Aula 8 - Funções logarítmicas em diferentes bases

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 8: Funções logarítmicas em diferentes bases
Apresentação
Nesta aula, você estudará logaritmos e funções logarítmicas. Também verá como o logaritmo se transformou em um
instrumento de cálculo e transformou as multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.
Além disso, será destacada a importância da leitura grá�ca dos logaritmos, com a demonstração de exemplos para a
aplicação dos logaritmos.
Objetivos
Reconhecer a função logarítmica.
Determinar grá�cos de funções logarítmicas.
Resolver problemas com o conceito de função logarítmica.
De�nição de logaritmo
De�nimos o logaritmo como o inverso da equação exponencial, no seguinte sentido.
Condição de existência de loga (b)
Como na exponencial , a base corresponde a , temos que para todos os x pertencentes aos
números reais.
Assim, para log (b), também devemos ter:
  =  bax a > 0   e   a ≠ 1 b > 0 
a
a > 0 e a ≠ 1 b > 0
Só existe logaritmo de números positivos.
Consequências da de�nição
Como consequência da de�nição (1), de acordo com os conceitos da aula passada, temos os seguintes resultados:
, pois (i)   (1) = 0loga = 1a
0
, pois (ii)   (a) = 1loga = aa
1
, pois (iii)   ( ) = nloga a
n =an an
(iv)   (b) =  (c) → b = cloga loga
(v)  se  a > 1,    (b) >  (c) → b > cloga loga
(vi)  se  0 < a < 1,    (b) >  (c) → b < cloga loga
, quando não está escrita a base, assumir base 10(vii)   (a) = log  (a)log10
Propriedades dos logaritmos
Também como consequência da de�nição (1), temos as seguintes propriedades para os logaritmos.
Logaritmo do produto (soma dos logaritmos)
(b * c)  =   (b)  +   (c)loga loga loga
Logaritmo do quociente (diferença dos logaritmos)
( ) = (b) − (c)loga
b
c
loga loga
Logaritmo da potência (potência multiplicado pelo logaritmo)
( ) = n  (b)loga b
n loga
Exponencial do logaritmo de mesma base
= ba (b)loga
Mudança de base
(b) =loga
(b)logc
(a)logc
Atividade
1. Calcule os logaritmos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
(32)log2
(625)log5
(0,0016)log5
(81)log 1
3/
(0,00001)log10
(256)log2 2√
(0, 125)log 8√
( )log2 3√
9
16
2. Sabendo-se que log(a) = 2 , log(b) = 3 e log(c) = -6 , calcule:
a) log(ab)
b) 
c) log(abc)
d) 
log ( )a
c
log ( )ab
c
3. Sabendo que log 3 = a e log 5 = b, calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b.
a) log 15
b) log 675
c) log 2
Aplicações de logaritmos em problemas teóricos
Agora, veremos um exemplo prático que nos ajudará na compreensão desse conceito.
A intensidade M de um terremoto medido na escala Richter varia de M = 0 (nenhum tremor) até M = 8,9 (maior terremoto
conhecido). O valor de M é dado pela fórmula empírica:
Qual é a energia liberada em um terremoto de grandeza M = 6 ?
M = 6
Assim, pela regra do logaritmo do quociente, temos:
log (7.10 ) = -2,15
9 = log E - (-2,15)
9 = log E + 2,15
Log E = 6,85
E = 10
E = 7079,4 kWh
= 7 ⋅ kWhE0 10−8
M =  l og ( )2
3
E
E0
3 =  l og  E  −   log  M
2
E0
3 =  l og  E  −   log  (7 ⋅ )6
2
10−3
-3
6,85
Uma cidade de cerca de 300.000 habitantes consome cerca de 3,5x106 KWh de
energia elétrica por dia. Se a energia de um terremoto pudesse ser convertida em
energia elétrica, quantos dias de fornecimento de energia para esta cidade seriam
produzidos por um terremoto de grandeza M = 8?
M = 8
3 =  l og  E  −   log  M
2
E0
3 =  l og  E  −   log  8
2
E0
12 = log E + 2,15
E = 10
E = 7,079.10 kWh
Se
3,5.10 kWh --------------> 1 dia 
7,079.10 kWh ----------> x
x = (7,079.10 kWh)/(3,5.10 kWh)
x = 2023 dias
12 = log  E  −   log  (7 ⋅ )10−3
9,85
9
6
9
9 6
Atividade
4. O pH de uma solução salina é de�nido pela fórmula: pH = -log[H+] onde [H+] é a concentração do íon hidrogênio em moles por
litro. Qual o pH da água pura, sabendo-se que sua concentração de [H+] vale 1,00x10 ?-7
5. Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto tempo, aproximadamente, seu
preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use log 2 = 0,3)10
6. Uma pessoa necessita saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha calculadora. Em uma busca na internet,
encontrou a tabela ao lado e, através dela, pôde calcular corretamente o que precisava. Determine o valor encontrado.
x logx
2 0,30
3 0,48
7 0,85
11 1,04
Logaritmo natural ou logaritmo neperiano ln(x)
No estudo de problemas envolvendo funções logarítmicas, a base mais utilizada para logaritmos é o número e.
Neste caso, o logaritmo log x = ln x é denominado "logaritmo natural de x" e de�nido
como: ln x = log x = b somente se e = x
e
e
b
Veja, a seguir, problemas com a utilização de ln(x).
Clique nos botões para ver as informações.
Encontre o valor de x sabendo que ln x = 7. Utilize as leis do logaritmo se necessário.
Solução
ln7 = x
log = 7 ou seja e = x.
Você pode calcular esse número na sua calculadora cientí�ca e ≅ 1.096,63.
Caso você calcule ln(1.096,63), ou seja o ln(e ), você encontrará 7.
Ou seja: lne = x.
Exemplo 1 
e
7
7
7
x
Resolva a equação e = 10. Utilize as leis do logaritmo se necessário.
Solução
Aplicando ln dos dois lados:
ln(e ) = ln(10)
5 – 3x = ln10
-3x = ln10 - 5
Ou 3x = 5 – ln10
ln10 é um número e vale: ln10 ≅ 2,30
Exemplo 2 
5-3x
5-3x
x = 5−In10
3
Expresse como um único logaritmo. Utilize as leis do logaritmo se necessário.
Solução
Exemplo 3 
Ina + Inb1
2
Ina + Inb = Ina + In = Ina + In = In(a ⋅ )12 b
1
2 b√ b√
Atividade
7. A população de bactérias no instante t (em horas) é dada por P(t) = 1.000e0,35t bactérias. Depois de quantas horas haverá
5.000 bactérias?
Grá�co da função logarítmica
Os grá�cos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo X
no ponto (1, 0). Quando a base é maior que 1, os números
maiores que 1 possuem logaritmos positivos e os números
entre 0 e 1 apresentam logaritmos negativos. Quando a base é
menor que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos
negativos e os números entre 0 e 1 correspondem a
logaritmos positivos.
 Gráfico das funções logarítmica. | Fonte: CANDAL, 2015.
Veja, como exemplo, o grá�co da função logarítmica .Vamos montar os pares ordenados para representar o
grá�co e assim por diante.
Temos 0 < 1 (a=1/2), que é uma função decrescente. O grá�co desta função toca o eixo x em (1,0).
f(x) = xlog 1
2
f ( ) = ( ) = 31
8
log 1
2
1
8
X Y
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
 Função Logarítmica a < 1 decrescente. | Fonte: CANDAL, 2015.
Agora, para o segundo exemplo usaremos o grá�co da função logarítmica . Vamos montar os pares ordenados
para representar o grá�co e assim por diante.
Temos a = 2 > 1, que é uma função crescente. O grá�co desta função toca o eixo x em (1,0).
f (x) =  xlog2
f ( ) = ( ) = −31
8
log2
1
8
X Y
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
 Função Logarítmica a > 1 crescente. | Fonte: CANDAL, 2015.
Aplicação: Atividade de uma amostra radioativa, A
A taxa de mudanças dos átomos instáveis em um determinado instante é denominada de Atividade. A atividade de uma amostra
depende do valor inicial da atividade no instante zero e é uma função exponencial decrescente do tempo. Assim, a atividade A(t)
será expressa por:
Para calcular o tempo de meia vida física de uma amostra radioativa, ou seja, o tempo para que metade dos núcleos radioativos
decaia pela metade, utilize a seguinte fórmula:
A(t) = A /20
Substituindo em:
A (t) = A0e
λt
=A0
2
A0e
−λt
Cortando A dos dois lados:0
=1
2
e−λt
Aplicando ln dos dois lados, teremos que:
In ( ) = In ( )1
2
e−λt
In (1/2) = −0, 693
e In ( ) = −λte−λt
Logo:
−0, 693 = −λt
t = 0,693
λ
Se você analisar esse valor de t, observe que é um número 0,693 dividido por uma constante física. Ou seja, esse tempo,
denominado como tempo de meia vida (T ), é uma constante física também.1/2
=T 1
2/
0,693
λ
A atividade de uma amostra, que depende do valor inicial da atividade no instante zero, é uma função exponencial decrescente do
tempo. O grá�co a seguir mostra a função de decaimento e os parâmetrosprincipais envolvidos no processo.
n = número de átomos radioativos no instante (t)
n = número de átomos radioativos no instante (t=0)
𝜆 = constante de decaimento
T ½ = meia-vida
𝜏 = vida-média
0
 Curva representativa do decaimento de um radioisótopo em função do tempo e seus
principais parâmetros . | Fonte: Tauhata, L., et al. 2013
Atividade
8. A população de bactérias no instante t (em horas) é dada por P(t) = 1.000e0,35t bactérias. Depois de quantas horas haverá
5.000 bactérias?
Uma amostra típica de tecnécio-99 usada em exames apresenta uma atividade radioativa inicial de 2.107 desintegrações por
segundo. Usando as informações do grá�co, pode-se prever que essa amostra apresentará uma atividade de 2,5.106
desintegrações por segundo após, aproximadamente:
a) 3,5 horas.
b) 7 horas.
c) 10 horas.
d) 18 horas.
e) 24 horas.
9. O Tl é um isótopo radioativo usado na forma de TlCl (cloreto de tálio), para diagnóstico do funcionamento do coração. Sua
meia-vida é de 73h (≅3 dias). Certo hospital possui 20g deste isótopo. Sua massa, em gramas, após 9 dias, será igual a:
201
3
a) 1,25
b) 2,5
c) 3,3
d) 5,0
e) 7,5
Notas
Referências
MARQUES, G. Funções exponenciais e logarítmicas. Disponível em:
https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf
<https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf> . Acesso em 15 nov. 2018.
LIMA, Elon Lages. Fundamentos da Matemática Elementar: Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, 1973.
Tauhata, L., Salati, I. P. A., Di Prinzio, R., Di Prinzio. Radioproteção e Dosimetria: Fundamentos. Disponível em:
https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/45/073/45073465.pdf
<https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/45/073/45073465.pdf> . Acesso em: 18 fev. 2019.
CANDAL, Denise. Fundamentos de Matemática. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
Próxima aula
Estudo de limites;
Estudo das derivadas de funções.
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https://midia.atp.usp.br/impressos/lic/modulo01/fund_matematica_PLC0001/FundMat_I_top06.pdf
https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/45/073/45073465.pdf