ufrrj_IT_503_Hidraulica_Aula_3_Estatica_dos_Fluidos

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Estática dos Fluidos 
Prof. Dr. Conan Ayade Salvador 
Prof. Dr. Leonardo Duarte Batista da Silva 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA 
DISCIPLINA: IT 503 – FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA 
Seropédica - RJ 
 Introdução e Princípios Básicos; 
 Propriedades Físicas dos Fluidos; 
 Estática dos Fluidos; 
 Hidrodinâmica; 
 Hidrometria; 
 Condutos Forçados; 
 Bombas Hidráulicas; e, 
 Condutos Livres. 
Programa da Disciplina 
Escada hidráulica 
 Estática de Fluidos; 
 Pressão e Empuxo; 
 Lei de Pascal; 
 Lei de Stevin; 
 Manometria: 
 - Experiência de Torricelli; 
 - Escalas de Pressão. 
Tópicos da Aula 
É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso, 
bem como as forças que podem ser aplicadas em corpos 
neles submersos. 
Um fluido em equilíbrio não pode estar sob a ação de forças 
tangenciais ou cisalhantes. Portanto, todas as forças atuantes 
em um fluido em repouso fazem-no perpendicularmente a 
sua superfície livre. 
Estática de Fluidos 
 Pressão e Empuxo 
Empuxo (E): É a força resultante originada quando se considera o somatório 
das pressões elementares atuantes. Também denominada de pressão total, 
matematicamente pode ser obtida pela integral abaixo: 
𝐸 = 𝑝𝑑𝐴
𝐴
 𝐸 = 𝑝𝐴 
Se a pressão for a mesma em toda área 
(exemplo: superfícies horizontais) 
Pressão (p): É a força que um líquido exerce sobre a unidade de área de 
uma superfície. 
𝑝 =
𝑑𝐹
𝑑𝐴
 
p – pressão, Pa, kgf m-2, atm, PSI, m.c.a ; e, 
dF – elemento infinitesimal de força, L2; 
dA – elemento infinitesimal de área, MLT-2; 
 Lei de Pascal 
Blaise Pascal 
Clermont-Ferrand, França 19 de junho de 
1623 — Paris, 19 de agosto de 1662. 39 
anos. 
Foi um físico, matemático, filósofo e 
teólogo francês. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Clermont-Ferrand
https://pt.wikipedia.org/wiki/Clermont-Ferrand
https://pt.wikipedia.org/wiki/Clermont-Ferrand
https://pt.wikipedia.org/wiki/19_de_junho
https://pt.wikipedia.org/wiki/1623
https://pt.wikipedia.org/wiki/Paris
https://pt.wikipedia.org/wiki/19_de_agosto
https://pt.wikipedia.org/wiki/1662
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teologia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7a
 Lei de Pascal 
“Em qualquer ponto no interior de um líquido em repouso, a pressão é a 
mesma em todas as direções” 
Enuncia-se: 
Para a demonstração dessa lei isola-se 
um prisma com altura dy, largura dx e 
comprimento unitário. 
Como as forças atuantes estão em 
equilíbrio, tem-se que: 
Figura 1. Forças atuantes em um prisma no interior 
de um líquido em repouso. 
AZEVEDO NETTO et al. (1998). 
 𝐹𝑋 = 0 𝐹𝑌 = 0 
Após dedução 
matemática 
obtem-se: 
𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 = 𝑝𝑠 
 Lei de Pascal 
“Qualquer alteração na pressão aplicada em um pequeno volume de 
um fluido confinado e incompressível é transmitida integralmente a 
todos os pontos do fluido, bem como às paredes do recipiente que o 
mantém confinado” 
Uma leitura mais abrangente do princípio de Pascal é a seguinte (PERES, 2006): 
Aplicações: os freios, os elevadores, e as prensas hidráulicas são 
fundamentados nessa lei. 
 Lei de Pascal 
 Lei de Pascal 
No caso da prensa hidráulica (ou macaco hidráulico) tem-se que: 
𝐹2 =
𝐹1
𝐴1
𝑥𝐴2 
CARVALHO (2012). 
Outro princípio creditado a Pascal estabelece que: 
“Um fluido confinado em um recipiente de paredes sólidas, a pressão 
exercida pelo fluido no recipiente atua perpendicularmente as suas 
paredes” 
PERES. (2006). 
 Lei de Pascal 
Exemplo 1: Calcular a força P que deve ser aplicada no êmbolo menor da 
prensa hidráulica da Figura 9, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada 
no êmbolo maior. Os cilindros estão cheios de um óleo com densidade 0,75 
e as seções dos êmbolos são, respectivamente, 40 e 4000 cm2 
1. Determinar o peso específico do óleo: 
𝑑 =
𝛾ó𝑙𝑒𝑜
𝛾á𝑔𝑢𝑎
 
𝛾ó𝑙𝑒𝑜= 0,75𝑥1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚
−3 = 750𝑘𝑔𝑓 𝑚−3 
2. Determinar a força P: 
 𝐹𝑌 = 0 
 𝐹𝑌 =
𝑃
𝐴
+ 𝛾ó𝑙𝑒𝑜𝑕 −
𝑄
𝐴
 
𝑃
0,004𝑚2
+ 750
𝑘𝑔𝑓
𝑚3
𝑥0,4𝑚 =
4400𝑘𝑔𝑓
0,4 𝑚2
 
𝑃 = 11000
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
− 300
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
0,004𝑚2 = 42,8𝑘𝑔𝑓 
 Lei de Pascal 
Exemplo 2: O freio hidráulico de um automóvel tem o pistão em contato 
com o pedal de área igual a 1 cm2. Cada um dos pistões que acionam as 
lonas do freio tem área de 10 cm2. Quando o motorista aciona o freio com 
uma força de 20 N, que força cada lona exerce sobre as rodas do 
automóvel? 
 Aplicando-se a lei de Pascal, tem-se: 
𝐹2 =
𝐹1
𝐴1
𝑥𝐴2 
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
 
𝐹2 =
20 𝑁
1 𝑐𝑚2
𝑥10 𝑐𝑚2 = 200 𝑁 
 Lei de Stevin 
Simon Stevin 
Bruges, Flandres atual Bélgica. 1548 – 
1620. 
Foi um engenheiro, físico e matemático. 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bruges
http://pt.wikipedia.org/wiki/Circa
http://pt.wikipedia.org/wiki/Circa
http://pt.wikipedia.org/wiki/1548
http://pt.wikipedia.org/wiki/1620
http://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
 Lei de Stevin 
“A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em 
equilíbrio é igual à diferença de profundidade multiplicada pelo peso 
específico do fluido” 
Enuncia-se: 
Considerando-se que atuam nesse prisma na 
direção vertical, tem-se que: 
 𝐹𝑌 = 0 
𝑝1𝐴 + 𝜌𝑔𝑕𝐴 − 𝑝2𝐴 = 0 
𝑝2 − 𝑝1 = 𝜌𝑔𝑕 
Cancelando a área na expressão acima, 
𝑝2 − 𝑝1 = 𝛾𝑕 
Maior profundidade = maior pressão 
 Lei de Stevin 
Exemplo 3: A pressão da água na da torneira A, quando a mesma encontra-
se fechada, é de 0,28 kgf cm-2. Sabe-se que a diferença entre a saída da 
torneira e o fundo da caixa d’água é de 2 m. Pede-se: a) a altura do nível de 
água na caixa d’água? b) Qual a pressão na torneira B, fechada, situada a 
três metros abaixo da torneira A? 
1. Dados: 
hTOTAL 
𝑝𝐴 = 0,28
𝑘𝑔𝑓
𝑐𝑚2
𝑥
10000𝑐𝑚2
𝑚2
= 2800
𝑘𝑔𝑓
𝑚2
 
𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚
−3 
a) 𝑝𝐴 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝛾𝐻 2800 𝑘𝑔𝑓 𝑚
−2 = 1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚−3 𝑕 + 2 𝑚 
𝑕 =
2800 𝑘𝑔𝑓 𝑚−2
1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚−3
− 2 𝑚 = 0,8 𝑚 
b) 𝑕𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 0,8 + 2 + 3 𝑚 = 5,8 𝑚 
𝑝𝐵 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝛾𝑕𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 𝑝𝐵 = 1000 𝑘𝑔𝑓 𝑚
−3𝑥 5,8 𝑚 = 5800 𝑘𝑔𝑓 𝑚−2 
𝑝𝐵 = 0,58 𝑘𝑔𝑓 𝑐𝑚
−2 
 Manometria 
Evangelista Torricelli 
Faenza, 15 de outubro de 1608 —
 Florença, 25 de outubro de 1647) 
Foi um físico e matemático italiano, 
mais conhecido pela invenção 
do barômetro e por descobertas na 
área de óptica. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Faenza
http://pt.wikipedia.org/wiki/15_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/15_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/15_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/15_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/15_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/1608
http://pt.wikipedia.org/wiki/Floren%C3%A7a
http://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/25_de_outubro
http://pt.wikipedia.org/wiki/1647
http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
http://pt.wikipedia.org/wiki/It%C3%A1lia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Bar%C3%B4metro
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93ptica
 Manometria 
a) Experiência de Torricelli (1642) 
Patm Patm 
Para determinar o valor da pressão 
atmosférica, Torricelli utilizou um tubo de vidro 
com um metro de comprimento, fechado em 
uma das extremidades e cheio de mercúrio 
(Hg). Ao colocar a extremidade livre do tubo 
num recipiente contendo o mesmo líquido, ao 
nível do mar (g = 9,81 m s-2), e temperatura de 
0 °C, ele verificou que a coluna de Hg no tubo 
alcançou 76 cm (762 mm). 
1 𝑎𝑡𝑚 = 760 𝑚𝑚𝐻𝑔 
𝑃𝑎𝑡𝑚 = 10,33 −
0,12
100
 𝑥 𝐴𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝐿𝑜𝑐𝑎𝑙= ⋯𝑚. 𝑐. 𝑎. 
 Manometria 
b) Escalas de pressão: pressão absoluta e pressão relativa 
A pressão pode ser expressa utilizando-se dois referenciais: o vácuo 
absoluto e a pressão atmosférica local. Assim: 
 Quando a pressão é expressa como sendo a diferença entre seu valor 
medido e o vácuo absoluto denomina-se pressão absoluta; 
 Quando a pressão é expressa como sendo a diferença entre seu valor 
medido e a pressão atmosférica local denomina-se pressão relativa. A 
pressão relativa também é chamada de pressão manométrica e pressão 
efetiva; 
Matematicamente são relacionadas por: 
𝑝𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 = 𝑝𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 + 𝑝𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 
 Manometria 
b) Escalas de pressão: pressão absoluta e pressão relativa 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
 Manometria 
 Controlar a vazão que escoa em uma tubulação; 
 Conhecer as condições de operação de um conjunto moto-bomba; 
 Determinar a vazão e o raio de alcance emitido por um emissor; 
 Calcular o esforço necessário para abrir comportas e o esforço 
exercido sobre as paredes de um reservatório; 
 Determinar o potencial matricial de água no solo. 
A determinação da pressão tem as seguintes finalidades: 
 Manometria 
c) Medidores de Pressão 
 Os equipamentos que medem a pressão nos fluidos são denominados 
manômetros, e indicam as pressões relativas, manométricas ou 
efetivas; 
 Os manômetros que medem somente pressões relativas negativas são 
chamados de vacuômetros. Os que possuem escala positiva e negativa 
são conhecidos como manovacuômetros. 
Os principais tipos de manômetros serão descritos a seguir: 
Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
São aqueles que indicam a pressão atuante por meio da altura formada 
pela coluna de líquido no interior de tubos transparentes. A seguir serão 
apresentados os diversos tipos que se agrupam nessa categoria. 
 Manometria 
- Qualquer posição em torno do perímetro da tubulação 
indicará o mesmo valor de pressão; 
- Mede pressões positivas; e, 
- Não é apropriado para medir pressões elevadas (1 atm 
equivale a 10,33 m.c.a.). 
Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
Consiste em um tudo transparente inserido no local onde se pretende 
medir a pressão. O líquido circulante se elevará a uma altura h, que 
corrigida do efeito da capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de 
coluna líquida. 
1. Piezômetro 
𝑝𝐴 = 𝛾𝑕 pA – pressão em A, kgf m
-2 ou N m-2; 
γ – peso específico do líquido, N m-3 ou kg m-3; 
h – altura da coluna líquida acima de A, m; 
CARVALHO (2012). 
 Manometria 
Exemplo 1: Qual a pressão máxima que pode ser medida com um piezômetro 
de 3 m de altura, instalado em uma tubulação conduzindo: a) água (ρ = 1000 kg 
m-3); b) óleo (ρ = 850 kg m-3)? 
 Manometria 
Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
 É utilizado quando a pressão a ser medida tem um 
valor grande ou muito pequeno, para tanto é 
necessário o uso de líquidos manométricos que 
permitem reduzir ou ampliar as alturas da coluna 
líquida; 
 Pode ser utilizado para medir a pressão em líquidos 
ou gases. Medem pressões relativas positivas e 
negativas. 
 O líquido manométrico deve atender aos requisitos: 
2. Manômetro de tudo em U 
- Não ser miscível com o fluido escoante; 
- Formar meniscos bem definidos; e, 
- Possuir densidade bem definida. 
 Manometria 
Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
 Para pequenas pressões os líquidos manométricos mais comuns são: 
água, cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de 
acetileno e benzina; 
 Para grandes pressões o líquidos manométrico mais adotado é o 
mercúrio. 
2. Manômetro de tudo em U 
AZEVEDO NETTO et al (2006). 
Para se determinar a pressão em D, tem-se que: 
𝑝𝐶 = 𝑝𝐵 
𝑝𝐶 = 𝑝𝐷 + 𝛾𝑧 
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝛾
′𝑕 
Sabendo que PA = Patm, e substituindo (2) e (3) em (1) 
(1) 
(2) 
(3) 
𝑝𝐷 = 𝛾
′𝑕 − 𝛾𝑧 
 Manometria 
Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
2. Manômetro de tudo em U 
Para se obter a pressão em função da densidade dos fluidos envolvidos, 
basta dividir todos os termos da equação geral para manômetros de tubo 
em U pelo peso específico da água. Assim: 
𝑝𝐴 = 𝛾2𝑕2 − 𝛾1𝑕1 
𝑝𝐴
𝛾𝐻2𝑂
=
𝛾2𝑕2
𝛾𝐻2𝑂
−
𝛾1𝑕1
𝛾𝐻2𝑂
 
𝑝𝐴
𝛾𝐻2𝑂
= 𝑑2𝑕2 − 𝑑1𝑕1 
AZEVEDO NETTO et al (1998). 
O termo 
𝑝𝐴
𝛾𝐻2𝑂
 corresponde a energia de pressão por 
unidade de peso, sendo expressa em m.c.a. (metro de 
coluna de água). 
 Manometria 
Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
3. Manômetro diferencial 
É o aparelho utilizado para medir a diferença de pressão entre dois pontos. 
CARVALHO (2012). 
𝑝1 = 𝑝2 
𝑝1 = 𝑝𝐴 + 𝛾1(𝑥 + 𝑦 + 𝑕) 
𝑝2 = 𝑝𝐵 + 𝛾2𝑦 + 𝛾3𝑕 
Substituindo (2) e (3) em (1) 
(1) 
(2) 
(3) 
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝛾2𝑦 + 𝛾3𝑕 − [𝛾1(𝑥 + 𝑦 + 𝑕)] 
Ou, fazendo-se o Σ p, tem-se: 
𝑝𝐴 + 𝛾1 𝑥 + 𝑦 + 𝑕 − 𝛾3𝑕 − 𝛾2𝑦 = 𝑝𝐵 
 Manometria 
Exemplo 2: Um manômetro diferencial de mercúrio (d = 13,6) é utilizado 
como indicador do nível de uma caixa d’água, conforme ilustra a figura ao 
lado. Qual o nível da água na caixa (h1) sabendo-se que h2 = 15 m e h3 = 1,3 m? 
 
h 1 
h 2 
h 3 
Patm 
Patm 
 Manometria 
Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
3. Manômetro diferencial (caso especial) 
Pode-se utilizar um manômetro diferencial para medir a diferença de 
pressão correspondente a perda de energia (perda de carga) entre dois 
pontos de uma mesma tubulação. Nesse caso, tem-se: 
PERES (2006). 
h3 
h1 
𝑝𝐴 + 𝛾1𝑕3 − 𝛾2𝑕2 − 𝛾1𝑕1 = 𝑝𝐵 
𝑝𝐴 + 𝛾1(𝑕1 + 𝑕2) − 𝛾2𝑕2 − 𝛾1𝑕1 = 𝑝𝐵 
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = +𝛾2𝑕2 − 𝛾1𝑕2 
 Manometria 
Manômetro metálico tipo Bourdon 
São os medidores de pressão mais utilizados. Permitem a leitura direta da 
pressão e um mostrador. São utilizados para medir grandes pressões. 
As pressões são determinadas pela deformação de uma haste metálica oca, 
provocada pela pressão do líquido na mesma. A deformação movimenta 
um ponteiro que se desloca em uma escala. 
 Manometria 
Manômetro metálico tipo Bourdon 
É constituído de um tubo 
metálico transversal (seção reta) 
elíptica que tende a se deformar 
quando a pressão P aumenta. 
A calibração é realizada com um manômetro de peso morto. 
A pressão é obtida pela colocação de massas 
conhecidas e padronizadas sobre um êmbolo 
com área também conhecida. Para uma 
determinada força-peso sobre o êmbolo pode-
se calcular a pressão exercida. 
 Manometria 
Manômetros digitais (eletrônico) 
Manômetro metálico tipo Bourdon 
Ocasionalmente pode ser instalado a uma distância (acima ou abaixo) do 
ponto em que se interesse conhecer a pressão. Se o manômetro for instalado 
abaixo do ponto de medição, indicará uma pressão maior do que a vigente. 
Caso seja instalado acima do ponto de interesse indicará uma pressão menor 
do que a vigente. 
A pressão ou diferença de pressão 
provoca a deformação de uma 
resistência especial (strain gage). 
Tais deformações alteram a 
resistência elétrica atuante, a qual 
é relacionada a pressão por uma 
equação de empírica. 
 Manometria 
Exemplo 4: Um manômetro metálico posicionado a 2,5 m acima do centro de 
uma tubulação conduzindo água indica uma pressão de 14 kgf cm-2. Qual a 
pressão reinante no centro da tubulação? 
 Manometria 
Caso especial: Tensiômetro 
São equipamentos de campo utilizados para determinar diretamente o 
potencial matricial de água no solo. Esse potencial é relacionado a 
umidade do solo por meio de equação. 
Consiste em uma cápsula porosa conectada a um tubo de PVC rígido, e a 
um manômetro de mercúrio, ou, a um vacuômetro. 
𝑝𝐴 − 𝛾𝐻2𝑂 𝑧 + 𝑕𝑐 + 𝑕 + 𝛾𝐻𝑔𝑕 = 𝑝𝐵 
A
z
hc
h
x
A
B
m P
(m)
(m)
(m)
(m)
A
z
hc
h
x
A
B
m P
(m)
(m)
(m)
(m)
Superfície 
do solo 
B 
2 1 
𝑝𝐴 = − 𝛾𝐻𝑔𝑕 + 𝛾𝐻2𝑂 𝑧 + 𝑕𝑐 + 𝑕 
𝑝𝐴
𝛾𝐻2𝑂
= −12,6𝑕 + 𝑕𝑐 + 𝑧 
“Eu tentei 99 vezes e falhei. Mas na centésima 
tentativa eu consegui. Nunca desista dos seus 
objetivos mesmo queeles pareçam impossíveis. A 
próxima tentativa pode ser vitoriosa” 
 
 Albert Einstein 
“Dê ao mundo o melhor de você. Mas isso pode não 
ser o bastante. Dê o melhor de você assim mesmo. 
Veja você que, no final das contas, é tudo entre 
VOCÊ e DEUS. Nunca foi entre você e os outros ” 
 
 Madre Teresa de Calcutá