5ª Aula CFVV

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Profa Kelly Drudi
DERIVADAS PARCIAIS
CFVV – Cálculo de Funções de Várias Variáveis
Orientações
▪ Mantenham os microfones e câmeras desligados;
▪ Dúvidas podem ser postadas via chat e serão respondidas durante ou ao final da 
aula;
▪ O material será encaminhado para o representante das turmas.
▪ A cada semana serão propostos 3 exercícios (por disciplina);
▪ O aluno deve: escolher 1 dos 3 exercícios propostos;
▪ Utilizar folha tamanho A5 (metade da folha de sulfite A4);
▪ Entregar o exercício com enunciado e resolução (manuscrito) no retorno das aulas.
Tópicos
▪ Tabela de Derivada;
▪ Derivadas parciais – Regra da cadeia 1º caso;
▪ Exemplos; 
▪ Exercícios;
▪ Derivadas parciais – Regra da cadeia 2º caso;
Tabela de Derivadas
▪ Derivadas diretas:
▪ Propriedades:
onde ‘f’ e ‘g’ são funções de x, e ‘c’ 
é um número real
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = (𝑐)′= 0
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = (𝑥𝑛)′ = 𝑛𝑥𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 = (𝑥)′ = 1
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥
𝑑
𝑑𝑥
ln(𝑥) = ln(𝑥) ′ =
1
𝑥
𝑑
𝑑𝑥
sen(𝑥) = sen 𝑥
′
= cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
′
= −sen(x)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 ± 𝑔 ′ = 𝑓 ± 𝑔 ′ = 𝑓′ ± 𝑔′
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑓 ′ = 𝑐 𝑓 ′ = 𝑐𝑓′
Regra da Cadeia
1º caso
Suponha que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), seja uma função diferenciável de 𝑥 e 𝑦, onde 𝑥 = 𝑔 𝑡 e 
𝑦 = ℎ 𝑡 são funções diferenciáveis de 𝑡. Então 𝑧 é uma função diferenciável de 𝑡 e
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Regra da Cadeia – Exemplo 1
Considere a função 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦4, 𝑥 = sen 𝑡 e 𝑦 = cos 𝑡. Para essa função, 
determine 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
.
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦 + 3𝑦4
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= cos 𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑥2 + 12𝑥𝑦3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −sen 𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= (2𝑥𝑦 + 3𝑦4). (cos 𝑡) − (𝑥2 + 12𝑥𝑦3). (sen 𝑡)
Regra da Cadeia – Exemplo 2
Considere a função 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2, 𝑥 = (2 + 𝑡4) e 𝑦 = (1 − 𝑡3). Para essa função, 
determine 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
(Stewart, 2010).
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 2𝑥𝑦 + 𝑦2 . 4𝑡3 − (𝑥2 + 2𝑥𝑦). (3𝑡2)
Regra da Cadeia – Exemplo 3
Suponha que a tensão 𝑉 (em Volts) em um circuito que satisfaz à lei 𝐼 =
𝑉
𝑅
(𝐼 em 
Ampères) esteja caindo enquanto a bateria descarrega e que, ao mesmo tempo, a 
resistência 𝑅 (em ohms) esteja aumentando conforme o resistor esquenta. Encontre a 
variação da intensidade de corrente com o tempo, ou seja, 
𝑑𝐼
𝑑𝑡
, no instante que 𝑅 =
200Ω, 𝑉 = 20 𝑉, 
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 0,6Ω/𝑠 e 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −0,05𝑉/𝑠.
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=
𝜕𝐼
𝜕𝑉
.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+
𝜕𝐼
𝜕𝑅
.
𝑑𝑅
𝑑𝑡
Regra da Cadeia – Exemplo 3
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=
𝜕𝐼
𝜕𝑉
.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
+
𝜕𝐼
𝜕𝑅
.
𝑑𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=
1
𝑅
. −0,05 +
−𝑉
𝑅2
. 0,6
𝑑𝐼
𝑑𝑡
=
1
200
. −0,05 +
−20
2002
. 0,6 = −5,5. 10−4𝐴/𝑠
Dados:
𝐼 =
𝑉
𝑅
𝑅 = 200Ω
𝑉 = 20 𝑉
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 0,6Ω/𝑠
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= −0,05𝑉/𝑠
Regra da Cadeia – Exercício 1
A pressão em P (em kilopascal), volume V (em litros) e temperatura T (em kelvin) de
um mol de um gás ideal relacionam-se pela equação 𝑃𝑉 = 8,31𝑇. Determine a taxa de
variação da pressão quando a temperatura é 300 𝐾 e está aumentando com a taxa de
0,1 𝐾/𝑠, e o volume é 100 𝐿 e está́ aumentando com a taxa de 0,2 𝐿/𝑠 (Stewart, 2010).
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
𝜕𝑃
𝜕𝑇
.
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+
𝜕𝑃
𝜕𝑉
.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
Regra da Cadeia – Exercício 1
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
𝜕𝑃
𝜕𝑇
.
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+
𝜕𝑃
𝜕𝑉
.
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
8,31
𝑉
. 0,1 + −
8,31𝑇
𝑉2
. 0,2
▪
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
8,31
100
. 0,1 + −
8,31.300
1002
. 0,2 = −0,04155 𝑘𝑃𝑎/𝑠
Dados:
𝑃𝑉 = 8,31𝑇 ↔
𝑃 =
8,31𝑇
𝑉
= 8,31𝑇𝑉−1
𝑇 = 300𝐾
𝑉 = 100 𝐿
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 0,1𝐾/𝑠
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0,2𝐿/𝑠
Regra da Cadeia – Exercício 2 ( ex. 8 pg 53)
O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 2 𝑐𝑚/𝑠 enquanto sua
altura está decrescendo em uma taxa de 3 𝑐𝑚/𝑠. Qual é taxa de variação do volume do
cone quando o seu raio é igual a 20 𝑐𝑚 e sua altura é 18 𝑐𝑚?
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜕𝑉
𝜕𝑟
.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+
𝜕𝑉
𝜕ℎ
.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
Regra da Cadeia – Exercício 2 ( ex. 8 pg 53)
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜕𝑉
𝜕𝑟
.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+
𝜕𝑉
𝜕ℎ
.
𝑑ℎ
𝑑𝑡
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
2.𝜋.𝑟.ℎ
3
. 2 +
1.𝜋.𝑟2
3
. (−3)
▪
𝑑𝑃
𝑑𝑡
=
2.𝜋.20.18
3
. 2 −
1.𝜋.202
3
. 3 = 80. 𝜋. 𝑐𝑚3/𝑠
Dados:
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
1
3
𝜋. 𝑟2 . ℎ
r = 20 𝑐𝑚
ℎ = 18 𝑐𝑚
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 2 𝑐𝑚/𝑠
𝑑ℎ
𝑑𝑡
= −3 𝑐𝑚/𝑠
Regra da Cadeia – 2 º caso
Suponha uma função de duas variáveis z = 𝑓(𝑥, 𝑦) , na qual z depende
das variáveis 𝑥 e 𝑦.
Para encontrarmos as derivadas de
z = 𝑓(𝑥, 𝑦), em relação a 𝑢 e 𝑣, fazemos:
Nessa função, 𝑥 e 𝑦 dependem das variáveis 𝑢 e 𝑣, 
ou seja, 𝑥 = 𝑔 𝑢, 𝑣 e 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣). 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝒛 = 𝑓(𝒙, 𝑦)𝒛 = 𝑓(𝑥, 𝒚)
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝒛 = 𝑓(𝒙, 𝑦)𝒛 = 𝑓(𝑥, 𝒚)
𝒙 = 𝑔 𝒖, 𝑣𝒙 = 𝑔 𝑢, 𝒗 𝒚 = ℎ(𝒖, 𝑣)𝒚 = ℎ 𝑢, 𝒗 .
Regra da Cadeia – Exemplo 1 
Encontre 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑒
𝜕𝑧
𝜕𝑣
para a função 𝑧 = 4𝑥 + 2𝑦 onde 𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑒𝑢 e 𝑦 = 𝑢 ∙ sen 𝑣.
𝑧 = 4𝑥 + 2𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 4 𝑒
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 2
𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑒𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 𝑣 ∙ 𝑒𝑢
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 𝑒𝑢
𝑦 = 𝑢 ∙ sen 𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= sen 𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 𝑢 ∙ cos 𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑢
= 4 ∙ 𝑣 ∙ 𝑒𝑢 + 2 ∙ sen 𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑣
= 4 ∙ 𝑒𝑢 + 2 ∙ 𝑢 ∙ cos 𝑣
Regra da Cadeia – Exemplo 2 
Encontre 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑒
𝜕𝑧
𝜕𝑣
para a função 𝑧 = 4𝑥𝑦2 onde 𝑥 = 2𝑢 + 4𝑣 e 𝑦 = 𝑢2 + 6𝑢𝑣.
𝑧 = 4𝑥𝑦2
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 4𝑦2 𝑒
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 8𝑥𝑦
𝑥 = 2𝑢 + 4𝑣
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 2
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 4
𝑦 = 𝑢2 + 6𝑢𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 2𝑢 + 6𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 6𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑢
= 8𝑦2 + 8𝑥𝑦. (2𝑢 + 6𝑣)
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑣
= 16𝑦2 + 48𝑥𝑦. 𝑢
Regra da Cadeia – Exercício 1 
Encontre 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑒
𝜕𝑧
𝜕𝑣
para a função 𝑧 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 onde 𝑥 = 𝑢. 𝑣2 e 𝑦 = 𝑢2. 𝑣
𝑧 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 e
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑥 = 𝑢 ∙ 𝑣2
𝜕𝑥
𝜕𝑢
= 𝑣2
𝜕𝑥
𝜕𝑣
= 2. 𝑢. 𝑣
𝑦 = 𝑢2. 𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
= 2. 𝑢. 𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑣
= 𝑢2
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜕𝑢
= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 . 𝑣2 + (𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦). 2. 𝑢. 𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝜕𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜕𝑣
= 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 . 2. 𝑢. 𝑣 + 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑦 . 𝑢2
Regra da Cadeia – Exercício 2 (módulo 4) – disciplina online
Considere a função 𝑧 = 𝑥𝑦2 − 5𝑥𝑦, 𝑥 = (𝑡2+1) e 𝑦 = (1 − 𝑡). Para essa função, 
determine 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
.
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝑦2 − 5𝑦 . 4𝑡 + (2𝑥𝑦 − 5𝑥). (−1)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 4𝑡3 + 9𝑡2 − 6𝑡 + 3
Substituindo todas as variáveis em função de 𝑡, temos.
ATÉ A PRÓXIMA!