Ondas Meca_nicas - AULA 5

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Tópicos Abordados: Aula-5
Princípio da Superposição.
Interferência de Ondas .
Ondas Estacionárias.
14.1 O Princípio da Superposição
O som de uma orquestra que chega aos 
nossos ouvidos são sons de todos os 
instrumentos que estão sendo tocados 
num dado instante. Isto porque uma o 
mais ondas sonoras podem se propagar ao 
mesmo tempo numa dada região do 
espaço. O efeito global que percebemos 
será a soma dos efeitos que cada uma das 
ondas produziria se estivesse se 
propagando isoladamente.
Chamamos de princípio da 
superposição ao efeito global da soma dos 
efeitos isolados. 
14.2 Interferência de Ondas
Ondas no mesmo sentido
 Vamos considerar o efeito da interação entre duas ondas que viajam 
no mesmo sentido. 
Para simplificar a análise, sem perder muito em generalidade, 
vamos considerar que essas ondas tenham:
mesma frequência
mesmo comprimento de onda, 
mesma amplitude, 
uma defasagem. 
A primeira onda tem constante de fase nula e a segunda onda tem 
constante de fase ϕ . Elas têm a forma:
)(),(
)(),(
2
1
φωκ
ωκ
+−=
−=
txsenytxy
txsenytxy
m
m
Vamos usar a identidade trigonométrica
A onda resultante será a soma das duas ondas, ou seja:
logo:
A onda resultante tem uma amplitude modificada de acordo com o valor 
da diferença de fase entre as ondas formadoras. Alguns casos simples 
podem ser analisados facilmente:
 
 
 




 −



 +=+
2
cos
2
2 βαβαβα sensensen
),(),(),( 21 txytxytxy +=




 +−







=
22
cos2),( φωκφ txsenytxy m
 
 Para 
 
 
0),( =txy
Esse é um exemplo de uma 
interferência destrutiva, as ondas 
interagem e o resultado é a anulação 
de uma pela outra.
Esse é um exemplo de uma 
interferência construtiva, as ondas 
se somam de modo a alcançar a 
maior amplitude possível.)(2),( txsenytxy m ωκ −=
0=φPara
πφ =
 
 
 
 
Quando a constante de fase tem 
um valor entre 0 e , a onda 
resultante tem uma amplitude 
cujo valor está entre 0 e 2A..)6/(3),( πωκ +−= txsenytxy m
λ
π
φ
π
φ
λ 22
=∆→=∆ rr
Para π
É útil expressar a diferença de fase entre duas ondas em termos de 
uma fração do comprimento de onda . Seja um deslocamento 
arbitrário da posição de uma onda em relação à outra. Então,
Sendo assim, para 
λ r∆
3
πφ =
2/, λπφ =∆= r
Exercício Resolvido1: Duas ondas idênticas que se propagam, 
deslocando-se no mesmo sentido, têm uma diferença de fase de 
π/2rad. Qual é a amplitude da onda resultante em termos da 
amplitude comum ym das duas ondas? 
Solução: 
Mas:
)(),(1 txsenytxy m ωκ −=
)2/(),(2 πωκ +−= txsenytxy m
),(),(),( 21 txytxytxy +=
[ ]2/()(),( πωκωκ +−+−= txsentxsenytxy m




 −



 +=+
2
cos
2
2 βαβααα sensensen
Logo,
E portanto
A amplitude A desta onda resultante é dada por:
( ) 







 +=++
4
cos
2
2/222/ ππαπαα sensensen




 +−







=
44
cos2),( πωκπ txsenytxy m
mm yyA 24
cos2 =



= π
Exercício Resolvido 2: Dois alto-falantes separados pela distância de 
3,0m são excitados em fase pelo mesmo oscilador. Um ouvinte está 
originalmente no ponto O, posicionado a 8,0m do centro da linha que 
conecta os dois alto-falantes. O ouvinte move-se então para o ponto P, 
que está a uma distância perpendicular de 0,350m de O antes de 
alcançar o primeiro cancelamento das ondas, tendo por resultado 
um mínimo na intensidade sonora. Qual é a frequência do oscilador?
Solução: O primeiro cancelamento ocorre quando as duas ondas que 
alcançam o ouvinte em P estão defasada 180º ou 
mm yyA 24
cos2 =



= π
2/λ=∆ r
Como 
logo, 
usando 
( ) ( )
( ) ( ) mmmr
mmmr
21,885,10,8
08,815,10,8
22
2
22
1
=+=
=+=
mr
mrrr
26,02/
13,012
=→=∆
=−=∆
λλ
Hz
m
smvffv 3,1
26,0
/343 ===→=
λ
λ
 Ondas em sentido contrário
Vamos analisar o resultado da interação entre duas ondas que se 
propagam em sentidos contrários
Para simplificar a análise, sem perder muito em generalidade, vamos 
considerar que essas ondas tenham mesma frequência, mesmo 
comprimento de onda, mesma amplitude, e mesma constante de fase.
Novamente vamos usar a identidade trigonométrica:
 
 
 
)(),(
)(),(
2
1
txsenytxy
txsenytxy
m
m
ωκ
ωκ
+=
−=




 −



 +=+
2
cos
2
2 βαβαβα sensensen
A onda resultante será a soma das duas ondas, ou seja:
logo:
Esta não é uma onda progressiva, porque não depende de x e t na 
forma (kx -wt) mas no entanto a corda oscila para cima e para baixo. 
Existem alguns pontos na corda onde a amplitude é máxima, e 
eles são localizados quando kx assumem valores múltiplos ímpares de 
π/2 . Ou seja:
 
 
 
,..3,2,1,0
2
1
2
)12(;...
2
5;
2
3;
2
=⇒



 +=+=⇒= nnnxx ππκπππκ
),(),(),( 21 txytxytxy +=
)cos()](2[),( txsenytxy m ωκ=
A partir do resultado anterior podemos encontrar os valores de x para 
os quais a amplitude é máxima. Esse pontos são chamados 
antinodos. Temos que k = 2π/λ , logo
 
Por outro lado existem pontos onde a amplitude de oscilação é 
sempre nula, ou seja: a corda não se move. Esses pontos são 
localizados quando kx assume valores múltiplos de π .
A partir do resultado anterior podemos encontrar os valore de x para os 
quais a amplitude é nula. Esse pontos são chamados nós. Temos que 
k = 2π/λ , logo
 
 
 
,..3,2,1,0
2
)1( =⇒+= nnxN
λ
,..3,2,1,0
2
=⇒= nnxN
λ
,..3,2,1,0,..3,2,,0 =⇒=⇒= nnxx πκπππκ
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 3: Duas ondas senoidais com amplitudes e 
comprimentos de onda idênticos se propagam em sentidos contrários 
ao longo de uma corda, com velocidade escalar de 10cm/s . Se o 
intervalo de tempo entre os instantes em que a corda fica retilínea é 
0,50s , quais os seus comprimentos de onda? 
Solução:
Mas,
Logo então,
)(),(
)(),(
2
1
txsenytxy
txsenytxy
m
m
ωκ
ωκ
+=
−=
),(),(),( 21 txytxytxy +=
[ ]txsentxsenytxy m ωκωκ ++−= ()(),(




 −



 +=+
2
cos
2
2 βαβαβα sensensen
)cos()](2[),( txsenytxy m ωκ=
 
 
 
 
 
O intervalo de tempo entre os instantes em que a corda fica retilínea é 
igual à meio período, logo:
e
então,
Exercício Resolvido 4: Duas ondas propagando-se em sentidos opostos 
produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são
 
Onde x e y estão em centímetros. (a) Encontre o desllocamento máximo 
de uma partícula do meio em x = 2,3cm. (b) Encontre as posições dos 
nodos e dos antinodos.
sTsTt 150,02/ =⇒==∆
smscmv /1,0/10 ==
mssmvT 1,0)1)(/1,0( ===λ
)0,20,3()0,4(),(
)0,20,3()0,4(),(
2
1
txsencmtxy
txsencmtxy
+=
−=
 
 
 
 
 
Solução: O resultado da soma é uma onda estacionária.
Usando a propriedade: 
fica,
Assim, o deslocamento máximo quando x = 2,3cm é
(b) Como 
 
Antinodos ocorrem em: 
Nodos em:
21 yyy +=
asenbbsenabasen coscos)( ±=±
[ ]
( )[ ] txsencmtxy
txsentxsencmtxy
2cos30,8),(
)0,20,3()0,20,3()0,4(),(
=
++−=
cmcmsencmy 6,4)3,2(3)0,8(max ==
cmcmrad )3/2(/3/2 πλλπκ =→==
( ) ,...5,3,1
6
3/2
44
=



=== ncmnnnx ππλ
( ) ,...3,2,1
3
3/2
22
=



=== ncmnnnx ππλ
 
 
 
 
14.3 Ondas Estacionárias em cordas
 Quando uma onda presa por ambas as extremidades é posta para 
vibrar em certa frequência as ondas se propagam nos dois sentidos 
formando um padrão de interferência. Para algumas frequências 
específicas a corda entra em ressonância, e acontecem as ondas 
estacionárias
Na figura (b) temos uma onda 
estacionária com dois nós. Essa 
situação define o primeiro 
padrão de oscilação, ou seja:
 
 L = λ /2
É um padrão de oscilação onde a 
onda estacionária tem meio 
comprimento de onda.Num segundo padrão de oscilação temos 
um nó intermediário e desse modo:
 L = λ
É um padrão de oscilação onde a onda 
estacionária tem um comprimento de onda.
Num terceiro padrão de oscilação temos 
dois nós intermediário e desse modo:
 L = 3λ/2
É um padrão de oscilação onde a onda 
estacionária tem três meios comprimentos 
de onda.
 
 
 
 
Podemos generalizar dizendo que a conndição para existir um padrão 
de oscilação para uma onda estacionária é que:
Já mostramos anteriormente que:
Mas para uma corda presa pelas extremidades, apenas algumas 
frequências específicas podem desenvolver uma onda estacionária, 
portanto:
Essas frequências específicas são chamadas frequências de 
ressonância.
n
LnL n
2
2
=⇒= λλ
λ
λ vf
f
vvT =⇒==
µ
T
L
nfv
L
nf nn 22
=⇒=
 
 
 
 
frequências de ressonância são:
A frequência fundamental ou primeiro harmônico corresponde (n =1) 
O segundo harmônico corresponde a (n = 2). 
Chama-se série harmônica o conjunto dos possíveis modos de 
oscilação, enquanto n é chamado de número harmônico.
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 5: Um estudante quer produzir uma onda 
estacionária em um fio cujo comprimento é de 1,80m e está preso nas 
duas extremidades. A velocidade da onda é 540m/s. Qual é a 
frequência mínima que o estudante deve aplicar para formar uma 
onda estacionária?
Solução: a frequência mínima ocorre para n = 1. Sendo assim,
 
Hz
m
smvf
f
vvT 150
6,3
/540 ===⇒==
λ
λ
( ) mmLnL n 6,38,121
2
2
===⇒= λλ
 
 
 
 
Exercício Resolvido 6: Uma corda vibrando com uma densidade de 
massa linear uniforme, exibe um padrão de onda estacionária com 
uma frequência de 800Hz. (a) Se a tensão na corda for alterada para 
reduzir a frequência fundamental a 500 Hz, determine a razão entre a 
tensão nova e a antiga. (b) alternativamente, se a tensão original na 
corda for aumentada por um fator de 4, determine a nova frequência 
fundamental. 
Solução: consideramos constantes e n = 1 nos dois padrões de 
ondas estacionárias. 
 
L,µ
µµ
T
L
fT
L
f
′
=′⇒=
2
1
2
1
11
39,0
800
500 2
2
1
1
1
1 =



=


 ′
=
′
⇒
′
=
′
Hz
Hz
f
f
T
T
T
T
f
f
 
 
 
 
(b) Para 
 
TT 4=′
( ) kHzHzff
T
T
f
f 6,18002224 11
1
1 ===′⇒==
′
 
 
 
 
14.4 Ondas Estacionárias em tubos Abertos ou 
Fechados
Colunas de ar que emitem som são abertas em uma ou nas duas 
extremidades.
Muitos instrumentos musicais são feitos desta forma (flautas e 
instrumentos de sopro em geral, orgãos, etc). O ar contido no tubo 
entra em vibração emitindo um som.
Quando uma onda sonora se propaga em um tubo e atinge uma 
extremidade aberta, parte da energia e transmitida para fora do tubo 
na forma de um som, e parte da onda e refletida de volta para o tubo. 
Essa onda refletida internamente é responsavel pelo estabelecimento 
da onda estacionaria dentro do tubo.
 
 
 
 
 
 Tubos com ambas extremidades abertas:
Se o tubo é aberto em ambos os lados, o ar vibra com sua máxima 
amplitude nos extremos. Nos extremos, portanto, se estabelecem anti-
nodos ou ventres de ondas estacionarias. Na Figura, são representados 
os três primeiros modos de vibração.
 
Ondas estacionarias em um tubo com extremidades abertas. São 
mostrados três casos: n=1, n=2 e n=3
 
 
 
 
 Tubos com ambas extremidades abertas:
Como a distância entre dois nodos ou entre dois ventres é de meio 
comprimento de onda, se o comprimento do tubo é L, temos que:
 
Em geral, 
Considerando que (velocidade do som dividido pela 
frequência), as frequências dos distintos modos de vibração (n =1, n 
=2, n =3, ...) são dadas pela formula:
 
3
22 321
LLL =⇒=⇒= λλλ
,..3,2,12 == n
n
L
n λ
fvs /=λ
,..3,2,1
2
== nv
L
nf sn 
 
 
 
 
 Tubos com uma extremidade aberta e outra fechada:
Neste caso, teremos a seguinte situação: na extremidade aberta, 
por onde entra o ar, é originado um ventre; no extremo fechado se 
forma um nodo. Como a distância entre um ventre e um nodo 
consecutivo é , O comprimento L do tubo representado na Figura 
sera:
 
, 
 
4/λ
5
4
3
44 531
LLL =⇒=⇒= λλλ
 
 
 
 
Em geral, 
Exercício Resolvido 7: Um tubo tem comprimento de 1,23m. (a) 
Determine as frequências dos três primeiros harmônicos se o tubo 
estiver aberto nas duas extremidades. Considere v = 343m/s com a 
velocidade do som no ar.(b) Quais são as três frequências 
determinadas no item (a) se o tubo estiver fechado em uma 
extremidade?
Solução: Para tubo aberto nas extremidades tem-se 
 
,..5,3,14 == n
n
L
n λ
,..5,3,1
4
== nv
L
nf sn 
,..3,2,1
2
== nv
L
nf sn 
 
 
 
 
Primeiro harmônico: 
Segundo harmônico:
Terceiro harmônico:
(b) A frequência fundamental de um tubo fechado em uma 
extremidade é 
 
Primeiro harmônico: 
Terceiro harmônico:
Quinto harmônico:
 
( ) Hzm
sm
L
vf 139
23,12
/343
21
===
HzHzff 278)139(22 12 ===
HzHzff 417)139(33 13 ===
( ) Hzm
sm
L
vf 7,69
23,14
/343
41
===
HzHzff 209)7,69(33 13 ===
HzHzff 349)7,69(55 15 ===
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