mat 1 - aula 13

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Apostila de Matemática 1 - Extensivo
Aula 13 – Logaritmo
1. Definição:
Sejam a e b dois números reais diferentes de zero, sendo b≠1. Denomina-se logaritmo de a na base b o expoente que a base b deve ter para alcançarmos o valor de a. Em outras palavras, a definição de logaritmo é:
log b A = x A = bx
Nomeando: nessa operação, A é o logaritmando, b é a base e x é o logaritmo.
Ex1.: log 3 27 = x 27 = 3x 3³ = 3x x = 3
Ex2.: log 3 x = 5 x = 35 x = 243
2. Importante:
a) Logaritmo decimal: é o único em que não é necessário expressar a base. Assim:
log A = log 10 A
b) Logaritmo neperiano ou natural: é aquele cuja base é o número de Euller (e≈2,71). Expressamos tal logaritmo da seguinte forma:
ln A = log e A
3. Propriedades:
a) Logaritmando unitário: Dentro do domínio necessário, o logaritmo de 1 em qualquer base tem resultado nulo. Ou seja:
log 5 1 = x 1 = 5x 50 = 5x x=0
b) Base e logaritmando iguais. Dentro do domínio conhecido, quando isso acontecer, o resultado será sempre igual a 1. Assim:
log 7 7 = x 7 = 7x 71 = 7x x = 1
c) Soma de logaritmos de mesma base: Respeitando o domínio estipulado para os logaritmos, a soma de dois logaritmos de mesma base pode ser visualizada como um logaritmo só (ainda com a mesma base), cujo logaritmando é o produto dos logaritmandos que tínhamos na soma. Em outras palavras:
log b A + log b B = log b (A.B)
d) Diferença entre logaritmos de mesma base: Dentro do domínio necessário, se a soma de logaritmos de mesma base resulta em um logaritmo do produto, no caso da diferença teremos o resultado contrário. Assim, a diferença entre logaritmos de mesma base será um logaritmo só (ainda com a mesma base), cujo logaritmando será a divisão entre os logaritmandos que tínhamos na soma. Assim:
log b A – log b B = log b (A/B)
e) Logaritmando escrito em forma de potência: Lembrando-se sempre de respeitar o domínio estipulado para o uso do logaritmo, temos que nessa propriedade, o logaritmando é escrito em forma de potência e o expoente dela pode ser transportado para a frente do logaritmo, multiplicando o mesmo. Assim:
log b Ax = x.(log b A)
f) Base escrita em forma de potência: A partir de uma analogia com a propriedade anterior, se o expoente do logaritmando aparece na frente do logaritmo, multiplicando-o, quando o mesmo acontece a partir da base, temos a lógica contrária. Assim, o expoente aparece na frente do logaritmo dividindo-o. Se lembrarmos que dividir por x é o mesmo que multiplicar por 1/x, chegaremos a seguinte sentença:
log bx A = (1/x).log b A
g) Logaritmo no expoente de uma potência cuja base é a mesma do logaritmo: Essa é a propriedade mais complicada de todas. Nela, temos uma potência cujo expoente é um logaritmo de base igual a do expoente. Quando isso acontecer, tal expressão pode ser facilmente simplificada apenas para o logaritmando em questão. Assim, se respeitamos o domínio estipulado para os logaritmos, teremos:
4. Mudança de base:
Em algumas situações, o aluno percebe que é necessário trabalhar com uma base diferente da trabalhada incialmente. Portanto, é importante saber como mudar a base de um logaritmo. Lembre-se sempre de respeitar as condições de existência da base no logaritmo, ou seja, a base escolhida deve ser positiva e diferente de 1. Dessa forma, temos que:
log b A = 
Exercícios:
01) (UERJ) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.
Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j). O valor de x é igual a:
a) 0,50	 	b) 0,70 		c) 0,77 		d) 0,87
02) (PUC-RJ) Se log1/2 x = -3, então + x2 vale:
a) 3/4		b) 6		c) 28		d) 50		e) 66 
03) (PUC-RJ) Sabendo-se que log10 3 = 0,47712, podemos afirmar que o número de algarismos de 925 é: 
a) 21		b) 22		c) 23		d) 24		e) 25
04) (UERJ) Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repetições. No entanto, como consequência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior do que o tempo gasto para fazer a série imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos. Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a:
a) 100		b) 120		c) 140		d) 160
05) (CESGRANRIO) Se log10 123 = 2,09, o valor de log10 1,23 é: 
a) 0,0209 	b) 0,09 		c) 0,209 	d) 1,09 		e) 1,209
06) (FEI) Se log 2 = a e log 3 = b, escrevendo log 32/27 em função de a e b obtemos: 
a) 2a + b 	b) 2a - b 	c) 2ab 		d) 2a/b 		e) 5a - 3b
07) (FUVEST) Se log108 = a então log105 vale:
 a) a³ 		b) 5a - 1 	c) 2a/3 		d) 1 + a/3 	e) 1 - a/3
08) (FATEC) Se log 2 = 0,3, então o valor do quociente log532/log45 é igual a: 
a) 30/7 		b) 7/30 		c) 49/90 	d) 90/49 	e) 9/49
09) (CESGRANRIO) O valor de log x (x) é: 
a) 3/4		b) 4/3		c) 2/3		d) 3/2		e) 5/4
10) (PUC-MG) Na expressão log E = 1/2 log a - 2/3 log b + 1/2 log (a + b) - 1/3 (a - b), a=4 e b=2. O valor de E é: 
a) 		b) 		c) 		d) 		e) 
11) (UEL) O valor da expressão: (log3 1 + log10 0,01) / [log2 (1/64) . log4] é:
a) 4/15		b) 1/3 		c) 4/9 		d) 3/5 		e) 2/3
12) (UEL) Se log3 7 = a e log5 3 = b, então log5 7 é igual a:
a) a + b 		b) a - b 		c) a/b 		d) ab 		e) ab
13) (FATEC) Supondo-se que log102 = 0,3 a solução da equação 102x-3 = 25, sendo U = IR, igual a:
a) 2 		b) 2,1 		c) 2,2 		d) 2,35 		e) 2,47
14) (UEL) Sabendo-se que log2=0,3, log3=0,48 e 12x=15y, então a razão x/y é igual a:
a) 59/54 	b) 10/9 		c) 61/54 	d) 31/27 	e) 7/6
15) (FUVEST) Seja x=21000. Sabendo que log102 é aproximadamente igual a 0,30103 pode-se afirmar que o número de algarismos de x é: 
a) 300 		b) 301 		c) 302 		d) 1000 	e) 2000
16) (FUVEST) Sabendo-se que 5n = 2, podemos concluir que log2100 é igual a: 
a) 2/n 		b) 2n 		c) 2 + n² 	d) 2 + 2n 	e) (2 + 2n)/n
17) (MACKENZIE) O valor de logx (log32.log43), sendo x = é:
a) 2 		b) 1/2 		c) -1/2 		d) -2 		e) 3/2
18) (MACKENZIE) Se α e β são os ângulos agudos de um triângulo retângulo, então log2(tgα)+log2(tgβ) vale: 
a) 0 		b) 1 		c) tg α 		d) sen α 	e) cos α
19) (UFF) Pode-se afirmar que o valor de log 18 é igual a: 
a) log 20 - log 2 			b) 3 log 6 		c) log 3 + log 6 
d) log 36 / 2 			e) (log 3) (log 6)
20) (MACKENZIE) Supondo log 3980 = 3,6, então, dentre as alternativas a seguir, a melhor aproximação inteira de 102,6/3,98 é: 
a) 100 		b) 120 		c) 140 		d) 160 		e) 180
21) (MACKENZIE) Se x² + 4x + 2 log7k² é um trinômio quadrado perfeito, então o logaritmo de k na base 7k vale: 
a) 1/2 		b) 2 		c) -2 		d) -1/2 		e) 1/7
22) (MACKENZIE) Se logi 6 = m e logi 3 = p, 0 < i · 1, então o logaritmo de i/2 na base i é igual a:
a) 6m - 3p 	b) m - p - 3 	c) p - m + 1 	d) m - p + 1 	e) p - m + 6
23) (PUC-CAMPINAS) Sabe-se que 16x = 9 e log3 2 = y. Nessas condições, é verdade que:
a) x = 2y 	b) y = 2x 	c) x.y = 1/2 	d) x - y = 2 	e) x + y = 4
24) (FGV-SP) Adotando-se os valores log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da equação 5x = 60 vale aproximadamente: 
a) 2,15 		b) 2,28 		c) 41 		d) 2,54 		e) 2,67
25) (UEL) Uma célula se duplica a cada 3 horas. Depois de quantas horas, aproximadamente, existirão 216 células? (Dados: In3 ≅ 1,1; In2 ≅ 0,7) 
a) 23 		b) 44 		c) 63 		d) 72 		e) 108
26) (CESGRANRIO) Sendo a e b as raízes da equação x²+100x-10=0, calcule o valor de:
log10[(1/a) + (1/b)]
27) (UFRJ) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo expressa a variação de log y em função de log x, onde log é o logaritmo na base decimal. 
Determine uma relação entre x e y que não envolva a função logaritmo.
28) (UERJ) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. 
a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. 
b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos. Se t = 1/logx, determine o valor de x.29) (FUVEST) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I=0 até I=8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: 
I = (2/3)log10(E/E0)
onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0=7×10-3kWh. 
a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? 
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?
30) (UNICAMP) Calcule o valor da expressão a seguir, onde n é um número inteiro, n≥2. Ao fazer o cálculo, você verá que esse valor é um número que não depende de n.
logn(logn)
31) (IME) Considerando log2=a e log3=b, encontre em função de a e b, o logaritmo do número no sistema de base 15.
32) (UNESP) Sejam a e b números reais positivos tais que a.b=1. 
Se logc ab = logc ba, em que C é um número real (c>0 e c≠1), calcule os valores de a e b.
33) (UNESP) Sejam x e y números reais, com x > y. Se log3(x - y) = m e (x + y) = 9, determine: 
a) o valor de log3(x + y); 
b) log3(x² - y²), em função de m.
34) (UERJ) Suponha que x e y são números reais positivos que apresentam logaritmos com bases diferentes, conforme as igualdades a seguir:
Calcule a razão .
35) (UFPE) Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento percentual para os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais? (Obs.: use as aproximações ln (1000) ≈ 6,907, ln (1,2) ≈ 0,182.)
36) (UCS-RS) Calcule o valor de log 1/3 (log 5 125).
37) (UFPR) O teste de alcoolemia informa a quantidade de álcool no sangue levando em conta fatores como a quantidade e o tipo de bebida ingerida. O Código de Trânsito Brasileiro determina que o limite tolerável de álcool no sangue, para uma pessoa dirigir um automóvel, é de até 0,6 g/L. Suponha que um teste de alcoolemia acusou a presença de 1,8 g/L de álcool no sangue de um indivíduo. A partir do momento em que ele para de beber, a quantidade, em g/L, de álcool no seu sangue decresce segundo a função Q(t) = 1,8 × 2−0,5t sendo o tempo t medido em horas. 
a) Quando t = 2, qual é a quantidade de álcool no sangue desse indivíduo? 
b) Quantas horas após esse indivíduo parar de beber a quantidade de álcool no seu sangue atingirá o limite tolerável para ele poder dirigir? (Use log2 = 0,30 e log3 = 0,47)
38) (FGV-SP) Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de 1% ao mês. Neste problema, desprezando qualquer tipo de correção monetária devido à inflação, responda as perguntas a seguir. 
a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.020,00. Calcule o valor inicialmente aplicado. 
b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 139,3 meses. Caso o cálculo fosse feito adotando-se log2=0,301 e log202= 2,305, que são logaritmos com apenas 3 casas decimais de aproximação, seria obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E=t-139,3 ao erro cometido no cálculo devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logaritmos indicados, calcule E.
39) (UFF) São dados os números reais positivos a, b e x tais que a ≠ 1 e b ≠ 1. 
Sabe-se que loga x = 2 e logb x = 4. Calcule logab a.
40) (UFCE) Suponha que o crescimento populacional de duas cidades, A e B, é descrito pela equação: P(t) = P0ekt onde: 
P0 é a população no início da observação; 
k é a taxa de crescimento populacional; 
t é o tempo medido em anos; e é a base do logaritmo natural. 
P(t) é a população t anos após o início da observação. 
Se no início de nossa observação a população da cidade A é o quíntuplo da população da cidade B, e se a taxa de crescimento populacional de A permanecerá em 2% ao ano e a de B em 10% ao ano, em quantos anos, aproximadamente, as duas cidades possuirão o mesmo número de habitantes? Considere ln 5 = 1,6.
Gabarito:
01) B	02) E	03) D	04) C	05) B	06) E	07) E	08) D	09) D	10) D
11) C	12) D	13) C	14) A	15) C	16) E	17) D	18) A	19) C	20) A
21) A	22) C	23) C	24) D	25) A
26) 1
27) y=100x²
28) a) 1.265.000 habitantes	b) aproximadamente 1,127.
29) E=7.109kWh		b) 10
30) -2
31) (2b - 3a + 1)/(5b - 5a + 5)
32) a=b=1
33) a) 2				b) 2 + m
34) 
35) 38 anos
36) -1
37) a) 0,9g/L			b) após 4 horas
38) a) R$ 3.940,79		b) 11,2 meses
39) 4/3
40) 20 anos