e´ maior que o nu´mero de equac¸o˜es.
20 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Uma sequeˆncia de nu´meros (s1, ..., sn) e´ uma soluc¸a˜o de um sistema linear do tipo
(1.4.1), se as igualdades
a11s1 + a12s2+ . . . +a1nsn = b1
a21s1 + a22s2+ . . . +a2nsn = b2
... . . .
...
am1s1 + am2s2+ . . . +amnsn = bm.
(1.4.2)
se verificam, isto e´, (s1, ..., sn) e´ uma soluc¸a˜o de um sistema de equac¸o˜es lineares se for
soluc¸a˜o de cada uma das equac¸o˜es do sistema.
Exemplo 1.4.3. O par (−1, 3) e´ soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares{
x+ 2y = 5
2x− y = −5
Como veremos mais adiante, alguns sistemas de equac¸o˜es lineares na˜o possuem
soluc¸a˜o, outros possuem exatamente uma soluc¸a˜o e alguns uma infinidade de soluc¸o˜es.
Observe que um sistema linear do tipo (1.4.1) pode ser identificado com uma
equac¸a˜o matricial
AX = B, (1.4.3)
onde
A =

a11 · · · a1n
a21 · · · a2n
... · · · ...
am1 · · · amn
 , X =

x1
x2
...
xn
 e B =

b1
b2
...
bm
 .
Usando esta identificac¸a˜o no exemplo 1.4.3, teremos:
A =
(
1 2
2 −1
)
, X =
(
x
y
)
e B =
(
5
−5
)
.
Observe que se acontecer de o nu´mero de equac¸o˜es ser igual ao nu´mero de
inco´gnitas isto e´, m = n, enta˜o a matriz A e´ uma matriz quadrada de ordem n.
Portanto, se A e´ invers´ıvel, podemos encontrar a soluc¸a˜o do sistema AX = B, multi-
plicando cada membro da equac¸a˜o matricial pela inversa da matriz A, ou seja,
AX = B ⇔ A−1(AX) = A−1B ⇔
(A−1A)X = A−1B ⇔ X = A−1B.
Logo a matriz A−1B e´ soluc¸a˜o do sistema AX = B.
1.4. SISTEMAS LINEARES 21
Exemplo 1.4.4. Como vimos acima, o sistema{
x+ 2y = 5
2x− y = −5
pode ser escrito na forma matricial(
1 2
2 −1
)(
x
y
)
=
(
5
−5
)
.
Neste caso, a matriz A =
(
1 2
2 −1
)
e´ invers´ıvel e a sua inversa e´ a matriz
A−1 =
(
1
5
−2
5
2
5
−1
5
)
.
Logo, podemos obter a soluc¸a˜o do sistema calculando o produto(
x
y
)
=
(
1
5
−2
5
2
5
−1
5
)(
5
−5
)
.
Neste caso obtemos
(
x
y
)
=
(
−1
3
)
, ou seja x = −1 e y = 3. Portanto o par (−1, 3)
e´ soluc¸a˜o do sistema.
De um modo geral, e´ muito dif´ıcil, na pra´tica, usar essa estrate´gia para resolver
um sistema de equac¸o˜es lineares. Por isso, ha´ uma grande quantidade de estudos
voltados para o desenvolvimento de te´cnicas mais eficientes. Vamos nos debruc¸ar um
pouco sobre esse tema agora.
Dizemos que dois sistemas de equac¸o˜es lineares sa˜o equivalentes se teˆm exata-
mente o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Nosso proposito agora e´ mostrar uma maneira de tomar um dado sistema de
equac¸o˜es lineares, modifica´-lo atrave´s de algumas operac¸o˜es simples para obter um
outro sistema, mais simples de resolver, equivalente ao sistema dado. Para isso ire-
mos definir treˆs operac¸o˜es aplica´veis em qualquer matriz A, chamadas de operac¸o˜es
elementares, a saber:
1. Multiplicac¸a˜o elementar: consiste em substituir uma linha da matriz A por um
mu´ltiplo nume´rico, diferente de zero, da mesma linha.
22 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
2. Modificac¸a˜o elementar: consiste em substituir umalinha de A pela soma dessa
linha com um mu´ltiplo nume´rico de outra linha.
3. Transposic¸a˜o elementar: consiste em permutar duas linhas de A.
Chamamos a atenc¸a˜o que cada operac¸a˜o elementar possui uma operac¸a˜o inversa,
pela qual a operac¸a˜o original pode ser desfeita ou anulada.
A proposic¸a˜o abaixo (cuja prova sera´ omitida) nos diz que ao aplicar uma sequeˆncia
de operac¸o˜es elementares em ambos os membros de uma equac¸a˜o matricial AX = B,
o resultado e´ uma nova equac¸a˜o matricial que tem as mesmas soluc¸o˜es da equac¸a˜o
original.
Proposic¸a˜o 1.4.1. Se o sistema A1X = B1 e´ transformado num sistema A2X = B2
pela aplicac¸a˜o de uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares a A1 para obter A2 e a
mesma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares a B1 para obter B2, enta˜o os dois sistemas
sa˜o equivalentes.
Exemplo 1.4.5. Usaremos a proposic¸a˜o 1.4.1 para resolver o seguinte sistema de
equac¸o˜es lineares:
3x+ 12y + 9z = 3
2x+ 5y + 4z = 4
−x+ 3y + 2z = −5
Escrevendo o sistema na forma matricial, temos 3 12 92 5 4
−1 3 2

 xy
z
 =
 34
−5
 .
Aplicando a operac¸a˜o elementar de multiplicac¸a˜o por
1
3
na primeira linha das
matrizes  3 12 92 5 4
−1 3 2
 e
 34
−5

obtemos as matrizes  1 4 32 5 4
−1 3 2
 e
 14
−5
 .
1.4. SISTEMAS LINEARES 23
Agora, somando (−2) vezes a primeira linha das matrizes a` segunda, e substituindo a
segunda linha pelo resultado, teremos 1 4 30 −3 −2
−1 3 2
 e
 12
−5
 .
Somando a primeira linha a` terceira e substituindo a terceira pelo resultado,
vamos obter  1 4 30 −3 −2
0 7 5
 e
 12
−4
 .
Multiplicando a segunda linha das matrizes por −1
3
obtemos 1 4 30 1 23
0 7 5
 e
 1−23
−4
 .
Vamos agora somar (−4) vezes a segunda linha a` primeira e (−7) vezes a segunda
a` terceira para obter  1 0
1
3
0 1 2
3
0 0 1
3
 e

11
3
−2
3
2
3
 .
Multiplicando a terceira linha por 3, teremos 1 0
1
3
0 1 2
3
0 0 1
 e

11
3
−2
3
2
 .
Observe que, se pararmos aqui, teremos a seguinte equac¸a˜o matricial: 1 0
1
3
0 1 2
3
0 0 1

 xy
z
 =

11
3
−2
3
2

ou seja, o seguinte sistemas de equac¸o˜es lineares (equivalente ao sistema inicial)
x+ 1
3
z = 11
3
y + 2
3
z = −2
3
z = 2
cuja soluc¸a˜o e´ x = 3, y = −2 e z = 2.
24 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
Exemplo 1.4.6. Usando a proposic¸a˜o 1.4.1 fica fa´cil mostrar que o sistema de equac¸o˜es
lineares
2x− 3y + z = 2
−x+ 2y − z = 3
3x− 4y + z = 7
possui uma infinidade de soluc¸o˜es.
Exemplo 1.4.7. Vamos resolver o equac¸o˜es lineares abaixo usando o me´todo dado
pela proposic¸a˜o 1.4.1.
3x− 2y + z = 1
−x+ 2y − 3z = 5
x+ 2y − 5z = 7 .
Neste caso temos que a equac¸a˜o matricial e´ dada por 3 −2 1−1 2 −3
1 2 −5

 xy
x
 =
 15
7

Multiplicando a segunda linha por 2, obtemos: 3 −2 1−2 4 −6
1 2 −5
 e
 110
7

Vamos agora substituir a segunda linha pela soma desta com a primeira. Neste caso
obtemos:  3 −2 11 2 −5
1 2 −5
 e
 111
7

Substituindo a terceira linha pela soma dela com a segunda multiplicada por −1,
teremos:  3 −2 11 2 −5
0 0 0
 e
 111
−4

Logo, o sistema inicial e equivalente ao sistema
3x− 2y + z = 1
x+ 2y −−5z = 11
0x+ 0y + 0z = −4
1.4. SISTEMAS LINEARES 25
E´ claro que a u´ltima equac¸a˜o na˜o pode ser satisfeita para nenhuma escolha dos valores
de x, y e z. Portanto o sistema na˜o tem soluc¸a˜o.
A proposic¸a˜o abaixo nos diz que usando as operac¸o˜es elementares sobre as linhas
de uma matriz e´ poss´ıvel saber se a mesma e´ invers´ıvel e no caso afirmativo, nos mostra
um me´todo para encontrar a sua inversa.
Proposic¸a˜o 1.4.2. Seja A uma matriz quadrada, de ordem n. Enta˜o A e´ invers´ıvel
se, e somente se, pode ser transformada na matriz identidade In de ordem n atrave´s de
uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares. Ale´m disso, se A e´ invers´ıvel a sua inversa
pode ser obtida aplicando a mesma sequeˆncia de operac¸o˜es na matriz identidade In.
Exemplo 1.4.8. Vamos usar a proposic¸a˜o 1.4.2 para concluir que a matriz
A =
 1 0 03 1 5
−2 0 1

e´ invers´ıvel e encontra a sua inversa.
Para facilitar os ca´lculos, vamos colocar as matrizes A e a matriz identidades I3
lado a lado.  1 0 03 1 5
−2 0 1
∣∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
A
1 0 0
0 1 0
0 0 1

︸ ︷︷ ︸
I3
Vamos substituir a segunda linha de A e de I3 pela soma da mesma com a primeira
linha multiplicada por −3. Assim, obtemos 1 0 00 1 5
−2 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−3 1 0
0 0 1

Agora vamos substituir a terceira linha pela soma da mesma com a primeira multipli-
cada por 2.  1 0 00 1 5
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−3 1 0
2 0 1

Note que, para “transformar”A na matriz identidade e´ necessa´rio eliminar o d´ıgito
“5”. Para isso, vamos substituir a segunda linha pela soma da mesma, com a terceira
26 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
multiplicada por −5. Desta forma, teremos 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
I3
1 0 0
−13 1 −5
2 0 1

︸ ︷︷ ︸
A−1
Logo, temos que a matriz A dada e´ invers´ıvel e sua inversa e´ a matriz
A−1 =
 1 0 0−13 1 −5
2 0 1

1.4.2 Um Pouco da Teoria das Equac¸o˜es Lineares
Esta sec¸a˜o tem como objetivo formalizar o me´todo de resoluc¸a˜o dos sistemas de
equac¸o˜es lineares mostrado na sec¸a˜o anterior.
Dado uma matriz A chamamos de um elemento principal de A ao primeiro ele-
mento na˜o nulo de sua linha. Por exemplo, na matriz
2 0 1 2
0 0 −1 3
0 0 0 0
0 5 3 8

os elementos principais sa˜o:
• 2, primeiro elemento na˜o nulo da primeira linha;
• −1, primeiro elemento na˜o nulo da segunda linha e
• 5, primero elemento na˜o nulo da u´ltima linha.
Observe que na terceira linha na˜o ha´ elemento principal, uma vez que a mesma na˜o
possui elementos diferentes de zero.
Uma matriz A e´ dita estar reduzida se satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(a) Toda coluna de A que possui um elemento principal tem todos os outros ele-
mentos iguais a zero.
1.4. SISTEMAS LINEARES 27
(b) Todo os elementos principais de A sa˜o iguais a 1.
Numa matriz, uma coluna que conte´m elementos principais sera´ chamada de col-
una principal. E´ claro que se a matriz esta´ reduzida, cada elemento principal pertence
a uma linha na˜o nula e uma u´nica coluna principal. Isto nos diz que, em uma matriz
reduzida, o nu´mero de colunas principais e´ igual ao nu´mero de linhas na˜o nulas.
Exemplo 1.4.9. Considere as matrizes abaixo:
A =
 0 0 1 31 2 0 5
0 0 0 0
 , B =

1 1 1
0 1 0
0 0 1
0 1 0

Na matriz A, todos os elementos principais sa˜o iguais a 1 e as colunas que conteˆm
elementos principais teˆm todos os outros elementos iguais a zero. Portanto A e´ uma
matriz reduzida. Observe que neste caso, as linhas que possuem elementos principais
sa˜o a primeira e a segunda, isto e´, o nu´mero de linhas com elementos principais e´ igual
a 2, igual ao nu´mero de colunas principais, a saber, a primeira e a terceira colunas.
Na matriz B, embora todos os elementos principais sejam iguais a 1 a segunda
e a terceira colunas na˜o sa˜o principais, uma vez que, mesmo possuindo elementos
principais, essas colunas possuem outros elementos diferentes de zero. Logo, a matriz
B na˜o esta´ na forma reduzida.
Proposic¸a˜o 1.4.3. Considere o sistema de equac¸o˜es lineares AX = B. Suponha que
A e´ uma matriz que esta´ na forma reduzida.
1. Se os elementos da i-e´sima linha de A sa˜o todos iguais a zero e se o elemento
correspondente de B na˜o e´ nulo enta˜o, AX = B na˜o possuisoluc¸a˜o.
2. Se toda linha nula de A (se existir), corresponde a um elemento de B nulo enta˜o,
AX = B possui pelo menos uma soluc¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o.
1. Se a i-e´sima linha da matriz A e´ nula, enta˜o o elemento correspondente de AX
e´ igual a zero. Como AX = B enta˜o, se o elemento correspondente em B na˜o e´
zero, na˜o pode existir soluc¸a˜o.
28 CAPI´TULO 1. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
2. Temos, por hipo´tese, que toda linha nula de A corresponde a um elemento de B
nulo. Neste caso vamos escrever uma soluc¸a˜o para o sistema AX = B.
Suponha que a matriz A e´ de ordem m × n. Sejam x1, ..., xn os elementos da
matriz coluna X (de ordem n × 1) e b1, ..., bm os elementos da matriz coluna B
(de ordem m× 1). Suponha ainda que a coluna j da matriz A e´ principal e seja
i a linha associada. Fac¸a x˜j = bi e considere o produto AX˜ onde X˜ e´ a matriz
coluna cujos os elementos sa˜o x˜j. Observe que o elemento de ordem i do produto
AX˜ e´
∑n
k=1 aikx˜k e que e´ nulo se a linha de ordem i de A for nula e por hipo´tese,
b1 e´ tambe´m nulo. Se a linha i de A e´ na˜o nula, enta˜o aij = 1, uma vez que j e´
a coluna principal associada. Enta˜o, como x˜j = bi, segue que aij x˜j = bi. Quando
k 6= j os termos aij x˜j sa˜o todos nulos uma vez que aik = 0 se a coluna de ordem k
e´ principal e x˜k = 0 se a coluna de ordem k e´ principal. Logo x˜1, ..., x˜n e´ soluc¸a˜o
do sistema AX = B.
1.4.3 Exerc´ıcios
Usando o me´todo dado pela proposic¸a˜o 1.4.1, resolva os seguintes sistemas de equac¸o˜es:
1.

x+ y + z = 2
−x+ 2y − 4z = 2
2x+ 6y + 18z = 0
2.

x+ y = 1
y + z = 2
z + t = 3
t+ x = 4
3.

x+ 2y + 3z = 10
4x+ 5y + 6z = 11
7x+ 8y + 9z = 12
4.

x+ 2y + 4z + 8t = 1
x+ y + z + t = −3
x+ y + z − t = 0
x+ 3y + 9z + 27t = 0
2 Vetores no Espac¸o
Comec¸amos lembrando que, dada uma reta r no espac¸o, qualquer porc¸a˜o limitada
de r e´ chamado de um segmento (da reta r). Neste cap´ıtulo, iremos introduzir o
conceito de “segmento orientado”, necessa´rio para a definic¸a˜o de vetores no espac¸o,
objetivo central deste cap´ıtulo. Assim sendo, iremos nos referir aos segmentos na˜o
orientados como “segmentos geome´tricos”. Ale´m disso, dados dois pontos distintos A
e B de uma reta r, o segmento geome´trico de r contido entre A e B sera´ denotado por
AB.
2.1 Reta Orientada
Seja r uma reta no espac¸o. Iremos dizer que r esta´ orientada se nela escolhermos
um sentido de percurso, que chamaremos de positivo. O sentido contra´rio ao escolhido
e´ chamado de negativo. Se A e B sa˜o dois pontos de r, dizemos que A esta´ a` esquerda
de B (ou B esta´ a` direita de A) se o sentido de percuso de A para B e´ o positivo.
A B
Sejam r uma reta orientada, A e B pontos de r. A unia˜o do conjunto formado
pelos pontos A e B com o conjunto dos pontos de r que esta˜o entre eles e´ chamado
de um segmento de reta orientado, com extremos A e B. Se A esta´ a` esquerda de B,
dizemos que A e´ a origem do segmento e B seu extremo. Um segmento com origem
no ponto A e extremo no ponto B sera´ denotado por [A,B]. Se A = B, dizemos que
[A,B] e´ o segmento nulo. Observe que se A 6= B, enta˜o [A,B] 6= [B,A].
Sejam [A,B] e [C,D] dois segmentos orientados no espac¸o. Dizemos que:
1. [A,B] e [C,D] sa˜o colineares se sa˜o segmentos contidos em uma mesma reta;
2. Se [A,B] e [C,D] na˜o sa˜o segmentos nulos, enta˜o [A,B] e [C,D] tem a mesma
direc¸a˜o ou sa˜o paralelos se sa˜o colineares ou esta˜o contidos em retas paralelas;
29
30 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
3. [A,B] e [C,D] teˆm o mesmo comprimento se os segmentos geome´tricos AB e CD
teˆm comprimentos iguais.
Sejam [A,B] e [C,D] segmentos orientados paralelos. Suponha que [A,B] e [C,D]
esta˜o em retas paralelas distintas. Neste caso, iremos dizer que eles teˆm o mesmo
sentido se os segmentos geome´tricos AC e BD tem intersec¸a˜o vazia. Caso contra´rio,
dizemos que [A,B] e [B,C] possuem sentidos contra´rios (ver figura abaixo).
A
B
A
B
C
D C
D
Mesmo sentido Sentido Contra´rio
Suponha que [A,B] e [C,D] sa˜o paralelos e colineares e seja r a reta que conte´m
[A,B] e [C,D]. Para sabermos se [A,B] e [C,D] teˆm mesmo sentido ou sentidos
contra´rios, procedemos da seguinte maneira: escolhemos uma reta s paralela a reta r e
tomamos [E, F ] tal que tenha a mesmo sentido de [C,D], como definido anteriormente.
Se [A,B] e [E, F ] teˆm o mesmo sentido (respectivamente, sentidos contra´rios), dizemos
que [A,B] e [C,D] teˆm o mesmo sentido (respectivamente, sentidos contra´rios).
Dois segmentos orientados [A,B] e [C,D] sa˜o ditos equipolentes se [A,B] e [C,D]
teˆm a mesma direc¸a˜o, mesmo comprimento e mesmo sentido. Usaremos a notac¸a˜o
[A,B] ∼ [C,D] para indicar que [A,B] e [C,D] sa˜o segmentos orientados, equipolentes.
Observac¸a˜o 2.1.1. Note que, dado um segmento orientado [A,B] e um ponto C no
espac¸o, podemos construir um segmento orientado [C,D] tal que [A,B] ∼ [C,D]. De
fato, se r e´ a reta tal que [A,B] ∈ r, tomamos a reta s que passa por C, paralela a reta
r. Em s, escolhemos um ponto D tal que [A,B] e [C,D] teˆm mesmo comprimento e
mesmo sentido.
Proposic¸a˜o 2.1.1. Sejam [A,B], [C,D] e [E, F ] segmentos orientados. Valem as
seguintes propriedades:
1. [A,B] ∼ [A,B].
2.2. A´LGEBRA DE VETORES 31
2. Se [A,B] ∼ [C,D] enta˜o [C,D] ∼ [A,B].
3. Se [A,B] ∼ [C,D] e [C,D] ∼ [E, F ], enta˜o [A,B] ∼ [E, F ].
Seja [A,B] um segmento orientado. O conjunto formado por todos os segmentos
orientados que sa˜o equipolentes a [A,B] e´ chamado de classe de equipoleˆncia de [A,B].
Neste caso, dizemos que o segmento [A,B] e´ um representante da classe.
Observac¸a˜o 2.1.2.
1. Se CAB e´ a classe de equipoleˆncia do segmento [A,B], segue do item 1 da proposic¸a˜o
2.1.1 que o segmento [A,B] pertence a CAB.
2. Sejam CAB a classe de equipoleˆncia do segmento [A,B] e CCD e´ a classe de
equipoleˆncia do segmento [C,D]. Se [A,B] ∼ [C,D], ou seja, se [C,D] ∈ CAB,
enta˜o, pelo item 2 da proposic¸a˜o 2.1.1, temos que [A,B] ∈ CCD. Ale´m disso,
se [E, F ] ∈ CAB, pelo item 3 da proposic¸a˜o 2.1.1, temos que [E, F ] ∈ CCD e se
[E, F ] ∈ CCD, enta˜o [E, F ] ∈ CAB.
Portanto, temos que, se [A,B] ∼ [C,D] enta˜o a classe de equipoleˆncia de [A,B] e´ igual
a` classe de equipoleˆncia de [C,D]. Isso sgnifica que, qualquer elemento de CAB e´ um
representante da classe de equipoleˆncia de [A,B]
Uma classe de equipoleˆncia de um segmento orientado [A,B], o seja, o conjunto
CAB, sera´ chamado de um VETOR. Usaremos a notac¸a˜o −→AB para indicar o vetor
cujo representante e´ o segmento orientado [A,B]. Quando na˜o quisermos nos referir a
um dos representantes em particular, representaremos um vetor usando letras latinas
minu´scula com uma seta, como por exemplo, −→v ,−→u , etc.
O conjunto de todos os vetores no espac¸o sera´ denotado por V3.
Com consequeˆncia da observac¸a˜o 2.1.1, temos o seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 2.1.2. Dados um vetor qualquer −→v e um ponto A, fixado arbitariamente,
existe um u´nico segmento orientado [A,B] que representa o vetor −→v , isto e´, se [A,C]
e´ outro representante de −→v , enta˜o C = B.
2.2 A´lgebra de Vetores
Chamaremos de vetor nulo, e representaremos por
−→
0 , a classe de equivalencia
do segmento nulo. Se [A,B] e´ um representante de um vetor −→v , chamaremos de vetor
32 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
oposto de −→v ao vetor cujo representante e´ o segmento [B,A]. O oposto do vetor −→v
sera´ indicado por −−→v , ou seja −−→AB = −→BA.
Sejam −→v e −→u dois vetores.
1. Dizemos que −→v e −→u sa˜o paralelos se um representante de −→v e´ paralelo a algum
representante de −→u , e portanto a todos os outros representantes.
2. Se −→v e −→u sa˜o na˜o nulos e paralelos, dizemos que eles teˆm o mesmo sentido se um
representantede −→v tem o mesmo sentido de um representante de −→u . Dizemos
que −→v e −→u tem sentidos contra´rios se um representante de −→v e um representante
de −→u tem sentidos contra´rios.
Por convenc¸a˜o, dizemos que o vetor nulo e´ paralelo a qualquer vetor.
Dado um vetor −→v , a norma (mo´dulo ou comprimento) de −→v e´ o comprimento de
um dos seus representantes, e sera´ indicada por ‖−→v ‖. Se ‖−→v ‖ = 1, dizemos que −→v e´
um vetor unita´rio.
Como consequeˆncia das definic¸o˜es anteriores, temos que −→v = −→u se, e somente
se, −→v e −→u possuem a mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesma norma.
2.2.1 Soma de Vetores
Em V3, definimos uma operac¸a˜o, chamada de adic¸a˜o, que a cada par de vetores
−→v e −→u associa um outro vetor, denotado por −→v +−→u , chamado soma de −→v com −→u da
seguinte maneira:
• Escolha um representante qualquer de −→v , digamos [A,B] (−→v = −→AB)
• Escolha um representante de −→u que tenha origem no ponto B, digamos [B,C]
(−→u = −−→BC)
• O vetor −→v +−→u sera´ o que tem [A,C] com representante, ou seja, −→AB+−−→BC = −→AC.
2.2. A´LGEBRA DE VETORES 33
A
B
C
D
−→u = −−→BC = −−→DC, −→v = −→AB = −−→DC
−→v +−→u = −→u +−→v = −→AC
−→v
−→v
−→u
−→u
−→u
−→v
Observe que a soma −→u + −→v independe da escolha do representante [A,B] do
vetor −→u . De fato, se escolhermos um outro representante de −→u , digamos [A˜, B˜] e
portanto, outro representante de −→v , [B˜, C˜], teriamos [A,B] ∼ [A˜, B˜] e [B,C] ∼ [B˜, C˜]
e portanto, [A,C] ∼ [A˜, C˜].
A soma de −→u com o oposto de −→v e´ chamada de diferenc¸a entre −→u e −→v e e´
indicada por −→u −−→v , isto e´, −→u −−→v = −→u + (−−→v ).
Proposic¸a˜o 2.2.1. Se −→u ,−→v e −→w sa˜o vetores quaisquer, enta˜o valem as seguintes
propriedades:
1. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ).
2. −→u +−→v = −→v +−→u .
3. −→u +−→0 = −→0 +−→u = −→u .
4. −→u + (−−→u ) = −→0 . Ale´m disso, o oposto de −→u e´ o u´nico vetor que satisfaz essa
relac¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o. Sejam −→u = −→AB,−→v = −−→BC e −→w = −−→CD. Enta˜o,
1. Enta˜o,
(−→u +−→v ) +−→w = (−→AB +−−→BC) +−−→CD = −→AC +−−→CD = −−→AD e
−→u + (−→v +−→w ) = −→AB + (−−→BC +−−→CD) = −→AB +−−→BD = −−→AD,
o que prova que (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ).
34 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
2. Temos que −→u +−→v = −→AB +−−→BC = −→AC. Por outro lado, como a soma de vetores
independe da escolha dos seus representantes, podemos escolher o ponto E tal
que
[A,E] ∼ [B,C] e [E,C] ∼ [A,B].
Logo −→v = −→AE e de −→u = −−→EC e portanto, −→v +−→u = −→AE +−−→EC = −→AC (ver figura
abaixo).
−→u
−→v
−→u
−→v
A
E
C
B
3. Note que
−→
0 =
−−→
BB. Assim −→u +−→0 = −→AB+−−→BB = −→AB = −→u . De maneira ana´loga,
prova-se que
−→
0 +−→u = −→u .
4. Como −→u = −→AB, enta˜o −−→u = −→BA. Assim sendo temos
−→u + (−−→u ) = −→AB +−→BA = −→AA = −→0 .
Suponha agora que
−→
v′ e´ tal −→u +−→v′ = −→0 . Enta˜o,
−→u +−→v′ = −→u + (−−→u ).
Portanto, somando −−→u e usando o item 1, teremos:
(−−→u +−→u ) +−→v′ = (−−→u +−→u ) + (−−→u ) (2.2.1)
Agora, usando o fato de −−→u +−→u = 0 e que −→0 +−→u = −→u , segue de (2.2.1) que
−→v = −−→u , o que prova a unicidade do oposto.
2.2.2 Produto de Nu´meros Reais por Vetores
Iremos definir agora uma operac¸a˜o, chamada de multiplicac¸a˜o de nu´meros reais
por vetores, que para cada nu´mero real α e cada vetor −→u , associa um vetor, denotado
por α−→u , chamado produto de α por −→u , da seguinte maneira:
2.2. A´LGEBRA DE VETORES 35
• Se α = 0 ou −→u = −→0 , enta˜o α−→u = −→0 .
• Se α 6= 0 ou −→u 6= −→0 , enta˜o:
1. α−→u e´ paralelo a −→u
2. Se α > 0, α−→u tem o mesmo sentido de −→u e se α < 0, α−→u tem sentido
contra´rio ao de −→u .
3. ‖α−→u ‖ = |α|‖−→u ‖, onde |α| indica o valor absoluto de α.
−→u
−→v
2−→u −2−→u
−5−→v
3−→v
E´ comum chamar os nu´meros reais de escalar. Assim sendo, a multiplicac¸a˜o de
nu´mero real por vetores tambe´m e´ chamada de multiplicac¸a˜o de escalar por vetores.
A pro´xima proposic¸a˜o establece algumas propriedades muito u´teis desta operac¸a˜o.
Proposic¸a˜o 2.2.2. Sejam −→u e −→v vetores. Dados α e β nu´meros reais, valem as
seguintes iguadades:
1. α(−→u +−→v ) = α−→u + α−→u .
2. (α + β)−→u = α−→u + β−→u .
3. 1−→u = −→u .
4. α(β−→u ) = (αβ)−→u = β(β−→u ).
Proposic¸a˜o 2.2.3. Sejam −→u e −→v vetores na˜o nulos. Suponha que existe um nu´mero
real α tal que −→u = α−→v . Enta˜o |α| = ‖−→u ‖‖−→v ‖ .
Proposic¸a˜o 2.2.4. Sejam −→u e −→v vetores na˜o nulos. Enta˜o −→u e −→v sa˜o paralelos se,
e somente se, existe um nu´mero real α tal que −→u = α−→v .
36 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
Demonstrac¸a˜o. Por definic¸a˜o, se −→u = α−→v para algum α, enta˜o −→u e −→v sa˜o paralelos.
Suponha agora que −→u e −→v sa˜o paralelos. Inialmente vamos considerar que os
vetores −→u e −→v teˆm o mesmo sentido. Seja α = ‖−→u ‖‖−→v ‖ . Vamos mostrar que −→u = α−→v .
Como α > 0, α−→v e −→v sa˜o paralelos e teˆm o mesmo sentido. Como, por hipo´tese, −→u
e −→v , sa˜o paralelos e mesmo sentido, segue que −→u e α−→v sa˜o paralelos e teˆm o mesmo
sentido. Por outro lado
‖α−→v ‖ = |α|‖−→v ‖ =
∣∣∣∣‖−→u ‖‖−→v ‖
∣∣∣∣ ‖−→v ‖ = ‖−→u ‖,
ou seja, −→u e α−→v sa˜o paralelos, teˆm o mesmo sentido e mesmo comprimento, isto e´,
−→u = α−→v .
No caso em que −→u e −→v sa˜o paralelos e sentido contra´rios, tomamos α = −‖−→u ‖‖−→v ‖ .
Os detalhes da prova, para esse caso, fica como exerc´ıcio.
2.2.3 Soma de Pontos com Vetores
Dado um ponto A e um vetor −→u , definimos a soma de A com −→u , e denotamos
por A+−→u , como sendo o ponto B, tal que −→AB = −→u . Assim, A+−→u = B se, e somente
se, [A,B] e´ um representante de −→u com origem no ponto A.
Como no caso de soma de vetores, usaremos a notac¸a˜o A − −→u para indicar a
soma de A com o oposto de −→u , isto e´, A−−→u = A+ (−−→u ).
Proposic¸a˜o 2.2.5. Sejam −→u ,−→v vetores e P1, P2 pontos. Enta˜o,
1. (P1 +
−→u ) +−→v = P1 + (−→u +−→v ).
2. Se P1 =
−→u = P1 +−→v , enta˜o −→u = −→v .
3. Se P1 +
−→u = P2 +−→u , enta˜o P1 = P2.
4. (P1 −−→u ) +−→u = P1.
Demonstrac¸a˜o.
1. Sejam A = P1 +
−→u e B = A + −→v . Enta˜o, por definic¸a˜o, −→u = −−→P1A e −→v = −→AB.
Logo,
(P1 +
−→u ) +−→v = A+−→AB = B e P1 + (−→u +−→v ) = P1 +−−→P1B = B.
2.2. A´LGEBRA DE VETORES 37
2. Seja A = P1 +
−→u . Enta˜o, por hipo´tese, A = P1 + −→u = P1 + −→v . Logo, por
definic¸a˜o, −→u = −−→P1A = −→v .
3. Se P1 +
−→u = P2 +−→u enta˜o, pelo item 1. temos que
(P1 +
−→u )−−→v = (P2 +−→u )−−→v ⇒
P1 + (
−→u −−→v ) = P2 + (−→u −−→v ) ⇒
P1 +
−→
0 = P2 +
−→
0 ⇒
P1 = P2
A prova desse item e´ deixada como exerc´ıcio.
2.2.4 Exerc´ıcios
1. Prove a proposic¸a˜o 2.2.2.
2. Prove a proposic¸a˜o 2.2.3.
3. Prove o ite´m 3 da proposic¸a˜o 2.2.5.
4. Prove que as diagonais de um paralelograma teˆm o mesmo ponto me´dio.
5. Seja α um nu´mero real na˜o nulo. Se −→u e −→v sa˜o vetores tais que −→u = α−→v , prove
que −→v = 1
α
−→u .
6. Seja α um nu´mero real e −→u um vetor. Prove que valem as seguintes regras de
sinais:
(a) (−α)−→u = − (α−→u ).
(b) α (−−→u ) = − (α−→u ).
(c) (−α) (−−→u ) = α−→u
7. Sejam P um ponto, −→u e −→v vetores. Prove que (P −−→u ) +−→v = P − (−→u −−→v ).
8. No triaˆngulo ABC sejam P1, P2 e P3 os pontos me´dios dos lados AB, BC e CA
respectivamente (ver figura abaixo). Escreva
−−→
BP3,
−−→
AP2 e
−−→
CP1 em func¸a˜o dos
vetores
−→
CA e
−−→
CB.
38 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
b
b
b
A
B
C
P3
P1
P2
2.3 Dependeˆncia e Indepedeˆncia Linear
Para cada nu´mero natural n diferente de zero, usaremos a notac¸a˜o
{−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n}
para indicar um conjunto ordenado de n vetores, −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n em V3. Aqui, a
palavra ordenado deve ser pensada da seguinte maneira: se dois conjuntos ordenados
de n vetores, {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n} e {−→v 1,−→v2, . . . ,−→v n} sa˜o tais que
{−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n} = {−→v 1,−→v 2, . . . ,−→v n} ,
enta˜o −→u =−→v 1, −→u 2 = −→v2 , . . . , −→u n = −→v n.
Dado um conjunto ordenado de vetores X = {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n} em V3 iremos
dizer que um vetor −→v e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores de X se existem n nu´meros
reais, a1, a2, · · · , an, tais que
−→v = a1−→u 1 + a2−→u 2 + . . .+ an−→u n.
Neste caso dizemos tambe´m que o vetor −→v e´ gerado pelos vetores −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n.
Seja X = {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n} um conjunto ordenado de n vetores. Se n > 1,
dizemos que X e´ um conjunto de vetores linearmente dependente, ou que X e´ um
conjunto (de vetores) LD, se um dos vetores de X e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais,
isto e´, se existe i ∈ {1, 2, . . . , n} tal que
−→u i = a1−→u 1 + . . .+ ai−1−→u i−1 + ai+1−→u i+1 + . . .+ an−→u n,
onde a1, . . . , ai−1, ai+1, . . . , an sa˜o nu´meros reais.
E´ costume dizer que os vetores −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n sa˜o LD ao inve´s de dizer que o
conjunto X , formado pelos vetores −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n, e´ um conjunto LD.
2.3. DEPENDEˆNCIA E INDEPEDEˆNCIA LINEAR 39
Para n = 1, ou seja, se X = {−→u }, dizemos que X e´ linearmente dependente (LD)
se −→u = −→0 .
Observe que se n = 2, ou seja, se X = {−→u 1,−→u 2}, enta˜o dizer que X e´ LD significa
dizer que um dos vetores de X e´ um mu´ltiplo do outro, o que quer dizer que −→u 1 e
−→u 2 sa˜o paralelos. No caso n = 3, dizer que X = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} e´ um conjunto LD,
e´ o mesmo que dizer que um dos vetores e´ uma soma dos outros dois. Neste caso, e´
poss´ıvel escolher representantes de −→u 1,−→u 2 e −→u 3 que esta˜o em um mesmo plano (ver
figura abaixo).
−→u 2 = −→AC,−→u 1 = −→AB, −→u 3 = a−→u 1 + b−→u 2 = −→AF
a−→u 1 = −−→AD
b−→u 2 = −→AE
A
B
C
D
E
F
Se o conjunto X = {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n} de n vetores na˜o for um conjunto LD,
iremos dizer que o mesmo e´ um conjunto de vetores linearmente independente, ou
abreviadamente, que X e´ um conjunto LI. Assim, por definic¸a˜o, temos:
1. para n = 1, isto e´, se X = {−→u }, enta˜o X e´ LI se −→u 6= −→0 .
2. para n = 2, isto e´, se X = {−→u 1,−→u 2}, enta˜o X e´ LI se −→u 1 e −→u 2 na˜o sa˜o paralelos.
3. para n = 3, isto e´, X = {−→u 1,−→u 2,−→u 3}, enta˜o X e´ LI se, e somente se, for
imposs´ıvel escolher representantes de −→u 1, −→u 2 e −→u 3, todos em um mesmo plano
(ver figura abaixo).
40 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
−→u 2 = −→AC,−→u 1 = −→AB, −→u 3 = −−→AD
A
B
C
D
Como no caso de vetores LD, e´ costume dizer que os vetores −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n sa˜o
LI ao inve´s de dizer que o conjunto X , formado pelos vetores −→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n, e´ um
conjunto LI.
Proposic¸a˜o 2.3.1. Seja X = {−→u 1,−→u 2, . . . ,−→u n} um conjunto ordenado de vetores.
Enta˜o X e´ LI se, somente se, a igualdade
a1
−→u 1 + a2−→u 2 + . . .+ an−→u n = −→O (2.3.1)
acontece apenas quando a1 = a2 = . . . = an = 0.
Demonstrac¸a˜o. Vamos supor que a igualdade (2.3.1) ocorre sem que todos os ai sejam
nulos. Podemos admitir que a1 6= 0. Neste caso, segue da igualdade (2.3.1) que
−→u 1 = −a2
a1
−→u 2 − . . .− an
a1
−→u n,
o que nos diz que −→u 1 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores −→u 2, . . . ,−→u n, o que implica
em X ser um conjunto LD, contradizendo a hipo´tese de que X e´ LI. Isso prova que, se
X e´ LI, a igualdade (2.3.1) acontece apenas quando a1 = a2 = . . . = an = 0.
Vamos supor agora que X na˜o e´ LI, ou seja, que X e´ LD. Enta˜o, por definic¸a˜o,
um dos vetores de X e´ combinac¸a˜o linear dos demais. Podemos supor que tal vetor e´
o −→u 1. Logo existe nu´meros reais, b2, . . . , bn tais que
−→u 1 = b2−→u 2 + . . .+ bn−→u n,
e portanto,
1−→u 1 − b2−→u 2 − . . .− bn−→u n = −→0 .
2.3. DEPENDEˆNCIA E INDEPEDEˆNCIA LINEAR 41
Essa u´ltima igualdade nos mostra que, se X for LD, e´ poss´ıvel termos uma com-
binac¸a˜o linear do tipo (2.3.1) sem que todos os escalares sejam iguais a zero. Logo, se
a igualdade (2.3.1) acontece apenas quando todos os escalares sa˜o nulos, enta˜o X e´
LI.
2.3.1 Exerc´ıcios
1. Suponha que −→u e −→v sa˜o dois vetores LD. E´ verdade que para qualquer outro
vetor −→w dado, {−→u ,−→v ,−→w } e´ ainda LD? Justifique sua resposta.
2. Suponha que −→u e −→v sa˜o dois vetores LI. E´ verdade que para qualquer outro
vetor −→w dado, {−→u ,−→v ,−→w } e´ ainda LI? Justifique sua resposta.
3. Dados −→u 1, −→u 2 e −→u 3 quaisquer, prove que os vetores
−→u = −→u 1 + 2−→u 2 −−→u 3, −→v = 2−→u 1 − 3−→u 2 +−→u 3 e −→w = 7−→u 2 − 3−→u 3
sa˜o LD.
4. Sejam −→u , −→v e −→w vetores. Prove que:
(a) Os −→u e −→v sa˜o LI se, e somete se, os vetores −→u 1 = (−→u +−→v ) e −→u 2 =
(−→u −−→v ) sa˜o LI.
(b) Os −→u , −→v e −→w sa˜o LI se, e somete se, os vetores −→u 1 = (−→u +−→v ), −→u 2 =
(−→u −−→w ) e −→u 3 = (−→v −−→w ) sa˜o LI.
5. Encontre valores para m e n, sabendo que os vetores −→u e −→v sa˜o LI e satisfazem
a igualdade (m− 1)−→u + n−→v = n−→u − (m+ n)−→v .
6. Num tria˜ngulo ABC seja P1 o ponto me´dio do lado AB e P2 um ponto no lado
AC tal que P1P2 e´ paralelo a BC. Prove que P2 e´ o ponto me´dio do lado AC
(ver figura abaixo).
b
b
A
B
C
P1
P2
42 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
2.4 Bases
O que estudamos sobre os vetores, ate´ momento, nos da´ informac¸o˜es puramente
geome´tricas sobre os mesmos. Nosso objetivo agora e´ o de prosseguir o estudo asso-
ciando vetores a nu´meros reais, os quais chamaremos de coordenadas do vetor, e enta˜o
passaremos a dar um tratamento mais alge´brico aos vetores.
Como anteriormente, denotaremos por V3 o conjunto de todos os vetores no
espac¸o munido das operac¸o˜es estudadas nas sec¸o˜es anteriores. Chamaremos de uma
base ordenada de V3 a todo conjunto de ordenado LI de vetores, com treˆs elementos.
Assim sendo, se treˆs vetores formam uma base de V3, os mesmo na˜o possuem repre-
sentantes em um mesmo plano. O primeiro resultado importante sobre bases de V3 e´
a seguinte
Proposic¸a˜o 2.4.1. Se {−→u 1,−→u 2,−→u 3} e´ uma base de V3, enta˜o qualquer vetor −→v ∈ V3
e´ uma combinac¸a˜o linear de −→u 1,−→u 2 e −→u 3, isto e´, existem nu´meros reais a1, a2 e a3
tais que −→v = az−→u 1 + a2−→u 2 + a3−→u 3.
Demonstrac¸a˜o. Dado um ponto P , escolhemos pontos A,B,C e D tais que −→u 1 = −→PA,
−→u 2 = −−→PB, −→u 3 = −→PC e −→v = −−→PD.
P
B
A
C
P1
P2
P3
P4
D
Como −→u 1, −→u 2 e −→u 3 sa˜o LI, os segmentos orientados [P,A], [P,B] e [P,C] na˜o
esta˜o em um mesmo plano. Logo, a reta paralela a [P,C] que passa pelo ponto D
determina um ponto P1 no plano que conte´m os pontos P,A, e B. Pelo mesmo motivo,
as retas que passam por P1 paralelas a [P,A] e a [P,B] determinam, respectivamente,
os pontos P2 e P3 nas retas que conte´m os segmentos [P,B] e [P,A].
O plano que passa pelo ponto D e e´ paralelo ao plano que conte´m os pontos P , A
e B, determina na reta que conte´m o segmento [P,C] um ponto P4 (ver figura acima).
2.4. BASES 43
Como [P,A] e [P, P3] sa˜o paralelos, podemos escrever
−−→
PP3 = a1
−→
PA = a1
−→u 1.
Como [P,B] e [P, P2] sa˜o parelelos, existe um nu´mero real a2 tal que
−−→
PP2 = a2
−−→
PB =
a2
−→u 2. De maneira ana´loga, existe a3 tal que −−→PP4 = a3−→PC = a3−→u 3. Logo,
−→v = −−→PD = −−→PP3 +−−→PP2 +−−→PP4 = a1−→u 1 + a2−→u 2 + a1−→u 3.
A proposic¸a˜o 2.4.1 nos garante que, se B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} e´ uma base ordenada
de V3 e se −→v e´ um vetor, existem nu´meros reais a1, a2 e a3 tais que
−→v = a1−→u 1 + a2−→u 2 + a3−→u 3.
O seguinte resultado, mostrar que esses nu´meros sa˜o unicamente determinados.
Proposic¸a˜o 2.4.2. Sejam X = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} uma base de V3 e −→v um vetor. Se
−→v = a1−→u 1 + a2−→u 2 + a3−→u 3 e −→v = b1−→u 1 + b2−→u 2 + b3−→u 3,
enta˜o a1 = b1, a2 = b2 e a3 = b3.
Demonstrac¸a˜o. Como −→v = a1−→u 1 + a2−→u2 + a3−→u 3 e −→v = b1−→u 1 + b2−→u 2 + b3−→u 3, temos
que
a1
−→u 1 + a2−→u 2 + a3−→u 3 = b1−→u 1 + b2−→u 2 + b3−→u 3,
e portanto,
(a1 − b1)−→u 1 + (a2 − b2)−→u 2 + (a3 − b3)−→u 3 = −→0 .
Assim, como X e´ LI, segue da proposic¸a˜o 2.3.1 que
a1 − b1 = 0, a2 − b2 = 0 e a3 − b3 − 0,
ou seja, a1 = b1, a2 = b2 e a3 = b3.
Em resumo, temos que, dado uma base B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} de V3, se −→v e´ um
vetor, enta˜o existem e sa˜o unicos, nu´meros reais a1, a2 e a3 tais que
−→v = a1−→u 1 +
a2
−→u 2 + a3−→u 3. Tais nu´meros sa˜o chamados de coordenadas do vetor −→v na base B
e sera˜o indicados por (a1, a2, a3)B. Logo, dizer que um vetor
−→v tem coordenadas
(a1, a2, a3) na base B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3}, significa dizer que −→v = a1−→u 1 + a2−→u 2 + a3−→u 3.
Logo, conhecendo a base, podemos identificar o vetor −→v com suas coordenadas, o que
nos permite usar a notac¸a˜o −→v = (a1, a2, a3)B.
44 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
E´ importante observar que as coordenadas de um vetor dependem da escolha
da base. Ale´m disso, como uma base e´ um conjunto ordenado, a ordem na qual os
nu´meros a1, a2 e a3 aparecem na tripla (a1, a2, a3)B e´ muito importante. Por exemplo,
se a1 6= a2, as triplas (a1, a2, a3)B e (a2, a1, a3)B esta˜o associadas a vetores diferentes.
Usando as propriedades de soma de vetores e de produto de nu´meros reais por
vetores, e´ facil verificar que sa˜o verdadeiras as seguintes igualdades:
1. (a1, a2, a3)B + (b1, b2, b3)B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)B.
2. α(a1, a2, a3)B = (αa1, αa2, αa3)B, qualquer que seja o nu´mero real α.
Proposic¸a˜o 2.4.3. Dois vetores −→u = (a1, a2, a3)B e −→v = (b1, b2, b3)B na˜o nulos sa˜o
LD se, e somente se existe α ∈ R tal que a1 = αb1, a2 = αb2 e a3 = αb3.
Demonstrac¸a˜o. A prova e´ consequeˆncia imediata do fato de que dois vetores sa˜o LD
se, e somente se, sa˜o paralelos.
Usando a proposic¸a˜o 1.3.3, temos o seguinte resultado:
Corola´rio 2.4.1. Dois vetores −→u = (a1, a2, a3)B e −→v = (b1, b2, b3)B na˜o nulos sa˜o LD
se, e somente se, as matrizes(
a1 a2
b1 b2
)
,
(
a1 a3
b1 b3
)
e
(
a2 a3
b2 b3
)
,
possuem determinantes nulos.
Proposic¸a˜o 2.4.4. Treˆs vetores −→u = (a1, a2, a3)B, −→v = (b1, b2, b3)B e −→w = (c1, c2, c3)B
sa˜o LD se, e somente se, a matriz
A =
 a1 a2 a3b1 b2 b3
c1 c2 c3

tem determinante nulo.
Demonstrac¸a˜o. Sabemos que treˆs vetores sa˜o LD se, e somente se, um deles e´ com-
binac¸a˜o linear dos outros. Podemos supor, sem perda de generalidade, que −→u e´ uma
combinac¸a˜o linear dos vetores −→v e −→w . Assim sendo, existem α, β ∈ R tais que
−→u = α−→v + β−→w . Portanto,
(a1, a2, a3) = (αb1 + βc1, αb2 + βc2, αb3 + βc3),
2.4. BASES 45
ou seja, a1 = αb1 + βc1, a2 = αb2 + βc2 e a3 = αb3 + βc3. Logo
A =
 a1 a2 a3b1 b2 b3
c1 c2 c3
 =
 αb1 + βc1 αb2 + βc2 αb3 + βc3b1 b2 b3
c1 c2 c3
 .
E´ facil verificar, atrave´s das operac¸o˜es elementares sobre as linhas de uma matriz,
que a matriz A pode ser transformada em uma matrizM que tem umas das linhas nula,
isto e´, numa matriz na˜o invers´ıvel. Logo, pela proposic¸a˜o 1.4.2, A na˜o e´ invers´ıvel, o
portanto, detA = 0.
Lembramos que dois segmentos geome´tricos AB e CD, com intersec¸a˜o na˜o vazia,
sa˜o ortogonais se o aˆngulo entre eles e´ de 90o. Vamos agora, introduzir o conceito
de vetores ortogonais, fazendo uso do conceito de ortogonalidade entre segmentos
geome´tricos. Dados dois vetores na˜o nulos −→u e −→v dizemos que −→u e´ ortogonal a −→v se
existem representantes [A,B] e [C,D] de −→u e −→v respectivamente, que sa˜o ortogonais.
O vetor nulo e´ ortogonal a qualquer vetor. Usaremos a notac¸a˜o −→u ⊥ −→v para indicar
que −→u e´ ortogonal ao vetor −→v . E´ claro que, se −→u ⊥ −→v enta˜o −→v ⊥ −→u .
−→v = −→CA
A
B −→u ⊥ −→v
C
−→u = −→AB
Como consequeˆncia do teorema de Pita´goras, temos o seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 2.4.5. Sejam −→u e −→v vetores na˜o nulos. Enta˜o −→u e −→v sa˜o ortogonais
se, e somente se, ‖−→u +−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2.
−→uB
C −→u +−→v
A
−→v
46 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
Uma base B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} dita ser ortonormal se seus vetores sa˜o unita´rios e
dois a dois ortogonais, isto e´, B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} e´ uma base ortonormal se:
1. ‖−→u 1‖ = ‖−→u 2‖ = ‖−→u 3‖ = 1 e
2. −→u 1 ⊥ −→u 2, −→u 1 ⊥ −→u 3 e −→u 2 ⊥ −→u 3
−→u 1
−→u 2
−→u 3
Base Ortonormal
Proposic¸a˜o 2.4.6. Se B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} e´ uma base ortonormal e −→u = (a1, a2, a3)B,
enta˜o
‖−→u ‖2 = a21 + a22 + a23
Demonstrac¸a˜o. Faremos a prova apenas para o caso em que a1 > 0, a2 > 0 e a3 > 0
(ver figura abaixo).
−→u 1
a1
−→u 1
−→u 2 a2−→u 2
−→u 3
a3
−→u 3
−→u
A
B
C
D
a1 > 1, a2 > 1, a3 > 1
Observe que ‖−→u ‖ e´ a hipotenusa do triaˆngulo retaˆngulo 4ACB cujos catetos sa˜o
‖a1−→u 1 + aa−→u 2‖ e ‖a3−→u 3‖. Logo, pelo teorema de Pita´goras, temos
‖−→u ‖2 = ‖a1−→u 1 + a2−→u 2‖2 + ‖a3−→u 3‖2. (2.4.1)
2.4. BASES 47
Como B e´ ortonormal, os vetores a1
−→u 1 e a2−→u 2 sa˜o ortogonais. Portanto, pela
proposic¸a˜o 2.4.5, temos que ‖a1−→u 1 + a2−→u 2‖2 = ‖a1−→u 1‖2 + ‖a2−→u 2‖2. Usando essa
igualdade em (2.4.1) obtemos
‖−→u ‖2 = ‖a1−→u 1‖2 + ‖a2−→u 2‖2 + ‖a3−→u 3‖2. (2.4.2)
Por outro lado, para cada i ∈ {1, 2, 3}, ‖ai−→u i‖ = |ai| pois ‖ai−→u i‖ = |ai|‖−→u i‖ e
‖−→u i‖ = 1 uma vez B e´ uma base ortonormal. Assim sendo, segue de (2.4.2) que
‖−→u ‖2 = |a1|2 + |a2|2 + |a3|2 = a21 + a22 + a23.
2.4.1 Exerc´ıcios
1. Seja B uma base. Dados −→u = (1,−3, 5)B e −→v = (−3, 5 − 2)B encontre as
coordenadas do vetor −→w na base B sabendo que −→w = 2−→u − 4−→v .
2. Seja B uma base. Verifique se o vetor −→u = (−1, 3, 9)B e´ uma combinac¸a˜o linear
dos vetores −→v = (2,−1, 5)B e −→w = (−1, 1, 3)B
3. Suponha que B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} e´ uma base e sejam −→v 1 = −→u 1 + −→u 2 + −→u 3,
−→v 2 = −→u 1 + −→u 2 e −→v 3 = −→u 3. Verifique se o conjunto B˜ = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} e´
tambe´m uma base.
4. Suponha que B = {−→u 1,−→u 2,−→u 3} e´ uma base e sejam −→v 1 = 2−→u 1 − −→u 2 + −→u 3,
−→v 2 = −→u 2 −−→u 3 e −→v 3 = 3−→u 3.
(a) Prove que B˜ = {−→v 1,−→v 2,−→v 3} e´ uma base.
(b) Se −→u = (2,−1, 1)B encontre x, y e z tais que −→u = (x, y, z)B˜.
5. Suponha que B e´ uma base ortonormal. Se −→u = (2,−1,−2)B encontre ‖−→u ‖.
6. Suponha que B e´ uma base ortonormal. Encontre um vetor unita´rio, isto e´ um
vetor de norma 1, na mesma direc¸a˜o e sentido do vetor −→u = (−2, 0, 3)B.
7. Sejam B uma base ortonormal, Po = (a, b, c)B um ponto no espac¸o e r um nu´mero
real positivo. A esfera de raio r e centro no Po e´ o conjunto de todos os pontos
o espac¸o cuja a distaˆncia para o ponto Po e´ igual a r. Mostre que P = (x, y, z)
pertence a esfera de raio r e centro em Po se, e somente se
(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2.
48 CAPI´TULO 2. VETORES NO ESPAC¸O
2.5 Produto Escalar
Na sec¸a˜o anterior, definimos vetores ortogonais. Portanto, e´ razoa´vel nos pergun-
tar se podemos medir aˆngulos entre vetores. A resposta a essa pergunta e´ sim. Para
isso, faremos uso de uma operac¸a˜o chamada de produto escalar. Pore´m, antes disso, e´
necessa´rio definir aˆngulos entre dois vetores.
Dados dois vetores −→u e −→v na˜o-nulos e um ponto P qualquer do espac¸o, sabemos
que podemos escolher dois pontos A e B tais que −→u = −→PA e −→v = −−→PB. O aˆngulo entre
−→u e −→v e´, por definic¸a˜o, o menor dos aˆngulo AP̂B e BP̂A. E´ claro que a medida de tal
aˆngulo, independe da escolha do ponto P e da escolha dos segmentos orientados [P,A]
e [P,B], com origem comum, representantes de −→u e −→v , respectivamente.
Note que se θ e´ o aˆngulo entre dois vetores quaisquer, enta˜o por definic¸a˜o, θ e´ o
menor entre os aˆngulos AP̂B e BP̂A. Portanto 0 ≤ θ ≤ pi.
−→v
P
A
B
−→u
θ
Se−→u e−→v sa˜o vetores na˜o nulos, o aˆngulo entre