AD1 - CALCULO IV - CEDERJ

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – CÁLCULO IV – 2020-1
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Questão 1 [2,5 pontos] Considere a seguinte expressão
I =
∫ 1
0
∫ 1−√1−y2
0
√
x2 + y2
x2 + y2 dx dy +
∫ 2
1
∫ √2y−y2
0
√
x2 + y2
x2 + y2 dx dy.
(a) [1,0 ponto] Reescreva a expressão de I, invertendo a ordem de integração.
(b) [1,0 ponto] Transforme a expressão de I para coordenadas polares.
(c) [0,5 ponto] Calcule o valor de I utilizando uma das expressões anteriores.
Questão 2 [2,5 pontos] Calcule a integral
I =
∫∫
D
(3x2 + 14xy + 8y2) dx dy
sendo D a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y = −32x+ 1, y = −
3
2x+ 3, y = −
x
4
e y = −x4 + 1.
Questão 3 [2,5 pontos] Determine a massa do sólido W situado no primeiro octante, delimitado
simultaneamente pelas superf́ıcies x2 +z2 = 4, x+y = 2 e x+2y = 6, sabendo que δ(x, y, z) = 12z
é a sua função densidade.
Questão 4 [2,5 pontos] Calcule I =
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ y
0
e(1−z)
2
dz dx dy.
Sugestão: esboce o sólido de integração W e troque a ordem de integração adequadamente.