Unidade 4 - Representação e Cálculo de Linhas de Transmissão

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Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói
Curso de Engenharia Elétrica
CCE 0765 – 3003 – Transmissão de Energia Elétrica I
Unidade 4 - Representação e Cálculo de Linhas de Transmissão
Professor: Ms. Alessandro da Silva Longa
2020
1
1.0 Introdução
2
• Nesta unidade veremos as representações e os modos de cálculo para grandezas em linhas de transmissão.
• De um modo geral, no cálculo das linhas de transmissão, objetivamos:
• Conhecidas ou especificadas a tensão e a corrente em um ponto da linha, determinar essas grandezas em outro ponto da linha;
• Conhecidas ou especificadas a potência ativa e reativa em um ponto da linha, determinar essas grandezas em outro ponto da linha;
• A determinação de grandezas de desempenho: regulação, rendimentos, ângulos de potência, número de falhas em seu isolamento
devido à sobretensões, radiointerferência, etc..
• Estudo de compensação para correção de desempenho.
• Os métodos de cálculo geralmente empregados podem ser resumidos em:
• Métodos analíticos através de modelos matemáticos manuais,
• Modelos matemáticos por computadores digitais
• Métodos gráficos
• Modelos elétricos analógicos.
• Conhecidos o comprimento da linha e a potência a ser transmitida, pode-se conhecer a tensão mais apropriada sob o ponto de vista
econômico. As formulações abaixo podem se utilizadas para dar uma ideia da ordem de grandeza de uma linha de transmissão.
• Fórmula de Hofner: em volts (Para linhas curtas)
• Fórmula de Still: em volts (Para linhas longas)
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kmkwV =100
10081,1
5,5
kwkm
V +=
1.0 Introdução
3
• Normalmente, as linhas de transmissão são representadas por cargas equilibradas. A figura abaixo mostra um gerador ligado em “Y”
alimentando uma carga equilibrada, também ligada em “Y”, através de uma linha de transmissão. O circuito equivalente da linha de
transmissão pode ser representado de forma simplificada, sendo apresentados apenas a resistência e a reatância ligadas em série,
consideradas como parâmetros concentrados e não distribuídos ao longo da linha (conforme mostrado no próximo slide). O gerador é
representado pela impedância em série com a “FEM” gerada em cada fase.
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1.0 Introdução
4
• Normalmente, as linhas de transmissão são representadas por cargas equilibradas. A figura abaixo mostra um gerador ligado em “Y”
alimentando uma carga equilibrada, também ligada em “Y”, através de uma linha de transmissão. O circuito equivalente da linha de
transmissão pode ser representado de forma simplificada, sendo apresentados apenas a resistência e a reatância ligadas em série,
consideradas como parâmetros concentrados e não distribuídos ao longo da linha (conforme mostrado no próximo slide). O gerador é
representado pela impedância em série com a “FEM” gerada em cada fase.
Linha Curta com Gerador Alimentando Carga Equilibrada Ligada em Y
Circuito Equivalente Monofásico
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1.0 Introdução
5
• Uma linha de transmissão possui quatro parâmetros: resistência (R) e indutância (L), que constituem a impedância (Z) em série com a linha,
capacitância (C) e condutância (G), que determinam a admitância (Y) em paralelo entre as linhas e entre as linhas e a terra. A condutância (G)
em paralelo pode ser quase sempre desprezada para o cálculo das tensões e correntes nas linhas de transmissão.
• Os condutores de uma linha de transmissão, encontram-se separados por algum dielétrico como o ar para a transmissão aérea, ou por outros
materiais isolantes como em cabos. Como os dois condutores estão separados por um dielétrico, eles formam um capacitor cuja capacitância é
uniformemente distribuída ao longo dos fios. Quando uma diferença de potencial é aplicada ente os fios, por eles flui uma corrente de carga.
Este efeito poderia ser simulado por um grande número de capacitores ligados entre os dois fios como indicado na figura abaixo. As tensões
nas extremidades emissora e receptora são representadas, respectivamente por Vs e Vr. Tal representação é aproximada porque ela mostra
as capacitâncias em paralelo concentrada em certos pontos em vez de uniformemente distribuída. Dentro de limites razoáveis de precisão, é
permissível fazer cálculos de linhas na base de capacitância concentrada. Sob as condições de tensão relativamente baixa e distâncias
relativamente curtas, a capacitância em paralelo pode até mesmo ser desprezada sem afetar seriamente a precisão de cálculo da linha de
transmissão.
LT com representação da capacitância distribuída ao longo da linha
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1.0 Introdução
6
• A representação conjunta dos parâmetros série e dos parâmetros em paralelo da linha de transmissão, formam malhas completas em que o
fluxo de potência através das mesmas será estabelecida pela “FEM” da corrente fluindo nos condutores. Assim, a figura anterior é modificada
para a representação da figura abaixo. Quanto maior o número de seções em que a representação da linha é distribuída, como mostrado na
figura abaixo, mais aproximado será o cálculo da linha real, que tem parâmetros uniformemente distribuídos.
LT com Representação Conjunta dos Parâmetros Série e dos Parâmetros em Paralelo
• Na representação real da linha, cada capacitor deve ter em paralelo uma resistência não indutiva para levar em consideração qualquer fuga de
corrente de condutor para condutor devido ao isolamento imperfeito, umidade do ar, e outros fatores. Num dia limpo e seco, a fuga é tão
pequena que pode usualmente ser desprezada.
• Nos cálculos das linhas de transmissão, procura-se, em geral, obter valores de tensões, correntes, potências, etc., com erros inferiores a 0,5%,
e é essa precisão que dita, geralmente a necessidade de emprego de processos mais ou menos exatos e, por conseguinte, mais ou menos
detalhados. Esses processos apenas admitem hipóteses simplificativas quanto à necessidade ou não de se considerarem todos os parâmetros
distribuídos ou não ao longo da linha de transmissão. A relação entre o comprimento real da linha e o seu comprimento de onda, é fundamental
na escolha dos processos de cálculo: quanto maior essa relação, mais rigoroso deverá ser o processo de cálculo. A classificação das linhas de
transmissão, segundo sua extensão, está baseada nas aproximações admitidas no uso dos parâmetros da linha. A resistência, a indutância e
capacitância estão uniformemente distribuídas ao longo da linha e isso deve ser observado no cálculo rigoroso das linhas longas.
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1.1 Representação de Linhas Curtas
7
• Nesta representação, utilizada para linhas aéreas com menos de 80 km de extensão, são desprezados os efeitos dos parâmetros paralelos da
linha de transmissão, só sendo considerada, em sua representação, a impedância série, de tal forma que a corrente de carga na receptora (IR)
é igual a corrente na fonte supridora (IS).
• O circuito equivalente de uma linha de transmissão curta é mostrado na figura abaixo, onde IS e IR são respectivamente as correntes no
gerador e na carga e VS e VR são as tensões monofásicas também no gerador e na carga, respectivamente.
Circuito Equivalente de Linha Curta
• As equações de solução da rede para linhas curtas é conforme abaixo:
• Para as correntes:
• Para as tensões: , onde:
• Sendo L o comprimento total da linha de transmissão e “r”, “x” e “z”, a resistência , a reatância e a impedância série por unidade de
comprimento.
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RS II =
RRRRS IjXRVIZVV )( ++=+=
SSSSR IjXRVIZVV )( +−=−=
lxXelrRlzZ === ,
1.1 Representação de Linhas Curtas
8
• As equações de solução da rede para linhas curtas é conforme abaixo:
• Para as Potências:
• Perdas nas linhas:
• A regulação da tensão é definida como a variação percentual da tensão entre a tensão de suprimento e a tensão da carga:
• A figura abaixo descreve os diagramas fasoriais representativos de uma linha curta, mostrando que é necessário uma tensão maior no gerador
para manter uma dada tensão na carga quando a corrente está atrasada em relação à tensão (situação “a”), do que quando a tensão e a
corrente na carga estão em fase (situação “b”). Quando a corrente na carga está adiantada em relação à tensão (situação “c”), a tensão no
gerador será ainda menor do que no caso de estarem aquelas grandezas em fase
Diagrama Fasorial de Linha de Transmissão Curta
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SSSS
RRRR
IVP
IVP


cos3
cos3
=
=
( )
100
cos
100
cos
3
coscos3
2
1
1
(%)
2
3
3



=


==
=
−=−=
RRRRR
RRSSRS
V
IR
IV
IR
P
P
P
IRP
VVIPPP






100(%) 
−
=
R
RS
V
VV

1.2 Representação de Linhas Médias
9
• São consideradas linhas médias, linhas com extensão entre 80 km e 250 km. No cálculo de linhas de transmissão médias, os parâmetros
paralelos são efetivamente considerados no cálculo da linha e representados como parâmetros concentrados ou no meio da linha, ou com uma
metade concentrada no início da linha e a outra metade concentrada no final da citada linha, segundo dois métodos de cálculo: método “T”
Nominal e “p” Nominal.
Método “T” Nominal
• É o método menos aproximado de cálculo de linhas médias, porém o mais simples, sendo normalmente empregado para linhas até 150 km. É
caracterizado pela concentração, no meio da linha da capacitância ou da admitância paralela total da linha. Como resultado, metade da
impedância série total (Z), é colocada em cada ramo como indicado na figura abaixo. Todas as quantidades nas equações, devem ser
expressas em forma vetorial. A corrente no lado da receptora deve estar relacionada devidamente em forma complexa à tensão do mesmo
lado. O fator de potência da carga determina o ângulo entre Vr e Ir.
Representação de LT pelo Modelo T-Nominal
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1.2 Representação de Linhas Médias
10
• Equações de solução da rede para linhas calculadas pelo Método T-Nominal:
• Dado os parâmetros da carga:
, onde:
ou , onde: e
• Corrente na Transmissora:
• Tensão e Potência na Transmissora:
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RRR VP ,','
R
RR
R
R
V
P
I 



=
•
cos'3
'
2
LL
RRC
jXR
IVV
+
+=
•••
LfX L = 2
2
LL
RRC
jXR
IVV
+
+=
•••
CCC IXjV
•••
−=
CX
Y
•
=
1
Cf
X C

=
•
2
1
CC
C
C
C
C
C VCfjVjY
X
Vj
jX
V
I
••
••
•
===
−
= 2 CCC
C
C
C
C
C VCjVCfjVjY
X
Vj
jX
V
I
•••
••
•
====
−
= 2
CRS III
•••
+=
SSSS
SS
S
L
CS
IVP
VV
I
jXR
VV
cos3'
3'
2
=
=

+
+=
••
••
•••
1.2 Representação de Linhas Médias
11
• Equações de solução da rede para linhas calculadas pelo Método T-Nominal:
• Regulação:
• Perda (%):
Diagrama vetorial para linhas representadas pelo Método T-Nominal:
• O diagrama vetorial representativo do cálculo de linhas médias pelo método “T” nominal, mostrado na figura abaixo, segue as equações
apresentadas acima e no slide anterior:
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%100
'
''
(%) 
−
=
R
RS
V
VV

%100
'
''
3 
−
=
R
RS
P
PP
P
1.2 Representação de Linhas Médias
12
Método “π” Nominal
• O circuito p nominal é o mais utilizado no cálculo de linhas médias, por ter maior precisão que o cálculo utilizando o processo “T” nominal,
sendo normalmente empregado para cálculo de linhas até 250 km. O mesmo é caracterizado pela concentração, no meio da linha da
impedância série total da linha, sendo a admitância paralela dividida em duas partes iguais e concentrada cada uma das partes nas
extremidades da linha como indicado na figura abaixo:
Representação de LT pelo Modelo pi-Nominal
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1.2 Representação de Linhas Médias
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• Equações de solução da rede para linhas calculadas pelo Método Pi-Nominal:
• Dado os parâmetros da carga:
, onde:
ou , onde: e
• Corrente no Capacitor Junto à Receptora
• Corrente na Linha:
• Queda de Tensão na Linha:
• Tensão no Capacitor Junto à Supridora:
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RRR VP ,','
R
RR
R
R
V
P
I 



=
•
cos'3
'
2
LL
CRSCR
jXR
IVV
+
+=
•••
LfX L = 2
CRCRC IXjV
•••
−=
CR
CR
X
Y
•
=
1
Cf
X C

=
•
2
1
RCRCRR
CR
CR
CR
CR
CR VCfjVjY
X
Vj
jX
V
I
••
••
•
===
−
= 2
CRRL III
•••
+=
••
= RCR VV
2
LL
CRSCR
jXR
IVV
+
+=
•••
CRRCR VCjI
••
= 
( ) LLLL IjXRV
••
+=
LCRCS VVV
•••
+=
1.2 Representação de Linhas Médias
14
• Equações de solução da rede para linhas calculadas pelo Método Pi-Nominal:
• Corrente no Capacitor Junto à Supridora:
• Tensão e Potência na Transmissora:
• Regulação:
• Perda (%):
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CSSCSCSSCSS
CS
CS
CS VCjIVCfjVjY
jX
V
I
••••
•
•
===
−
= 2
SSSS
SS
CSS
S
L
CS
IVP
VV
VV
I
jXR
VV
cos3'
3'
2
=
=
=

+
+=
••
••
••
•••
%100
'
''
(%) 
−
=
R
RS
V
VV

%100
'
''
3 
−
=
R
RS
P
PP
P
1.2 Representação de Linhas Médias
15
Diagrama vetorial para linhas representadas pelo Método pi-Nominal
• O diagrama vetorial representativo do cálculo de linhas médias pelo método “pi” nominal, mostrado na figura, segue as equações vistas
anteriormente.
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1.2 Representação de Linhas Médias
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Fator de Potência
• Sabemos que se a tensão e corrente nos terminais de um circuito forem
• A potência instantânea será:
• Utilizando a identidade trigonométrica:
• Logo, se pensarmos:
• Substituindo:
• Utilizando o valor eficaz (RMS), temos:
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)cos()cos( ivmm ttIVivp  ++==
2
)cos()cos(
)cos()cos(
)cos()cos()cos()cos(2



++−
=
++−=
 =+=+ )()( iv tet





 ++−
=
2
)cos()cos( 
mmIVp
 )cos()cos(
2
)cos()cos(
22


++−=




 ++−
= VIp
IV
p mm
 )cos()cos( iviv ttttVIp  ++++−−+=  )2cos()cos( iviv tVIp  +++−=
)2cos()cos( iviv tVIVIp  +++−=
1.2 Representação de Linhas Médias
17
Fator de Potência
• A primeira parcela dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e corrente pelo cosseno do ângulo de rotação de fase entre ambas
(chamado de fator de potência da carga) representa a potência que é absorvida pela carga sendo transformada em trabalho ou calor, isto é, a
potência ativa.
• A segunda parcela, que varia cossenoidalmente no tempo, representa uma potência que ora é absorvida pela carga, ora é fornecida pela
carga.
• Por analogia com a corrente contínua, onde a potência era dada pelo produto da tensão pela corrente, define-se potência aparente, S, ao
produto dos valores eficazes da tensão pela corrente.
• A potênciaativa será o produto da potência aparente pelo “fator de potência”, ou seja:
• Em seguida, a potência reativa, Q, ao produto da potência aparente pelo seno do ângulo de rotação de fase entre a tensão e a corrente na
carga, ou seja:
• Entre as potências existe a seguinte relação:
• Logo, podemos definir a potência complexa por:
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)cos()cos()cos(  SVIVIP iv ==−=
)sin()sin()sin(  SVIVIQ iv ==−=
22 QPS +=
=+= SjQPS
__
1.2 Representação de Linhas Médias
18
Fator de Potência
• Então o Fator de Potência pode ser calculado pela expressão:
• Um fator de potência adiantado significa que a corrente está adiantada em relação à tensão, implicando uma carga capacitiva;
• Um fator de potência atrasado significa que a corrente está atrasada em relação à tensão, implicando um carga indutiva;
• P é a potência média real e ela depende da carga. Ela é a potência média em watts liberada para uma carga; ela é a única potência útil
dissipada pela carga;
• Q depende da reatância de carga X, e é denominada de potência reativa (ou em quadratura); ela é uma medida da troca de energia entra a
fonte e a parte reativa da carga; a unidade de Q é o VAR (volt-ampère reativo) para diferenciá-la da potência real medida em watts.
• Os indutores e capacitores são elementos armazenadores de energia, não dissipam (ideal) nem absorvem energia, mas trocam energia
(recebendo-a e fornecendo-a) com o restante do circuito; da mesma forma a potência reativa é transferida (nos dois sentidos) entre a carga e a
fonte, pois representa uma troca sem perdas entre a carga e a fonte.
• Note que:
• Q = 0 para cargas resistivas (FP unitário);
• Q < 0 para cargas capacitivas (FP adiantado);
• Q> 0 para carga indutivas (FP atrasado);
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 cos)cos( =−== iv
S
P
FP
1.2 Representação de Linhas Médias
19
Fator de Potência
• Vejamos o triângulo das potências:
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 cos)cos( =−== iv
S
P
FP
• Um exemplo numérico: se um fator de potência na carga é 85%
adiantado, como se comporta matematicamente?
Se em vez de -0,85 tivéssemos considerado +0,85?
Percebam que o em vez do 148º, também poderíamos ter 211º, por quê?
E em vez do 32º, também poderíamos ter 328º, por quê?
Vejam que o cosseno pode designar dois ângulos diferentes. Na prática, o
que fazemos é o seguinte:
Quando temos um FP atrasado na carga, isto denota uma carga indutiva e
o FP possui valor positivo. O mesmo acontece com o FP quando está
adiantado na fonte supridora.
O inverso é esperado: um FP adiantado na carga denota uma carga
capacitiva e o FP possui valor negativo. O mesmo acontece com o FP
quando está atrasado na fonte supridora.
cos=FP 85,0−=FP )cos(85,0 =−
º148)85,0(cos 1 −= −
º32)85,0(cos 1 = −
1.3 Exercícios
20
• No projeto de conexão de um gerador a um sistema de transmissão, construiu-se uma LT de 380 km a 60 Hz para atendimento a carga de uma
subestação. Sabendo-se que os parâmetros da linha são: RL=0,242 ohms/km, XL=j0,685 ohms/km e Yc=j4,55 x 10-6 mho/km. Calcular:
a) A tensão, a corrente e a potência trifásica nos terminais da subestação supridora, pelo método π equivalente de linhas, considerando
uma carga de 550 MW suprida na tensão trifásica de 440 kV com fator de potência 90% adiantado.
b) A tensão, a corrente e a potência trifásica nos terminais da subestação receptora, pelo método T equivalente de linhas, considerando
um gerador de 580 MW operando na tensão trifásica de 345 kV e fator de potência 95% atrasado.
c) Traçar o diagrama fasorial de uma linha de transmissão com representação T nominal que alimenta uma subestação com carga
capacitiva.
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1.3 Exercícios
21
a) A tensão, a corrente e a potência trifásica nos terminais da subestação supridora, pelo método π equivalente de linhas, considerando uma
carga de 550 MW suprida na tensão trifásica de 440 kV com fator de potência 90% adiantado.
Dados:
Fator de potência adiantado na carga:
Tensão a uma fase:
Potência na carga:
Corrente na carga:
A corrente em polar:
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1.3 Exercícios
22
A tensão na carga é a tensão Vc2:
A impedância ZL calculamos multiplicando os parâmetros pelo comprimento da linha:
Cálculo da corrente Ic2: |Ic2|:= 219.61 arg(Ic2):= 90.00deg
Cálculo da corrente I, que flui por Z:
Corrente I em polar:
A queda de tensão na linha devido à impedância Z: |ΔV|:=2.537 x 10⁵ arg(ΔV)=108,80º
Cálculo da tensão Vc1: |Vc1|:=2.956 x 10⁵ arg(Vc1)=54.35º
Cálculo da corrente que flui pelo primeiro Y/2, Ic1: A |Ic1|:=255.52 arg(Ic1):=144.35º
Cálculo da corrente que flui a partir da fonte geradora:
Em polar, Is:
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1.3 Exercícios
23
Sabemos que Vc1 = Vs, logo:
Em polar:
Logo a tensão trifásica na fonte geradora será:
Em polar:
Cálculo da Potência nos Terminais da Supridora
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1.3 Exercícios
24
Diagrama fasorial para o método Pi-Nominal
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1.3 Exercícios
b) A tensão, a corrente e a potência trifásica nos terminais da subestação receptora, pelo método T equivalente de linhas, considerando um
gerador de 580 MW operando na tensão trifásica de 345 kV e fator de potência 95% atrasado.
Dados:
Fator de potência atrasado no gerador:
Tensão na fonte a uma fase:
Potência na fonte:
Impedância:
Corrente na fonte:
A corrente em polar: - A tensão em Z1 é: Z1*Is:=3107.65+140994.79i
|Z1*Is|:= 1.410 x 10⁵ deg(Z1*Is):= 88.74º
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1.3 Exercícios
26
A tensão no capacitor é a tensão Vc: Vc:= 196092,35 - 140994,79i V
Em polar:
Cálculo da corrente Ic no capacitor:
Em polar:
Cálculo da corrente na carga Ir:
Em polar:
Cálculo da tensão na carga Vr: Z2*Ir = 36021+i93678 ou 10040 |_68.96º
Em polar:
Cálculo da tensão trifásica na carga Vr3f: r
Em polar:
Cálculo da potência na carga Sr:
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1.3 Exercícios
27
c) Traçar o diagrama fasorial de uma linha de transmissão com representação T nominal que alimenta uma subestação com carga capacitiva.
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1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
28
• Antes de iniciarmos os cálculos, iremos apresentar funções hiperbólicas que fazem parte das expressões de cálculo exato de linhas de
transmissão. As funções hiperbólicas básicas são o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico, dos quais são derivados a tangente hiperbólica,
a cossecante hiperbólica ou a secante hiperbólica e a cotangente hiperbólica, análogas às funções trigonométricas derivadas. Em alguns
casos, suas inversas também são consideradas funções hiperbólicas.
• Essa classe de funções recebe esse nome porque, em muitos casos nos quais o uso de funções trigonométricas gera círculos ou elipses, o
uso de funções hiperbólicas gera hipérboles, como, por exemplo, no caso das equações paramétricas:
• Estas geram um círculo, enquanto que as equações ao lado geram (uma metade de) umahipérbole.
• Funções hiperbólicas aparecem nas soluções de várias equações diferenciais lineares, nas soluções de algumas equações cúbicas, em
cálculos de ângulos e distâncias na geometria hiperbólica e em cálculos da Equação de Laplace em coordenadas cartesianas. Equações de
Laplace são importantes em diversas áreas da física, incluindo eletromagnetismo, transferência de calor, hidrodinâmica e relatividade restrita.
• Na análise complexa, as funções hiperbólicas surgem como as partes imaginárias das funções trigonométricas seno e cosseno. Quando são
consideradas como definidas por uma variável complexa, as funções hiperbólicas são funções racionais de exponenciais.
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1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
29
• Exemplos:
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1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
30
• Para se conseguir uma solução exata para qualquer linha de transmissão bem como para se obter um alto grau de precisão no cálculo de
linhas com mais de 160 km, deve-se considerar o fato de que os parâmetros de uma linha não estão concentrados e sim uniformemente
distribuídos ao longo da linha.
Representação Monofásica de Linha de Transmissão com Parâmetros Distribuídos
• A figura acima representa a fase e o neutro de uma linha trifásica, onde a impedância e a admitância estão uniformemente distribuídas.
Consideremos um pequeno elemento da linha e calculemos as diferenças de tensões e de correntes entre seus extremos. Seja “dx” o
comprimento desse elemento e “x” a distância entre ele e os terminais da carga; a sua impedância série será “zdx”, sendo “ydx” sua admitância
em paralelo. Seja “V” a tensão entre linha e neutro na extremidade do elemento mais próximo à carga; “V” será uma expressão complexa do
valor eficaz da tensão, cujos módulos e fase variam ao longo da linha.
• Na extremidade do elemento mais próximo do gerador, a tensão será “V+dV”. A elevação de tensão ao longo do elemento no sentido de
aumento de “x”, será “dV”, isto é, a diferença entre a tensão no terminal mais próximo do gerador e a tensão no terminal mais próximo à carga.
Esse valor também será igual ao produto da corrente que circula no elemento, no sentido oposto ao do aumento de “x”, pela sua impedância,
isto é, “Izdx”.
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1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
31
• Logo: e
• Analogamente, a corrente que sai do elemento em direção à carga é “I”. O módulo e a fase de “I” também variam com a distância ao longo da
linha por causa da admitância em paralelo distribuída. A corrente que entra no elemento, procedente do gerador é “I+dI”, sendo portanto “dI” a
diferença entre esta e a que sai do elemento. Esta diferença será igual à corrente “Vydx” que circula pela admitância em paralelo do elemento.
• Desta forma: e
Cálculo Exato de Linhas Longas Pelas Equações das Tensões Incidentes e Refletidas
• As equações associadas ao comportamento das ondas trafegantes de corrente e de tensão na linha de transmissão são:
- Impedância característica da linha:
- Constante de propagação da linha:
• Onde: “α” é a constante de atenuação, dada em Neper por unidade de comprimento e “β” é a constante de fase, dada em radianos por
unidade de comprimento.
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IzdxdV = Iz
dx
dV
=
VydxdI = Vy
dx
dI
=
y
zZC =
 jyz +==
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
32
• A constante de propagação determina como a onda de tensão é propagada com relação à mudança em módulo e fase ao longo da linha.
Assim, sendo VR a tensão na receptora e IR a corrente também na receptora, a tensão e a corrente em qualquer ponto da linha a uma
distância “x” da receptora será:
• O primeiro termo da equação da onda de tensão trafegante, chamada de tensão incidente, representa uma onda de tensão que está sendo
propagada da extremidade da emissora para a receptora, daí ser denominada onda direta ou componente direta. A mesma cresce em módulo
e adianta-se em fase quando vou ao longo da linha dos terminais da carga em direção ao gerador; por outro lado, quando se avança a partir do
gerador em direção à carga, a tensão incidente diminui em módulo e atrasa-se em fase. A tensão incidente é análoga a uma onda iniciada em
um recipiente com água, à medida que se afasta da fonte, torna-se sucessivamente menor.
• O segundo termo da equação da onda de tensão, também chamada de onda refletida, diminui em módulo e atrasa-se em fase quando vou dos
terminais da carga em direção ao gerador através da linha de transmissão e aumenta em módulo e adianta-se em fase quando vou dos
terminais do gerador em direção à carga. Seu comportamento é análogo aos fenômenos num recipiente com água quando uma onda encontra
um obstáculo, ocorre um reflexão e uma onda é então vista retornando do obstáculo com módulo diminuindo gradativamente.
• A constante de atenuação “α” que determina o módulo da onda, é a medida de quanto a onda será aumentada ou diminuída em módulo, ou
seja, atenuada.
• A constante de fase “β” determina a fase da onda, sendo a medida de quanto a onda será adiantada ou atrasada em fase.
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xjxCRRxjxCRR
x ee
ZIV
ee
ZIV
V  −− 
−
+
+
=
22
xjx
R
C
R
xjx
R
C
R
x ee
I
Z
V
ee
I
Z
V
I  −− 
−
−
+
=
22
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
33
• Os lugares geométricos das variações das ondas direta e refletida, podem ser representados por espirais conforme indicado na figura abaixo.
A soma “od” das ondas direta e refletida de tensão, em qualquer ponto ao longo da linha, tal como em “βl”, dá a tensão resultante nesse ponto.
Quando “βl” é 90º, a componente direta de tensão “oa” é oposta à componente refletida “ob”. A resultante “oc”, que é a tensão da linha neste
ponto de 90º, ou ponto de um quarto de comprimento de onda, pode ser muito pequena devido ao efeito de compensação das duas ondas. Um
gerador produzindo uma baixa tensão, se ligado neste ponto, poderia provocar uma tensão comparativamente alta no receptor. Isto é
essencialmente um fenômeno de ressonância e é denominado ressonância de um quarto de onda.
• À medida que “βl” aumenta desde este ponto de 90º, a tensão de linha aumenta até “βl” tornar-se 180 º. Neste momento as ondas direta e
refletida somam-se aritmeticamente. Este fenômeno é denominado ressonância de meia onda. Quando “βl” aumenta a 270º as ondas direta e
refletida são novamente opostas (como em quarto de onda) e temos então neste ponto a ressonância de três quartos de onda.
Variações das ondas incidentes e refletidas de tensão em relação ao ângulo “βl”
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1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
34
Comprimento de Onda e Velocidade de Propagação da Onda de Tensão
• O comprimento de onda “λ” é a distância ao longo da linha entre dois pontos de uma onda cujas fases diferem de 360º ou 2π radianos. Se “λ”
for a defasagem em radianos por quilômetros, o comprimento de onda em quilômetros será:
• Como “λ” é a distância para uma defasagem de 2π radianos, ele é a distância ao longo da linha desde um valor zero, num ponto “a” na onda
de tensão até um valor zero correspondente em “b” distando 2π radianos ou 360º desde o primeiro ponto zero, conforme figura abaixo.
Ciclo de “a” até “b”
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


2
=
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
35
Comprimento de Onda e Velocidade de Propagaçãoda Onda de Tensão
• A distância “λ” representa o comprimento de linha ao longo do qual está subtendida uma onda completa, ou ciclo de tensão e, em
consequência, “λ” é denominada comprimento de onda propagada. Com o decorrer do tempo, a tensão alternada no ponto “a” se elevará a um
máximo positivo, decrescerá à zero, aumentará a um valor máximo negativo e após novamente tenderá para zero. Durante um intervalo de
tempo correspondente à um ciclo (1/f), todos os pontos da onda de tensão terão percorrido uma distância “λ”. A velocidade de deslocamento
ou propagação será então:
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ff
f
v



 2
1
===
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
36
SIL (Surge Impedance Loading) de uma Linha de Transmissão
• A impedância característica “Zc”, também chamada de impedância de surto, representa o caso especial de uma linha sem perdas indutivas. Se
uma linha não tiver perdas indutivas, sua resistência e condutância serão iguais a zero e a impedância característica reduz-se a L /C , uma
resistência pura. Quando se lida com altas frequência, ou com sobretensões provenientes de raios, as perdas são em geral desprezadas e a
impedância de surto torna-se importante. A carga da impedância de surto “SIL” de uma linha, é a potência por ela fornecida a uma carga
puramente resistiva, de valor igual à impedância de surto. Nessas condições a linha fornece uma corrente de:
• O valor da potência fornecida à carga resistiva será:
• Conceitos importantes: Uma linha é considerada plana, quando está operando no “SIL”, ou seja, a potência reativa gerada na capacitância da
linha é igual a potência reativa consumida na indutância da linha. Uma linha está operando acima do “SIL” quando a potência reativa gerada na
capacitância da linha é inferior a potência reativa consumida na indutância da linha; isto geralmente ocorre quando a linha está excessivamente
carregada, nos períodos de carga pesada, quando pela linha trafegam correntes muito altas, ou seja, próximas ao limite de carregamento dos
condutores da linha. Uma linha está operando abaixo do “SIL” quando a potência reativa gerada na capacitância da linha é superior à potência
reativa consumida na indutância da linha; o que se dá normalmente quando a linha opera descarregada, ou seja, em períodos de carga leve,
transmitindo correntes bem inferiores aos limites de carregamento dos condutores da linha.
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A
Z
V
I
C3
3
=
Watts
Z
V
SIL
C
2
3
=
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
37
Cálculo de Linhas Longas por Funções Hiperbólicas
• A forma mais conveniente das equações para os cálculos da corrente e da tensão para o cálculo de linhas longas é a que utiliza as funções
hiperbólicas, que são definidas em sua forma exponencial conforme abaixo:
• Rearrumando as equações abaixo e substituindo os termos exponenciais pelas funções hiperbólicas, obtém-se as seguintes equações das
tensões e correntes em um ponto qualquer da linha distando “x” unidades de comprimento da receptora.
• Portanto, na supridora, distando “L” unidades de comprimento da receptora, a tensão e a corrente será:
• A partir dos valores conhecidos na supridora, é possível calcular a tensão e a corrente na receptora, através das equações abaixo:
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2
cosh
2
sinh


−− +
=
−
=
ee
e
ee
xjxCRRxjxCRR
x ee
ZIV
ee
ZIV
V  −− 
−
+
+
=
22
xjx
R
C
R
xjx
R
C
R
x ee
I
Z
V
ee
I
Z
V
I  −− 
−
−
+
=
22
xZIxVV CRRx  sinhcosh +=
x
Z
V
xII
C
R
Rx  sinhcosh +=
lZIlVV CRRS  sinhcosh += lZ
V
lII
C
R
RS  sinhcosh +=
lZIlVV CSSR  sinhcosh −= lZ
V
lII
C
S
SR  sinhcosh −=
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
38
Circuito Equivalente de Uma Linha Longa
• Os circuitos “T” nominal e “π”nominal não representam de forma exata uma linha de transmissão pois não levam em consideração os
parâmetros uniformemente distribuídos de uma linha de transmissão. Quanto maior o comprimento da linha, maiores são as discrepâncias
entre estas duas representações de circuitos e a representação real da linha de transmissão. Entretanto, é possível estabelecer uma
representação equivalente de circuito para uma linha longa, que represente com exatidão os cálculos de uma linha de transmissão longa.
• Isto é feito a partir da representação do circuito “π”nominal, onde os ramos série e paralelos têm seus parâmetros “Z” e “Y/2”substituídos por “
Z’ ” e “Y’/2”, onde:
• Dessa forma, representação do circuito π equivalente para uma linha longa passa a ter a representação conforme ilustrado abaixo:
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lZ
l
l
ZZ C 


sinh
sinh
' ==
'
1cosh
sinh
1cosh1
2
'
Z
l
l
l
Z
Y
C
−
=
−
=



1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
39
• Exercício: Uma LT de 200 km a 60 Hz está conectada ao sistema elétrico. Sabendo-se que os parâmetros da linha são> R= 0,225 ohms/km,
XL= j 0,353 ohms/km, Yc= j 2,137 x 10-6 mho/km. Calcular:
a) A impedância característica da linha;
b) A constante de propagação, a constante de atenuação e a constante de fase da linha;
c) O comprimento de onda da linha;
d) A velocidade de propagação da onda de tensão na linha;
e) O SIL da linha para uma tensão de 500 kV na LT;
f) A corrente, tensão trifásica e a potência ativa trifásica nos terminais da supridora pelo método das tensões incidentes e refletidas,
considerando uma carga de 400 MW suprida na tensão de 500 kV com fator de potência 95% atrasado.
g) A corrente, tensão trifásica e a potência ativa trifásica nos terminais da receptora, pelo método exato de linhas longas com funções
hiperbólicas, para um gerador de 250 MW, fator de potência de 90% capacitivo, conectado no início da linha numa tensão de 440 kV.
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1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
40
• Exercício: Uma LT de 200 km a 60 Hz está conectada ao sistema elétrico. Sabendo-se que os parâmetros da linha são> R= 0,225 ohms/km,
XL= j 0,353 ohms/km, Yc= j 2,137 x 10-6 mho/km. Calcular:
a) A impedância característica da linha;
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kmL 200=
kmR /225,0 =
== 45LRRL
kmX /353,0 = == 6,70LXX L
353,0225,0 jjXRZ +=+= +=+= 6,7045 jjXRZ LLL
kmmhojY /10137,2 6−= mhojLjYC
46 10274,410137,2 −− ==
ohmj
Y
Z
ZC 89,12389,424 −== º25,1659,442 −=CZ
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
41
• Exercício: Uma LT de 200 km a 60 Hz está conectada ao sistema elétrico. Sabendo-se que os parâmetros da linha são> R= 0,225 ohms/km,
XL= j 0,353 ohms/km, Yc= j 2,137 x 10-6 mho/km. Calcular:
b) A constante de propagação, a constante de atenuação e a constante de fase da linha;
c) O comprimento de onda da linha;
d) A velocidade de propagação da onda de tensão na linha;
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ZY =
44 1008,91064,2 −− += j
41064,2)Re( −== 
41008,9)Im( −== 
LL =  182,0053,0 jL +=



2
= km31091,6 =
Hzf 60=
= fv skmv /1015,4 5=
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
42
• Exercício: Uma LT de 200 km a 60 Hz está conectada ao sistema elétrico. Sabendo-se que os parâmetros da linha são> R= 0,225 ohms/km,
XL= j 0,353 ohms/km, Yc= j 2,137 x 10-6 mho/km. Calcular:
e) O SIL da linha para uma tensão de 500 kV na LT;
f) A corrente, tensão trifásica e a potência ativa trifásica nos terminais da supridora pelo método das tensões incidentes e refletidas,
considerandouma carga de 400 MW suprida na tensão de 500 kV com fator de potência 95% atrasado.
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VVR 5000003 =
W
Z
V
SIL
C
R 8
2
3
1064,5 ==

WPR
610400=
º19,18)95,0(cos 1 == −
tan+= RRR PjPS
88 1031,11000,4 += jSR
VVR 5000003 = V
V
V
R
R
53
1 1088,2
3
==


º19,1818,48681,15188,461
3
_____
3
__
−=−=

= j
V
S
I
R
R
R

1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
43
• Exercício: Uma LT de 200 km a 60 Hz está conectada ao sistema elétrico. Sabendo-se que os parâmetros da linha são> R= 0,225 ohms/km,
XL= j 0,353 ohms/km, Yc= j 2,137 x 10-6 mho/km. Calcular:
f) A corrente, tensão trifásica e a potência ativa trifásica nos terminais da supridora pelo método das tensões incidentes e refletidas,
considerando uma carga de 400 MW suprida na tensão de 500 kV com fator de potência 95% atrasado.7
Cálculo da Tensão Trifásica na Supridora:
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CCE 0765 – 3003 – Transmissão de Energia Elétrica I
xjxCRRxjxCRR
S ee
ZIV
ee
ZIV
V 
 −− 
−
+
+
=
22
11 LCRRLCRR
S e
ZIV
e
ZIV
V 
 −
−
+
+
=
22
11
( ) ( ) ( )( ) 182,0053,0
5
182,0053,0
5
2
89,12389,42481,15188,4611088,2
2
89,12389,42481,15188,4611088,2 jj
S e
jj
e
jj
V −−+
−−−
+
−−+
=
º16,51016,3 5=SV
SS VV = 33 VjVS º16,51048,51093,41046,5
545
3 =+=
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
44
• Exercício: Uma LT de 200 km a 60 Hz está conectada ao sistema elétrico. Sabendo-se que os parâmetros da linha são> R= 0,225 ohms/km,
XL= j 0,353 ohms/km, Yc= j 2,137 x 10-6 mho/km. Calcular:
f) A corrente, tensão trifásica e a potência ativa trifásica nos terminais da supridora pelo método das tensões incidentes e refletidas,
considerando uma carga de 400 MW suprida na tensão de 500 kV com fator de potência 95% atrasado.7
Cálculo da corrente e da Potência Trifásica na Supridora
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xjx
R
C
R
xjx
R
C
R
S ee
I
Z
V
ee
I
Z
V
I 



−− 
−
−
+
=
22
11
L
R
C
R
L
R
C
R
S e
I
Z
V
e
I
Z
V
I 



−
−
−
+
=
22
11
AjIS 34,2298,455 −=
AIS º80,252,456 −=
__
33 SSS IVS =  ( ) ( )34,2298,4551093,41046,53 45 jjSS ++= VAjSS
78 1001,61029,4 +=
º96,71033,4 8=SS
( )SS SP Re= WPS
81029,4 =
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
45
• Exercício: Uma LT de 200 km a 60 Hz está conectada ao sistema elétrico. Sabendo-se que os parâmetros da linha são> R= 0,225 ohms/km,
XL= j 0,353 ohms/km, Yc= j 2,137 x 10-6 mho/km. Calcular:
g) A corrente, tensão trifásica e a potência ativa trifásica nos terminais da receptora, pelo método exato de linhas longas com funções
hiperbólicas, para um gerador de 250 MW, fator de potência de 90% capacitivo, conectado no início da linha numa tensão de 440 kV.
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VVs 4400003 =
3
3
1


s
s
V
V = VVs
5
1 1054,2 =
WPs
61050,2 =
( )9,0cos 1−= º84,25=
tan+= SSS PjPS
88 1021,1105,2 += jSS
_____
3
__
3 S
S
S
V
S
I

= º84,2548,36487,15804,328 −=−= AjIS
1.4 Cálculo Exato de Linhas Longas
46
• Exercício: Uma LT de 200 km a 60 Hz está conectada ao sistema elétrico. Sabendo-se que os parâmetros da linha são> R= 0,225 ohms/km,
XL= j 0,353 ohms/km, Yc= j 2,137 x 10-6 mho/km. Calcular:
g) A corrente, tensão trifásica e a potência ativa trifásica nos terminais da receptora, pelo método exato de linhas longas com funções
hiperbólicas, para um gerador de 250 MW, fator de potência de 90% capacitivo, conectado no início da linha numa tensão de 440 kV.
Cálculo da Tensão, da Corrente e da Potência na carga, pelo método exato de linhas longas.
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lZIlVV CSSR  sinhcosh −=
l
Z
V
lII
C
S
SR  sinhcosh −=
lZIlVV CSSR  sinhcosh11 −=
45
1 1035,11044,2 −= jVR 
 33 3 RR VV = º46,31089,31035.21088,3
545
3 −=−= jVR 
l
Z
V
lII
C
S
SR 

sinhcosh
1
−= AjIR º81,3803,41737,26196,324 −=−=
__
33 RRR IVS = 
88 1062,11029,2 +=RS
( ) WSP RR
81029,2Re ==
1.5 Constantes Generalizadas de Linhas de Transmissão - Representação por Quadripolos
47
• Um linha de transmissão pode ser representada por um circuito consistindo em dois terminais através dos quais a energia elétrica penetra na
linha, que designamos por transmissora e, por dois terminais por intermédio do qual a energia elétrica deixa a linha, que designamos por
receptora.
• Dizemos que o circuito representativo de uma linha de transmissão é “passivo”, pois não contém fonte de energia. Também dizemos que é
“linear”, porque as impedâncias de seus elementos são independentes da corrente que circula por estes elementos. Finalmente, dizemos que é
bilateral, por que as impedâncias independem do sentido da corrente.
• O circuito representativo, é constituído por um par de terminais de entrada e um par de terminais de saída, possui uma impedância ligada entre
cada dois dos quatro terminais , sendo chamado de circuito com dois pares de terminais ou quadripolo.
• A figura abaixo, representa o diagrama representando um circuito com dois pares de terminais ou seja, um quadripolo.
Diagrama de Circuito com Dois Pares ou Quadripolos
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Representação de Quadripolos para Circuito “T”
• Para a determinação das relações entre grandezas das barras geradora e receptora de uma circuito com dois pares de terminais,
consideremos essas grandezas determinadas em função da tensão e da corrente na barra receptora.
• Para circuito “T” Assimétrico:
Circuito “T” Assimétrico Equivalente a um Circuito com Dois Pares de Terminais
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• Denominando os parâmetros do quadripolo conforme abaixo:
• Então vamos observar o formato matricial:
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( )2ZIVYII RRRs ++= 2ZYIYVII RRRs ++= ( ) RRs IYZYVI 21++=
1ZIVV sYs += 12 ZIZIVV sRRs ++= ( )RYRRs IIZZIVV +++= 12 ( )RYRRs IYVZZIVV +++= 12
( )( )RRRRRs IZIVYZZIVV ++++= 212 RRRRRs IZZIYZVYZZIVV 12112 ++++=
RRRRRs IZZIYZZIVYZVV 12121 ++++= ( ) ( )121211 ZZYZZIYZVV RRs ++++=
( ) ( )212111 ZYZZZIYZVV RRs ++++=
1.5 Constantes Generalizadas de Linhas de Transmissão - Representação por Quadripolos
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• Então vamos observar o formato matricial:
• Os parâmetros da receptora calculados pela representação do circuito de quadripolos “T” assimétrico são conforme abaixo:
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( ) RRs IYZYVI 21++=
( ) ( )212111 ZYZZZIYZVV RRs ++++=
RRs BIAVV +=
RRs DICVI +=
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Representação de Quadripolos para Circuito “T”
• Para circuito “T” Simétrico:
No circuito “T” simétrico, Z1=Z2 =Z/2, assim temos:
Circuito “T” Simétrico Equivalente a um Circuito com Dois Pares de Terminais
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Interpretação das Constantes “ABCD” de Quadripolos
• Fazendo IR=0 na equação abaixo, vemos que“A” é uma relação entre as tensões nas barras geradora e receptora quando a barra receptora
estiver em vazio. Logo, a constante “A” é adimensional, visto ser uma relações entre as tensões. “A” será complexo, sendo sua fase igual à
diferença entre as fases das duas tensões.
• Por outro lado, temos que “C” é a relação entre a corrente na geradora e a tensão na receptora, quando esta última estiver em vazio. Portanto,
a constante “C” tem as dimensões de uma admitância sendo sua unidade dada em mhos.
• Na mesma equação “1”, fazendo-se VR=0, temos que a constante “B” é a relação entre a tensão na barra geradora e a corrente na barra
receptora, quando esta última estiver em curto-circuito. Nestas condições , “B” terá as dimensões de uma impedância sendo dada em ohms.
• Da mesma forma, “D” representa a relação entre as correntes na geradora e na receptora, quando esta última estiver em curto-circuito. Nestas
condições, a constante “D” é adimensional.
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RRs BIAVV +=
RRs DICVI +=
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Representação de Quadripolos para Circuito “Pi”
• Determinando as relações entre grandezas das barras geradora e receptora de uma circuito com dois pares de terminais, tomando a
representação de uma circuito com representação da linha de transmissão pelo circuito π, temos:
• a ) Para o Circuito π Assimétrico:
Circuito π Assimétrico Equivalente a um Circuito com Dois Pares de Terminais
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• Denominando os parâmetros do quadripolo conforme abaixo:
• Então vamos observar o formato matricial:
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Representação de Quadripolos para Circuito “Pi”
• Determinando as relações entre grandezas das barras geradora e receptora de uma circuito com dois pares de terminais, tomando a
representação de uma circuito com representação da linha de transmissão pelo circuito π, temos:
• b ) Para o Circuito π Simétrico:
Circuito π Simétrico Equivalente a um Circuito com Dois Pares de Terminais
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Representação de Quadripolos para Circuito “Pi”
• Caso queiramos considerar o cálculo exato, podemos ainda expressar por funções hiperbólicas
Circuito π Simétrico Equivalente a um Circuito com Dois Pares de Terminais
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lA cosh=
lZB c sinh=
CZ
l
C
sinh
=
lD cosh=
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Constantes de Circuitos Quadripolos Combinados
• Quando um sistema de potência consiste de combinações em série e em paralelo de circuitos cujas constantes “ABCD” são conhecidas, é
conveniente determinar as constantes do circuito equivalente aos diversos circuitos combinados. Essa é uma maneira de simplificar o circuito.
Em alguns casos pode-se incluir as características dos transformadores situados nos extremos da linha nas constantes “ABCD” da própria
linha, a fim de analisar o funcionamento conjunto da linha com os transformadores. Em outros casos, pode ser preferível conhecer as
constantes do circuito equivalente de duas linhas longas de características diferentes, porém operando em paralelo.
• Circuitos Combinados com Dois Quadripolos em Série
• Considerando dois circuitos em série da figura abaixo, que podem ser constituídos de duas linhas, uma linha e um transformador, ou ainda dois
transformadores, os mesmos podem ser reduzidos à um único quadripolo, representado pelas constantes A0,B0,C0 e D0, conforme abaixo,
onde “a” representa o índice relacionado aos parâmetros do primeiro circuito e “b” representa o índice relativo aos parâmetros do segundo
circuito.
Combinação de Circuitos Quadripolo em série
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baba CBAAA +=0 baba DBBAB +=0 abab DCCAC +=0 baab DDCBD +=0
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Constantes de Circuitos Quadripolos Combinados
• Circuitos Combinados com Dois Quadripolos em Paralelo
• Considerando dois circuitos ligados em paralelo na figura abaixo, que podem ser constituídos de duas linhas, ou ainda dois transformadores,
Os mesmos podem ser reduzidos à um único quadripolo, representado pelas constantes A0,B0,C0 e D0, conforme abaixo, onde “a” representa
o índice relacionado aos parâmetros do primeiro circuito e “b” representa o índice relativo aos parâmetros do segundo circuito.
Combinação de Circuitos Quadripolo em paralelo
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• Exercício: Um sistema é constituído de duas linhas em 60 Hz e de duas cargas: uma de 85 MW - fator de potência 93% capacitivo e outra de
105 MW - fator de potência 0,90 indutivo em 750kV.
a) Determinar para a primeira linha com extensão de 550 km, impedância série de 0,356 +j 0,648 ohm/km e admitância paralela de j3,56x10-6
mho/km, os parâmetros do quadripolo de um circuito п simétrico com o cálculo das tensões, correntes e potências.
b) Determinar para a segunda linha com extensão de 478 km, R=0,498 ohm/km, X = 0,937 ohm/km e Y de j5,45x10-6 mho/km, os parâmetros
do quadripolo de um circuito T simétrico com o cálculo das tensões, correntes e potências.
c) Calcular a tensão trifásica, a corrente e a potência ativa trifásica na supridora, considerando os parâmetros do quadripolo combinado com as
duas LTs operando em paralelo para suprimento ao total das cargas atendidas em 750 kV
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• Exercício: Um sistema é constituído de duas linhas em 60 Hz e de duas cargas: uma de 85 MW - fator de potência 93% capacitivo e outra de
105 MW - fator de potência 0,90 indutivo.
a) Determinar para a primeira linha com extensão de 550 km, impedância série de 0,356 +j 0,648 ohm/km e admitância paralela de j3,56x10-6
mho/km, os parâmetros do quadripolo de um circuito п simétrico com o cálculo das tensões, correntes e potências.
Solução:
Comprimento da Linha:
Impedância:
Admitância:
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• Exercício: Um sistema é constituído de duas linhas em 60 Hz e de duas cargas: uma de 85 MW - fator de potência 93% capacitivo e outra de
105 MW - fator de potência 0,90 indutivo.
a) Determinar para a primeira linha com extensão de 550 km, impedância série de 0,356 +j 0,648 ohm/km e admitância paralela de j3,56x10-6
mho/km, os parâmetros do quadripolo de um circuito п simétrico com o cálculo das tensões, correntes e potências.
Solução:
Cálculo da Tensão Trifásica da Corrente e da Potência Trifásica na Supridora:
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a) Determinar para a primeira linha com extensão de 550 km, impedância série de 0,356 +j 0,648 ohm/km e admitância paralela de j3,56x10-6
mho/km, os parâmetros do quadripolo de um circuito п simétrico com o cálculo das tensões, correntes e potências.
Solução:
Calculando a potência na carga:
Usando os quadripolos para calcular a tensão e corrente na fonte:
Agora calculamos as potências na fonte:
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b) Determinar para a segunda linha com extensão de 478 km, R=0,498 ohm/km, X = 0,937 ohm/km e Y de j5,45x10-6 mho/km, os parâmetros do
quadripolo de um circuito T simétrico com o cálculo das tensões, correntes e potências.
Solução:
Comprimento da Linha:
Impedância:
Admitância:
No circuito “T” simétrico, Z1=Z2 =Z/2:
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b) Determinar para a segunda linha com extensão de 478 km, R=0,498 ohm/km, X = 0,937 ohm/km e Y de j5,45x10-6 mho/km, os parâmetros do
quadripolo de um circuito T simétrico com o cálculo das tensões, correntes e potências.
Solução:
Calculando os parâmetros dos quadripolos:
Cálculo da Tensão Trifásica da Corrente e da Potência Trifásica na Supridora:
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b) Determinar para a segunda linha com extensão de 478 km, R=0,498 ohm/km, X = 0,937 ohm/km e Y de j5,45x10-6 mho/km, os parâmetros do
quadripolo de um circuito T simétrico com o cálculo das tensões, correntes e potências.
Solução:
Cálculo da Tensão Trifásica da Corrente e da Potência Trifásica na Supridora:
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c) Calcular a tensão trifásica, a corrente e a potência ativa trifásica na supridora, considerando os parâmetros do quadripolo combinado com as
duas LTs operando em paralelo para suprimento ao total das cargas atendidas em 750 kV
Solução:
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67
c) Calcular a tensão trifásica, a corrente e a potência ativa trifásica na supridora, considerando os parâmetros do quadripolo combinado com as
duas LTs operando em paralelo para suprimento ao total das cargas atendidas em 750 kV
Solução:
Cálculo da tensão e da corrente na carga:
Cálculo da Tensão Trifásica da Corrente e da Potência Trifásica na Supridora:
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