AUL 03

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CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: ESTRADAS E AEROPORTOS 
AULA - 03 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA ESTRADAS E AEROPORTOS 
 
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CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES 
1 – Introdução 
O traçado de uma rodovia é constituído por trechos retos e trechos curvos 
alternadamente. Os trechos retos recebem o nome de tangentes e os trechos curvos 
de curvas horizontais. 
Uma forma de definir o traçado é acomodar as retas no terreno em função 
da topografia e demais obstáculos existentes e depois concorda-las por meio de 
curvas. Esta definição está intimamente ligada ao custo da estrada, especialmente ao 
custo da terraplenagem. 
Condições geológicas e geotécnicas das áreas atravessadas pela estrada 
terão grande influência na escolha do traçado, pois, tanto na execução dos cortes 
como dos aterros, condições desfavoráveis do solo natural podem exigir a execução 
de serviços especiais de alto custo, como escavações em rocha, obras especiais de 
drenagem, estabilização de taludes e outros. 
Outra forma de definir o traçado é localizar os “pontos obrigados”, 
conforme visto na escolha do traçado na aula anterior, colocar as curvas nesses 
pontos e depois liga-las com retas tangentes. Daí o nome tangentes para os trechos 
retos. 
Geralmente a topografia da região, as características geológicas e 
geotécnicas dos terrenos atravessados, os problemas de desapropriação e outros, 
obrigam o uso de inúmeras curvas. 
Reduzir o número de curvas não é tão importante quanto ter curvas com 
raios grandes. O traçado deve acompanhar a topografia da região, alterando-a quando 
necessário. 
Enquanto costumamos dizer que o traçado de uma estrada é formado por 
retas concordadas entre si por curvas horizontais, há normas de projetos que definem 
o traçado como sendo uma sequência de curvas ligadas entre si por trechos retos. 
O raio adotado para cada curva circular deve ser aquele que melhor 
adapte o traçado ao terreno, respeitando valores mínimos que garantam a segurança 
dos veículos que percorrem a estrada na velocidade de projeto. 
Para estabelecer o valor aproximado do raio da curva, utilizam-se 
gabaritos que, na escala adotada, representam trechos de curvas circulares de raios 
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diversos. São como um jogo de réguas curvas ou desenhados em papel vegetal e 
ajustados por sobreposição. 
A escolha é feita colocando-se os gabaritos sobre a planta de tal forma que 
as curvas tangenciem os alinhamentos a concordar. Verificado, em cada interseção, 
qual o raio de curva que melhor atende aos objetivos do projeto, fica concluída a 
operação de fixação do raio da curva. 
O eixo da rodovia pode ser imaginado como sendo uma poligonal aberta, 
orientada, cujos alinhamentos são concordados nos vértices por curvas horizontais, 
conforme a figura a seguir: 
 
Figura 01 – Traçado de uma estrada (Poligonal aberta) 
 
 
Figura 02 – Elementos do eixo de uma rodovia 
 
2 – Geometria das Curvas Horizontais Circulares 
Na figura a seguir é apresentada a concordância de dois alinhamentos que 
se interceptam em um vértice através da curva circular. A curva circular oferece boas 
propriedades, tanto para o tráfego, como para os usuários da rodovia, como para o 
projeto geométrico e sua materialização no campo por processos de locação. 
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A figura a seguir é apresentado um esquema de concordância de curva 
circular simples, estando assinalados os elementos técnicos característicos. 
 
Figura 03 – Parâmetros Geométricos da Curva Horizontal 
 
PI = Ponto de Interseção das tangentes; 
PC = Ponto de curva (início da curva); 
PT = Ponto de tangência (fim da curva); 
AC = ângulo de deflexão das tangentes = ângulo central da curva; 
RC = R = raio da curva; 
T = tangente da curva; 
D = desenvolvimento = comprimento do arco entre PC e PT; 
O = centro da curva; 
G = Grau da curva = ângulo central correspondente ao um arco de 20m; 
E = afastamento, é a distância entre o PI e a curva, medida sobre a reta que une o PI 
ao centro da curva. 
Através das relações trigonométricas é possível fazer a dedução das 
fórmulas dos parâmetros geométricos da curva. 
 
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A relação entre os parâmetros são baseados no triângulo retângulo O-PC-
PI 
 
𝑇
𝑅
= 𝑡𝑔 
𝐴𝐶
2
 → 𝑇 = 𝑅. 𝑡𝑔
𝐴𝐶
2
 
 
𝑇 = 𝑅. 𝑡𝑔.
𝐴𝐶
2
→ 𝑅 =
𝑇
𝑡𝑔
𝐴𝐶
2
 
 
𝐷
2. 𝜋. 𝑅
=
𝐴𝐶
360
 → 𝐷 = 
𝜋. 𝑅. 𝐴𝐶
180°
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝐶 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 
 
 𝐷 = 𝐴𝐶. 𝑅 → 𝑅 = 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴𝐶 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 
Considerando em estaca temos: 
𝐷 = 𝑃𝑇 − 𝑃𝐶 
Ou seja a estaca final da curva menos a estaca inicial 
 
𝐺
20
=
360
2. 𝜋. 𝑅 
 → 𝐺 =
1.145,9156
𝑅
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐺 𝑒𝑚 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 
Da equação anterior, obtemos o raio da curva → 𝑅 =
. ,
 
O afastamento é obtido da seguinte formulação: 
𝐸 = 𝑅.
1
𝑐𝑜𝑠
𝐴𝐶
2
− 1 
3 – Cálculo das estacas dos pontos notáveis da curva 
Para fins de caracterização dos elementos que constituirão a rodovia, 
estes deverão ter sua geometria definida, pelo projeto, em pontos sucessivos ao longo 
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do eixo, pontos esses que servirão, inclusive, para fins de posterior materialização do 
eixo projetado e dos demais elementos constituintes da rodovia no campo. 
Esses pontos, denominados genericamente de estacas, são marcados a 
cada 20,00m de distancia a partir do ponto de inicio do projeto e numerados 
sequencialmente, sendo o processo conhecido como estaqueamento do eixo. 
O ponto de inicio do projeto constitui a estaca 0 (zero), sendo 
convencionalmente representada por 0 = PP (estaca zero = Ponto de Partida); os 
demais pontos, equidistantes de 20,00 m, constituem as estacas inteiras, sendo 
denominadas sequencialmente, por estaca 1, estaca 2, ... e assim sucessivamente. 
Qualquer ponto do eixo pode ser referenciado a esse estaqueamento, 
sendo sua posição determinada pela designação da estaca inteira imediatamente 
anterior a posição do ponto, acrescida da distância (em metros, com precisão de 0,01 
m) desta estaca inteira até o ponto considerado. 
A marcação das estacas ao longo das tangentes não oferece dificuldades 
maiores, pois não ocorre perda de precisão teórica quando se medem distancias ao 
longo de retas. 
Já nos trechos em curva ocorre alguma perda de precisão, pois as 
medidas de distancias são sempre tomadas ao longo de segmentos retos, na 
marcação das posições das estacas com os recursos normais da topografia, ao passo 
que as distancias reais (assim como as de projeto) entre as estacas correspondem a 
arcos de curvas. 
Visando minimizar esses erros de mensuração e de referenciamento dos 
trechos curvos do eixo, as Normas do DNER estabelecem a obrigatoriedade de se 
marcar, nos trechos em curva, além dos pontos correspondentes estacas inteiras, 
outros pontos — correspondentes a estacas intermediarias — de forma a melhorar a 
precisão na caracterizarão do eixo nas curvas. 
A marcação das curvas considerando apenas as estacas inteiras 
corresponde a materialização de pontos das curvas por meio de cordas de 20,00 m. 
Para evitar diferenças significativas entre os comprimentos dessas cordas e as 
extensões dos correspondentes arcos de curvas, o DNER recomenda a caracterização 
dos trechos curvos com cordas de 20,00 m somente para raios de curva superiores a 
600,00 m. 
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Trechos curvos com raios menores que esse valor, mas superiores a 
100,00 m, deverão ser marcados por meio de pontos distantes não mais de 10,00 m 
entre si. Nesses casos, deverão ser marcados,nos trechos curvos, além dos pontos 
correspondentes estacas inteiras, também os pontos correspondentes a estacas 
fracionarias, múltiplas de 10,00 m. 
Quando os raios de curva são inferiores a 100,00 m, os comprimentos 
máximos de corda são fixados em 5,00 m, devendo ser caracterizados, nos trechos 
curvos, pontos correspondentes as estacas inteiras e estacas fracionarias múltiplas de 
5,00 m. 
Essas considerações são resumidas na tabela a seguir. 
Tabela 01 – Cordas Admissíveis para as curvas 
 
 
Exemplo: o ponto P, distante 335,48m do ponto partida (PP) do traçado (estaca zero), 
será identificado por qual estaca? 
𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 
335,48
20
= 16,774 
𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 16 × 20 = 320𝑚 
𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 335,48 − 320 = 15,48𝑚 
Como o valor da distância entre os pontos são de 335,48m vem a 
representação da distância em estaca como sendo: 
𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 16 + 15,48𝑚 
Portanto, dada a estaca do ponto de interseção das tangentes (PI), 
podemos calcular as estacas dos pontos PC e PT. 
estaca de PC = estaca do PI – distância T 
estaca do PT = estaca do PC + distância D 
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Exercício: Dado um projeto de eixo de uma rodovia, conforme figura abaixo, no qual 
se queira efetuar as concordâncias com os Raios das curvas R1 = 1.200,00m e R2 = 
1.600,00m. Obter a estaca final (PF) do trecho. 
 
De acordo com os dados do exercício, vamos calcular os elementos geométricos T1, 
D1 e T2, D2. 
Para a curva 1: 
𝑇 = 𝑅. 𝑡𝑔
𝐴𝐶
2
 
𝑇 = 1200. 𝑡𝑔
°
 = 509,37m 
𝐷 = 
𝜋. 𝑅. 𝐴𝐶
180
 
𝐷 = 
𝜋. 1200. (46°)
180
= 963,42𝑚 
Para a Curva 2: 
𝑇 = 𝑅. 𝑡𝑔
𝐴𝐶
2
 
𝑇 = 1600. 𝑡𝑔
°
 = 428,72m 
𝐷 = 
𝜋. 𝑅. 𝐴𝐶
180
 
𝐷 = 
𝜋. 1600. (30°)
180
= 837,76𝑚 
Conhecidos estes valores, pode-se calcular as distâncias da origem até os 
pontos singulares do eixo (PC1, PT1,PC2, PT2 e PF) determinando-se as estacas ou 
(alternativamente o posicionamento quilométrico) desses pontos. 
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PC1 = (PP-PI) – T1 = 1080 – 509,37 = 570,63m ou estaca 28 + 10,63m 
PT1 = (PC1 + D1) = (570,63 + 963,42) = 1534,05m ou estaca 76 + 14,05m 
PC2 = PT1 + [(PI1 → PI2) –T1 – T2] = 1534,05 + [(2141,25) – 509,37 – 428,72] = 
2737,21m ou estaca 136 + 17,21m 
PT2 = PC2 + D2 = 2737,21 + 837,76 = 3574,97 ou estaca 178 + 14,97m 
PF = PT2 + (PI2 → PF) – T2 = 3574,97 + (1809,10) – 428,72 = 4955,35 ou estaca 247 + 
15,35m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1 – Calcular o desenvolvimento de uma curva circular de raio R = 1524m e ângulo 
central de 32°. Respostas: D = 851,16m 
2 – Calcular a tangente (T) e o afastamento de uma curva (E), considerando um 
ângulo central da curva (AC) de 32° e um raio de 1220m. Respostas: T = 349,82m; E = 
49,17m 
3 – Dado um ângulo central da curva de 24°20’ e um raio R = 1500m, obter as estacas 
de PC e PT da curva, sabendo que a estaca de PI é 360 + 12,45. Respostas: PC = 
344 + 9,05m; PT = 376 + 6,09m. 
4 – Sabendo que o ângulo central da curva é de 47°12’ e que a estaca do PI é 58 + 
12,00m, calcule: O raio da curva (R), a tangente da curva (T), o afastamento (E) e o 
desenvolvimento da curva (D), considerando o grau da curva (G) de 6°. Obtenha 
também as estacas para o PC e o PT da curva em questão. Respostas: R = 190,99m; 
T = 83,44m; E = 17,35m; D = 157,34m; PC = 54 + 8,56m; PT = 62 + 5,9m. 
5 – Com base na figura abaixo, calcular o raio da curva circular 2 (R2) de forma que a 
tangente resultante entre PT1 e PC2 seja igual a 200,00m. Resposta: R2 = 1086,21mn 
 
6 – Dado um projeto de eixo de uma rodovia, conforme figura abaixo, no qual se 
queira efetuar as concordâncias com os Raios das curvas R1 = 700m e R2 = 850m. 
Obter a estaca final (PF) do trecho. Respostas: PF = 240 +13,34m 
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7 – Considerando o trecho de rodovia com duas curvas circulares, conforme esquema 
abaixo, calcular a distância entre o PI1 e o PI2. Resposta: PI1 → PI2 = 1745,30m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIIOGRÁFICAS 
FILHO, G. P. Estradas de Rodagem: Projeto Geométrico. São Carlos. Editora G. 
Pontes Filho, 1998. 
FRAENKEL, B. Engenharia Rodoviária. Editora Guanabara II, Rio de Janeiro, 1990. 
LEE, S. H. Projeto Geométrico de Estradas. Universidade Federal de Santa 
Catarina. Programa Especial de Treinamento Engenharia Civil, 2000. 
PEREIRA, D. M; et al. Projeto Geométrico de Rodovias, Universidade Federal do 
Paraná. Setor de Tecnologia – Departamento de transportes, 2010. 
PIMENTA, C. R. T.; OLIVEIRA, M. P. Projeto Geométrico de Rodovias, São Carlos, 
Editora Rima, 2º edição. 2016.