Texto_de_apoio_cap6(Funcoes)

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UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE
FACULDADE DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS DE INFORMAÇÃO
Introdução à Lógica
FICHA TEÓRICA - CAPÍTULO 6
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0.1 Funções
De�nição 0.1. Seja F uma relação de A para B. A relação F é chamada função de A em
B se para qualquer x ∈ A existe único y ∈ B tal que (x, y) ∈ F . Ou seja
∀x ∈ A∃!y ∈ B((x, y) ∈ F ).
Neste caso as de�nições introduzidas para relações podem ser automaticamente reformu-
ladas para funções. Por exemplo, o conjunto A é o domínio da função F . Usa-se notação
F : A → B (1)
e diz-se que F actua de A em B.
Sejam f : A → B e x ∈ A. O único valor y tal que (x, y) ∈ f diz-se valor da função f no
ponto x. Escreve-se
y = f(x).
Então, f(x) é um elemento do conjunto B e
y = f(x) ⇔ (x, y) ∈ f (2)
Exemplo 0.1. Sejam A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, f ⊂ A×B,
f = {(a, 2), (b, 4), (c, 2)}.
A relação f satisfaz à de�nição de função,
f : A → B
e
f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 2.
Exemplo 0.2. Sejam A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, f ⊂ A×B,
f = {(a, 2), (b, 4), (c, 2), (b, 3)}.
A relação f não satisfaz a de�nição de função, visto que b ∈ A tem duas imagens em B, isto
é,
f(b) = 4, f(b) = 3.
0.2 Composição de Funções
Suponhamos que f : A → B e g : B → C. Então, g ◦ f : A → C é função e o valor da g ◦ f é
dado pela formula
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Exemplo 0.3. Sejam f, g : R → R,
f(x) = x2, g(x) =
x
x2 + 1
.
Achar g ◦ f e f ◦ g.
Temos
g ◦ f(x) = g(x2) = x
2
x4 + 1
,
f ◦ g(x) =
(
x
x2 + 1
)2
.
2
0.3 Funções inversas
Seja f : A → B. A relação inversa f−1 sempre existe:
f−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ f} = {(y, x) : y = f(x)}.
Exemplo 0.4. Seja f : R → R, f(x) = x+ 2. Achar f−1.
y = f(x) ⇔ y = x+ 2 ⇔ x = y − 2 ⇒ f−1(x) = x− 2
0.4 Funções Injectoras, Sobrejectoras e Bijectoras
De�nição 0.2. Dado uma relação f ⊂ A×B de A em B, onde A, B são conjuntos quaisquer,
1. Chama-se uma função f : A → B, função Injectora, se para x1, x2 ∈ A; x1 ̸= x2 ⇒
f(x1) ̸= f(x2) e f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
2. Chama-se uma função f : A → B, função Sobrejectora, se ∀y ∈ B, ∃x ∈ A;
y = f(x).
3. chama-se uma função f : A → B, função Bijectora, se é injectora e sobrejectora.
Exemplo 0.5. Seja f : R → R, f(x) = x2.
1. f(x) não é injectora pois ∃x1 = 2, x2 = −2 tal que f(2) = f(−2) = 4, porém x1 ̸= x2.
2. f(x) não é sobrejectora pois nem toda imagem tem um objecto correspondente, por
exemplo, não existe algum x tal que f(x) = −1.
3. f(x) não é bijectora pois f(x) não é injectora nem sobrejectora.
Exemplo 0.6. Seja f : [0,∞[→ [0,∞[, f(x) = x2.
1. f(x) é injectora pela de�nição.
2. f(x) é sobrejectora pois toda imagem tem um objecto correspondente.
3. f(x) é bijectora pois f(x) é injectora e sobrejectora.
0.5 Imagem e pré-imagem
Da de�nição de imagem de relação vamos ter a seguinte forma de imagem de função:
Im(f) = {y : ∃x(y = f(x))} = {f(x) : x ∈ A}.
Introduz-se também a imagem de um conjunto.
De�nição 0.3 (Imagem). Seja f : A → B uma função e X ⊂ A. O conjunto
f(X) = {f(x) : x ∈ X} ≡ {y : ∃x ∈ X(y = f(x))}.
diz-se imagem do conjunto X.
3
De�nição 0.4 (Pré-imagem). Seja f : A → B uma função e Y ⊂ B. O conjunto
f−1(Y ) = {x ∈ A : f(x) ∈ Y }.
chama-se pré-imagem (ou imagem inversa, ou imagem recíproca) do conjunto Y .
Exemplo 0.7. Sejam A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, f ⊂ A × B, Achar f(A) e f−1({1, 2}).,
sendo que
f = {(a, 2), (b, 4), (c, 2)}.
f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 2 logo f(A) = {2, 4}
f−1(1)@, f−1(2) = {a, c}, logo f−1({1, 2}) = {a, c}.
c⃝B. Maxlhope, C. Nassone, J. Sewane, E. Mulungo, M. Getimane & N. Bila
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