Livro digital: Potenciação, Radiciação, Logaritmo, Função Logarítimica (50 questões comentadas)

Prévia do material em texto

WWW.MATEMATICAEMFOCO.COM.BR 
 
 
 
 
Sumário 
Revisão Potenciação ..................................................................................................................... 3 
1 - Conceito inicial .............................................................................................................................. 3 
2 - Representação da potência e seus elementos ............................................................................. 4 
3 - Propriedades de potência ............................................................................................................. 5 
3.1 - Multiplicação de potências de mesma base ........................................................ 5 
3.2 - Divisão de duas potências de mesma base ........................................................ 5 
3.3 - Potências com expoente zero .................................................................................. 7 
3.4 - Potência de potência ................................................................................................... 7 
3.5 - Potência de um produto ............................................................................................. 8 
3.6 - Potência de um quociente ...................................................................................... 10 
3.7 - Potência com expoente negativo ......................................................................... 10 
4- Mapa mental potenciação ........................................................................................................... 12 
 
2 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Revisão logaritmo ......................................................................................................................... 13 
1 - Equação exponencial .................................................................................................................. 13 
2 - Conceito de logaritmo................................................................................................................. 13 
3 - Propriedades de Logaritmo......................................................................................................... 16 
3.1 - Consequências da definição .................................................................................... 16 
3.2 - Logaritmo de potências ............................................................................................ 16 
3.3 - Logaritmo de um produto ....................................................................................... 17 
3.4 - Logaritmo de um quociente ................................................................................... 18 
3.5 - Logaritmo como expoente ...................................................................................... 20 
3.6 - Mudança de base ........................................................................................................ 20 
4 - Equação logarítmica .................................................................................................................... 21 
5 - Logaritmo neperiano ................................................................................................................... 22 
6 - Mapa mental logaritmo .............................................................................................................. 24 
Função Logarítmica ..................................................................................................................... 29 
1 - Forma geral ................................................................................................................................. 29 
2 - Gráfico e crescimento ................................................................................................................. 30 
3 - Exponencial x Logaritmo ............................................................................................................. 33 
4 - Inequação logarítmica ................................................................................................................. 34 
Questões comentadas ................................................................................................................ 37 
Função logarítmica ........................................................................................................................... 37 
Lista de questões .......................................................................................................................... 70 
Gabarito ............................................................................................................................................ 85 
 
 
3 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Revisão Potenciação 
1 - Conceito inicial 
 A potenciação é baseada no estudo das potências e toda potência em Matemática é 
simplesmente a multiplicação de fatores iguais. Vejamos alguns exemplos: 
a) 2 . 2 . 2 . 2 
b) 3 . 3 . 3 . 3 . 3 
c) 5 . 5 . 5 
d) 6 . 6 
 Note que todos os exemplos apresentam multiplicações de fatores iguais, isto é, a 
multiplicação de um número por ele mesmo. É bem simples concorda? Mesmo assim os alunos em 
geral cometem um erro muito comum referente a esse conceito, então vou te mostrar mais à frente. 
 Primeiro vamos encontrar os resultados das potências (multiplicações) acima para já 
aproveitarmos e treinarmos um pouco a multiplicação e tabuada, o que é sempre importante você 
estar "afiado". E aí, como você calcularia essas multiplicações? Uma ESTRATÉGIA que acho 
interessante é separar as multiplicações em blocos, desse jeito: 
2 . 2 . 2 . 2 = 4 . 4 = 16 
 
Seguindo esta mesma ideia vamos calcular os outros resultados: 
 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 81 . 3 = 243 
 
5 . 5 . 5 = 125 
 
 
 
6 . 6 = 36 
 
 É claro que você tem liberdade para fazer da maneira que achar melhor, mas o que 
fica muito claro é que você precisa ESTAR SEMPRE afiado com a tabuada. Então se você não possui 
a tabuada na "ponta da língua" é bom dar uma praticada, ok? 
 
4 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 2 - Representação da potência e seus elementos 
 Agora que lembramos o conceito de potência é importante conhecer a sua 
representação geral e as nomenclaturas utilizadas. Vejamos outro exemplo de potência: 
1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 
 Acredito que você já saiba o resultado da potência acima pois se trata do número 1 
multiplicado por ele mesmo algumas vezes. Como sabemos que 1 . 1 = 1, não é difícil notar que o 
resultado da multiplicação acima é justamente igual a 1. 
 Mas na verdade eu quero que você observe que o número 1 aparece 12 vezes na 
multiplicação, isto é, são 12 fatores. Sendo assim podemos representar essa potência da seguinte 
maneira: 
𝟏𝟏𝟐 
 Essa é a representação geral de uma potência. O número que fica embaixo é 
chamado BASE e o número que fica em cima é chamado de EXPOENTE. Lemos a potência acima como 
"1 elevado a 12". 
 
 A BASE da potência é o número que devemos multiplicar por ele mesmo e o 
EXPOENTE indica quantos fatores terá a multiplicação. 
 Lembra de um erro comum cometido pelos alunos que eu mencionei? Um exemplo 
deste ERRO segue abaixo: 
 
23 = 2 ⋅ 3 = 6 
 
E aí, percebeu qual foi o erro cometido? 
 O erro foi multiplicar a base pelo expoente, o que não tem nada a ver com o conceito 
de potência certo? Muitos alunos olham os dois números e os multiplicam, então NUNCA FAÇA ISSO! 
 
5 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 3 - Propriedades de potência 
 As propriedades de potência são recursos que utilizamos principalmente para 
simplificar os cálculos. Veja este exemplo: 
230 ⋅ 240
265
 
 Imagine resolvermos cada potência acima separadamente, para depois multiplicar e 
dividir, seria muito trabalhoso e levaria muito tempo não é mesmo? Para isso existem as 
propriedades. 
 Antes de conhecermos as propriedades vou te daruma dica. A melhor maneira de 
memorizá-las (além da prática) é através de frases que indicam o que devemos fazer. Observe a 
seguir: 
3.1 - Multiplicação de potências de mesma base 
 Na multiplicação de duas ou mais potências com a mesma base, podemos repetir 
essa base e somar os expoentes. A potência encontrada será equivalente ao resultado final. Por 
exemplo: 
22 ⋅ 25 = 22+5 = 27 
 Destaco que nada nos impede de resolver as potências 22 e 25 separadamente, o 
que resultaria na multiplicação 4 . 32 = 128. O importante é você saber quais são os caminhos e 
ESTRATÉGIAS que pode adotar. 
3.2 - Divisão de duas potências de mesma base 
 Na divisão de duas potências com a mesma base, podemos repetir a base e subtrair 
os expoentes. A potência encontrada será equivalente ao resultado final. Por exemplo: 
37
33
= 37−3 = 34 
 Note que mais uma vez nada nos impede de calcular as potências 37 e 33 
separadamente, mas agora fica bem nítido que o trabalho vai ser bem maior concorda? Então só 
devemos adotar esse caminho realmente em último caso. 
 
 
6 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
 Como sou um professor "chato" e gosto de fazer você pensar te faço a pergunta, será 
que daria pra simplificar o cálculo anterior de outra maneira? 
 A resposta é SIM! E não é difícil, é só lembrarmos do conteúdo de Frações, na parte 
de simplificação1. Primeiro, você apenas vai expandir cada potência: 
37
33
=
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
3 ⋅ 3 ⋅ 3
 
 Agora vamos aplicar o cancelamento de três fatores da parte de cima (numerador) 
com três fatores debaixo (denominador): 
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟑 ⋅ 𝟑
3 ⋅ 3 ⋅ 3
 
 Portanto o que sobra é "3 . 3 . 3 . 3" cujo resultado é 81, que corresponde a 34. É 
importante destacar que a propriedade só vale para divisões de potências com base diferente de 
zero, já que não conseguimos calcular divisões por zero. 
 Agora que recordamos essas duas propriedades importantes de potenciação, você 
conseguiria resolver rapidamente o cálculo abaixo? 
230 ⋅ 240
265
 
Vamos resolver juntos. 
 Primeiro aplicamos a propriedade 3.1 no numerador da fração, repetimos a base, 
somamos os expoentes e obtemos 270. Em seguida aplicamos a propriedade 3.2, repetimos a base, 
subtraímos os expoentes e obtemos 
270
265
= 25 = 𝟑𝟐 
 
1 A simplificação de uma fração consiste em reduzir os valores dos seus termos, numerador e denominador, dividindo-os 
pelo mesmo número. 
 
7 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 3.3 - Potências com expoente zero 
Qualquer número (exceto zero2) elevado ao expoente zero resulta em 1. Por exemplo: 
30 = 1 
(−2)0 = 1 
(
1
5
)
0
= 1 
 Este resultado pode ser obtido de forma lógica e simples, por exemplo, fazendo a 
divisão da potência 35 pela própria potência 35 e aplicando a propriedade 3.2: 
35
35
= 35−5 = 𝟑𝟎 
 Obtemos como resultado a potência 𝟑𝟎. Mas sabemos que 35 = 32, portanto 
fazemos a divisão e obtemos 
35
35
=
32
32
= 𝟏 
 
Então podemos concluir que 𝟑𝟎 = 𝟏. 
 
3.4 - Potência de potência 
Podemos ter potências dentro de outras potências indefinidamente. Vejamos alguns exemplos. 
a) (23)4 = 23⋅4 = 212 
 
b) [(
2
3
)
4
]
5
= [(
2
3
)]
4.5
= (
2
3
)
20
 
 
 
2 A potência zero elevado a zero possui resultado indeterminado. 
 
8 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 c) {[(−3)5]6}7 = (−3)5⋅6⋅7 = (−3)210 
 
 Note que nos exemplos acima temos uma potência dentro de parênteses, colchetes 
ou chaves e um ou mais, expoente externo. É exatamente isso que caracteriza a propriedade 3.4 e 
por isso podemos repetir a base e multiplicar os expoentes. 
 
 
Agora vou te fazer uma pergunta IMPORTANTE, podemos aplicar a propriedade 3.4 no caso abaixo? 
 
23
4
 
 A resposta é NÃO! Note que a potência 2³ não está dentro de parênteses, colchetes 
ou chaves, o que significa que o 4 é expoente apenas do 3. Portanto o resultado da potência acima 
fica: 
 
2𝟑
𝟒 
= 281 
 
 Multiplicar os expoentes no caso acima é outro erro bastante comum cometido pelos 
alunos, então fique atento, pois 𝟐𝟑
𝟒
≠ (𝟐𝟑)𝟒. 
 
 
3.5 - Potência de um produto 
Podemos ter uma multiplicação elevada a um expoente externo. Vejamos um exemplo: 
 
(2 ⋅ 3 ⋅ 5)2 = 22 ⋅ 32 ⋅ 52 
 
 Observe que todos os fatores dentro dos parênteses foram elevados ao expoente 
externo no resultado. Esta propriedade se faz necessária em diversos cálculos, um deles muito 
importante, segue abaixo: 
 
(2√3
2
)
2
= 22 ⋅ (√3
2
)
2
 
 
 
9 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Observe que, no exemplo acima, existe também uma raiz quadrada não exata3, que 
é a √3. Neste caso, no cálculo (√3
2
)
2
precisaremos também de conhecimentos sobre Radiciação4. E 
aí, você saberia chegar no resultado final? 
 
 Vamos lá, vamos fazer juntos! Vou te mostrar duas formas bem simples e comuns 
de resolver a potência (√𝟑
𝟐
)
𝟐
 : 
 
(√𝟑
𝟐
)
2
= √3
2
⋅ √3
2
= √9 = 3 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos outra maneira. 
Uma outra forma de calcular (√3
2
)
2
 é utilizar a propriedade do cancelamento da radiciação. 
 
(√3
2
)
2
 = 3 
 
 
 
 Imagino que você pensou "essa segunda maneira é bem mais fácil!". Confesso que 
você tem razão, mas precisamos tomar cuidado. Note que "cortamos" o expoente da potência com 
o índice do radical, mas não podemos fazer isso sempre. Somente podemos aplicar o cancelamento 
em duas situações que seguem abaixo: 
 
a) Quando radicando é positivo: se o índice do radical e o expoente forem iguais; 
 
b) Quando radicando é negativo: SOMENTE se o índice do radical e expoente forem iguais e 
ÍMPARES. 
 
 Note que o expoente mencionado acima pode estar dentro ou fora do radical, não 
fazendo diferença. É extremamente comum muitos alunos memorizarem apenas o cancelamento 
 
3 A raiz quadrada não exata ocorre quando o radicando não é um número quadrado perfeito. Exemplos de números 
quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc. 
4 Radiciação é um conteúdo de matemática básica focado no estudo dos radicais e suas propriedades. 
O produto de radicais com mesmo índice pode ser 
transformado num único radical, repetindo o índice 
e multiplicando os radicandos. 
ÍNDICE 
RADICANDO 
 
10 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 como "quando expoente e índice são iguais, podemos cortar," porém isso está errado já que não 
podemos "cortar" sempre. O caso onde os alunos mais erram devido à essa memorização errada é: 
 
√(−3)2
2
= −3 
 
 
Vejamos a forma correta. 
 
√(−3)2
2
= √9 = 𝟑 
 
 
 
 
 
3.6 - Potência de um quociente 
Podemos ter uma divisão (quociente) elevada a um expoente externo. Vejamos um exemplo: 
(
2
3
)
4
=
24
34
 
 
 Equivale à uma fração elevada à um expoente, então elevamos ambos os termos da 
fração ao expoente. Observe que a fração deve estar dentro de parênteses, colchetes ou chaves. 
 
3.7 - Potência com expoente negativo 
 Quando invertemos a base de uma potência consequentemente seu expoente troca 
de sinal. Esta propriedade é utilizada principalmente quando potências possuem expoente 
negativo. Afinal, você conseguiria calcular o resultado de uma potência com expoente negativo? 
 
 É claro que a princípio é estranho pensar no resultado de uma potência com expoente 
negativo, mas veja como esse cálculo pode ser lógico e simples observando a tabela abaixo: 
 
24 16 
23 8 
22 4 
21 2 
20 1 
2−1 
2−2 
(-3)² = (-3) . (-3) = + 9 
 
11 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Você seria capaz de calcular os resultados das potências 𝟐−𝟏 e 𝟐−𝟐 observando o 
comportamento dos resultados na tabela acima? Pode ficar mais fácil se observarmos os resultados 
no formato de sequência5. 
16 , 8 , 4 , 2 , 1 , ..... 
 
Então, quais são os próximos dois termos da sequência? 
Conseguimos observar que a sequência avança sempre entre termos consecutivos, dividindo por 2: 
 
16 , 8 , 4 , 2 , 1 , .....Sendo assim, os próximos dois termos da sequência são 
𝟏
𝟐
 e 
1
2
2
=
𝟏
𝟒
 , então os 
resultados das potências 𝟐−𝟏 e 𝟐−𝟐 são: 
2−1 =
1
2
=
1
21
 
 
 
 
2−2 =
1
4
=
1
22
 
 
 
 
 
 Nos exemplos acima as bases são números inteiros, então é bom lembrarmos que 
todo inteiro equivale à uma fração simples como 2 =
2
1
 . Se a base for uma fração, a ideia é a 
mesma: 
(
𝟐
𝟑
)
−𝟑
= (
3
2
)
3
=
33
23
=
𝟐𝟕
𝟖
 
 
 
 
 
 
 
5 Sequência em matemática é todo conjunto ou grupo, no qual seus elementos seguem uma determinada ordem lógica. 
: 2 
 
: 2 
 
 : 2 
 
: 2 
 
Note que invertemos a base e o expoente troca de sinal. 
 
Note que invertemos a base e o expoente troca de sinal. 
 
Note que invertemos a base e o expoente troca de sinal. 
 
 
12 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
 
 
 
4- Mapa mental potenciação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 
1. Definição 
23 ⋅ 25 = 28 
2. Multiplicação 
potências de mesma 
base 
 (23)4 = 212 
3. Potência 
de potência 
 
27
23
= 24 
4. Divisão Potências 
de mesma base 
 
35
35
= 30 = 1 
5. Potência com 
expoente zero 
 
(2 ⋅ 3)5 = 25 ⋅ 35 
7. Potência de 
um quociente 
 
(
2
3
)
2
=
22
32
 6. Potência de 
um produto (
2
5
)
−3
= (
5
2
)
3
 
3−5 =
1
35
 
8. Fração com 
expoente 
negativo 
 
9. Número inteiro com 
expoente negativo 
 
 
13 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Revisão logaritmo 
1 - Equação exponencial 
 Chegamos em logaritmo e agora vamos fazer uma revisão para você chegar totalmente 
preparado em Função Logarítmica. 
 É importante ressaltar que o logaritmo é uma ferramenta que utilizamos, principalmente, 
para resolver equações exponenciais mais complexas. Mas o que seria uma equação exponencial 
simples? Segue um exemplo. 
2x = 23 => 𝐱 = 𝟑 
 A equação acima considera uma potência de base 2, com expoente "x", cujo resultado é igual 
à outra potência de base 2 e expoente 3. Então podemos afirmar que o expoente da primeira 
potência é igual ao expoente da segunda potência, portanto x = 3, já que não existe outra 
possibilidade para os resultados das potências serem iguais. Generalizando a equação exponencial 
temos: 
ax = b 
sendo a e b números reais quaisquer. Basicamente consideramos equações exponenciais quando o 
expoente é uma incógnita. 
 O objetivo numa equação exponencial é sempre colocar as potências em ambos os lados da 
igualdade, com a mesma base, e se isso não for possível, aí precisaremos do logaritmo. 
2 - Conceito de logaritmo 
 Todo número real6 pode ser representado por um ou mais logaritmos. Vejamos algumas 
representações: 
𝟏 = log𝟐 𝟐 
𝟐 = log𝟐 𝟒 
 
6 Número real é todo elemento do conjunto dos números Reais, que contemplam os Naturais, Inteiros, Racionais e 
Irracionais. 
 
14 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 𝟑 = log𝟐 𝟖 
𝟒 = log𝟐 𝟏𝟔 
𝟓 = log𝟐 𝟑𝟐 
 
Conseguiu notar alguma relação entre os números na cor com os números na cor ? 
 Talvez você consiga enxergar, mas não consiga dizer exatamente como é. Vamos lá! Note que 
cada um desses logaritmos "esconde" uma potência. Por exemplo, 
𝟑 = log𝟐 𝟖 
A potência "escondida" é: 23 = 8. Dizemos que 3 é o logaritmo de 8 na base 2. Então 
log2 𝟖 = 𝟑 ⇔ 2
𝟑 = 𝟖 
Generalizando: 
 O logaritmo de um número real positivo b, na base a positiva e diferente de 1, é o número 
real x ao qual se deve elevar a para se obter b. Resumindo: 
log𝐚 𝐛 = x ⇔ 𝐚
x = 𝐛 
 
Condição de existência do logaritmo: 
b: denominado LOGARITMANDO precisa ser positivo; 
a: denominado BASE precisa ser positiva e diferente de 1. 
 Como podemos observar existe uma relação de "inversão" entre o logaritmo e a equação 
exponencial como se fossem "operações inversas". Por isso as funções exponencial e logarítmica 
são funções inversas. 
 É importante destacar que qualquer equação pode ser transformada em equação 
logarítmica (respeitando a condição de existência), sem que isso mude a solução. Podemos aplicar o 
"log" com base qualquer, em ambos os lados de qualquer equação. 
𝐱 = 𝐲 ⇔ loga 𝐱 = loga 𝐲 ; a ϵ ℝ, a > 0 e a ≠ 1 
 
15 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
Vamos calcular mais alguns logaritmos: 
a) 𝐥𝐨𝐠𝟐
𝟏
𝟑𝟐
= x ⇔ 2x =
1
32
 
 
 2𝑥 = 2−5 ⇒ 𝒙 = −𝟓 
 
Portanto, log2
1
32
= −5. 
 
 
b) 𝐥𝐨𝐠𝟔 𝟑𝟔 = x ⇔ 6
x = 36 
 
 6x = 62 ⇒ 𝐱 = 𝟐 
 
Portanto, log6 36 = 2. 
 
 
c) 𝐥𝐨𝐠𝟏
𝟒
𝟐√𝟐 = x ⇔ (
1
4
)
x
= 2√2 
 2−2𝑥 = 2
3
2 
 −2𝑥 =
3
2
⇒ 𝒙 =
−𝟑
𝟒
 
 
Portanto, log1
4
2√2 =
−3
4
. 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se que todo radical pode ser 
transformado em potência com expoente 
fracionário. 
 
16 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 3 - Propriedades de Logaritmo 
 As propriedades de logaritmo nos ajudam a realizar cálculos como nos exemplos resolvidos 
acima, de forma mais simples e direta, além de serem extremamente necessárias em outras 
situações. 
 
3.1 - Consequências da definição 
 Temos dois logaritmos cujos resultados são imediatos da definição, que são os logaritmos 
que possuem logaritmando igual a 1 ou possuem logaritmando e base iguais. Vejamos os resultados: 
 
 
a) logaritmando igual a 1: 
 
loga 1 = x ⇔ a
x = 1 
 
 𝐱 = 𝟎 
 
Portanto, 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝟏 = 𝟎, para qualquer valor da base "a" que satisfaça a condição de 
existência. 
 
 
b) logaritmando e base iguais: 
 
loga a = x ⇔ a
x = a 
 
 𝐱 = 𝟏 
 
Portanto, 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐚 = 𝟏, para qualquer valor da base "a" que satisfaça a condição de 
existência. 
 
3.2 - Logaritmo de potências 
 Quando precisamos calcular logaritmos com potências no logaritmando temos um ótimo 
recurso que segue abaixo: 
 
 
 
17 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
 Portanto, o expoente do logaritmando pode "sair" e multiplicar o logaritmo. Portanto o 
resultado do logaritmo acima é: 
 
 
 
 
Generalizando a propriedade 3.2: 
logb a
𝐍 = 𝐍 ⋅ logb a 
 
3.3 - Logaritmo de um produto 
 Quando temos o logaritmo de um produto, podemos separá-lo na soma de logaritmos de 
mesma base. Preste muita atenção pois apesar de ser uma propriedade bem direta, muitos alunos 
fazem confusão. Vejamos um exemplo simples da aplicação desta propriedade. 
 
log2(𝟒 ⋅ 𝟐) = log2 𝟒 + log2 𝟐 = 2 + 1 = 3 
 
 
 Note que neste exemplo, não era totalmente necessário aplicar a propriedade para resolver 
o logaritmo, poderíamos também utilizar a definição. 
 
 
 
 
Sendo 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝟒 e 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐜 = 𝟏 qual valor do 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑐 ? 
 
 Neste caso se utilizarmos a propriedade 3.3 fica bem mais rápido e direto. Sendo assim, 
vamos aplicá-la. 
 
logb ac = logb a + logb c = 𝟒 + 𝟏 = 𝟓 
 
 
 
 Mas qual seria então a confusão que os alunos fazem com essa propriedade? Observe o erro 
cometido abaixo. 
 
18 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
𝐥𝐨𝐠𝐜(𝐚 + 𝐛) = 𝐥𝐨𝐠𝐜 𝐚 + 𝐥𝐨𝐠𝐜 𝐛 
 
 
Então fique atento! 
 É importante destacarmos que as 
propriedades também podem ser aplicadas de forma 
inversa. Mas como assim? Por exemplo, nesta propriedade 3.3, a soma de logaritmos de mesma base 
pode ser transformada no logaritmo de um produto, conservando a base. 
 
𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏, 𝟔 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 = 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟏, 𝟔 . 𝟓) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖 = 𝟑 
 
 
 Note que neste momento seria inviável calcularmosos logaritmos 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏, 𝟔 e 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 
separadamente. 
 
Generalizando a propriedade 3.3: 
 
logc(𝐚 ⋅ 𝐛) = logc 𝐚 + logc 𝐛 
 
3.4 - Logaritmo de um quociente 
 O logaritmo de um quociente pode ser transformado na diferença de logaritmos de mesma 
base. Vejamos um exemplo simples de aplicação. 
 
Sabendo que log 2 = 0,3, calcule o valor do log5. 
(Quando a base do logaritmo é omitida, significa que a base é 10, e o logaritmo é chamado de 
logaritmo decimal). 
 
Note que 𝐥𝐨𝐠 𝟓 = 𝐥𝐨𝐠
𝟏𝟎
𝟐
 , já que 5 =
10
2
. É exatamente essa mudança que nos possibilitará calcular o 
log5 sabendo que log 2 = 0,3. Observe agora a aplicação da propriedade 3.4: 
 
 
log 5 = log
10
2
= log 10 − log 2 = 𝟏 − 𝟎, 𝟑 = 𝟎, 𝟕 
 
 
 
 
Vejamos um exemplo desta propriedade sendo aplicada de forma inversa. 
 
Note que não se trata do logaritmo de um 
produto, mas do logaritmo de uma soma. 
 
19 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
log5 10 − log5 2 = log5 (
10
2
) = log5 5 = 1 
 
Generalizando a propriedade 3.4: 
logc (
𝐚
𝐛
) = logc 𝐚 − log𝑐 𝐛 
 
 
 
 
 
 
 
(MACK/SP) Qual valor da expressão log1
2
32 + log 0,001 − log 10√10 é igual a: 
 
a) 13/2 
b) - 13/2 
c) 0 
d) 5/4 
e) - 19/2 
Rascunho 
 
 
Comentários Mick Xavier: Somando os valores de cada logaritmo da expressão obtemos: 
log1
2
32 + log 0,001 − log 10√10 = −5 − 3 +
3
2
= −8 −
3
2
=
2 ⋅ (−8) − 3
2
= −
𝟏𝟗
𝟐
 
 
Gabarito: B 
 
20 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 3.5 - Logaritmo como expoente 
 Em algumas potências, o expoente pode ser um logaritmo. Quando a base deste logaritmo é 
exatamente igual à base da potência, o resultado é o logaritmando. Vejamos um exemplo abaixo. 
 
2log2 𝟑 = 𝟑 
 
 
 
 
Generalizando a propriedade 3.5: 
 
𝐚log𝐚 𝐛 = 𝐛 
3.6 - Mudança de base 
 Essa é propriedade mais complicada e que exige mais conhecimento. Pois além de você 
precisar dominar as outras propriedades você precisa perceber o momento de aplicar a mudança de 
base. 
 
 Em geral, aplicamos a mudança de base para poder usar o valor de um logaritmo com uma 
base específica e calcular o valor de outro logaritmo com base diferente da base dada. A mudança de 
base funciona da seguinte maneira, um logaritmo qualquer pode ser transformado na divisão de 
logaritmos de mesma base. 
 
logb a =
log𝐜 a
log𝐜 b
 
 
 É importante destacar que na divisão dos logaritmos, a base "c" é escolhida, ou seja, pode ser 
qualquer valor, dentro da condição de existência. Vejamos um exemplo. 
 
Sendo log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7 calcule 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓𝟎. 
 
Comentários: 
 Note que os dois logaritmos dados estão na base 10 mas o logaritmo que precisamos calcular 
está na base 2. Por isso precisamos fazer a mudança de base 2 para base 10, e aplicar as propriedades. 
 
log2 50 =
log 50
log 2
=
log(52 ⋅ 2)
log 2
=
log 52 + log 2
log 2
=
2 ⋅ log 5 + log 2
log 2
 
 
Base da potência e base 
do logaritmo iguais. 
 
21 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
log2 50 =
1,7
0,3
=
𝟏𝟕
𝟑
 
4 - Equação logarítmica 
 As equações logarítmicas possuem a incógnita no logaritmando ou na base, por isso 
precisamos estar atentos à condição de existência. 
 
Vejamos um exemplo. 
log3(x + 4) = log3(−x + 12) ; 𝑥 ∈ ℝ 
 
 Observe que a equação acima indica uma igualdade entre dois logaritmos com a base 3. 
Neste caso precisamos apenas igualar os logaritmandos e verificar se a solução satisfaz a condição de 
existência para os logaritmos envolvidos. 
 
Igualando os logaritmandos, neste caso obtemos uma equação simples do 1º grau: 
 
x + 4 = −x + 12 
2x = 8 
x = 4 
 
 Agora precisamos substituir a possível solução x = 4 nos logaritmandos dos logaritmos 
envolvidos na equação, que são (x + 4) e (- x + 12). Substituindo x = 4 obtemos que (x + 4 = 4 + 4 = 8) 
e (- x + 12 = - 4 + 12 = 8). Portanto em ambos os logaritmandos o resultado é igual a 8 que é positivo, 
e, portanto, satisfaz a condição de existência. Então a solução é x = 4. 
 
Generalizando: 
 
Sempre que dois logaritmos de mesma base são iguais, obrigatoriamente os logaritmandos são 
iguais. 
loga 𝐱 = loga 𝐲 ⇔ 𝐱 = 𝐲 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Podemos igualar os logaritmandos na equação logarítmica, devido ao fato de o logaritmo 
representar uma relação de injeção7 significando que não existem dois logaritmos de mesma base e 
logaritmandos diferentes, com o mesmo resultado. Ou seja, se logaritmo de x na base 3 (log3 x) é 
igual ao logaritmo de 5 na base 3 (log3 5) então obrigatoriamente o valor de x é igual a 3. 
 
 O mesmo fato não ocorre em equações quadráticas. Por exemplo, se x² = 2² não significa que 
o valor de x obrigatoriamente é igual a 2, pois se o valor de x for igual a (- 2) a igualdade continua 
verdadeira. Ou seja, a equação possui duas soluções. 
 
 
5 - Logaritmo neperiano 
 O logaritmo neperiano ou também chamado de logaritmo natural é um logaritmo com base 
especial, a constante neperiana "e" que possui valor aproximadamente 2,7, ou seja, e ≈ 2,7. Todo 
logaritmo neperiano possui uma representação especial, veja alguns exemplos: 
 
log𝐞 5 = 𝐥𝐧 5 
 
log𝐞 2 = 𝐥𝐧 2 
 
log𝐞 20 = 𝐥𝐧 20 
 
Portanto, o logaritmo neperiano é abreviado através da sigla " ln " e a base neperiana "e" fica omitida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dado um logaritmo qualquer loga b = x , se invertermos as posições da base e 
logaritmando, isto é, logb a , o resultado também será invertido. Observe abaixo a dedução do 
resultado onde utilizamos a mudança de base. 
 
 
7 Uma relação de injeção se refere às funções injetoras cujos elementos do domínio possuem imagens diferentes. Ou 
seja, se dois elementos possuem a mesma imagem, necessariamente eles são iguais. 
 
23 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
log𝐛 𝐚 =
log a
log b
=
1
log b
log a
=
1
log𝐚 𝐛
=
1
x
 
 
Portanto, 
log𝐛 𝐚 =
1
log𝐚 𝐛
 . 
 
 
 
 
 
 
 
(CESPE) Julgue o próximo item, relativos a funções exponenciais. 
 
Para a > 0 e a ... 1, a função f(x) = ax pode também ser expressa como 𝑓(x) = ex ln a. 
 
 
 
Comentários: 
Pela propriedade de logaritmo sabemos que eloge a = a, portanto eln a = a. Se elevarmos ambos 
os lados da igualdade anterior a "x" obtemos 
(eln a)
x
= 𝐚𝐱 
 
Por propriedade de potência temos que 
(eln a)
x
= ⅇ𝒙 𝒍𝒏 𝒂 
 
Então 𝐚𝐱 = ⅇ𝒙 𝒍𝒏 𝒂 ou seja 𝑓(x) = ex ln a. Portanto a questão está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 6 - Mapa mental logaritmo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
loga b = x ⇔ a
x = b 
loga a = 1 
loga 1 = 0 
logb a
𝐍 = 𝐍 ⋅ logb a 
aloga 𝐛 = 𝐛 
log𝐜(a ⋅ b) = log𝐜 a + log𝐜 b 
log𝐜 (
a
b
) = log𝐜 a − log𝐜 b 
logb a =
logc a
logc b
 
LOGARITMO 
loge x = ln x 
ⅇ ≈ 2,7 
loga x = loga y ⇔ x = y 
logb a =
1
loga b
 
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 
𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 
𝑏 > 0 
 
 
 
𝑎: 𝑏𝑎𝑠ⅇ 
b: logaritmando 
 
25 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 (CESPE - 2017) O número de Euler, nome dado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, 
é um número irracional denotado por e, cuja representação decimal tem seus 4 primeiros algarismos 
dados por 2,718. Esse número é a base dos logaritmos naturais, cuja função f(x) = lnx = loge x tem 
inúmeras aplicações científicas. 
A respeito desse assunto, julgue o item a seguir. 
A equação ln x = - 4 tem uma única solução. 
Comentários: 
Aplicando a definição de logaritmo na equação apresentada obtemos x = e−4. Não precisamos nos 
preocupar em cálculo o valor de x mas apenas perceber que este valor é único. Portanto a questão 
está correta. 
(FCC - 2015) O valor da expressão log2 16 + log4 8 + log8 4 é igual a: 
a) 5 
b) 23/2 
c) 37/6 
d) 5/4 
e)41/8 
Comentários: 
Precisaremos calcular os três logaritmos da expressão separadamente e somar os resultados. 
 
Sabemos que: 
log8 4 =
1
log4 8
 ⇒ 𝐥𝐨𝐠𝟖 𝟒 =
𝟐
𝟑
 
 
26 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Somando os resultados obtemos 
4 +
3
2
+
2
3
=
24 + 9 + 4
6
=
37
6
 
Gabarito letra C. 
 
(CESPE - 2010) Os números positivos a e b são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, 
respectivamente. Acerca desses números, julgue o item subsequente. 
A razão 
𝑏
𝑎
 é igual a 10. 
Comentários: 
A questão informa que 𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 0,01 e 𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 0,1. Então se aplicarmos a mudança de base temos: 
 
 
Como 100,09 ≠ 10, a questão está errada. 
(CESPE - 2010) Os números positivos a e b são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1, 
respectivamente. Acerca desses números, julgue o item subsequente. 
O logaritmo na base 10 do número 𝑎50 ⋅ 𝑏35 é igual a 4. 
 
 
 
 
 
27 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Comentários: 
Vamos aplicar as propriedades de logaritmo de potências e logaritmo de produto. 
 𝐥𝐨𝐠(𝐚𝟓𝟎 ⋅ 𝐛𝟑𝟓) = log a50 + log b35 
 
 50 ⋅ log a + 35 ⋅ log b = 0,5 + 3,5 = 𝟒 
 
Portanto, a questão está correta. 
(CESPE - 2007) Com relação a equações e funções de 1º e 2º graus e logaritmos, julgue o item que 
segue. 
A única solução da equação log2 x + log2 2 = 2 é x = 2. 
Comentários: 
Vamos aplicar a consequência da definição para logaritmo com base e logaritmando iguais e a 
definição. 
 
Portanto, a questão está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 (FGV) O valor de x que satisfaz a equação log (2x + 7) = log 2x + log 7 é um número: 
a) menor que 1/2 
b) entre 1/2 e 1 
c) entre 1 e 3/2 
d) entre 3/2 e 2 
e) maior que 2 
Comentários: 
Os logaritmos envolvidos são decimais. Vamos aplicar o logaritmo do produto no lado direito da 
equação e igualar os logaritmandos: 
 
Portanto, temos: 
2x + 7 = 14x 
7 = 12x 
𝟕
𝟏𝟐
= 𝐱 
 
Dividindo 7 por 12 obtemos 0,58333... que está entre 1/2 e 1. Portanto, gabarito letra b. 
 
 
 
 
 
29 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Função Logarítmica 
 Finalmente chegamos na função logarítmica e como recordamos tudo sobre potenciação, 
equação exponencial e logaritmo vai ficar bem mais fácil. Vamos pra cima! 
 Antes de estudarmos os detalhes da função logarítmica é importante destacarmos que toda 
função em matemática representa uma relação de dependência entre duas variáveis, sendo que 
esta relação pode ser representada graficamente no plano cartesiano ou através de uma expressão 
matemática. 
 É importante lembrar que toda função possui domínio e imagem. 
• Domínio: é o conjunto onde a função está definida, isto é, onde ela existe e podemos realizar 
os cálculos com a sua expressão. Cada elemento do domínio possui uma imagem. Para função 
logarítmica, o domínio é similar à condição de existência do logaritmo. 
 
• Imagem: é o conjunto formado por todas as imagens de todos os elementos do domínio. 
 
• Gráfico: toda função pode ser representada através de um gráfico no plano cartesiano. O 
gráfico é formado por pares ordenados (x,y), sendo x um valor do domínio e y um valor da 
imagem. O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares. Os valores x do 
domínio são marcados no eixo horizontal X ou eixo das abcissas e os valores y das imagens 
são marcados no eixo vertical Y ou eixo das ordenadas. 
 
1 - Forma geral 
 Toda função logarítmica possui a variável sempre no logaritmando e consequentemente o 
valor do logaritmo (ou valor da função), será variável. O padrão da função logarítmica é: 
f(x) = loga x 
 sendo que x representa os valores do domínio e f(x) ou y representam os valores das imagens. 
 Note que a base do logaritmo não é variável, ou seja, será sempre um valor constante. A 
condição de existência do logaritmo se estende é claro para função logarítmica então para a função 
acima temos: 
• logaritmando sempre real positivo: x > 0 
Daí definimos o DOMÍNIO da função logarítmica sendo: {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 0} 
 
• base real, positiva e diferente de 1: 𝑎 ∈ ℝ , 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 
 
 
30 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 2 - Gráfico e crescimento 
 Vejamos alguns exemplos de funções logarítmicas e o comportamento de seus gráficos. 
Começaremos com uma função logarítmica com base maior que 1: 
a) y = log2 x 
x y (x, y) 
𝟏
𝟖
 log2 (
1
8
) = −𝟑 (
1
8
, −3) 
𝟏
𝟒
 log2 (
1
4
) = −𝟐 (
1
4
, −2) 
𝟏
𝟐
 log2 (
1
2
) = −𝟏 (
1
2
, −1) 
𝟏 log2 1 = 𝟎 (1,0) 
𝟐 log2 2 = 𝟏 (2,1) 
𝟒 log2 4 = 𝟐 (4,2) 
𝟖 𝑙𝑜𝑔2 8 = 𝟑 (8,3) 
 Agora vamos colocar os valores dos pares ordenados (x,y) no plano cartesiano para 
conhecermos o gráfico e o comportamento dessa função. 
 
f(x) = log2 x 
y 
x 
 
31 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Note que o gráfico possui um comportamento crescente, isto é, conforme aumentamos o 
valor de x, o valor de y também aumenta. Posso te garantir que esse comportamento sempre ocorre 
em funções logarítmicas que possuem a base maior que 1. 
 É importante destacarmos as seguintes características do gráfico: 
• Domínio: {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 0}. Note que os valores de x no gráfico percorrem apenas o lado 
direito do eixo horizontal (eixo X) o que representa apenas os valores reais positivos para o 
domínio. 
 
• Interseção com eixo Y: O ponto ou par ordenado (x, y) que a função intercepta o eixo Y 
necessariamente possui o valor de x = 0, isto é, (0, y). Mas note que o gráfico da função não 
"corta" o eixo Y pois x = 0 não pertence ao domínio, logo não existe valor de y (imagem) para 
x = 0. 
 
• Interseção com eixo X: O ponto ou par ordenado (x, y) que a função intercepta o eixo X 
necessariamente possui valor de y = 0, isto é, (x, 0). O gráfico da função "corta" o eixo X no 
ponto (1, 0). Podemos então afirmar que a raiz da função é x = 1 e, portanto, o gráfico da 
função sempre "corta" o eixo X no valor da sua raiz. 
 
• Imagem: todo conjunto dos números reais, portanto Im (f) = ℝ. Note que o valor de y no 
gráfico percorre todo o eixo vertical (eixo Y), o que significa que a imagem não possui 
nenhuma restrição, incluindo todos os valores reais negativos, nulo e positivos. 
 
b) Vejamos outro exemplo de função logarítmica, agora com base entre 0 e 1: 𝑦 = log1
2
x 
x y (x, y) 
𝟏
𝟖
 log1
2
(
1
8
) = 𝟑 (
1
8
, 3) 
𝟏
𝟒
 log1
2
(
1
4
) = 𝟐 (
1
4
, 2) 
𝟏
𝟐
 log1
2
(
1
2
) = 𝟏 (
1
2
, 1) 
𝟏 log1
2
1 = 𝟎 (1, 0) 
𝟐 log1
2
2 = −𝟏 (2, −1) 
𝟒 log1
2
4 = −𝟐 (4, −2) 
𝟖 𝑙𝑜𝑔1
2
8 = −𝟑 (8, −3) 
 
32 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Agora vamos novamente colocar os valores dos pares ordenados (x,y) no plano cartesiano 
para conhecermos o gráfico e o comportamento dessa função. 
 
 
É importante destacarmos as seguintes características do gráfico: 
• Domínio: permanece {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 0}. Portanto os valores de x no gráfico continuam 
percorrendo apenas o lado direito do eixo horizontal (eixo X) o que representa apenas os 
valores reais positivos para o domínio. 
 
• Interseção com eixo Y: o gráfico continua não "cortando" o eixo Y pois x = 0 continua não 
pertencendo ao domínio, logo não existe valor de y (imagem) para x = 0. 
 
• Interseção com eixo X: O par ordenado (x, y) que a função intercepta o eixo X continua sendo 
o ponto (1, 0) já que a raiz da função continuou sendo x = 1. 
 
• Imagem: a imagem continua sendo todos os números reais, já que o gráfico continua 
percorrendo todo o eixo Y. Portanto Im (f) = ℝ. 
 
Note que o gráfico possui um comportamento decrescente, isto é, conforme aumentamoso 
valor de x, o valor de y diminui. Posso te garantir que esse comportamento sempre ocorre em 
funções logarítmicas que possuem a base maior que 0 e menor que 1. 
 
f(x) = log1
2
x 
y 
x 
 
33 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 3 - Exponencial x Logaritmo 
 Lembra que mencionamos (equação exponencial e o logaritmo são "operações inversas") E 
que isso significa que as funções exponencial e logarítmica são inversas? 
 Quando duas funções são inversas isso significa que o domínio da inversa 𝒇−𝟏 está contido 
na imagem da 𝒇 e a imagem da 𝒇−𝟏 está contida no domínio da 𝒇. 
 
 Através desse conceito é possível determinar a imagem da função inversa, por 
exemplo, utilizando a expressão da função 𝑓 original. Vale destacar que toda função logarítmica é 
bijetora8, isto é, injetora e sobrejetora9. 
 
 
Os gráficos de duas funções inversas sempre são simétricos em relação ao gráfico da reta y 
= x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Vejamos a seguir o exemplo de duas funções inversas, uma 
sendo a função exponencial f(x) = 2x e a outra sendo a função logarítmica g(x) = log2 x. 
 
 
8 Toda função bijetora possui domínio e imagem com a mesma quantidade de elementos. 
9 Toda função possui o conjunto imagem contido no contra - domínio. Quando a função é sobrejetora, esses conjuntos 
são iguais. 
 
34 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
 
 
4 - Inequação logarítmica 
 As inequações logarítmicas ocorrem quando temos uma relação de desigualdade 
determinada pelos sinais < (menor), ≤ (menor ou igual), > (maior), ≥ (maior ou igual) e uma incógnita 
no logaritmando ou na base dos logaritmos envolvidos na inequação. 
 A lógica segue o mesmo princípio da equação logarítmica onde além de resolvermos a 
inequação devemos nos preocupar com a condição de existência do logaritmo. A inequação 
logarítmica se divide em dois casos, base maior que 1 e base entre 0 e 1: 
a) base maior que 1: 
log2 𝐱 > log2 𝐲 ⇒ 𝐱 > 𝐲 
log2 x > 3 ⇒ 𝐱 > 𝟐
𝟑 
 
Observe que em ambos os casos acima, o sinal da desigualdade foi preservado. Ou seja, em 
inequações deste tipo (base maior que 1), o sinal da desigualdade é sempre preservado. 
b) base entre 0 e 1: 
log1
2
𝐱 > log1
2
𝐲 ⇒ 𝐱 < 𝐲 
f(x) = 2x 
𝑦 = 𝑥 
g(x) = log2 x 
 
35 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
log1
2
x > 3 ⇒ 𝐱 < (
𝟏
𝟐
)
𝟑
 
Observe que em ambos os casos acima, o sinal da desigualdade foi invertido. Portanto, em 
inequações deste tipo (base entre 0 e 1), o sinal da desigualdade é sempre invertido. 
Resolva nos reais a inequação 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟐𝐱 − 𝟒) ≤ 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟏𝟐 
Comentários: 
Como a base do logaritmo é maior que 1, sabemos que o sinal da desigualdade vai ser preservado. 
Então começaremos resolvendo a inequação 2x - 4 ≤ 12: 
2x − 4 ≤ 12 
2x ≤ 16 
𝐱 ≤ 𝟖 
Agora precisamos verificar a condição de existência, onde sabemos que o logaritmando precisa ser 
maior que zero. Neste caso, teremos outra desigualdade. 
2x − 4 > 0 
2x > 4 
𝐱 > 𝟐 
Portanto a solução final precisa necessariamente satisfazer as duas desigualdades encontradas, 𝐱 ≤
𝟖 e 𝐱 > 𝟐 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 ≤ 8 
𝑥 > 2 
Solução final está neste intervalo 
Bola aberta: 2 está fora da 
solução. 
 
Bola fechada: 8 está dentro da solução! 
 
36 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Solução final na forma de desigualdade: {𝒙 ∈ ℝ | 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟖} 
Solução final na forma de intervalo: ]2 , 8] ou (2,8] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Questões comentadas 
Função logarítmica 
1- (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de determinada cidade, 
com idades que variam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula ( )ih .10log 7,0= , em que h é a altura, em 
metro, e i é a idade, em ano. Pela fórmula, uma criança de 10 anos dessa cidade terá a altura de: 
a) 120cm 
b) 123cm 
c) 125cm 
d) 128cm 
e) 130cm 
 
Comentários: 
Para descobrir a altura h basta fazermos a substituição da incógnita i por 10 (i = 10), na fórmula 
apresentada, transformar o radical em potência, aplicar produto de potências e por fim, logaritmo 
de uma potência. 
 
log 100,7 ⋅ 100,5 = log 101,2 = 1,2 
 
 
Como o enunciado informa que a fórmula indica a altura em metros, o resultado acima corresponde 
a 1,2m. Convertendo para centímetros obtemos 120 cm. Gabarito letra A. 
 
2- (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após 
a liberação de um predador em seu ambiente, e expresso pela seguinte função: 
( )4
55
xlog)x(f 3= . 
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no 
ambiente será igual a: 
a) 3 
b) 4 
c) 300 
 
38 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 d) 400 
Comentários: 
Começaremos transformando a base do logaritmo em potência, em seguida substituiremos a 
incógnita x por 5 (x = 5) e aplicaremos a definição de logaritmo. 
 
 
Obtemos uma equação exponencial cujo passo final é igualar os expoentes. 
4𝑥
3
= 4 ⇒ 𝒙 = 𝟑 
O enunciado informa que a fórmula indica as centenas de indivíduos, portanto o resultado 
encontrado acima representa 3 centenas de indivíduos que correspondem a 300 indivíduos. 
Gabarito letra C. 
3- (UERJ) A relação entre as coordenadas x e y de um corpo em movimento no plano é dada por y 
= 10log x. O gráfico correspondente a esta relação é: 
 
 
 
39 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Comentários: 
Aplicando a propriedade "logaritmo como expoente" na expressão dada obtemos: 
y = 10log x ⇒ 𝐲 = 𝐱 
A expressão y = x corresponde ao gráfico de uma reta que passa na origem (0,0). Pela condição de 
existência de logaritmo, sabemos que o x precisa ser maior que zero, portanto, o gráfico está 
definido apenas no lado direito do eixo horizontal. Portanto, gabarito letra A. 
4- (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, 
atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a 
seguir. 
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. 
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: 
 T(x) = T0 ⋅ (0,5)
0,1x 
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que 
a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: 
(A) 30 
(B) 32 
(C) 34 
(D) 36 
Comentários: 
Vamos indicar o nível de toxidez inicial por Ti. Como a questão informou, o nível de toxidez T0, 
correspondente a dez vezes o nível inicial, portanto 𝐓𝟎 = 𝟏𝟎 ⋅ 𝐓𝐢. Vamos substituir então T0 por 
10Ti na fórmula dada, e T(x) por Ti para encontrarmos o tempo x que levará para toxidez retornar ao 
valor inicial. 
 
 
40 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Aplicaremos o logaritmo em ambos os lados da equação final obtida para utilizarmos o dado que log 
2 = 0,3: 
log 10−1 = log 2−0,1x 
−1 = −0,1x ⋅ log 2 
−1 = −0.03x 
𝐱 =
1
0,03
=
100
3
= 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑 … 
Como obtemos como resultado para x a dízima periódica 33,333... que é maior que 33, significa que 
a menor quantidade de dias necessários serão 34. Gabarito letra C. 
5- (UFAL) A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é 








=
0
10log
I
I
R com I0 sendo a intensidade de um abalo quase imperceptível e I a intensidade de 
um terremoto dada em termos de um múltiplo de I0 . Se um sismógrafo detecta um terremoto com 
intensidade I = 32000I0 , qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais 
próximo. 
Dado: use a aproximação 30,02log10 = . 
a) 3,0 
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
e) 5,0 
 
Comentários: 
Faremos a substituição de I = 32000 I0 na expressão dada: 
 
 
Agora aplicaremos as propriedades de logaritmo no log32000 e a substituição do 30,02log10 = : 
log 32000 = log 32 + log 1000 
= log 25 + log 103 
 
41 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 5 ⋅ log 2 + 3 ⋅ log 10 = 1,5 + 3 = 4,5 
Gabarito letra D. 
6- (UNEB-BA) Considerando-se as funções reais )1(log)( 3 += xxf , xxg 2log)( = e xxh 4log)( = , 
pode-se afirmar que o valor de )25()125,0()26( hgf +− é: 
a) 8 
b) 2 
c) 0 
d) -2 
e) -3 
 
Comentários: 
Faremos as substituições dos valores 26; 0,125 e 25 nas expressões das funções f, g e h 
respectivamente para calcularmos cada logaritmo individualmente. 
 
f(26) = log3(26 + 1) = log3 27 = 𝟑 
g(0,125) = log2 0,125 = log2 (
1
8
) = log2 1 − log2 8 = 0 − 3 = −𝟑 
h(25) = log(4 ⋅ 25) = log 100 = 𝟐 
Fazendo as operações indicadas temos 3 - (-3) + 2 = 3 + 3 + 2 = 8. Gabarito letra A. 
7- (UFPA) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas 
funções: ( )54 2log)( ttA += e B(t) = log2(2t + 4)
2, nas quais a variável t representa o tempo em 
anos. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a: 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
Comentários: 
Começaremos mudando os logaritmos para base 10 e igualando as expressões: 
 
42 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
 
Podemos agora igualar os logaritmandos: 
(2 + t)5 = (2t + 4)4 
(2 + t)5 = 16 ⋅ (2 + t)4 
2 + t = 16 ⇒ 𝐭 = 𝟏𝟒 
Gabarito letra E. 
8- (UNIFESP) Uma droga na corrente sanguínea é eliminada pela ação dos rins. Admita que, 
partindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após t horas a quantidade da droga no 
sangue fique reduzida a Q(t) = Q0.(0,64)t. Determine o tempo necessário para que a quantidade 
inicial da droga fique reduzida à metade. (Utilize log 2 = 0,30). 
a) 1h 
b) 1,5h 
c) 2h 
d) 2,5h 
e) 3h 
Comentários: 
Faremos a substituição de Q(t) por 
𝑸𝟎
𝟐
 na expressão dada: 
Q0
2
= Q0 ⋅ (0,64)
t 
2−1 = (0,64)t 
Aplicaremos agora o logaritmo em ambos os lados da equação obtida. 
log 2−1 = log(0,64)t 
−1 ⋅ 0,3 = t ⋅ log (
64
100
) 
 
43 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 −0,3 = t ⋅ (6 log 2 − 2 log 10) 
𝑡 =
0,3
0,2
=
3
2
= 𝟏, 𝟓 
Gabarito letra B. 
9- (FCC - 2006) Após a realização de uma campanha, o número de armas apreendidas em operações 
policiais passou a diminuir à razão de 10% ao ano. Se o número de armas apreendidas no ano 
anterior à campanha foi de 40.000, depois de quanto tempo, a partir dessa data, o número de 
armas apreendidas será igual a 25.000, mantida a taxa de diminuição anual? 
 
Dados: 
log2 = 0,30 
log3 = 0,48 
a) 2 anos e 6 meses 
b) 3 anos 
c) 3 anos e 6 meses 
d) 4 anos e 3 meses 
e) 5 anos 
Comentários: 
Reduzir 10% significa manter 90%, que corresponde a multiplicar por 0,9. Então se vamos 
sempre reduzindo 10%, significa que vamos multiplicando o valor inicial por 0,9. Isso nos dá a 
seguinte expressão: 
Valor final = valor inicial x (0,9)t 
Sendo t o tempo em meses, que corresponde a quantidade de vezes que multiplicaremos por 0,9. 
Então de acordo com os dados da questão temos a seguinte equação final para resolver: 
25.000 = 40.000 ⋅ (0,9)𝑡 
5
8
= (0,9)𝑡 
Apliquemos o logaritmo na equação anterior: 
log (
5
8
) = log(0,9)t 
 
44 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 log 5 − log 8 = t ⋅ log(0,9) 
log
10
2
− 3 log 2 = t ⋅ (2 log 3 − log 10) 
log 10 − 4 log 2 = t ⋅ (2 log 3 − log 10) 
t =
0,2
0,04
= 𝟓 
Gabarito letra E. 
10- (CESPE - 2006) Mesmo com todas as técnicas pedagógicas disponíveis, a experiência do 
professor em sala de aula é fundamental. Considere que a relação entre experiência do professor 
e o aproveitamento dos alunos em sala de aula possa ser modelada por uma função do tipo 𝐍(𝐭) =
𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝐞−
𝐭
𝟐𝟎, em que N(t) é a porcentagem da aula que foi aproveitada pela classe, e t, medido 
em anos, é o tempo de experiência do professor. Com base nessas informações e considerando 
𝟏
ⅇ
=
𝟎, 𝟑𝟕, julgue o item que se segue. 
 
Escrevendo-se N(t) = y e com base no modelo apresentado, é possível obter-se uma nova expressão 
para o modelo em que o tempo t pode ser expresso por uma função de y, de acordo com a relação 
𝐭 = 𝐥𝐧 (
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎 − 𝐲
)
𝟐𝟎
 
 
Comentários: 
Primeiro faremos a troca de N(t) por y na expressão dada e organizar para aplicar o logaritmo: 
y = 100 − 50e−
t
20 
e−
t
20 =
100 − 𝑦
50
 
ⅇ
𝑡
20 =
50
100 − 𝑦
 
Agora aplicaremos o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação e isolaremos o t: 
ln e
t
20 = ln (
50
100 − y
) 
 
45 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 t
20
= ln (
50
100 − y
) 
𝐭 = 20 ⋅ ln (
50
100 − y
) = 𝐥𝐧 (
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎 − 𝐲
)
𝟐𝟎
 
Questão está correta. 
11- (CESPE) A modelagem matemática pode ser considerada tanto como um método científico de 
pesquisa quanto como uma estratégia de ensino aprendizagem da matemática. 
Segundo Bassanezi, ela consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas 
matemáticos e resolvê-los interpretando-se suas soluções na linguagem do mundo real. 
Entre os modelos que podem ser utilizados para resolver problemas relacionados à estimativa do 
crescimento de determinada população, estão aqueles que envolvem funções exponenciais e 
logarítmicas, tal qual o apresentado a seguir, em que a população P(t) em determinada região de 
um país é expressa em termos de t anos a partir de 2005, ou seja, t = 0 corresponde ao ano 2005, t = 
1, ao ano 2006 etc. Suponha que: 
𝐏(𝐭) =
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟓𝐞𝐤𝐭
 
em que k é um número real. 
 
Considerando-se ainda as informações do texto e sabendo-se que a população modelada por P(t), 
em 2006, era igual a 120.000 habitantes, então o valor de k na expressão apresentada é igual a: 
 
a)
ln 3
ln 2
 
 
b)
2 ln 2
3ln 3
 
 
c) 3 ln3 − ln 2 
 
d) 3 ln2 − ln 3 
Comentários: 
Como em 2006 a população era de 120.000 habitantes, para t = 1 temos P(1) = 120.000. Fazendo a 
substituição na expressão e "cortando 4 zeros de cada lado" temos: 
200.000
1 + 0,25ek
= 120000 
 
46 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
1 + 0,25ⅇ𝑘 =
20
12
 
 
 
Vamos isolar o termo ek na equação acima para em seguida isolar o k: 
 
1
4
ⅇ𝑘 =
5
3
− 1 ⇒ ⅇ𝒌 =
𝟖
𝟑
 
 
 
Aplicando logaritmo neperiano na equação acima obtemos: k = 3ln2 - ln3. Gabarito letra D. 
 
12- (CESPE) Um aparelho eletrônico é capaz de, após o registro de algumas medições, determinar 
a área A, em m² de uma região, fornecendo ao agrimensor o valor 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝐀, o logaritmo na base 10 
dessa área. Com base nessas informações, julgue o item subsequente. 
 
Considere que a região a ser medida tem a forma de um triângulo retângulo com catetos a e b. 
Se a = 1 km e 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝐀 = 0, então b = 1 km. 
Comentários: 
A área de um triângulo retângulo sempre pode ser calculada pela metade do produto dos seus 
catetos, portanto, A = 
𝑎𝑏
2
. Como log10 A = 0, aplicando a definição de logaritmo obtemos que A = 
1m². Como a = 1km = 1000m e A = 1m², temos 
1 =
1000 ⋅ b
2
⇒ 𝐛 =
𝟐
𝟏𝟎𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝐦 ≠ 𝟏𝐤𝐦 (𝟏𝟎𝟎𝟎𝐦) 
Questão está errada. 
13- (UFGD - MS) Certo componente eletrônico processa n bits em 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎(𝐧) milissegundos. Sabendo 
que log (5) = 0,699, pode-se concluir que 64 bits serão processados em: 
a) 1,398 milissegundos 
b) 1,806 milissegundos 
c) 2,398 milissegundos 
d) 2,709 milissegundos 
e) 1,866 milissegundos 
 
47 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Comentários: 
log 64 = log 26 = 6 log 2 
Usando log 2 = log (
10
5
) = 1 − log 5: 
6 ⋅ (1 − 0,699) = 1,806 
Gabarito letra B.14- (UFMG) Seja 
45log15log2 228
−
=n . Então o valor de n é: 
a) 52 
b) 83 
c) 25 
d) 53 
 
Comentários: 
82 log2 15
8 log2 45
=
(26)log2 15
(23) log2 45
=
(2log2 15)
6
(2log2 45)3
=
156
453
=
153 ⋅ 153
33 ⋅ 153
= (
15
3
)
3
= 𝟓³ 
Gabarito letra D. 
15- (MACK-SP) O valor de 





ab
1
log sabendo que a e b são raízes da equação 01072 =+− xx , é: 
a) 2 
b) -1 
c) -1/2 
d) 1 
e) 1/2 
Comentários: 
Antes de aplicarmos os conhecimentos sobre logaritmo precisamos lembrar da fórmula do produto 
das raízes de uma equação quadrática ax² + bx + c = 0. O produto das raízes é dado pela fórmula 
𝑃 =
𝑐
𝑎
 
Sendo "c" o termo independente e "a" o coeficiente do termo quadrático. 
 
48 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Com isso, conseguimos calcular o valor do produto "ab" das raízes da equação 01072 =+− xx 
ficando P = 10. Substituindo este valor no logaritmo dado temos: 
log (
1
10
) = log 10−1 = −1 ⋅ log 10 = −𝟏 
Gabarito letra B. 
16- (UFC -CE) O valor exato da soma 





++





+





+





100
99
log...
4
3
log
3
2
log
2
1
log é: 
a) 0 
b) -1 
c) -2 
d) 2 
e) 3 
Comentários: 
A soma de logaritmos de mesma base pode ser transformada no logaritmo do produto de todos os 
logaritmandos (conservando a base): 
 
Note que aplicando o cancelamento no logaritmo final obtido, ficamos com o seguinte logaritmo 
final: 
log (
1
100
) = log 10−2 = −𝟐 
Gabarito letra C. 
17- (UPE) Sabendo-se que 𝟐𝟒𝒙+𝟑 = 𝟑 e que log2 = m e log3 = n, é correto afirmar que: 
a) 𝑥 =
(𝑛−3𝑚)
4𝑛
 
b) 𝑥 =
(𝑛−3𝑚)
4𝑚
 
c) 𝑥 =
𝑛
𝑚
−
𝑚
𝑛
 
d) 𝑥 =
𝑚
𝑛
−
𝑛
𝑚
 
 
49 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 e) 𝑥 =
4+𝑛
𝑚
 
Comentários: 
O objetivo é isolar o x, então começaremos aplicando o logaritmo na base 10 em ambos os lados da 
equação dada: 
𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟒𝐱+𝟑 = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 
Agora aplicamos a propriedade do logaritmo de uma potência, substituímos os logaritmos 
informados e isolamos o x. 
(4x + 3) ⋅ log 2 = log 3 
4x + 3 =
n
m
 
4x =
n
m
− 3 ⇒ 4x =
n − 3m
m
 
𝐱 =
𝐧 − 𝟑𝐦
𝟒𝐦
 
Gabarito letra B. 
18- (AV MOREIRA) Utilizando seus conhecimentos sobre Logaritmos, determine o valor da 
expressão log₂ 15. Sabendo que log₈ 225 = 𝑎. 
a)
√a
4
 
b) 
𝑎
4
 
c) 
3𝑎
2
 
d) 
2𝑎
3
 
Comentários: 
A questão quer o valor do log₂ 15 em função de a sabendo que log₈ 225 = 𝑎. Então precisaremos 
aplicar a mudança de base no log₈ 225, mudando para base 2: 
 
50 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
log8 225 =
log2 225
log2 8
=
log2 15
2
log2 23
=
𝟐 ⋅ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟏𝟓
𝟑 ⋅ 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟐
 
Agora podemos igualar a expressão final obtida ao "a": 
2 log2 15
3
= a ⇒ log2 15 =
𝟑𝐚
𝟐
 
Gabarito letra C. 
 
19- (CESPE) Julgue o próximo item, relativo a funções exponenciais. 
 
Para x > 0, a função f(x) = lnx, em que a inversa é 𝐠(𝐱) = 𝐞𝐱 , é tal que 𝐱 = 𝐞𝐟(𝐱) = 𝐥𝐧 𝐠(𝐱). 
Comentários: 
Como f(x) = lnx, pela propriedade de logaritmo como potência, temos que 𝐞𝐟(𝐱) = eln x = 𝐱 . E como 
𝐠(𝐱) = 𝐞𝐱, pela propriedade de logaritmo de potências temos: 
𝐥𝐧 𝐠(𝐱) = ln ex = x ⋅ ln e = 𝐱 
Portanto podemos garantir que 𝐱 = 𝐞𝐟(𝐱) = 𝐥𝐧 𝐠(𝐱). A questão está correta. 
20 - (UFRR) Sejam a e b números reais positivos tais que 𝐥𝐨𝐠𝐛(√𝐚𝐛
𝟓
) = 𝟓. Então: 
a) logb a = 2
5 
b) logb a = 25 
c) logb a = 10 
d) logb a = 24 
e) logb a = √25 
Comentários: 
Vamos aplicar as propriedades logaritmo de potências e logaritmo de produto no logb(√ab
5
): 
logb(√ab
5
) =
1
5
⋅ logb(ab) =
1
5
logb a +
1
5
logb b =
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 + 𝟏
𝟓
 
Por fim, vamos igualar à 5, o resultado final obtido acima: 
 
51 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 logb a + 1
5
= 5 ⇒ 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝟐𝟒 
Gabarito letra D. 
21 - (FGV) Admita que a oferta S e demanda D de uma mercadoria sejam dadas em função de x real 
pelas funções 𝐒(𝐱) = 𝟒𝐱 + 𝟐𝐱+𝟏 e 𝐃(𝐱) = −𝟐𝐱 + 𝟒𝟎. Nessas condições, a oferta será igual à 
demanda para x igual a: 
 a)
1
log 2
 
b) 
2 log 3
log 2
 
c) (
log 2 + log 3
log 2
) 
d) (
1 − log 2
log 2
) 
e) 
log 3
log 2
 
Comentários: 
Precisamos igualar as expressões S(x) e D(x) e fazer uma mudança de variável, 2x = y: 
4x + 2x+1 = −2x + 40 
(2x)2 + 2x ⋅ 2 = −2x + 40 
𝐲𝟐 + 𝟑𝐲 − 𝟒𝟎 = 𝟎 
Precisamos calcular as raízes da equação quadrática acima. Neste caso, podemos usar as fórmulas 
de soma e produto: 
y1 + y2 = −
b
a
= −3 
y1 ⋅ y2 = −40 
Temos que a soma de dois números é - 3 e o produto desses números é - 40. Então esses números 
só podem ser 5 e (-8), que, portanto, são as raízes da equação quadrática. Por fim, vamos substituir 
esses valores em 2x = y: 
 
52 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 2x = 5 
log 2x = log 5 
x =
log 5
log 2
=
log (
10
2 )
log 2
=
log 10 − log 2
log 2
=
𝟏 − 𝐥𝐨𝐠 𝟐
𝐥𝐨𝐠 𝟐
 
Note que a equação 𝟐𝐱 = −𝟖 não tem solução. Gabarito letra D. 
22 - (UEM - PR) Para a função f de uma variável real definida por 𝐟(𝐱) = 𝐚 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎(𝐱 − 𝐛), em que a 
e b são números reais, a ≠ 0 e x > b, sabe-se que f(3) = 0 e f(102) = -6. Sobre o exposto, é correto: 
a) a + b = -1 
b) a + b = -6 
c) a + b = 105 
d) a - b = 5 
e) b - a = 2 
Comentários: 
Vamos substituir os valores de x = 3 e x = 102 na expressão da f(x) para utilizarmos os valores dados 
de f(3) e f(102). 
f(3) = 0 
a ⋅ log(3 − b) = 0 
O enunciado afirma que a ≠ 0, então 𝐥𝐨𝐠(𝟑 − 𝐛) = 𝟎 ⇒ 3 − b = 1 ⇒ 𝐛 = 𝟐 
f(106) = -6 
a ⋅ log(102 − b) = −6 
a ⋅ log 100 = −6 
2a = −6 ⇒ 𝐚 = −𝟑 
Então, a + b = - 1. Gabarito letra A. 
23 - (UNESP) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e 
transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em 
 
53 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 quilômetros, detectada pelo altímetro de um avião, seja dada, em função da pressão atmosférica 
p, em atm, por 𝐡(𝐩) = 𝟐𝟎 ⋅ 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (
𝟏
𝐩
). Num determinado instante, a pressão atmosférica 
medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log 2 = 0,3, a altitude h do avião 
nesse instante, em quilômetros, era de: 
a) 5 
b) 8 
c) 9 
d) 11 
e) 12 
Comentários: 
Precisamos calcular h(0,4): 
20 ⋅ log (
1
0,4
) = 20 ⋅ log (
10
4
) = 20 ⋅ (log 10 − log 4) 
 = 20.0,4 = 𝟖 
Gabarito letra B. 
24- (UECE) A função inversa da função real de variável real definida por 𝐟(𝐱) = 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝐱 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟖, 
onde x > 0, é definida por: 
a) f −1(x) = 2
x
3 − 3 
b) f −1(x) = 2
x
3 
c) f −1(x) = 2
x
3
+1 
d) f −1(x) = 2
x
3
−1 
Comentários: 
Para descobrir a expressão da inversa 𝐟−𝟏 de qualquer função, sempre devemos trocar a posição de 
X e Y, e isolar o Y: 
x = 3 log2 y + log2 8 
 
54 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
log2 y =
x − 3
3
⇒ y = 2
x−3
3 = 𝟐
𝐱
𝟑
−𝟏 
Gabarito letra D. 
25- (FUVEST) Seja 𝐟(𝐱) = 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟑𝐱 + 𝟒) − 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟐𝐱 − 𝟏). Os valores de x, para os quais f está 
definida e satisfaz f(x) > 1, são: 
a) x <
7
3
 
b) 
1
2
< x 
c) 
1
2
< x <
7
3
 
d) −
4
3
< x 
e) −
4
3
< x <
1
2
 
Comentários: 
Vamos primeiro começar resolvendo a inequação logarítmica f(x) > 1. Depois vamos avaliar a 
condição de existência de logaritmo envolvidos e por fim, faremos a interseção de todas as soluções. 
𝑙𝑜𝑔3(3𝑥 + 4) − 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥 − 1) > 1 
𝑙𝑜𝑔3 (
3𝑥 + 4
2𝑥 − 1
) > 1 ⇒
3𝑥 + 4
2𝑥 − 1
> 31 
3𝑥 + 4
2𝑥 − 1
− 3 > 0 ⇒
3𝑥 + 4 − 6𝑥 + 3
2𝑥 − 1
> 0 ⇒
−𝟑𝒙 + 𝟕
𝟐𝒙 − 𝟏
> 𝟎 
Precisamos agora estudar o sinal da inequação quociente acima, avaliando o sinal individualmente 
de cada termo da fração e depois fazendo a interseção: 
Numerador: −𝟑𝐱 + 𝟕 = 𝟎 ⇒ 𝐱 =
𝟕
𝟑
 
 
 
55 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA𝐃𝐞𝐧𝐨𝐦𝐢𝐧𝐚𝐝𝐨𝐫: 2x − 1 = 0 ⇒ x =
1
2
 
 
 
 
 
 Por fim a divisão: 
−𝟑𝒙+𝟕
𝟐𝒙−𝟏
> 𝟎 
 
Sabemos agora que no intervalo real com 
𝟏
𝟐
< 𝒙 <
𝟕
𝟑
 temos 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟑𝐱 + 𝟒) − 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝟐𝐱 − 𝟏) > 𝟏. 
Então precisamos agora verificar quais "trechos" dos intervalos da condição de existência estão 
contidos no intervalo acima. 
𝐏𝐫𝐢𝐦𝐞𝐢𝐫𝐨 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫𝐢𝐭𝐦𝐚𝐧𝐝𝐨: 3𝑥 + 4 > 0 ⇒ 𝒙 > −
𝟒
𝟑
 
 
𝐒𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫𝐢𝐭𝐦𝐚𝐧𝐝𝐨: 2x − 1 > 0 ⇒ 𝐱 >
𝟏
𝟐
 
 
Fazendo a interseção final dos dois intervalos acima: 
 
56 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
 
Por fim, a interseção final da solução e condição de existência: 
 
O intervalo correspondente à solução final é 
1
2
< 𝑥 <
7
3
. Gabarito letra C. 
26- (Unimontes - MG) Acrescentando-se 16 unidades a um número, seu logaritmo na base 3 
aumenta 2 unidades. Esse número é: 
a) 3 
b) 4 
c) 2 
d) 8 
Comentários: 
Vamos considerar que o logaritmo de um número qualquer x na base 3, tenha resultado y: 
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝐱 = 𝐲. Pela definição de logaritmo, temos que 𝟑
𝐲 = 𝐱. Agora vamos acrescentar as 16 unidades 
em x e aumentar 2 umidades em y: 
log3(x + 16) = y + 2 
3y+2 = x + 16 
3y ⋅ 32 = 3y + 16 
8 ⋅ 3y = 16 
 
57 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 3y = 2 ⇒ 𝐱 = 𝟐 
Gabarito letra C. 
27- (PUC - RS) A solução real para a equação 𝒂𝒙+𝟏 =
𝒃
𝒂
, com a > 0, a ≠ 1 e b > 0, é dada por: 
a) loga b 
b) loga(b + 1) 
c) loga(b) + 1 
d) loga(b) + 2 
e) loga(b) − 2 
Comentários: 
Primeiro começaremos passando a letra "a" na equação dada, que está dividindo, para o outro lado 
multiplicando. 
ax+1 ⋅ a = b ⇒ 𝐚𝐱+𝟐 = 𝐛 
Agora vamos aplicar logaritmo na base "a" na equação exponencial acima. 
loga a
x+2 = loga b ⇒ (x + 2) ⋅ loga a = loga b 
 𝐱 = 𝐥𝐨𝐠𝐚 𝐛 − 𝟐 
Gabarito letra E. 
 
 
28 - (UEPB) Para que 𝐥𝐨𝐠𝐱−𝟑(𝟔 − 𝐱) esteja definido, devemos ter: 
a) 3 ≤ x ≤ 6 
b) 3 < x < 6 
c) 3 ≤ x ≤ 6 e x ≠ 4 
d) 3 < x < 6 e x ≠ 4 
e) 3 ≤ x < 6 
 
58 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Comentários: 
Precisamos aplicar a condição de existência do logaritmo, no logaritmando e base do logaritmo dado. 
Lembre-se que logaritmando deve ser positivo e a base deve ser positiva e diferente de 1: 
Logaritmando: 
6 − x > 0 ⇒ 𝐱 < 𝟔 
𝑥 − 3 > 0 ⇒ 𝒙 > 𝟑 
𝑥 − 3 ≠ 1 ⇒ 𝒙 ≠ 𝟒 
Esquematizando as 3 desigualdades acima: 
 
Portanto para satisfazer a condição de existência, o valor de x precisa estar no intervalo (3,6) e precisa 
ser diferente de 4, ou seja, 3 < x < 6 e x ≠ 4. Gabarito letra D. 
29 - (FGV) O valor 𝟓− 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑⋅𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟕é: 
a) 1/3 
b) 3 
c) 7 
d) 1/7 
e) 1/5 
Comentários: 
Vamos aplicar propriedade de potência (potência de potência) e propriedade de logaritmo 
(logaritmo como expoente): 
 
59 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
𝟓− 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑⋅𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟕 = [(5log5 3)
log3 7
]
−1
= (3log3 7)
−1
=
𝟏
𝟕
 
Gabarito letra D. 
30 - (Uncisal - AL) Se 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝐱 − 𝐲) = 𝐩 e x + y = 81, então 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝐱
𝟐 − 𝐲𝟐) é igual a: 
a) 4 + p 
b) 2 + p 
c) 4p 
d) 2p 
e) 81 + p 
Comentários: 
Primeiro vamos aplicar a definição no logaritmo dado: 
log3(x − y) = p ⇒ 𝟑
𝐩 = 𝐱 − 𝐲 
Agora vamos expandir o logaritmo 𝐥𝐨𝐠𝟑(𝐱
𝟐 − 𝐲𝟐) usando a fatoração pela diferença de dois 
quadrados no logaritmando, em seguida fazemos as substituições. 
log3(𝐱
𝟐 − 𝐲𝟐) = log3(x + y) ⋅ (x − y) = log3(x + y) + log3(x − y) = log3 81 + log3 3
P = 4 + p 
Gabarito letra A. 
31 - (UFES) Sabe-se que log 3 = 0,477, aproximado até a terceira casa decimal. O número de 
algarismos do inteiro 𝐍 = 𝟑𝟎𝟑𝟎 é igual a: 
a) 43 
b) 44 
c) 45 
d) 46 
e) 47 
Comentários: 
 
60 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Para descobrirmos a quantidade de algarismos de qualquer número, uma ótima ESTRATÉGIA é 
escrever este número como potência de 10, pois assim ficará fácil contar a quantidade de algarismos. 
Por exemplo, 10 possui 2 algarismos, 100 possui 3 algarismos, 1000 possui 4 algarismos e assim 
sucessivamente. Portanto precisamos transformar 𝟑𝟎𝟑𝟎 em potência de 10. Para isso vamos utilizar 
o log 3 = 0,477 informado: 
log 3 = 0,477 ⇒ 3 = 100,477 
Agora vamos desenvolver a potência 𝟑𝟎𝟑𝟎 até conseguimos utilizar o resultado encontrado acima e 
consequentemente determinar a quantidade de algarismos: 
3030 = (3 ⋅ 10)30 = 330 ⋅ 1030 
330 ⋅ 1030 = (100,477)30 ⋅ 1030 
 = 1014,31 ⋅ 1030 = 𝟏𝟎𝟒𝟒,𝟑𝟏 
Como 𝟏𝟎𝟒𝟒 possui 45 algarismos (44 zeros e um algarismo 1), o resultado encontrado para N = 
𝟏𝟎𝟒𝟒,𝟑𝟏 permanece com 45 algarismos. 
Gabarito letra C. 
32 - (NC UFPR - 2017) Considerando que log 5 = 0,7, assinale a alternativa que apresenta o valor de 
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟏𝟎𝟎. 
a) 0,35 
b) 0,50 
c) 2,85 
d) 7,00 
e) 70,00 
Comentários: 
Aplicaremos a propriedade da mudança de base alterando para 10 a base do logaritmo solicitado: 
log5 100 =
log 100
log 5
=
2
0,7
= 𝟐, 𝟖𝟓 
Gabarito letra C. 
33- (ADVISE - 2017) Em uma função logarítmica qualquer, o gráfico que a representa não irá 
interceptar o eixo: 
 
61 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 a) das ordenadas 
b) de simetria 
c) das abcissas 
d) apolar 
e) congruente 
Comentários: 
As funções logarítmicas, f(x) = loga x, nunca interceptam o eixo Y das imagens, também conhecido 
como eixo das ordenadas já que não existe imagem para x = 0 (pois x = 0 não está no domínio), 
sendo exatamente neste ponto que o gráfico interceptaria o eixo Y. Vale lembrar que o eixo X dos 
valores do domínio é chamado de eixo das abcissas. Gabarito letra A. 
34 - (BIO - RIO 2016) Uma população de bactérias cresce 5% a cada hora. Se usarmos os valores 
aproximados log 105 = 2,02 e log 2 = 0,30, o número aproximado de horas para que essa população 
de bactérias quadruplique de tamanho será igual a: 
a) 30 
b) 25 
c) 20 
d) 15 
e) 10 
Comentários: 
Quando um valor aumenta 5%, ficamos com 105% desse valor que corresponde a multiplicá-lo por 
1,05. Portanto se um número cresce indefinidamente 5% a cada hora, significa que ele será 
multiplicado indefinidamente por 1,05 a cada hora. E assim temos uma expressão para essa situação: 
Valor final = valor inicial x (1,05)t 
sendo t o número de horas. 
Supondo nosso valor inicial de x, este valor precisa ser quadruplicado, ou seja, o valor final precisa 
ser 4x. Assim temos a seguinte expressão: 
4x = x ⋅ (1,05)t 
 
62 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 (1,05)t = 4 
Aplicando logaritmo na base 10 na equação obtida acima e aplicando propriedade do logaritmo de 
quociente temos: 
t ⋅ (log 105 − log 100) = log 4 
t ⋅ (2,02 − 2) = 2 ⋅ 0,30 
t =
0,6
0,02
= 𝟑𝟎 
Gabarito letra A. 
35 - (ACAPLAM - 2012) Uma professora mostrou a seus alunos um esboço, no plano cartesiano, do 
gráfico da função f(x) = log₃ x, com alguns pontos destacados. Veja a figura abaixo: 
 
Pediu, então, aos alunos que fizessem uma afirmação incorreta a partir do gráfico, supondo que a 
abscissa do ponto A é igual a 9. Leia as afirmações abaixo e assinale qual o único dos alunos que 
conseguiu atender à solicitação da professora 
a) Ana - A base b do logaritmo é igual a 3. 
b) Patrícia - A abscissa de B é igual a 2. 
c) Pedro - A abscissa de C é igual a 1. 
d) Cláudia - f(x) < 0 para todo x ∈ ]0;1[. 
e) Neide - f(x) é crescente. 
Comentários: 
 
63 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 a) A função f(x) = log₃ x é formada por um logaritmo com base 3, portanto essa afirmativa está 
correta. 
b) O ponto B possui ordenada (corresponde à imagem) igual a 1. Significa que log₃ x = 1, então se 
aplicarmos a definição de logaritmo temos que x = 3¹ = 3. Ou seja, a abcissa nesteponto é 3. Portanto 
essa afirmativa está errada. 
c) O ponto C corresponde à interseção do gráfico com o eixo X. Neste ponto a imagem sempre é 
igual a zero (y = 0). Então se substituirmos na expressão da função, temos log₃ x = 0 e, portanto, x = 
30 = 1. Então a abcissa neste ponto é igual a 1 e assim a afirmativa está correta. 
d) A função possui domínio x > 0 e apresenta imagem negativa à esquerda do ponto C, que possui 
abcissa x = 1, então a imagem negativa da função está definida no intervalo (0,1). Afirmativa correta. 
e) Toda função logarítmica com base maior que 1 é crescente e podemos observar isso claramente 
pelo gráfico da função, que aumenta o valor da sua imagem na medida que aumentamos o valor 
do domínio. Portanto essa afirmativa é verdadeira. 
Gabarito letra B. 
36 - (FUVEST) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é: 
 
a) 1/4 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 10 
Comentários: 
Pelo gráfico apresentado podemos observar que a função é crescente, portanto, base maior que 1. 
Além disso temos dois pontos que pertencem à função que são (0,25, -1) e (1, 0). 
 
64 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
 
Pelo ponto (1,0) podemos concluir que a função é do tipo 𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐱 pois para x = 1 temos que logb 1 =
0. Substituindo as coordenadas do ponto (0,25, -1) na expressão da função temos: 
logb 0,25 = −1 ⇒ b
−1 = 0,25 
 
1
b
=
1
4
⇒ 𝐛 = 𝟒 
Gabarito letra D. 
37 - (MACK) Na figura, temos o esboço do gráfico da função definida por 𝐲 = 𝐥𝐨𝐠𝐚+𝐛(𝐱 − 𝐛). O 
valor de 
𝐚
𝐛
 é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
e) 6 
 
65 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Comentários: 
O gráfico da função passa pelos pontos (a, 0) e (3a, 2). 
 
Faremos agora a substituição das coordenadas dos pontos do gráfico na expressão da função e 
aplicaremos a definição de logaritmo: 
(𝐚, 𝟎) ⇒ loga+b(a − b) = 0 
(a + b)0 = a − b 
a − b = 1 
𝐚 = 𝐛 + 𝟏 
(𝟑𝐚, 𝟐) ⇒ loga+b(3a − b) = 2 
(a + b)2 = 3a − b 
(b + 1 + b)2 = 3(b + 1) − b 
(2b + 1)2 = 3b + 3 − b 
4b2 + 4b + 1 = 2b + 3 
4b2 + 2b − 2 = 0 
𝟐𝐛𝟐 + 𝐛 − 𝟏 = 𝟎 
Para resolver a equação quadrática obtida acima precisamos lembrar da fórmula de Báskara: 
𝐱 =
−𝐛 ± √𝚫
𝟐𝐚
 
 
66 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Na equação 𝟐𝐛𝟐 + 𝐛 − 𝟏 = 𝟎 a incógnita é o b e os coeficientes são a = 2, b = 1 e c = -1. Aplicando 
a fórmula temos: 
b =
(−1) ± √12 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−1)
2 ⋅ 2
=
(−1) ± 3
4
 
𝐛𝟏 =
𝟏
𝟐
 ou 𝐛𝟐 = −𝟏 
Pela condição de existência do logaritmo, temos que 𝑏 =
1
2
 . 
Então, 
𝐚
𝐛
=
b + 1
b
=
3
2
1
2
= 𝟑 
Gabarito letra B. 
38- (CETREDE) Para que exista o logaritmo 𝒍𝒐𝒈₍ₓ₊₁₎(𝒙²−𝟒), quais são os valores possíveis de x? 
a) x ≥ 2 
b) x ≥ 1 
c) x > 2 
d) x < 2 
e) x ≤ 2 
Comentários: 
Aplicando a condição de existência: 
𝐱𝟐 − 𝟒 > 𝟎 
 
Lembremos que a expressão 𝐱𝟐 − 𝟒 corresponde a uma função quadrática com concavidade da 
parábola para cima. Neste caso, a função é positiva para valores de x menores que (-2) ou maiores 
que 2, sendo (-2) e 2 suas raízes. 
 
67 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝒙 > −𝟏 
𝒙 ≠ 𝟏 
 
Fazendo a interseção (parte comum) dos dois intervalos: 
 
Note que x = 2 não pertence ao primeiro intervalo, portanto não pode estar na interseção que 
representa a parte comum aos dois intervalos. Portanto o intervalo que satisfaz ambas as condições 
de existência é x > 2. Gabarito letra C. 
39 - (CONPASS - 2016) Na figura está parte da representação gráfica da função ƒ, de domínio ℝ, 
definida por ƒ(x) = log₉ (x). P é o ponto do gráfico de ƒ que tem ordenada ½. Qual a abscissa do 
ponto P? 
 
a) 2 
b) 3/2 
c) 9/2 
d) 3 
Solução final 
 
68 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 e) 1/2 
Comentários: 
Para encontrarmos a abcissa x do ponto P: (x, 1/2) precisamos resolver a seguinte expressão: 
log9 x =
1
2
 
Aplicando a definição de logaritmo na equação acima temos: 
𝐱 = 𝟗
𝟏
𝟐 = √𝟗 = 𝟑 
Gabarito letra A. 
40 - (CONPASS - 2016) O gráfico da função logaritmo em uma base b é dado na figura a seguir. 
 
O valor do logaritmo de b na base 2 é igual a 
a) 2 
b) 1/4 
c) 3 
d) 4 
e) 10 
 
 
 
69 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Comentários: 
O gráfico corresponde à uma função logarítmica de base b, portanto f(x) = logb x. Substituindo as 
coordenadas do ponto (0,25, -1) na expressão da função e aplicando a definição de logaritmo 
conseguiremos descobrir o valor da base b: 
logb(0,25) = −1 
b−1 = 0,25 
1
b
=
1
4
⇒ 𝐛 = 𝟒 
 
Agora vamos calcular o logaritmo de b na base 2: 
log2 4 = 𝟐 
Gabarito letra A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Lista de questões 
1- (UNIRIO) Um médico, após estudar o crescimento médio das crianças de determinada cidade, 
com idades que variam de 1 a 12 anos, obteve a fórmula ( )ih .10log 7,0= , em que h é a altura, em 
metro, e i é a idade, em ano. Pela fórmula, uma criança de 10 anos dessa cidade terá a altura de: 
a) 120cm 
b) 123cm 
c) 125cm 
d) 128cm 
e) 130cm 
2- (UERJ) O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após 
a liberação de um predador em seu ambiente, e expresso pela seguinte função: 
( )4
55
xlog)x(f 3= . 
Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no 
ambiente será igual a: 
a) 3 
b) 4 
c) 300 
d) 400 
3- (UERJ) A relação entre as coordenadas x e y de um corpo em movimento no plano é dada por y 
= 10log x. O gráfico correspondente a esta relação é: 
 
71 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
 
4- (UERJ) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, 
atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a 
seguir. 
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. 
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: 
 T(x) = T0 ⋅ (0,5)
0,1x 
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que 
a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: 
(A) 30 
(B) 32 
(C) 34 
(D) 36 
5- (UFAL) A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é 








=
0
10log
I
I
R com I0 sendo a intensidade de um abalo quase imperceptível e I a intensidade de 
um terremoto dada em termos de um múltiplo de I0 . Se um sismógrafo detecta um terremoto com 
intensidade I = 32000 I0 , qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais 
próximo. 
Dado: use a aproximação 30,02log10 = . 
a) 3,0 
 
72 
 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
e) 5,0 
6- (UNEB-BA) Considerando-se as funções reais )1(log)( 3 += xxf , xxg 2log)( = e xxh 4log)( = , 
pode-se afirmar que o valor de )25()125,0()26( hgf +− é: 
a) 8 
b) 2 
c) 0 
d) -2 
e) -3 
 
7- (UFPA) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas 
funções: ( )54 2log)( ttA += e B(t) = log2(2t + 4)2, nas quais a variável t representa o tempo em 
anos. Essas cidades terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a: 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
8- (UNIFESP) Uma droga na corrente sanguínea é eliminada pela ação dos rins. Admita que, 
partindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após t horas a quantidade