aula 10 ao cubo MAT 1

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Aula 10 – Função Modular
Matemática 1 – Prof. J.Carlos
“A vida não tem controle remoto... Você tem que levantar e mudar... Vamos...” ( Autor desconhecido)
Módulo de um número real 
Vamos inicialmente observar a interpretação geométrica para Módulo
	
Propriedades 
Sejam x e y reais, teremos:
P1) 
P2) 
P3) 
P4) 
P5) 
P6) 		, y ≠0
Observações:
[1]
[2]
Função Módulo
Seja f(x) = |x|, teremos
D= e Im =
Gráfico
Como 
teremos:
Utilizando a definição teremos:
Transformações nos gráficos 
Vamos observar alguns exemplos:
(a) f(x) = |x| a
(b) f(x) = |x a|
(c) f(x) = |ax2+bx+c|, 
abaixo vamos encontrar o gráfico de f(x)=|x2-6x +8|, vejamos:
Vejamos agora o gráfico de f(x) =|x2|-6|x|+8
Exercícios:
1. (Ufrj) Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro diário L dado pela função
L(x) = 50 ( │ x - 100 │ + │ x - 200 │ )
onde x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais.
Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de R$10.000,00. 
 
2. (Pucrj) O conjunto dos números reais x tais que │x - 2│ < │x - 5│ é: 
a) vazio. 
b) finito. 
c) o conjunto de todos os números reais menores que 7/2. 
d) o conjunto de todos os números reais entre 2 e 5. 
e) o conjunto de todos os números reais. 
 
3. (Ufpi) A soma das raízes da equação │x│2 + 2 │x│ - 15 = 0 é: 
a) 0 
b) -2 
c) -4 
d) 6 
e) 2 
 
4. (Uflavras) O gráfico da expressăo = 4 é dado por:
 
 
5. (Espcex) O gráfico que melhor representa a função real definida por é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
6. (Unicamp) Considere a função definida para todo número real 
Esboce o gráfico de no plano cartesiano para 
7. (cftmg) O domínio da função real é o intervalo 
a) ou 
b) ou 
c) 
d) 
 
8. (Upe) No sistema cartesiano representado a seguir, têm-se os gráficos das funções reais e 
Qual das igualdades representa uma relação entre as duas funções? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. (Espcex) O número de soluções da equação no conjunto é 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
10. (Pucrj) Considere a função real O gráfico que representa a função é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
11. (Pucrj) Considere a função real O gráfico que representa a função é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12. (Fuvest) Sobre a equação é correto afirmar que 
a) ela não possui raízes reais. 
b) sua única raiz real é 
c) duas de suas raízes reais são 3 e 
d) suas únicas raízes reais são , 0 e 1. 
e) ela possui cinco raízes reais distintas. 
 
13. (Udesc) A soma das raízes distintas da equação é: 
a) 10 
b) 7 
c) 0 
d) 3 
e) 4 
 
14. (Pucrs) A expressão também pode ser representada por 
a) x – a < 16 
b) x + a > 16 
c) – a – 16 < x < a + 16 
d) – 16 + a < x < a + 16 
e) x – a < – 16 ou x – a >0 
 
15. (Esc. Naval) O gráfico que melhor representa a função real definida por é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
16. (Ufrgs) Se
é o gráfico da função definida por então, das alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função definida por é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
17. (Esc. Naval) A reta no de equação intercepta o gráfico da função nos pontos e Qual a distância entre e 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
18. (Ufrgs) A interseção dos gráficos das funções e definidas por e os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono.
A área desse polígono é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
19. (Esc. Naval) A soma das raízes reais distintas da equação é igual a 
a) 0 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
20. (cftmg) A soma das raízes da equação modular é 
a) – 7. 
b) – 4. 
c) 3. 
d) 5. 
 
21. (Ufsj) Movendo o gráfico da função quatro unidades de comprimento (u.c.) para a esquerda e duas u.c. para cima, obtém-se uma nova função.
Assinale a alternativa que contém a função obtida. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
22. (Udesc) Se é o menor valor que satisfaz a inequação e então o valor da constante que satisfaz a igualdade é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
23. (Fgv) O polígono do plano cartesiano determinado pela relação tem área igual a 
a) 6. 
b) 12. 
c) 16. 
d) 24. 
e) 25. 
 
24. (Insper) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x).
O número de elementos do conjunto solução da equação , resolvida em é igual a 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3. 
e) 2. 
 
25. (Unicamp) Considere a função , definida para x real. 
a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. Determine esse valor. 
b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores de x que satisfazem a equação f(x) = 12. 
 
26. (Afa) Considere a figura abaixo que representa um esboço do gráfico da função real f
Sabe-se que e 
Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
27. (Ufpe) Considere a função definida para x real. Analise as afirmações seguintes sobre f. 
( ) f é par. 
( ) f é positiva. 
( ) f é injetora. 
( ) A imagem de f é o intervalo fechado [–2,2]. 
( ) para quaisquer x e y reais. 
 
28. (Uepb) A soma das raízes que a equação modular é 
a) 15 
b) 30 
c) 4 
d) 2 
e) 8 
 
29. (Unioeste) Seja S o conjunto solução de
É correto afirmar que S é igual a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
30. (Uespi) Se x varia no conjunto dos números reais, qual dos intervalos a seguir contém o conjunto-solução da desigualdade
 
a) (-2, 0) 
b) (-2, 2) 
c) (-3, -1) 
d) (1, 3) 
e) (-3, 1) 
 
31. (Fuvest) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade . 
 
32. (Unesp) No conjuntodos números reais, o conjunto solução S da inequação modular é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
33. (Mackenzie) Dadas as funções reais definidas por 
considere I, II, III e IV abaixo.
I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é 3.
III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4.
IV. Não existe x real tal que f(x) < g(x).
O número de afirmações corretas é 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
34. (Espcex) Considerando a função real , o intervalo real para o qual é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
35. (Ita) O produto das raízes reais da equação |x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a 
a) –5. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 5. 
 
36. (Ufmg) Considere a função f ( x )= x .
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função está CORRETO. 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
37. (Ufrj) Considere a função f: IR IR definida por f(2x) = │1 - x │. Determine os valores de x para os quais f(x) = 2. 
 
38. (Uece) Sobre o conjunto M dos pontos de interseção dos gráficos das funções definidas por f (x) = │2x - 1│ e g (x) = x + 1 é possível afirmar, corretamente, que M 
a) é o único conjunto vazio. 
b) é um conjunto unitário. 
c) possui dois elementos. 
d) possui três elementos. 
 
39. (cftce) A equação │x - 2│ + │x - 5│ = 3 tem: 
a) uma única solução 
b) exatamente duas soluções 
c) exatamente três soluções 
d) um número infinito de soluções 
e) nenhuma solução 
 
40. (Ita) Sobre a equação na variável real x,
		│ │ │ x - 1 │ - 3 │ - 2 │ = 0,
podemos afirmar que 
a) ela não admite solução real. 
b) a soma de todas as suas soluções é 6. 
c) ela admite apenas soluções positivas. 
d) a soma de todas as soluções é 4. 
e) ela admite apenas duas soluções reais. 
GABARITO:
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 x = 50 e x = 250 
Resposta da questão 2:
 [C] 
Resposta da questão 3:
 [A] 
Resposta da questão 4:
 [A] 
Resposta da questão 5:
 [C]
Resposta da questão 6:
 a) 
Resposta da questão 7:
 [D]
Resposta da questão 8:
 [E]
Resposta da questão 9:
 [D]
Resposta da questão 10:
 [A]
Resposta da questão 11:
 [A]
Resposta daquestão 12:
 [E]
Resposta da questão 13:
 [E]
Resposta da questão 14:
 [D]
Resposta da questão 15:
 [E] 
Resposta da questão 16:
 [D]
Resposta da questão 17:
 [B]
Resposta da questão 18:
 [C]
Resposta da questão 19:
 [D]
Resposta da questão 20:
 [B]
Resposta da questão 21:
 [D]
 
Resposta da questão 22:
 [A]
Resposta da questão 23:
 [D]
Resposta da questão 24:
 [B]
Resposta da questão 25:
 a) Tomando como referência o ponto (1,2) destacado no gráfico, temos:
b) 
x = 9 não convém, pois 12 – 2.9 < 0.
Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5. 
Resposta da questão 26:
 [A]
Resposta da questão 27:
 F – F – F – V – F. 
Resposta da questão 28:
 [E]
Temos 
Resposta da questão 29:
 [B]
Resposta da questão 30:
 [B]
Resposta da questão 31:
 
 
Resposta da questão 32:
 [C]
Resposta da questão 33:
 [B]
Resposta da questão 34:
 [A]
Resposta da questão 35:
 [A]
Resposta da questão 36:
 [B] 
Resposta da questão 37:
 x = - 2 ou x = 6 
Resposta da questão 38:
 [C] 
Resposta da questão 39:
 [D] 
Resposta da questão 40:
 [D] 
 
xa 16
-<
f,
x1x
x
sex1
x1
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Q?
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213
27
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5
2
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)
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)
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0,125.
0,25.
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2.
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2
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-£
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k,
sen(2y)kcotg(y),
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1
2
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1
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+=
f(x)1
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¡
f(x)2xxp
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(
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)
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(
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(
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+=+
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¡
S{x/x2oux3}.
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¡
S.
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(
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2
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{x|x3}
Σ³
¡
{x|x0oux3}
{x|1x2}
룣
¡
{x|x2}
γ
¡
2
4|x4|,se2x7
x2x2,sex2
--<£
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í
-+£
ï
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{x|x1}
Σ
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1x
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22.11p1p0p1.
=++Û+=Û=-
2xx312x3122xx3122x ou x32x12Ûx5 ou x9.
+-=Û-=-Û-=--=-==
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sx/1x4ou6x9
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3.
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3
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x5x6x3
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