Círculo de Mohr - Estado Plano Tensões

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Faculdade Católica Salesiana – Engenharia Civil 
Ao Departamento de Engenharia Civil 
Área de Conhecimento - Engenharias
16 de Março de 2016 - Virória/ES
INTRODUÇÃO
É possível representar, na forma gráfica, as
equações de transformação para estado plano de
tensões através de um diagrama conhecido como
Círculo de Mohr. Esta representação gráfica permite
a visualização das relações entre as tensões normais
e de cisalhamento agindo em vários planos
inclinados em um ponto de um corpo tensionado.
O traçado do Círculo de Mohr também oferece meios
para o cálculo das tensões principais, tensões de
cisalhamento máximas e tensões em planos
inclinados. É uma ferramanta útil não apenas para
estudo de tensões, mas também para deformações e
momentos de inércia.
CÍRCULO DE MOHR PARA ESTADO PLANO DE TENSÕES
Professora: Edilaine Pacheco Vieira
Disciplina: Resistência dos Materiais II
Na primeira fase do Círculo de Mohr, traça-se a tensão
normal 𝜎𝑥1 positiva para a direita e a tensão de
cisalhamento 𝜏𝑥1𝑦1 positiva para baixo. Desta forma, o
ângulo 2𝜃 será positivo quando no sentido anti-horário.
Esta é a convensão de sinais mais utilizada no meio
acadêmico (Figura 1).
Uma vez conhecidas esssas tensões, o procedimento
para a construção do Círculo de Mohr é o ilustrado na
figura seguinte:
EQUAÇÕES DO CÍRCULO DE MOHR
A partir das equações de transformação para estado
plano de tensões já estudadas, é possível deduzir a
equação geral do Círculo de Mohr:
𝜎𝑥1 −
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥1𝑦1
2 =
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
A equação acima apresentada pode ser simplificada
por meio da equação algébrica padrão de um círculo:
𝜎𝑥1 − 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎
2
+ 𝜏𝑥1𝑦1
2 = 𝑅2
Onde:
𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
e 𝑅 =
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
Conhecidas as tensões 𝜎𝑥, 𝜎𝑦 e τ𝑥𝑦, agindo nos planos
x e y de um elemento em estado plano de tensões,
como representado na figura 2, temos as informações
suficientes para construir o círculo.
As coordenadas são 𝜎𝑥1e 𝜏𝑥1𝑦1, o raio é R e o centro
do círculo tem coordenadas 𝜎𝑥1 = 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 e 𝜏𝑥1𝑦1 = 0.
CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR
𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎
Figura 1
Figura 2
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CÍRCULO DE MOHR PARA ESTADO PLANO DE TENSÕES
Professora: Edilaine Pacheco Vieira
Disciplina: Resistência dos Materiais II
corresponde a 𝜃 = 90°. Além disso, a face y do
elemento da figura 2 é chamada de “B” para
mostrar sua correspondência com o ponto B no
círculo;
5. Desenhe uma linha do ponto A até o ponto B.
Essa linha é um diâmetro do círculo e passa
através do centro C. Os pontos A e B,
representando as tensões nos planos a 90° a cada
um deles (Figura 2), estão em extremidades
opostas do diâmetro (e por isso estão 180°
separados no círculo).
6. Usando o ponto C como centro, desenhe o círculo
de Mohr através dos pontos A e B. O círculo
desenhado tem raio R, de equação já conhecida:
𝑅 =
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎
Figura 3
Etapas para a construção do círculo:
1. Desenhe um sistema de coordenadas com 𝜎𝑥1
como abscissa (positiva para a direita) e
𝜏𝑥1𝑦1como ordenada (positiva para baixo);
2. Localize o centro C do círculo no ponto de
coordenaadas 𝜎𝑥1 = 𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 e 𝜏𝑥1𝑦1 = 0;
3. Localize o ponto A, representando as condições
de tensão na face x do elemento ilustrado na
figura 2, traçando suas coordenadas 𝜎𝑥1 = 𝜎𝑥 e
𝜏𝑥1𝑦1 = τ𝑥𝑦 . Note que o ponto A no círculo
corresponde a 𝜃 = 0. Note ainda que a face x do
elemento da figura 2 é chamada de face “A” para
mostrar sua correspondência com o ponto A no
círculo;
4. Localize o ponto B, representando as condições
de tensão na face y do elemento ilustrado na
figura 2, traçando suas coordenadas 𝜎𝑥1 = 𝜎𝑦 e
𝜏𝑥1𝑦1 = − τ𝑥𝑦. Note que o ponto “B” no círculo
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CÍRCULO DE MOHR PARA ESTADO PLANO DE TENSÕES
Professora: Edilaine Pacheco Vieira
Disciplina: Resistência dos Materiais II
Desenhado o círculo, como exemplo genérico da
figura 3, verifica-se através da geometria que as
linhas AC e CB são raios e possuem comprimentos
iguais a R. Nota-se que a abscissa do ponto C
corresponde a (𝜎𝑥+ 𝜎𝑦 )/2 e que a abscissa do ponto
A é 𝜎𝑥 . A diferença dessas abscissas é (𝜎𝑥− 𝜎𝑦 )/2,
como mostrado na figura 3.
A ordenada do ponto A é τ𝑥𝑦. Por isso, a linha CA é a
hipotenusa de um triângulo reto (ver figura 4) tendo
um lado de comprimento (𝜎𝑥− 𝜎𝑦 )/2 e o outro lado de
comprimento τ𝑥𝑦. Daí, encontra-se o raio R, que é a
raiz quadrada da soma dos quadrados desses dois
lados, conforme equação apresentada em tópicos
anteriores.
Por procedimento similar, é possível mostrar que o
comprimento da linha CB também é igual ao raio R
do círculo.
Figura 4
Resolução:
Construção do círculo de Mohr.
Começa-se fixando os eixos para as tensões
normais e de cisalhamento, com 𝜎𝑥1positivo para a
direita e 𝜏𝑥1𝑦1positivo para baixo.
Traçados os eixos, posiciona-se o centro C do
círculo no eixo 𝜎𝑥1no ponto em que a tensão é igual
à tensão normal média:
𝜎𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
=
90 + 20
2
= 55 MPa
Marca-se o ponto A, que representa as tensões na
face x do elemento dado (𝜃 = 0). Esse ponto tem
coordenadas 𝜎𝑥1 = 90𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑥1𝑦1 = 0.
De forma similar, marca-se o ponto B,
representando as tensões na face y do elemento
( 𝜃 = 90° ). Esse ponto tem coordenadas 𝜎𝑥1 =
20𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑥1𝑦1 = 0.
Em um ponto na superfície de um cilindro
pressurizado, o material está submetido a tensões
biaxiais 𝜎𝑥 = 90𝑀𝑃𝑎 e 𝜎𝑦 = 20 𝑀𝑃𝑎, como ilustrado
no elemento de tensão da figura 5.
EXEMPLO
Figura 5
Construa o Círculo de Mohr considerando as
tensões atuantes na superfície deste cilindro.
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CÍRCULO DE MOHR PARA ESTADO PLANO DE TENSÕES
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Disciplina: Resistência dos Materiais II
Traçados graficamente os eixos e os pontos C, A e B,
é possível desenhar o círculo com raio R igual a:
𝑅 =
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2
𝑅 =
90 − 20
2
2
+ 02 = 35𝑀𝑃𝑎
A figura 6 apresenta o círculo de Mohr soliciado. A
partir dele é possível determinar tensões agindo em
elementos inclinados – assunto para as próximas
aulas.
Figura 6
C