Estrada de Rodagem Curvas Concordância Horizontal Circular

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Porf. Rodrigo de Alvarenga Rosa 23/03/2012
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1Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
rodrigoalvarengarosa@gmail.com
(27) 9941-3300
Estrada de Rodagem
Curvas Concordância Horizontal
Circular
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Histórico
• No início do transporte rodoviário, as rodovias 
proporcionavam maior liberdade no deslocamento dos 
veículos
– Tinham pouco tráfego
– Os veículos trafegavam em baixa velocidade
– Eram sem pavimentação e os veículos podiam invadir a 
contramão
• Por isso problemas de traçado (geometria) não eram tão 
preocupantes
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Histórico
• Na década de 30 houve grande incremento na construção 
de rodovias
• Começam as rodovias pavimentadas
• A velocidade dos veículos também aumenta
• Neste momento, passa a ser preocupante a atuação da 
força centrífuga.
• Necessidade de superelevação e superlargura.
– Sobretudo o estudo da superelevação.
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Geometria
• A força atua bem no início da curva circular
• Ou seja, no PC (ponto onde termina a tangente e inicia a 
curva circular)
• Assim, é interessante que o plano de rolamento já esteja 
modificado neste ponto
• É impossível modificar o traçado em um ponto
– Iria gerar um degrau na pista
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Geometria
• Modificar o plano de rolamento antes do PC
– Teria uma tangente com uma inclinação para um dos 
lados sem ter a força centrífuga atuando
– Poderia gerar um tombamento do veículo e desconforto 
para os passageiros
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Geometria
• Iniciar a modificação após o PC
– No PC já existe a força centrífuga, porém ainda não 
existe plenamente a superelevação
– Assim, esta situação também ocasiona desconforto aos 
passageiros e risco de derrapagem ao veículo por falta 
da compensação da superelevação total
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Geometria
• Introduzir uma nova curva entre a tangente e o início da 
curva simples.
– Essa é a melhor opção encontrada
– Ao fim da tangente, no início da curva de transição, (TE) 
inicia-se a superelevação e gradualmente chega-se ao 
máximo no ponto EC (espiral - arco circular) que é o 
início da curva circular que demanda toda superelevação
– O mesmo ocorre quando do término da curva circular CE 
(curva circular - espiral) que vai perdendo a 
superelevação até chegar a tangente (ET) sem 
superelevação
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Geometria
• Esta curva de transição deve em cada ponto ao longo do 
arco proporcionar uma aceleração centrífuga em harmonia 
com a superelevação da via.
• Tem-se uma distribuição da superelevação proporcional ao 
desenvolvimento da curva de transição desde o seu início.
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Geometria
• As melhores curvas são as denominados radiodes que 
provêm da relação:
ll
ρρ =
d
d
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Geometria
• Clotoide ou espiral de Cornu ou de Van Leben ou curva de 
Euler:
• Leminiscata de Bernouilli
• Curva elástica
• A mais usada pelos órgãos brasileiros, DNIT, é a clotoide. 
)
1
(
ρ
f=l
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Concordância com curva circular
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Concordância com curva circular
D
Sentido de
estaqueamento
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Concordância com curva circular
• O prolongamento das duas tangentes contíguas a uma 
curva de concordância se encontram em ponto denominado 
ponto de intercessão PI
• A distância entre o PI e o PC e a distância entre o PI e o PT 
são denominadas tangente externa T.
• No PI, o prolongamento de uma tangente externa forma um 
ângulo de deflexão denominado .∆
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Concordância com curva circular
• Os sucessivos PI de uma diretriz formam uma poligonal.
• Nesta poligonal cada lado mede a soma tangente da diretriz
com as tangentes externas de cada curva adjacente. 
• Os raios externos do arco de círculo, normais às tangentes, 
onde tocam o PC e o PT, formam o ângulo central AC
• O ângulo central é o mesmo do ângulo de deflexão .∆
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Concordância com curva circular
• O arco de círculo da curva de concordância é definido por:
• Raio - R
• Ângulo central - AC
• Extensão ou Desenvolvimento entre o PC e PT - D
• O segmento PIM entre o arco de círculo é o afastamento E.
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Concordância com curva circular
• Pode-se deduzir:
• Tangente externa:
• Afastamento:
• Desenvolvimento:
)
2
(tan
AC
RT =
)1)
2
(sec( −= ACRE
180
Π= RACD
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Faça a locação por estaqueamento das curvas 1 e 2 
conforme a diretriz a seguir.
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A deflexão é igual 
ao Ângulo central
PC1 PT1
AC1
T1
D
Exemplo - Concordância com curva circular
• Estratégia de abordagem
O
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Exemplo - Concordância com curva circular
m
AC
RT
o
90,42)
2
401224
(tan200)
2
(tan
"'
1
11 ===
mRACD o 51,84
180
200401224
180
"'
111 =
Π=Π=
mRACD o 25,143
180
250504932
180
"'
222 =
Π=Π=
m
AC
RT
o
65,73)
2
504932
(tan250)
2
(tan
"'
2
22 ===
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Com os valores das tangentes externas e do 
desenvolvimento, pode-se calcular os comprimentos das 
tangentes.
mmTPIPC 07,11407,9190,4297,1330 111 +==−=−−=
mmDPCPT 58,15858,17551,8407,91111 +==+=+=
mm
TTPIPIPTPC
52,181252,258
)65,7390,4249,199(58,175)( 212112
+==
−−+=−−−+=
mmDPCPT 77,12077,40125,14352,258222 +==+=+=
( ) mmTPFPIPTPF 24,192324,479)65,7312,151(77,401222 +==−+=−−+=
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Manual de Serviços de consultoria para estudos e projetos rodoviários, DNER, 1978, v.2
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Exemplo - Concordância com curva circular
• Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme 
a diretriz a seguir, e supondo que se queira manter os dois 
raios iguais, pergunta-se:
• Qual o maior raio possível?
• Qual o maior raio possível para manter um trecho em 
tangente entre o ponto 1 e o ponto 2 de 80 metros? 
AC1 = 40o
AC2 = 28o
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23Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Concordância com curva circular
• Resoluçãoletra a)
• A tangente da curva aumenta proporcionalmente ao raio.
• O maior raio possível será quando ocorrer a maior tangente 
no espaço disponível, 720,0m, ou seja, .
AC1 = 40o
AC2 = 28o
21 PCPT =
1T
72021 =+ TT
2T
21 PCPT =1PC
2PT
24Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Concordância com curva circular
AC1 = 40o
AC2 = 28o
2
40
tan1 RT =
1T
72021 =+ TT
2T
21 PCPT =1PC
2PT
72021 =+ TT
2
28
tan2 RT =
72014tan20tan =+ RR
Lembre-se do 
enunciado: os 
dois raios são 
iguais
mR 98,173.1=
• Resolução letra a)
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26Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Concordância com curva circular
• Resolução letra b)
AC1 = 40o
AC2 = 28o
1T
7208021 =++ TT
2T
2PC
1PC
2PT
80
1PT
2
40
tan1 RT =
72080 21 =++ TT
2
28
tan2 RT =
72014tan8020tan =++ RR
Lembre-se do 
enunciado: os 
dois raios são 
iguais
mR 54,043.1=
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27Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Grau de Curva
• O grau de uma curva Gc para um determinada corda c é o 
ângulo central que corresponde à corda considerada. 
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Grau de Curva
• Traçando a bissetriz, e pegando o triângulo retângulo OPM, 
estabelece-se a relação:
• O grau de uma curva para uma dada corda c é uma forma 
alternativa de definir a geometria de uma curva circular.
R
c
R
MPG
sen c 2)
2
( ==
)
2
(2
R
c
senarcGc =
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Corda de uma curva
• A corda é determinada pelo raio da curva conforme tabela 
do DNIT
Raios de Curva (R) Corda Máxima (c)
R <= 100,00m 5,00m
100,00m < R <= 600,00m 10,00m
R > 600,00m 20,00m
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Concordância com curva circular
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31Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Grau da curva
• Qual é o grau da curva da curva 1?
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Exemplo - Grau da curva
• Qual é o grau da curva da curva 1?
• Pela tabela, deve-se usar corda igual a 10,00m, pois o raio é 
200,00m
Raios de Curva (R)
Corda Máxima 
(c)
R <= 100,00m 5,00m
100,00m < R <= 600,00m 10,00m
R > 600,00m 20,00m
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33Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Grau da curva
• Pela fórmula:
• Pode-se dizer que a curva tem raio de 200,00m ou que tem 
grau 
"'
10 5451286509,2)2002
10
(2)
2
(2 oosenarc
R
c
senarcG ====
"'
10 54512
oG =
"'
10 54512
oG =
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Demarcação da curva em campo
• A demarcação da curva em campo é denominada Locação 
do eixo.
• Para demarcar os trechos em tangente, é relativamente 
fácil.
• Consiste basicamente na medida de ângulos e de 
distâncias ao longo de alinhamentos retos
• Para demarcar os trechos em curvas é mais complexo
• Não dá para demarcar diretamente a curva no terreno 
com auxílio de algum compasso
• Nem se conseguem visadas curvas ou marcação de 
distâncias curvas com os recursos da topográfia
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Locação por deflexões acumuladas
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Locação por deflexões acumuladas
• Na figura anterior, com o teodolito posicionado na tangente 
de referências, mede-se o ângulo de deflexão e as 
distâncias até o pontos.
• Isso demarcará o ponto de cada corda.
• Dá um precisão razoável nas locações reais, se respeitada 
a tabela anterior de limite da corda em função do raio 
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Deflexões de uma curva circular
• A deflexão dc de uma curva circular, para uma corda c, é 
ângulo formado entre essa corda e a tangente à curva em 
uma das extremidades da corda.
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Deflexões de uma curva circular
• A deflexão é um ângulo orientado com origem na tangente
• No caso da figura uma deflexão à direita
• Sendo a tangente perpendicular ao raio e a bissetriz 
perpendicular à corda, o ângulo de deflexão resulta sempre 
igual à metade do ângulo central correspondente à corda.
• Em projeto geométrico, dentro dos limites de raios e 
comprimento de corda apresentados na tabela, é permitido 
confundir o comprimento de uma corda com o comprimento 
do arco da curva correspondente.
cc Gd 2
1=
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39Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão adotada para a curva 1?
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Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão adotada para a curva 1?
"'
10 545122
1
2
1 o
cGd ==
"'
10 54'512
oG =Do exemplo anterior:
"'
10 57251
od =
Essa é a deflexão para fins de 
projeto e locação para uma curva 
de R=200,00m e uma corda de 
10,00m
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41Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Deflexão por metro
• Na locação de uma curva circular pode haver a necessidade 
de determinar valores de deflexão da curva para arcos 
fracionários (não coincidentes com 5, 10 e 20 m).
• Sendo dc a deflexão para uma corda c, o valor da deflexão 
por metro é dada por:
c
d
d cm = c
G
d cm 2
=
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• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
Exemplo - Grau da curva
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43Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
10
57251
""'
10
o
m c
d
d ==
Do exemplo anterior:
"'
10 57251
od =
Essa é a deflexão de um metro 
para fins de projeto e locação 
para uma curva de R=200,00m e 
uma corda de 10,00m
"'36080omd =
44Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Métodos de locação
• Usa-se o processo de deflexões acumuladas.
• Posiciona-se o teodolito no PC e toma-se a direção da 
tangente como referência ou origem para contagem das 
deflexões.
• Dois métodos podem ser adotados
• Estaca fracionária;
• Estaca inteira.
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45Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Métodos de locação
• Estaca fracionária
• São marcados a partir do PC, as cordas;
• Isto resulta em locação de pontos com estacas 
fracionárias;
• Estaca inteira
• A partir do PC marca-se uma corda que chegue na 
primeira estaca inteira
• Isto resulta em locação de pontos com estacas inteiras
46Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Métodos de Estaca fracionária
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47Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Métodos de Estaca fracionária
• Os pontos X, Y e Z correspondem a estacas inteiras de 
10,00m
• Corda de 10m, corda considerada igual ao arco
• X = 5 + 1,07m; Y= 5 + 11,07m e Z= 6 + 1,07m
• Deflexões
• Em X (corda cx, ângulo central = G10):• dx=1/2 G10 =d10
• Em Y (corda cy, ângulo central = 2 G10): 
• dy=1/2 2 G10 = 2 d10 = dx + d10
• Em Z (corda cz, ângulo central = 3 G10): 
• dz=1/2 3 G10 = 3 d10 = dy + d10
48Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Métodos de Estaca fracionária
• Na curva circular simples, as deflexões correspondentes a 
arcos sucessivos são cumulativos
• Sem necessidade de determinar as cordas cy e cz
• Têm-se, então:
• dx = 1º25’57”
• dy = 1º25’57” + 1º25’57” = 2º51’54”
• dz = 2º51’54” + 1º25’57” = 4º17’51”
• Ai é só usar o teodolito e a trena!
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49Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Métodos de locação
• Ângulo de deflexão fracionados não ocasionam nenhum 
problema aos cálculos das concordâncias em curvas.
• No entanto, para a utilização prática com teodolitos, podem 
ocorrer erro e acumulo de erro na hora de lançar as cordas 
no terreno.
• Assim, em vez de se usar deflexões com valores 
fracionados, usam-se raios com valores fracionados que 
deem deflexões inteiras.
)(2 cdsen
c
R =
)
2
(2 c
G
sen
c
R =
50Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Raio Fracionário
• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1 
fosse inteira?
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51Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Raio Fracionário
• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1 
fosse inteira?
Do exemplo anterior:
"'
10 00201
od =
m
sen
R
o
88,214
)00201(2
10
"'
==
Um valor inteiro para a deflexão pode ser:
Então o raio será:
"'
10 57251
od =
52Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo - Grau da curva
• Qual a deflexão por metro adotada para a curva 1?
10
00201 "'10
o
m c
d
d ==
Do exemplo anterior:
"'
10 00201
od =
Essa é a deflexão de um metro 
para fins de projeto e locação 
para uma curva de R=214,88m e 
uma corda de 10,00m
"'00080omd =
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53Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exercício 01 - Concordância com curva circular
• No projeto de uma curva circular sabe-se que o PI está na 
estaca 148 + 5,60, a deflexão é 22º36’ e o raio é 600,0 
metros. Assim, deseja-se calcular:
• O comprimento das tangentes
• O desenvolvimento
• O grau da curva
• As estacas do PC e do PT
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Exercício 02 - Concordância com curva circular
• Faça a locação da curva por estaca fracionária do exercício 
anterior, supondo a rodovia com esta única curva.
• Lance em uma tabela cada estaca (começando pelo PC), 
sua deflexão simples e a deflexão acumulada
• Supondo ainda uma tangente de 900,00m a partir do PT da 
curva, qual seria a estaca do PF da rodovia?
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55Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exercício 03 - Concordância com curva circular
• Para o traçado abaixo com curvas circulares, determinar 
qual a estaca do PC de cada curva, a estaca do PT de cada 
curva e o ponto final.
R1 = 1.200,0 m
Deflexão: 46º 
R2 = 1.600,0 m
Deflexão: 30º 
PP=0
PF
56Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exercício 04 - Concordância com curva circular
• Calcule a distância entre os PIs da curva 1 e da curva 2 da 
poligonal abaixo.
Curva 1
Deflexão: 36º 
Curva 2
Deflexão: 48º 
PP
PF
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57Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exemplo 05 - Raio Fracionário
• Qual seria o raio fracionário para que a deflexão da curva 1 
e da curva 2 fossem inteiras?
• Com os novos raios fracionários recalcule os PCs, PTs e o 
PF para a poligonal abaixo.
• Qual a diferença total de comprimento da estrada 
projetada com raios fracionários da calculada
com raios inteiros?
58Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa
Exercício 06 - Cálculo de Superlargura e 
Superelevação
• Em um projeto, tem-se uma curva com duas faixas, com raio 
de 200,00m, em relevo ondulado, na classe III do DNIT. 
Considerando veículo tipo CO e largura de faixa igual a 
3,40m. Deseja-se saber qual o valor de superlargura e da 
superelevação a ser adotado.
Obs.: Calcule o raio mínimo pela tabela e pela fórmula.