Teorema de Pitágoras

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Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dosquadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre ahipotenusa (c).
O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.1 Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:
	“
	Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
	”
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entreáreas:
	“
	Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.
	”
Para ambos os enunciados, pode-se equacionar
onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.
O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração,23 embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciamalgoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).4 5 6
O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.
"Em um triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa", a frase é o teorema (enunciado matemático que foi comprovado) de Pitágoras, um dos maiores matemáticos da história.
Este é um dos principais alicerces da trigonometria e dele derivam ainda outrasrelações métricas no triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
 
Se um retângulo qualquer for dividido em dois por uma de suas diagonais, dois triângulos retângulos serão obtidos. Logo um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90°). O nome vem daí.
· 
 
 
 
 
Sendo  ângulo reto, o lado oposto tem o nome de hipotenusa ("BC?¯¯¯¯¯¯¯¯ " ) e os dois outros lados ("AB?¯¯¯¯¯¯¯¯ " e "CA?¯¯¯¯¯¯¯¯ " ) são chamados de catetos.
A medida do cateto "AB?¯¯¯¯¯¯¯¯ " será c (medida do lado oposto ao ângulo "C?ˆ " ), a do cateto CA?¯¯¯¯¯¯¯¯ será b (oposto ao ângulo "B?ˆ " ) e finalmente a hipotenusa (oposto ao ângulo  que é reto) será a.
Aplicando o enunciado do teorema:
A soma do quadrado dos catetos:
	"b2+c2 "
É igual ao quadrado da hipotenusa:
	"a2 "
Então:
	"a2=b2+c2 "
Existem inúmeras demonstrações deste teorema (lógico, senão não seria um teorema). Entre elas, a de um ex-presidente dos Estados Unidos da América, James A. Garfield, e de Leonardo da Vinci, sem falar em alguns manuscritos, um francês (1564), um inglês (1570) e um chinês (1607),etc.
As ternas pitagóricas
Algumas combinações de três números são chamadas de ternas pitagóricas. É que elas se encaixam perfeitamente ao teorema de Pitágoras (um número ao quadrado, mais outro também ao quadrado, é igual a outro ao quadrado). Observe:
3 4 5 --> 32 + 42 = 52
(9 + 16 = 25)
5 12 13 --> 52 + 122 = 132
(25 + 144 = 169)
7 24 25 --> 72 + 242 = 252
(49 + 576 = 625)
8 15 17 --> 82 + 152 = 172
(64 + 225 = 289)
Relacionado ao nome de Pitágoras temos o famoso Teorema de Pitágoras, amplamente utilizado na Matemática Elementar.
Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Em outros termos, se a e b são os catetos do triângulo retângulo e se c é sua hipotenusa, então a2 + b2 = c2.
	A figura ao lado mostra o significado geométrico do Teorema de Pitágoras. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
	
A tradição matemática ocidental, durante longo tempo, atribuiu a descoberta deste teorema a Pitágoras. Pesquisas históricas mais recentes constataram que o teorema era conhecido pelos babilônios, cerca de 1500 a.C., portanto muito tempo antes de Pitágoras (confira [2], p. 61 e 63). Os chineses o conheciam talvez por volta de 1100 a.C. e os hindus provavelmente cerca de 500 a.C. (confira [1], cap. 12).
Uma das demonstrações mais elegantes do Teorema é conhecida como a demonstração do quadrado chinês. Dado um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, construímos dois quadrados de mesmo lado a+b. Em cada um desses quadrados dispomos quatro cópias do triângulo retângulo, como na figura abaixo (em vermelho). A soma das áreas remanescentes do primeiro quadrado (em amarelo e verde) é igual à área remanescente do segundo quadrado (em azul). Portanto a2+b2=c2.
	
Outra demonstração, também obtida da decomposição do quadrado, é atribuída a Bhaskara, matemático hindu do Século XII. Segundo [2], p. 258, Bhaskara teria apenas desenhado a figura e escrito "Veja!", sem dar maiores explicações.
	
	O quadrado maior, de lado c, é decomposto em quatro cópias do triângulo retângulo e mais um pequeno quadrado de lado a - b.
Referências 
[1] Boyer, C.B., História da Matemática. São Paulo, Editora Edgard Blücher, 1996. 
[2] Eves, H., Introdução à História da Matemática. Campinas, Editora da UNICAMP, 1995.