atividade de cálculo III

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
COORDENAÇÃO DO CURSO DE FÍSICA 
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
 
 
 
 
ATIVIDADE 1 
 
1) Ache o domínio da função f e faça um esboço do gráfico. 
 
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √16 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6 − 2𝑥 + 2𝑦 
 
2) A temperatura T em um ponto (x,y) de uma placa de metal plana é dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) =
4𝑥2 + 2𝑦2. Trace as isotermas (curvas de nível) de T em 12,8,4,1 e 0. 
 
3) Calcule os limites indicados abaixo. 
𝑎) lim
(𝑥,𝑦)→(𝑙𝑛3,𝑙𝑛2)
𝑒𝑥−𝑦 𝑏) lim
(𝑥,𝑦)→(2,2)
𝑡𝑔−1 (
𝑦
𝑥
) 𝑐) lim
(𝑥,𝑦)→(0,1)
𝑥4−(𝑦−1)4
𝑥2+(𝑦−1)2
 
𝑑) lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
(𝑥−1)
4
3−(𝑦−1)
4
3
(𝑥−1)
2
3−(𝑦−1)
2
3
 
 
4) Prove que para a função 𝑓 dada, lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑓(𝑥, 𝑦) não existe. 
𝑎)𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
𝑥2+𝑦2
 𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥4𝑦4
(𝑥2+𝑦4)3
 
 
5) Calcule as derivadas parciais abaixo, usando a seguinte definição. 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥
 e 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = lim
∆𝑦→0
𝑓(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑦
 
 
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 6𝑥 + 3𝑦 − 7; 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 − 3𝑥𝑦; 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) 
𝑐) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 + 6𝑥 − 𝑦2; 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) 
𝑑) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥 + 2𝑦
𝑥2 − 𝑦
; 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) 
6) Ache a derivada parcial usando a regra da cadeia. 
𝑎) 𝑢 = 𝑥2 − 𝑦2; 𝑥 = 3𝑟 − 𝑠; 𝑦 = 𝑟 + 2𝑠; 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
;
𝜕𝑢
𝜕𝑠
 
𝑏) 𝑢 = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦2 + 3𝑥 − 𝑦; 𝑥 = 2𝑟 − 3𝑠; 𝑦 = 𝑟 + 𝑠; 
𝜕𝑢
𝜕𝑟
;
𝜕𝑢
𝜕𝑠
 
𝑐) 𝑢 = 𝑒
𝑦
𝑥 , 𝑥 = 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡; 𝑦 = 4𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡;
𝜕𝑢
𝜕𝑟
;
𝜕𝑢
𝜕𝑡
 
 
7) Utilizando a regra da cadeia e resolva o seguinte problema. 
Num dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10 cm e ele 
está crescendo a uma taxa de 1cm/min e o comprimento do outro cateto é 12 cm o qual 
está decrescendo a uma taxa de 2 cm/min. Ache a taxa de variação da medida do ângulo 
oposto ao lado de 12 cm de comprimento, num dado instante.