Fundamentos de Vibração_2020_Parte I

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Vibrações
Modelos Teóricos de Massas Discretas - 1 GDL
MM - Manutenção Mecânica
Engenharia Mecânica – EM
MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Sumário
Introdução
Vibração Livre
Vibração Forçada
Formulário
Referências Bibliográficas
MM - Manutenção Mecânica
Engenharia Mecânica – EM
MECÂNICA VIBRATÓRIA 
A Teoria da Vibração tem por objetivo o estudo do movimento repetitivo de sistemas físicos relativamente a uma posição nominal ou de equilíbrio.
Introdução
MM - Manutenção Mecânica
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
São exemplos de vibração:
o movimento da corda de uma guitarra
o deslocamento de um automóvel ou motociclo
o movimento da asa de um avião
o movimento de um edifício quando sujeito ao vento ou a um tremor de terra
Introdução
MM - Manutenção Mecânica
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
a frequência natural
o amortecimento
os modos de vibração
A vibração de uma estrutura pode ser descrita pelas características naturais dinâmicas desta, que são:
Introdução
MM - Manutenção Mecânica
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Frequência Natural
A frequência natural é a frequência a que vibra um sistema físico quando afastado da sua posição de repouso por uma força que cessa no instante seguinte.
Por exemplo, o som que ouvimos quando batemos numa jarra (sistema físico) com uma colher (força de excitação) não é mais que a manifestação física da frequência natural da jarra.
Introdução
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Experiência “Frequência Natural”
Objectivo: o que é a freq.natural
Descrição: Com o Pulse medir o espectro de frequência do som e da vibração que um copo e uma barra em aço fazem quando sujeitos a um impacto. Sujeitá-los a diferentes impactos (a frequência de vibração não muda logo é natural) na mesma direcção e noutras direcções (a freq.natural é direccional pois varia com a rigidez do sistema). Alterar a massa, a rigidez e o amortecimento do sistema (mostrar que a freq.natural só depende da massa e da rigidez do sistema, e que o amortecimento só altera a amplitude da resposta na freq.natural). 
É também a frequência com que o sistema responde com maiores amplitudes quando forçado a vibrar.
Introdução
Frequência Natural
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Experiência “Ressonância”
Objectivo: o que é a ressonância
Descrição: Com o Pulse, o motor WA e a prateleira, mostrar a ressonância.
Na verdade um sistema físico tem tantas frequências naturais quantos os graus de liberdade que tiver para se deslocar. 
Se pensarmos que a matéria é constituída por moléculas e que no espaço há 3 direcções e 3 rotações para identificar a posição, podemos ter uma ideia da quantidade de frequências naturais que um sistema físico pode ter.
y
x
z
Introdução
Frequência Natural
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Naturalmente, em termos práticos só estamos interessados naquelas frequências que se possam manifestar de forma sensível e que possam ser um problema para a segurança das pessoas e instalações. 
Ora, um sistema vibrará a determinada frequência natural se a frequência da força de excitação igualar essa frequência e se o ponto de aplicação da força for tal que desloque o sistema.
Introdução
Frequência Natural
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
O amortecimento é a capacidade que qualquer sistema físico tem de dissipar energia. Quanto maior o amortecimento mais depressa cessa a vibração livre e menores são as amplitudes de vibração forçada.
Amortecimento
Introdução
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Experiência “Amortecimento”
Objectivo: o que é o amortecimento
Descrição: Com o Pulse medir o sinal no tempo da vibração do motor WA com diferentes amortecedores quando parado e sujeito a um impacto ou em funcionamento (mostrar que o amortecimento só altera a amplitude da resposta). 
Os modos de vibração de um sistema físico são as diferentes formas de deslocamento no espaço que o sistema assume quando é forçado a vibrar a uma das suas frequências naturais.
Em cada modo de vibração costumam existir pontos do sistema que não se deslocam (nós).
Modos de Vibração
Introdução
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Experiência “Modos de vibração”
Objectivo: o que são os modos de vibração
Descrição: Com a mola, o motor WA e a lâmpada estroboscópica mostrar 2 ou 3 modos de vibração da mola.
A importância dos nós de cada modo de vibração deriva do fato de que se a força de excitação for aplicada num desses pontos então não haverá deslocamento do sistema e este não será excitado a essa frequência natural.
Introdução
Modos de Vibração
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
O número de graus de liberdade (gdl) usado na análise de um sistema mecânico é o número de coordenadas cinematicamente independentes necessárias para descrever completamente (localizar e orientar) o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo. Qualquer conjunto de coordenadas é chamado de conjunto de coordenadas generalizadas. Deve ficar claro para o estudante que a escolha de um conjunto de coordenadas generalizadas não é única. Quantidades cinemáticas como deslocamentos, velocidades e aceleração são escritas em função das coordenadas generalizadas e de suas derivadas temporais.
Introdução
Graus de Liberdade e Coordenadas Generalizadas
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Exemplo 1. Determine o número de graus de liberdade (gdl) para ser usado na análise de vibrações da barra rígida da figura abaixo, e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta análise. 
Introdução
Graus de Liberdade e Coordenadas Generalizadas
Solução: Uma vez que a barra é rígida o sistema têm apenas um grau de liberdade. Uma possível escolha para coordenada generalizada é θ, deslocamento angular da barra medido positivo no sentido anti-horário da posição de equilíbrio do sistema.
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Exemplo 2. Determine o número de gdl necessários para analisar o sistema mecânico composto por uma barra rígida com comprimento L e duas molas da figura abaixo, e especifique um conjunto de coordenadas generalizadas que pode ser usado nesta análise de vibrações. 
Introdução
Graus de Liberdade e Coordenadas Generalizadas
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Introdução
Graus de Liberdade e Coordenadas Generalizadas
Solução: Assume-se x como sendo o deslocamento do centro de massa da barra rígida, medido a partir da posição de equilíbrio. Infelizmente, o conhecimento apenas de x é insuficiente para determinar totalmente o deslocamento de qualquer partícula na barra. Assim o sistema tem mais de um grau de liberdade. Para descrever totalmente este movimento deve-se considerar também a rotação angular θ no sentido anti-horário da barra com respeito ao eixo da barra em sua posição de equilíbrio. Se θ é pequeno (Hipótese feita para assumir que o sistema é linear), então o deslocamento do fim do lado direito da barra é x + (L/2)θ. Portanto, o sistema tem 2 gdl, e x e θ são um possível conjunto de coordenadas generalizadas, como ilustrado na figura ao lado.
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Introdução
Componentes de Sistemas Mecânicos
Um sistema mecânico contém componentes de inércia, de rigidez e amortecimento. Os componentes de inércia têm energia cinética quando o sistema está em movimento. A energia cinética de um corpo rígido (Lembrando que um corpo rígido é definido como um corpo onde as suas dimensões devem ser consideradasna análise dinâmica e, assim, o momento de inércia deve ser levado em conta) em movimento é
Ec = 1/2 mṽ2 + 1/2 Īω2 
sendo ṽ a velocidade do centro de massa do corpo, ω a velocidade angular do eixo perpendicular ao plano de movimento, m é a massa do corpo e Ī é o momento de inércia de massa paralelo ao eixo de rotação que atravessa o centro de massa.
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Introdução
Componentes de Sistemas Mecânicos
Já um componente de rigidez (uma mola linear) tem uma relação força deslocamento conforme a equação abaixo
onde F é a força aplicada e x é a mudança do comprimento. A rigidez k tem dimensão de força por unidade de comprimento. No SI a unidade de rigidez é N/m.
Medir experimentalmente massa e rigidez não é tão difícil, agora medir amortecimento pode ser um enorme desafio, pois os sistemas mecânicos podem dissipar energia de formas diferentes. 
F = kx
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Introdução
Componentes de Sistemas Mecânicos
O mais comum é considerar um modelo de amortecedor com amortecimento viscoso. Um componente linear de amortecimento viscoso tem uma relação força-velocidade da forma
F = cv
sendo c o coeficiente de amortecimento. A unidade no SI é N.s/m. Existem outros tipos comuns de amortecimento como: amortecimento de Coulomb, amortecimento estrutural, etc. que serão descritos mais a frente durante este curso. 
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Introdução
Componentes de Sistemas Mecânicos
Já quando uma coordenada angular é empregada como coordenada generalizada para um sistema linear, o sistema pode ser modelado como um sistema torsional, figura 
O momento aplicado na mola linear torsional é proporcional à sua rotação angular enquanto o momento aplicado no amortecimento viscoso torsional é proporcional à velocidade angular. 
Sistema Torsional.
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Introdução
Componentes de Sistemas Mecânicos
Os valores dos coeficientes do sistema torsional equivalente são determinados pelo cálculo da energia cinética total, energia potencial, e trabalho feito pelo amortecedor viscoso do sistema original em termos da escolha da coordenada generalizada empregada
Sistema Torsional.
Ec = 1/2 Ieq2 
EP = 1/2 kteq 
W = -
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Introdução
Forças de Excitação
De acordo com a força de excitação que age em um sistema mecânico as respostas de vibração podem ter características diferentes. A seguir os tipos de excitação mais comuns: 
Força Harmônica: forma mais simples de excitação em sistemas mecânicos, descrita pela equação
F (t) = F sen (ωt)
sendo F a amplitude da excitação e ω a frequência de excitação em rad/s. Também é usual descrever as frequências em Hertz (Hz) (Em homenagem ao cientista alemão Hertz, o primeiro a estudar as ondas de rádio, que também são vibrações, porém de origem elétrica.).
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Introdução
Forças de Excitação
A frequência em Hz é nomeada de f e descrita por
sendo T o período de oscilações (tempo que o movimento harmônico leva para repetir seu padrão), medidos em s.
A relação entre as frequências em Hz e rad/s é dada por
Um movimento harmônico é definido completamente a partir do conhecimento das variáveis acima. Um exemplo prático de excitação harmônica aparece em rotores com massa desbalanceada. 
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Introdução
Forças de Excitação
Força Periódica: Tipo de excitação que se repete após um período, mas não de forma exatamente igual, conforme o exemplo da figura. Motores de combustão interna são exemplos deste tipo de excitação. 
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Introdução
Forças de Excitação
Força Transitória:
Excitação caracterizada por uma liberação de energia grande em um intervalo curto de tempo. 
Inúmeros exemplos descrevem este tipo de força: explosão, impacto, etc. A figura ilustra graficamente este tipo de excitação. 
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Introdução
Forças de Excitação
Força Aleatória: São forças de excitação que não descrevem um padrão determinístico que possa ser definido por uma equação. Para tratar sistemas excitados por forças aleatórias é necessário utilizar métodos estatísticos. Fenômenos aeroelásticos são exemplos de sistemas excitados por forças aleatórias, como forças em asas de aviões, ventos em colunas de pontes, etc. A figura ilustra um sinal típico de excitação aleatória. 
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Introdução
Análise de Sistemas Equivalentes
Todo o sistema linear de 1 grau de liberdade com amortecimento viscoso pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor simples, como a figura, onde meq, keq e ceq são a massa equivalente, rigidez equivalente e amortecimento viscoso equivalente. 
meq
keq
ceq
f(t)
x
Denotando a variável x como a coordenada generalizada, a energia cinética, potencial e trabalho de um sistema linear pode ser escrita como:
Ec = 1/2 meq2 
EP = 1/2 keq 
W = -
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Introdução
Posição de Equilíbrio Estático
Sistemas mecânicos, como os da figura, têm elementos elásticos que estão sujeitos a forças quando o sistema está em equilíbrio. A deflexão resultante no elemento elástico é chamada de deflexão estática, geralmente nomeada por ∆st. 
meq
keq
ceq
f(t)
x
O efeito de deflexão estática de um elemento elástico em um sistema linear não tem efeito na rigidez equivalente do sistema.
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Introdução
Classificação das Vibrações Mecânicas
Classificação de vibrações em sistemas mecânicos: 
Quanto à Excitação: 
	As vibrações podem ser livres ou forçadas. 
Quanto ao Amortecimento: 
	As vibrações podem ser amortecidas ou não-amortecidas. 
Quanto ao Deslocamento: 
	Pode ser retilíneo ou torsional, ou combinação de ambos. 
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Introdução
Classificação das Vibrações Mecânicas
Classificação de vibrações em sistemas mecânicos: 
Quanto às Propriedades Físicas: 
O sistema pode ser discreto, neste caso tem um número finito de gdl, ou contínuo (também chamado de sistema com parâmetros distribuídos), neste caso tem um número infinito de gdl.
Quanto às Equações Envolvidas: 
O sistema pode ser linear (potência 0 ou 1 e não existe produto entre estas e suas derivadas) ou não-linear, quando não é válido o princípio da superposição.
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A representação do comportamento dinâmico dos sistemas físicos por modelos teóricos é fundamental para a compreensão da vibração. 
Modelo de 1 Grau de Liberdade
Uma vez na posse da descrição teórica dessas características naturais dinâmicas, ou seja, do modelo matemático que as relaciona, estaremos em posição de o aplicar numa variedade de situações como sejam:
detecção de dano em estruturas
validação de modelos teóricos
modificação estrutural
projecto estrutural
etc...
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Apesar da maior parte das estruturas reais serem contínuas, o seu comportamento pode muitas vezes ser representado por um modelo de parâmetros discretos cujos elementos idealizados são:
a massa
a mola
o amortecedor
a excitação
m
k
c
f(t)
Modelo de 1 Grau de Liberdade
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Neste modelo, conhecido por modelo de 1 grau de liberdade por só ser necessária uma coordenada para descrever o movimento da massa,os 3 primeiros elementos descrevem o sistema
m
k
c
f(t)
A energia é armazenada na massa e na mola sob a forma de energia cinética e potencial, respectivamente. A energia entra no sistema pela excitação e é dissipada no amortecedor.
Modelo de 1 Grau de Liberdade
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MASSA
AMORTECIMENTO
RIGIDEZ
FORÇA
RESPOSTA
Modelo de 1 Grau de Liberdade
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Por exemplo, as rodas, suspensões e carroçeria de um automóvel podem ser modeladas por um modelo de 1 gdl:
Rigidez equivalente 
dos amortecedores, 
pneus e rodas
Amortecimento equivalente 
dos amortecedores, 
pneus e rodas
Massa da carroçaria
Modelo de 1 Grau de Liberdade
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A perna de um ser humano na posição ereta também pode ser modelada por um modelo de 1 gdl para se estudar o seu comportamento dinâmico na direcção longitudinal:
Rigidez equivalente 
longitudinal das pernas e pés
Amortecimento equivalente 
longitudinal das pernas e pés
Massa do corpo
Modelo de 1 Grau de Liberdade
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A Engenharia Estrutural moderna formula, quase sempre, o problema da resposta dinâmica em termos matriciais, onde as estruturas são discretizadas em N graus de liberdade:
. . .
. . .
Modelo de N Graus de Liberdade
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Por exemplo, o modelo dinâmico simplificado de um edifício sujeito a uma força transversal, pode ser: 
Rigidez
(forças de restituição elástica das vigas e paredes)
Amortecimento
(forças de dissipação de energia)
Massa
(inércia do piso)
Modelo de N Graus de Liberdade
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A distribuição da massa, rigidez e amortecimento do edifício é traduzida pelo chamado MODELO ESPACIAL: 
Modelo Espacial
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O vento atua no edifício como uma força deslocando os pisos. Quando cessa, o edifício vibra livremente até parar: 
Nota: sistema discreto de 21 massas com amortecimento viscoso proporcional – solução temporal obtida por modelo Espaço-Estado e Runge-Kutta 4ªordem 
Modelo Modal
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A estrutura ao vibrar livremente exibe uma deformada natural, composta sempre pelas mesmas frequências (FREQUÊNCIAS NATURAIS) e formas espaciais (MODOS DE VIBRAÇÃO), que tende a parar devido ao amortecimento (AMORTECIMENTO MODAL). É o chamado MODELO MODAL:
Modelo Modal
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Um ventilador desequilibrado, montado no topo do edifício, solicita este com uma força harmónica à frequência de rotação:
Nota: sistema discreto de 21 massas com amortecimento viscoso proporcional – solução temporal obtida por modelo Espaço-Estado e Runge-Kutta 4ªordem 
Modelo de Resposta
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Se a estrutura for forçada a vibrar, por exemplo a uma determinada frequência, assumirá uma forma no espaço (DEFORMADA OPERACIONAL) que depende da frequência de excitação e da força. É o chamado MODELO de RESPOSTA:
Modelo de Resposta
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Cada elemento da matriz [()] significará a resposta que a estrutura exibiria na coordenada i se lhe fosse aplicada apenas uma força unitária na coordenada j :
Modelo de Resposta
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Cada elemento da matriz [()] significará a resposta que a estrutura exibiria na coordenada i se lhe fosse aplicada apenas uma força unitária na coordenada j :
FRF – Função de Resposta em Frequência
Modelo de Resposta
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Modelo Espacial
Modelo Modal
Modelo Resposta
TEÓRICO
EXPERIMENTAL
Id. Modal
Via Experimental e Teórica
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Suponhamos um motor elétrico montado em apoios de borracha. Se pretendermos estudar o seu movimento vertical na presença de forças de excitação (comportamento dinâmico), será aconselhável começarmos por representar o motor por um modelo teórico de 1 grau de liberdade (só é necessária uma coordenada para descrever o movimento). 
Equação Diferencial do Movimento
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m
k
c
Supondo o motor indeformável este poderá ser representado pela massa m [kg]. Admitindo massa nula para os apoios, a rigidez e amortecimento destes será, respectivamente, k [N/m] e c [Ns/m].
Equação Diferencial do Movimento
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m
k
c
Suponhamos a massa em equilíbrio estático (motor parado). Se lhe aplicarmos uma força vertical (arranque ou simplesmente um impacto), f(t), ela desloca-se x(t) com velocidade x’(t) e aceleração x’’(t):
x(t), x’(t), x’’(t)
f(t)
Equação Diferencial do Movimento
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f(t)inércia= mx’’(t)
f(t)elástica = kx(t)
f(t)amort. Viscoso = cx’(t)
Aplicando a 2ªLei de Newton, o diagrama de equilíbrio de forças será:
m
k
c
f(t)
x(t)
Equação Diferencial do Movimento
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As molas podem associar-se em paralelo e em série. Importa por isso saber como calcular a mola equivalente do sistema:
Série
Generalizando para n molas
Rigidez
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As molas podem associar-se em paralelo e em série. Importa por isso saber como calcular a mola equivalente do sistema:
Paralelo
Rigidez
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As molas podem associar-se em paralelo e em série. Importa por isso saber como calcular a mola equivalente do sistema:
Paralelo
Generalizando para n molas
Rigidez
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
Rigidez
Exemplo 1- Dado o sistema da figura abaixo encontre um modelo equivalente composto apenas por uma mola fixa ao bloco de massa m.
Solução:
Primeiro deve-sesubstituir as combinações de molas em paralelo por rigidez equivalente usando a euqação. Este primeiro resultado é mostrado na figura
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Rigidez
Solução:
Em seguida calcula-se a rigidez equivalente do lado esquerdo do bloco
Por sua vez, as molas fixadas do lado direito do bloco têm rigidez equivalente da forma
Como resultado tem-se o sistema da figura
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Rigidez
Solução:
Quando o bloco tem um deslocamento arbitrário x, os deslocamentos em cada mola da figura são os mesmos, e a força total agindo sobre o bloco é a soma das forças desenvolvidas nas molas. Assim estas duas molas se comportam como se estivessem em paralelo e portanto a rigidez equivalente do sistema é descrita por
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Rigidez
Exemplo 2 - Determine a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura usando o deslocamento do bloco como uma coordenada generalizada. 
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Movimento longitudinal (na direção do comprimento) e transverso (na direção perpendicular ao comprimento):
Sistemas de 1 GDL
Movimento de torção (rotação em torno do comprimento):
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O estudo da vibração do sistema passa pela determinação da solução x(t). Existem diferentes métodos analíticos para calcular a solução exata, como por exemplo:
O método dos Coeficientes Indeterminados
O método Geométrico
O método da Transformada de Laplace
O método da Resposta Impulsiva ou Integral de Convolução
O método da Resposta em Frequência
Sistemas de 1 GDL
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…e também métodos numéricos para calcular a solução aproximada, como por exemplo:
O método de Euler
Os métodos de Runge-Kutta de 2ª, 3ª ou 4ª ordem
O método das Diferenças Divididas 
Neste texto utilizaremos os métodos da Resposta em Frequência, da Resposta Impulsiva e das Diferenças Divididas. 
Sistemas de 1 GDL
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Os métodos numéricos têm-se tornado nos métodos preferenciais de cálculo da resposta x(t) pois requerem pouco tempo de análise e podem ser aplicados a qualquer tipo de sistema, linear ou não linear, sujeito a qualquer tipo de solicitação ou força. No entanto, a aplicação de um método numérico não pode deixar de ser sujeita a uma avaliação judiciosa da solução e dos respectivos erros. 
Sistemas de 1 GDL
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MECÂNICA VIBRATÓRIA 
)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
kx
t
x
c
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x
m
=
+
+
&
&
&
)
(
t
x
)
(
t
f
k
m
c
m
k
c
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]
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[
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}
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{
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t
f
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x
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c
1
c
3
c
N
c
3
m
1
m
2
m
N
m
2
k
1
k
3
k
N
k
c
)
(
t
f
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]
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}
[
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t
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&
&
[
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{
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[
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{
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[
]
{
}
{
}
0
)
(
)
(
)
(
=
+
+
t
x
K
t
x
C
t
x
M
&
&
&
{
}
{
}
t
i
e
X
t
x
w
=
)
(
{
}
r
f
]
[
K
]
[
M
]
[
C
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
0
=
l
-
l
+
X
M
C
i
K
(
)
2
2
1
r
r
r
z
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w
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l
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X
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2
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m
t
f
d
w
w
=
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
{
}
F
X
M
C
i
K
=
w
-
w
+
2
{
}
[
]
[
]
[
]
(
)
{
}
F
M
C
i
K
X
1
2
-
w
-
w
+
=
(
)
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
1
2
-
w
-
w
+
=
w
a
M
C
i
K
{
}
{
}
t
i
e
F
t
f
w
=
)
(
(
)
(
)
(
)
å
=
w
w
z
+
w
-
w
f
f
=
w
a
N
r
r
r
r
kr
ir
ik
i
1
2
2
2
(
)
[
]
[
]
(
)
(
)
[
]
[
]
T
r
r
r
i
F
w
w
z
+
w
-
w
F
=
w
a
-
1
\
2
2
\
2
[
]
[
]
[
]
K
C
M
r
w
{
}
r
f
r
z
(
)
[
]
w
a
(
)
[
]
t
h
)
(
)
(
'
)
(
)
(
'
'
t
f
t
cx
t
kx
t
mx
+
-
-
=
1
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
å
n
1
i
i
eq
k
1
k
F
n
k
(
)
portanto
 
e
x
k
k
x
k
x
k
x
k
F
assim
F
F
F
:
que
 
tal
 
força
 
uma
 
a
experiment
 
uma
 
cada
 
que
 
 sendo
x
 
ão
-
se
-
deslocar
 
estas
 
paralelo,
 
em
molas
 
das
 
livre
 
e
extremidad
 
na
 
F
 
força
 
uma
 
aplicarmos
 
Ao
eq
1
2
1
2
1
2
+
=
+
=
=
+
=
2
1
eq
k
k
k
+
=
1
k
2
k
F
å
=
=
n
i
i
eq
k
k
1
n
k
(
)
(
)
(
)
)
(
'
'
'
t
f
t
kx
t
cx
t
mx
=
+
+
(
)
(
)
(
)
)
(
'
'
'
t
f
t
k
t
c
t
J
t
t
=
q
+
q
+
q
torção
 
à
rigidez 
 
-
k
torção
 
à
 
nto
amortecime
 
de
 
e
coeficient
 
-
 
c
polar
 
inércia
 
de
 
momento
 
-
J
t
t
rigidez 
 
-
k
 
nto
amortecime
 
de
 
e
coeficient
 
-
 
c
massa
 
-
m