Ondas Meca_nicas - AULA 3

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Oscilações
Tópicos Abordados: Aula-3
Propagação de uma Perturbação.
Modelo de Onda.
Onda Progressiva.
Velocidades de Ondas Transversais.
As ondas fazem parte de nosso cotidiano. Alguns exemplos 
familiares incluem
 pequenas ondulacões nas aguas de um lago; 
 o solo que oscila durante um terremoto; 
 a corda de uma guitarra em vibração; 
 a luz e as cores do arco-iris. 
Elas estão por toda parte e podemos controla-las para conduzir 
informações ou transportar energia de um local para outro.
 Classicação das ondas: As ondas podem ser classicadas de três 
maneiras: 
Quanto à natureza:
1) Ondas mecânicas: são aquelas que necessitam de um meio material 
para se propagarem. Exemplos: ondas em cordas e ondas sonoras. As 
ondas mecânicas não se propagam no vacuo.
2) Ondas eletromagnéticas: são geradas por cargas eletricas oscilantes 
e não necessitam de um meio fsico para se propagarem, podendo se 
propagar no vacuo. Exemplos: luz, ondas de radio, microondas
 Quanto a direção de propagação: 
1) Unidimensionais: são aquelas que se propagam numa só direção. 
Exemplo: ondas em cordas.
2) Bidimensionais: são aquelas que se propagam em um plano. 
Exemplos: ondas na superfcie de um lago, ondas no couro de um 
tambor.
3) Tridimensionais: são aquelas que se propagam em todas as 
direções. Exemplos: ondas sonoras no ar. 
 Quanto a direção de vibração:
1) Transversais: são aquelas cujas vibrações são perpendiculares a 
direção de propagação. Exemplo: ondas em cordas 
2) Longitudinais: são aquelas cuja direção das vibrações coincide com 
a direção de propagação. Exemplos: ondas sonoras, ondas longitudinais 
em molas 
 
 
13.1 Propagação de uma Perturbação
Consideramos uma onda mecânica como a propagação de uma 
perturbação em um meio.
Ondas mecânicas requerem:
Alguma fonte de perturbação
Um meio que possa ser perturbado
Algum mecanismo físico pelo qual as partículas do meio 
possam influenciar umas às outras
 
 
 
Nesse exemplo a perturbação é 
chamada de pulso, o movimento 
do pulso chama-se onda, a mão 
da pessoa que gerou o pulso é a 
fonte e a corda é o meio em que a 
onda se propaga. 
O pulso se desloca para direita, ao 
longo do eixo x, com velocidade 
constante v. Enquanto que o 
elemento de corda se desloca 
transversalmente em y. 
 
 
 
A representação matemática do pulso e´dada pela seguinte função
 
 Essa função descreve a posição vertical y do elemento da corda 
localizado para cada valor de x no tempo t = 0. 
 Como a velocidade do pulso é v ele se deslocou para a direita uma 
distância vt no tempo t . 
 
 
)()0,( xfxy =
As figuras: (a) mostra 
a posição do pulso no 
momento t = 0 e (b) 
mostra a posição do 
pulso no momento t .
Admitindo que o pulso terá sempre a mesma forma observada no 
momento t = 0. Então um elemento da corda em x nesse momento 
também terá a mesma posição y ,que um elemento situado em x-vt teve 
no tempo t = 0. Sendo assim, 
Em geral escrevemos
Similarmente, se o pulso se desloca para a esquerda, o deslocamento 
da corda é
)0,(),( vtxytxy −=
)(),( vtxytxy −=
)(),( vtxytxy +=
13.2 O Modelo de Onda. No movimento ondulatório imaginado em um 
meio ideal, cada oarticula do meio realiza movimento harmônico 
simples em torno de sua posição de equilíbrio.
Três características físicas são importantes em uma onda são:
 Comprimento de onda,
 Frequência , f
 Velocidade, v
 Período, T
 Onde o período é 
escrito como: 
λ
f
T 1=
 
 
 
 
13.3 A Onda Progressiva. Vamos considerar um pulso em forma de sino 
se propagando em uma corda. No instante t = 0 , e num instante t 
posterior o pulso manteve o mesmo formato, nesse modelo a onda se 
desloca através do meio preservando suas características.
 
( )


 −= vtxAseny
λ
π2
Uma onda progressiva é descrita por:
Onde a velocidade de propagação é
A função de onda pode ser escrita numa 
forma mais conveniente
 
T
v λ=
[ ]txAseny ωκ −=
 
 
 
 
 
Onde se destacam duas grandezas:
 Número de Onda,
 Frequência Angular,
Além disso, temos ainda as formas alternativas para a velocidade
e a forma mais geral da função de onda
 
 
f
T
ππω 22 ==
λ
πκ 2≡
fv
k
v λω =⇒=
[ ]φωκ +−= txAseny
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 1: Uma onda senoidal que se desloca no sentido 
positivo de x tem uma amplitude de 15 cm, um comprimento de onda 
de 40 cm e uma frequencia de 8 Hz. O deslocamento vertical do meio 
em t = 0 e x = 0 também é 15 cm. (a) Encontre o número de onda, o 
período, a frequência angular e a velocidade da onda. (b) Determine a 
constante de fase e escreva a função de onda.
Solução: 
 número de onda:
 
 Período:
 
 Frequência angular: 
cmrad
cm
rad /157,0
40
22 === π
λ
πκ
s
sf
T 125,0
8
11
1−
==
sradsf
T
/3,50)8(222 1 ==== −πππω
 
 
 
 
 
 Velocidade:
 
(b) Fase : como A = 15 cm e y = 15 cm , quando x = 0 e t = 0. logo, 
Assim, a função de onda é da forma
scmcmsfv /320)40)(8( 1 === −λ
[ ]φωκ +−= txAseny
2
11515 πφφφ =∴=⇒= sensen



 +−=
2
3,50157,015 πtxseny
 
 
 
 
( )txAseny ωκ −=
Exercício Resolvido 2: Calcule no exercício anterior a velocidade 
transversal e a aceleração transversal da função de onda
Solução: O ponto P move-se verticalmente e, assim, sua coordenada x 
permanece constante, consequentemente a velocidade e a aceleração de 
P não dependem da coordenada x.
E
Os valores máximos dessas grandezas são:
( )txA
t
yvy ωκω −−=∂
∂= cos
( )txAsen
t
v
a yy ωκω −−=∂
∂
= 2
( ) scmcmA
t
yvy /5,754)15(50,3rad/s ===∂
∂= ω
( ) 222 /35,37951)15(50,3rad/s scmcmA
t
v
a yy ===∂
∂
= ω
 
 
 
 
Exercício Resolvido 3: A equação de uma onda transversal se 
propagando em uma corda é dada por: 
a) Ache a amplitude, frequência, velocidade e comprimento de onda. 
Solução: por inspeção da função, temos
( ) ( ) ( )[ ]tsxmsentxy 11 600202,0mm, −− −=
mmA 0,2=
Hzsradfsrad 5,95
2
/600
2
/600 ===⇒=
ππ
ωω
m
mrad
mrad 31,0
/20
22/20 ===⇒= π
κ
πλκ
smv /30==
κ
ω
 
 
 
 
b) Ache a velocidade escalar máxima de uma partícula da corda.
Solução:
( )txA
t
yvy ωκω −−=∂
∂= cos
( )txmm
t
yvy 60020cos)20)(600( −−=∂
∂=
smmm
t
yvy /12)20)(600( ==∂
∂=
 
 
 
 
Exercício Proposto 1: Uma certa onda transversal é descrita por:
Determine para esta onda a) a amplitude; b) o comprimento de onda; 
c) a frequência; d) a velocidade de propagação e e)nandireção de 
propagação.
Exercício Proposto 2: Ondas transversais em uma corda possuem 
velocidade de 8,0m/s, amplitude de 0,07m e comprimento de onda 
igual a 0,320m. As ondas se movem no sentido -x, e em t = 0 a 
extremidade x = 0 da corda possui deslocamento máximo para cima. a) 
Ache a frequência, o período e o número de onda dessas ondas. b) Ache 
a função de onda que descreve essa onda. c) Calcule o deslocamento 
transversal de uma partícula situada no ponto x = 0,360m no instante t 
= 0,150s. d) quanto tempo a partícula situada no ponto x = 0,360m leva 
para atingir o deslocamneto máximo para cima?
( ) ( ) 



 −=
s
t
cm
xmmtxy
0360,00,28
2cos50,6, π
 
 
 
 
Exercício Proposto 3: a) Mostre que a equação 
pode ser escrita na forma 
b) Use y(x,t) para encontraruma expressão para a velocidade 
transversal vy de uma partícula da corda onde a onda se propaga. c) 
Calcule a velocidade máxima de uma partícula da corda. Em que 
circunstância essa velocidade pode ser igual à velocidade v de 
propagação da onda? Quando ela pode ser menor do que v? E maior de 
que v?
( ) 



 −=







 −= t
v
xfAt
v
xAtxy πω 2coscos,
( ) ( ) 



 −= vtxAtxy
λ
π2cos,
 
 A Equação de Onda Linear(Opcional): Considere uma onda 
mecânica senoidal se deslocando em um meio. 
 As suas derivadas parciais de segunda ordem são:
 
 
)( txAseny ωκ −=
)()( 2
2
2
2
2
2
txAsen
x
ytxAsen
t
y ωκκωκω −−=
∂
∂⇒−−=
∂
∂
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2 1
t
y
x
y
x
y
t
y
∂
∂




=
∂
∂⇒



∂
∂−−=
∂
∂
ω
κ
κ
ω
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
∂
∂=
∂
∂ Esta é a equação de onda linear, ela descreve com sucesso ondas em cordas, 
ondas sonoras e também ondas 
eletromagnéticas
 
13.4 A Velocidade de Ondas Transversais em Cordas
. 
 
 
Para calcular a velocidade de uma 
onda em uma corda vamos 
considerar um pequeno pulso se 
propagando da esquerda para a 
direita em uma corda de densidade 
linear de massa μ e que é esticada 
através de uma tensão T aplicada 
nas suas extremidades.
 As tensões na corda:
R
vmTsenTsenmaT
T
cy
x
2
0
=+⇒=
=
∑
∑
θθ
 
. 
 
 
Considerando o ângulo muito pequeno
logo,
θθθ ≈⇒= sen
R
vmT
2
2
( ) 2
22
222 v
R
vR
R
vsT µ θθµµθ ==∆=
µ
µ TvvT =⇒= 2
 
Exercício Resolvido 4: Um cabo uniforme tem uma massa de 0,300kg 
e um comprimento total de 6,0 m. A tensão é mantida no cabo pela 
suspensão de um corpo de massa de 2,0 kg por uma das extremidades 
do cabo. Encontre a velocidade de um pulso nesse cabo. Suponha que 
a tensão não é afetada pela massa do cabo.
Solução: Aplicando a 1ª lei de Newton à massa, temos.
A massa por uniddade de comprimento é
 
Dessa forma, a velocidade da onda é
( ) ( ) NsmkgmgTT 6,19/80,90,2,0 2 ===⇒=∑
mkg
m
kgm /050,0
0,6
30,0 ===

µ
sm
mkg
NTv /8,19
/050,0
6,19 ===
µ
 
Exercício Resolvido 5: Com que tensão uma corda de comprimento 
igual a 2,5 m e massa de 0,120 kg deve ser esticada para que uma 
onda transversal com frequência de 40,0 Hz possua um comprimento 
de onda igual a 0,750m?
Solução: A massa por uniddade de comprimento é
 
Dessa forma, a velocidade da onda é
Sendo massim, 
mkg
m
kgm /048,0
50,2
12,0 ===

µ
( )
µ
λ
µ
λ TfTfv =→== 2
( ) ( ) NfT 2,434075,0048,0 22 =×== λµ
 
Exercício Proposto 4: Uma corda de 1,5m e de peso 1,25N está 
amarrada ao teto pela sua extremidade superior, e a inferior sustenta 
um peso p. Quando a corda é puxada suavemente, as ondas que se 
deslocam para cima obedecem à equação
(a) Quanto tempo leva para um pulso percorrer toda a extensão da 
corda? (b) Qual é o peso p? c) quantos comprimentos de onda há sobre 
a corda em qualquer instante? d) Qual é a equação para ondas que se 
deslocam para baixo na corda?
 
)2730172cos()5,8(),( 11 tsxmmmtxy −− −=
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