aula 3 Solução de problemas de engenharia

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MÉTODOS NUMÉRICOS
PARA ENGENHARIA CIVIL
Prof.ª Me. Suise C. Carmelo de Almeida
suise.almeida@estacio.br
Solução de problemas de engenharia
• Em engenharia existem principalmente três métodos de solução de problemas:
• Métodos analíticos, os quais conduzem a resultados analíticos;
• Métodos numéricos (experimentação numérica/ modelagem); 
• Experimentação em laboratório;
Métodos numéricos, em oposição aos analíticos, são usados para encontrar
soluções aproximadas. Essa é a principal diferença. São utilizados nos casos
em que não é prático ou possível encontrar uma solução analítica, como
resolver uma integral cuja primitiva não existe ou é desconhecida. Eles
geralmente são rápidos e simples de programar, sendo este o seu ponto
forte.
MÉTODOS NUMÉRICOS
• Quando falamos de soluções aproximadas, devemos considerar:
• Números significativos: Na matemática aplicada, algarismos significativos são
utilizados para monitorar os erros ao se representar números reais na base 10.
São considerados aqueles que têm significado real ou fornecem informações;
• Os números significativos de um número são determinados pelo seu erro.
• É comum pensar que quanto mais dígitos a resposta tiver, mais preciso será o
resultado. Porém, a precisão de uma resposta tem a ver principalmente com os
instrumentos que usamos para fazer nossas medições. O motivo é simples:
existem instrumentos mais precisos que outros.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
▪ Para utilizar eficazmente qualquer ferramenta de solução necessitamos
conhecer e entender o problema.
▪ Os computadores tem uma grande utilidade para resolver problemas de
engenharia, por isso é importante compreendemos o funcionamento dos
sistemas.
A resolução dos diversos problemas, que surgem nas 
mais diversas áreas, envolve várias fases.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Fases da Resolução de um Problema
Problema 
Real
Levantamento 
de Dados
Construção do Modelo 
Matemático
Escolha do Método 
Numérico Adequado
Implementação 
Computacional
Análise dos Resultados 
Obtidos
Fenômeno Físico
Resultados 
Aproximados
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Fases da Resolução de um Problema
Problema 
Real
Levantamento 
de Dados
Construção do Modelo 
Matemático
Escolha do Método 
Numérico Adequado
Implementação 
Computacional
Análise dos Resultados 
Obtidos
Resultados 
Aproximados
Fases da Resolução de um Problema
Construção do Modelo 
Matemático
Um modelo matemático pode ser definido como uma formulação ou uma equação
que expressa as características essenciais de um sistema físico ou processo, em
termos matemáticos.
Problema 
Real
Levantamento 
de Dados
Escolha do Método 
Numérico Adequado
Implementação 
Computacional
Análise dos Resultados 
Obtidos
Resultados 
Aproximados
Erros na Fase de 
Modelagem:
❖ Para representar um 
fenômeno do mundo físico 
por meio de um método 
matemático, 
normalmente, são 
necessárias várias 
simplificações do mundo 
físico para que se tenha um 
modelo.
❖ A precisão dos dados de 
entrada.
Erros
Fases da Resolução de um Problema
Escolha do Método 
Numérico Adequado
“A ferramenta numérica é a adequada e confiável quando se está de posse de um método
numérico que resolva corretamente as equações diferenciais, e de um modelo matemático,
que represente com fidelidade o fenômeno físico.”
Construção do Modelo 
Matemático
Problema 
Real
Levantamento 
de Dados
Implementação 
Computacional
Análise dos Resultados 
Obtidos
Resultados 
Aproximados
Fases da Resolução de um Problema
Como necessitamos realizar um número grande de cálculos aritméticos, devemos
usar o computador para obter um solução em um tempo razoável.
Escolha do Método 
Numérico Adequado
Construção do Modelo 
Matemático
Problema 
Real
Levantamento 
de Dados
Implementação 
Computacional
Análise dos Resultados 
Obtidos
Resultados 
Aproximados
Fases da Resolução de um Problema
A análise dos resultados tem como objetivo verificar se os resultados observados
correspondem aos esperados, com base em critérios e padrões estipulados.
Escolha do Método 
Numérico Adequado
Construção do Modelo 
Matemático
Problema 
Real
Levantamento 
de Dados
Implementação 
Computacional
Análise dos Resultados 
Obtidos
Resultados 
Aproximados
Erros na Fase de Resolução: 
• A forma como os dados são 
representados no 
computador 
(aproximações). 
• As operações numéricas 
efetuadas.
Erros
Fases da Resolução de um Problema
Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria
obter, ainda que todas as fases tenham sido realizadas corretamente.
Escolha do Método 
Numérico Adequado
Construção do Modelo 
Matemático
Problema 
Real
Levantamento 
de Dados
Implementação 
Computacional
Análise dos Resultados 
Obtidos
Se necessário: Reformular o 
Modelo Matemático e/ou 
Escolher Novo Método 
Numérico
Resultados 
Aproximados
Erros
Um profissional que utilizará o resultado fornecido pela calculadora
para projetar, construir pontes, edifícios, etc., não pode aceitar o
valor obtido antes de fazer alguns questionamentos.
2
Como chegou-se a esse 
resultado?
Qual é a confiabilidade do 
resultado que foi obtido?
Estudaremos os erros que surgem da representação de números 
em um computador e os erros resultantes das operações 
numéricas efetuadas.
•Decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
•Binário: 0, 1.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO - BASES NUMÉRICAS
DECIMAL BINÁRIO
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
OBS: O mesmo elemento pode representar diferentes valores 
dependendo da base onde ele está inserido!
Usualmente empregamos a base decimal porém os 
computadores trabalham da base binária (Binary Digit – BIT).
A fim se realizarmos de maneira prática qualquer 
operação com números, nós precisamos 
representá-los em uma determinada base 
numérica.
Sistema Decimal Sistema Binário
Dados
(Sistema Decimal)
Dados
(Sistema Binário)
Operações
Resultados
(Sistema Decimal)
Representação Numérica
• Quando nós digitamos os dados no computador, nós entramos com informações na base
decimal, porém, o computador faz a conversão para a base em que ele trabalha, ou seja, ele
traduz os dados para a base binária para poder fazer os cálculos;
• Quando ele nós da o resultado, acontece a conversão inversa, ou seja, da base binária para a
base decimal novamente;
Representação Numérica
12 −
✓ Na base decimal:
4142213562,124142,1241,12 ===
A representação dependerá do número de Algarismos Significativos que são considerados !!!
4142213562,012
4142,012
41,012
=−
=−
=−
Depende da 
representação
✓ Precisamos escrever o número √2 de alguma outra forma, caso contrário não é
possível realizar essa operação.
Qual é a maneira correta de representação?
Na nossa realidade sempre estamos representando os números na base decimal, portanto
sabemos exatamente seu significado.
1532
quantidade
equivalente
2103100510001 +++
Representação Numérica
0123 1021031051011532 +++=
Representação Posicional
Na base decimal:
REPRESENTAÇÃO POSICIONAL
Conceito de Notação Científica
Notação científica é uma forma simplificada de representar números reais muito
grandes ou muito pequenos. Ex: Nº 2019.
(2019)10
M, C, D, U
10
3 
X 2, 10
2 
X 0, 10
1 
X 1, 10
0 
X 9
𝟏𝟎𝟏𝟏 = 𝟏 × 𝟐𝟑 + 𝟎 × 𝟐𝟐 + 𝟏 × 𝟐𝟏 + 𝟏 × 𝟐𝟎Na base binária:
2) Conversão de base binária para base decimal:
1x25, 0x24, 1x23, 0x22, 1x21, 0x20, 0x2-1, 0x2-2, 1x2-3
CONVERSÃO DE BASES
Parte inteira
Parte fracionária
32+0+8+0+2+0 =42 0+0+0,125 =0,125
(42,125) 10
(101010,001)2
1) Conversão de base decimal para base binária:
CONVERSÃO DE BASES
a) Parte inteira (÷2) b) Parte fracionária (x2) 
(42,125)10
42
21
10
5
2
1
2
0
1
0
1
0
= 101010
0,125 x 2 = 0,250
0,250 x 2= 0,50
0,50 x 2 = 1,00
Isso se repete até a parte 
fracionária zerar
= 001
(101010,001)2
ATIVIDADE PROPOSTA EM AULA 
⇒ Represente 𝟐𝟑𝟒𝟓 𝟏𝟎 na base 𝟐
⇒ Represente 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟐 na base 10
⇒ Represente 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐 na base𝟏𝟎
⇒ Represente 𝟏𝟗𝟖 𝟏𝟎 na base 𝟐
⇒ Represente 𝟐𝟎𝟏𝟗 𝟏𝟎 na base 𝟐
⇒ Represente 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐 na base 10
⇒ Represente (𝟏𝟑𝟔)𝟏𝟎 na base 2
Ponto Fixo e Ponto Flutuante
A idéia por trás da representação dos números em bases numéricas é utilizada para representar
números no computador. Visando uma Manipulação mais eficiente dos dados.
Um número inteiro apresenta a chamada representação de ponto fixo, onde a posição do ponto
decimal está fixa e todos os dígitos são usados para representar o número em si, com exceção do
primeiro digito usado para representar o sinal do número.
Para um número real qualquer, é utilizada a representação de ponto flutuante, que é dada
pela expressão: (Número = +- mantissa x base ^expoente)
e
t )dddd.(  3210
onde:
0. d1d2d3…dt é uma fração na base , chamada de mantissa.
t número máximo de dígitos da mantissa.
e Expoente que varia em um intervalo dado pelos
limites da maquina utilizada.
Ponto flutuante pois o ponto da fração “flutua”
( )
0
1
10
1 
=
−
d
tj
d j
,...,

Ponto Fixo e Ponto Flutuante
Serve para 
especificar a 
capacidade da 
máquina
= nº de algarismos significativos
Exemplos da representação de ponto flutuante (=10, t=3 e e[-4,4]):
Número na base decimal Representação em ponto flutuante mantissa base expoente
1532 0,1532 x 104 0.1532 10 4
15.32 0.1532 x 102 0.1532 10 2
0.00255 0.255 x 10-2 0.255 10 -2
10 0.10 x 102 0.10 10 2
0.000002 Underflow Expoente < -4
817235.89 Overflow Expoente > +4
Ponto Fixo e Ponto Flutuante
UNDERFLOW - a geração de um número pequeno demais para ser representado no dispositivo destinado a armazená-lo.
OVERFLOW - a geração de um número grande demais para ser representado no dispositivo destinado a armazená-lo.
Erros
Tipos de Erro na Resolução de Problemas
A resolução de um problema de engenharia num computador utilizando
um modelo numérico produz, em geral, uma solução aproximada do
problema. A introdução de erros na resolução do problema pode ser
devida a vários fatores.
Erros de arredondamento;
Erros de truncamento.
Exercício: ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE - SPF (10, 2, -5, 5)
Qual resultado da soma de 4,32 e 0,064?
Erros na Aritmética de Ponto Flutuante
➢ Se pensarmos um pouco, erros de arredondamento e truncamento sempre estão presentes na
matemática computacional, pois os computadores precisam representar os números com uma
quantidade finita de algarismos.
➢ Vamos supor, para simplificação, um computador com uma representação de ponto flutuante na
base decimal (=10) e uma mantissa de 4 algarismos (t=4).
68,734
3107346,0  (truncá-lo)
3107347,0  (arredondá-lo)
ERRO
1108,0 −
1102,0 −
Erros na Aritmética de Ponto Flutuante
Exemplo: ( )410656306563 = ,
375,6566
4 algarismos 6566106566,0 4 =
( )110337503753 = ,,
Apesar de partirmos de dois números exatos, o resultado da soma não será exata. Em um
computador real, esse erro é pequeno, porém, se um número muito grande de operações for
realizado e se existir a necessidade de se obter um resultado bastante preciso, será preciso se
levar em consideração esse tipo de erro para avaliar o resultado obtido.
+
Propagação e Condicionamento de Erros Numéricos
▪ A propagação de erros é muito importante pois, além de determinar o erro final de uma
operação numérica, ela também determina a sensibilidade de um determinado problema
ou método Numérico.
▪ Se uma pequena variação nos dados de entrada de um problema levar a uma grande
diferença no resultado final, considera-se que essa operação é mal-condicionada, ou
seja, existe uma grande propagação de erros nessa operação.
▪ Por outro lado, se uma pequena variação nos dados de entrada leva a apenas uma
pequena diferença no resultado final, então essa operação é bem-condicionada.
Guia de Estudos - Lista de Exercícios 1
1. Quais são os métodos usados em engenharia para solução de problemas? Quais as características de cada um
e o que diferencia a escolha para determinada aplicação ?
2. No seu ponto de vista, quais as duas maiores vantagens da utilização de métodos numéricos para problemas
de engenharia?
3. Explique as etapas para a solução numérica de um problema físico.
4. Foram obtidos dois conjuntos de dados sobre um certo problema físico. Um conjunto originou-se de uma
simulação numérica, o outro a partir de um experimento físico. Qual dos conjuntos você considera mais
representativo do fenômeno? Por quê? Discuta quais fatores podem levar um conjunto a ser mais
representativo do que o outro, e vice-versa.
5. O que justifica o emprego em larga escala de métodos numéricos para problemas de engenharia
atualmente?