3° Aula CFVV

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CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
DERIVADAS PARCIAIS
Profa. Ms. Márcia Vieira
Prof. Dr. Bruno Honda
Orientações
 Mantenham os microfones e câmeras desligados;
 Dúvidas podem ser postadas via chat e serão respondidas durante ou ao 
final da aula;
 O material estará disponível em: https://online.unip.br/.
 Ao final das aulas semanais, serão propostos 3 exercícios (por disciplina) 
os quais o aluno deverá escolher 1 (entre os 3) e compor uma lista de 
exercícios que será entregue ao seu professor no retorno das aulas. 
https://online.unip.br/
Tópicos
 Introdução (revisão);
 Derivadas parciais de funções de três variáveis;
 Derivadas parciais de segunda ordem;
 Exemplos e exercícios.
Derivadas simples (tabela)
 Derivadas diretas:
 Propriedades:
onde ‘f’ e ‘g’ são funções de x, 
e ‘c’ é um número real
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = (𝑐)′= 0
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛 = (𝑥𝑛)′ = 𝑛𝑥𝑛−1
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 = (𝑥)′ = 1
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥
𝑑
𝑑𝑥
ln(𝑥) = ln(𝑥) ′ =
1
𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
′
= cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
′
= −𝑠𝑒𝑛(x)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 ± 𝑔 ′ = 𝑓 ± 𝑔 ′ = 𝑓′ ± 𝑔′
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑓 ′ = 𝑐 𝑓 ′ = 𝑐𝑓′
Derivadas Parciais de Funções de Três Variáveis
Suponha que a temperatura T em um ponto (x, y, z) do espaço seja dada 
por T(x, y, z)= 4x³+2y²+6z, sendo T medida em graus Celsius e as 
variáveis x, y, e z medidas em metros. 
 A variação da temperatura em relação ao eixo x é: 
 A variação da temperatura em relação ao eixo y é: 
 A variação da temperatura em relação ao eixo z é: 
)/(²12 mCx
x
T
=


)/(4 mCy
y
T
=


)/(6 mC
z
T
=


Derivadas Parciais – Três Variáveis - Exercício
1) Encontrar as derivadas parciais da função:
Resposta:
4223 234),,( zzyxzyxf −+=
212x
x
f
=

 26yz
y
f
=

 32 86 zzy
z
f
−=


Derivadas parciais de segunda ordem
Se f(x,y) é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são:
x
f
f x


=
y
f
f y


=
x
f
f x


=
y
f
f y


=
2
2
x
f
f xx


=
xy
f
f xy


=
2
yx
f
f yx


=
2
2
2
y
f
f yy


=
),( yxf
Derivando novamente as funções fx e fy, encontramos as derivadas parciais 
de segunda ordem.
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
I) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função 
Resolução: 
Inicialmente, obteremos as derivadas parciais de primeira ordem em 
relação a x e em relação a y.
fx: y é constante.
fy: x é constante.
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
 Para calcular as derivadas de segunda ordem em relação a fx:
fxx: y é constante.
fxy: x agora é constante.
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
 Para calcular as derivadas de segunda ordem em relação a fy:
fyx: y é agora é constante.
fyy: x é constante.
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
 Resumo:
yxyxf yx .6.3.2
22 ==
INTERATIVIDADE
1) Dada a função sua derivada parcial de segunda ordem fxx
é igual a:
a) 
b) 
c)
d) 
e)
INTERATIVIDADE
1) Dada a função sua derivada parcial de segunda ordem fxx
é igual a:
a) 
b)
c)
d) 
e)
Resolução:
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
I) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função 
f(x,y)=x².seny
Resolução: 
Inicialmente, obteremos as derivadas parciais de primeira ordem em 
relação a x e em relação a y.
senyxf x .2=
yxf y cos.
2=
senyxyxf ².),( =
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Agora, iremos obter as derivadas parciais de segunda ordem de :
senyxf x .2=
senyf xx .2=
yxf xy cos.2=
xf
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Finalmente, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem de :
Obs.: Note que fxy=fyx
yxf y cos².=
yxf yx cos.2=
senyxf yy ².−=
yf
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
II) Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função 
y
x exf
22.3=
y
xx exf
2.6=
yy
xy exexf
22 ².62².3 ==
yexyxf 23.),( =
Exemplos – Derivadas Parciais de Segunda Ordem
yy
y exexf
2323 .22. ==
y
yx exf
22.6=
yy
yy exexf
232 .42³..2 ==
yexyxf 23.),( =
INTERATIVIDADE
1) Dada a função sua derivada parcial de segunda 
ordem fxy é igual a:
a) 
b) 
c)
d) 
e)
543 644),( yxyxyxf −+=
4212 yxf xy =
4.24 yxf xy =
³48 2 yxf xy =
3212 yxf xy =
3316 yxf xy =
INTERATIVIDADE
1) Dada a função sua derivada parcial de segunda 
ordem fxy é igual a:
Resolução:
a) 
b) 
c)
d) 
e)
543 644),( yxyxyxf −+=
4212 yxf xy =
4.24 yxf xy =
³48 2 yxf xy =
3212 yxf xy =
3316 yxf xy =
543 644),( yxyxyxf −+=
𝑓𝑥 = 12𝑥
2. 𝑦4 + 4
3232 .484.12 yxyxf xy ==
 Não se esqueça de repetir os exemplos sozinho;
 Os slides da aula estarão disponíveis em online.unip.br;
 Aproveite o tempo ocioso para ler e se atualizar;
 Seja responsável e siga os protocolos de saúde!
 Até a próxima!!