Estatística - Módulo 4

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Os estudos que fizemos anteriormente diz respeito ao agrupamento de dados coletados e à
representação gráfica de alguns deles. Cumpre agora estudarmos as medidas estatísticas.
Estes valores nos darão a imagem sintetizada do comportamento de uma amostra,
permitindo que com relativamente poucas informações possamos chegar a conclusões sobre
esta amostra estudada.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas estatísticas. O primeiro grupo é
formado pelas Medidas de Tendência Central, também chamadas de Medidas de Posição,
que informam a magnitude da amostra estudada. Essas medidas nos dão uma visão global
da amostra sem se ater às características individuais de seus elementos. Estudaremos estas
medidas aqui neste módulo 4 e no modulo 5.
No entanto, como é necessário que tenhamos idéia das variações dos elementos da amostra
em torno de suas medidas centrais iremos estudar nos módulos 6 e 7, o segundo grupo de
medidas estatísticas: as Medidas de Dispersão, também chamadas de Medidas de
Variabilidade.
 
Medidas de Posição (1ª parte)
 
Objetivos do módulo
 
As medidas de posição ou medidas de tendência central, como o próprio nome indica,
preocupam-se em definir uma posição central da amostra, ou seja, um valor que seja
representativo do que é típico da amostra. Iremos trabalhar com as três principais medidas
deste tipo: a média (neste módulo) e a mediana e a moda ( no módulo 5).
 
 
Média
De todas as medidas de posição a média é seguramente a mais usada. São chamadas de
médias simples quando a freqüência dos diversos valores é igual a 1, ou seja cada valor
aparece uma única vez na amostra ou de médias ponderadas quando os dados são dotados
de certa freqüência.
Existem vários métodos diferentes para se calcular as médias. Iremos nos preocupar com a
principal delas, a Média Aritmética. As demais (Geométrica, Quadrática e Harmônica) além de
serem muito menos utilizadas seguem os mesmos princípios da média aritmética, apenas
com a utilização de operações matemáticas diferentes.
A média aritmética é o resultado da soma dos valores de todos os elementos dividida pelo
número total de elementos, ou seja, pela freqüência total. Em outras palavras se tivermos um
conjunto de valores S ={ x1, x2, x3,………xn} a média aritmética deste conjunto será calculada
através das fórmulas:
 
 
 
Onde: 
  é a média aritmética
x1, x2, etc. os diversos valores e,
N a quantidade total de elementos da amostra.
 
Exemplo 1: Calcular a média aritmética dos valores relacionados a seguir:
S={2;5;7;9;10;12;16;18} 
 
Observe que são 8 elementos de diferentes valores, portanto:
 
 
 
 
 
No exemplo anterior cada valor aparecia apenas uma única vez, caso os valores se repitamna
amostra, ou seja, se eles tiverem uma freqüência diferente de um ( x1 com f1; x2 com f2 e
assim por diante) então a fórmula para o cálculo da média aritmética será:
 
Este último conceito define a média ponderada, sendo que eventualmente as freqüências
podem ser substituídas por “pesos” que conferem a importância diferenciada de cada valor.
O exemplo a seguir mostra o cálculo para dados não agrupados em classe:
 
Exemplo 2: Calcular a média aritmética dos valores abaixo relacionados:
 
   
Como no exemplo anterior o cálculo da média aritmética consiste na soma de todos os
valores dividida pela quantidade total de elementos. Note, porém, que cada um dos valores da
tabela aparece certo número de vezes, diferente de um; por exemplo o valor 25 aparece 37
vezes, portanto precisamos somar 25 com ele mesmo 37 vezes ou em maneira mais direta
precisamos multiplicar 25 por 37. A coluna C, na tabela abaixo, mostra todos os cálculos
deste tipo.
 
 
Quando somamos essa coluna obtemos o valor 9491 que corresponde à soma de todos os
elementos da amostra (193 elementos). Assim a média é:
 
 
 
Quando os dados são apresentados agrupados em classes o processo de cálculo  será
idêntico ao anterior com a diferença que o valor a ser usado é o ponto médio de classe
(lembre-se que já definimos esse valor nos módulos anteriores):
O exemplo a seguir mostra-nos, passo a passo o cálculo da média aritmética ponderada para
dados agrupados por classes.
Exemplo 3: Dada a tabela de freqüências abaixo, calcular a média aritmética:
   
A tabela  a seguir  apresenta os valores e cálculos necessários para se determinar a média
aritmética para uma amostra que estivermos descrevendo.
 
 
As colunas E e F da tabela bem como os somatórios mostram os cálculos necessários para a
obtenção da média aritmética.
 
O uso de uma tabela para estes cálculos facilita as operações de cálculo bem como são mais
facilmente trabalhadas em computador.
 
Note que acima nós somamos os valores de todos os elementos da amostra, ficando na
seguinte situação: O valor da soma dos 225 elementos da amostra é 369136,5, portanto a
média aritmética será de:
 
 
Por ultimo é importante observar as seguintes propriedades das médias aritméticas:
·                A soma algébrica dos afastamentos (ou desvios ou resíduos) de um conjunto de
números tomados em relação à média é nula.
·                Se multiplicarmos ou dividirmos todas as informações por uma constante, a média
aritmética ficará multiplicada ou dividida por essa constante.
·                Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de um conjunto de
informações, a média aritmética ficará somada ou subtraída dessa constante.
·         A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação a media aritmética é mínima.
 
 
O texto acima resume os principais pontos desse módulo, mas sugere-se que você complemente
os estudos e se aprofunde nos conceitos. Recomendamos os seguintes textos:
·      O livro Estatística Aplicada à Gestão Empresarial de Adriano Leal Bruni.
·              Resumo nomeado MEDIDAS DE POSIÇÃO disponível no site www.aulalivre.com .
Pesquisar pelo nome do professor Mauricio do Fanno, na disciplina ESTATÍSTICA.
Exercício 1:
A tabela abaixo reúne dados sobre as variações de preço das cinco mais importantes despesas de uma
família e seus gastos médios mensais antes do aumento e o percentual de aumento que irá ocorrer.
Baseados nesses dados podemos afirmar que as médias simples e ponderadas de aumentos das
despesas dessa família foram respectivamente de
A)
10,0% e 3,9%
B)
3,9% e 2,0%
C)
2,9% e 10,0%
D)
3,0% e 2,9%
http://www.aulalivre.com/
E)
ambas 3,9%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
B) 
D) 
C) 
E) 
A) 
Exercício 2:
O gráfico abaixo representa a distribuição dos salários de 450 funcionários de determinada empresa. O
menor salário é de $ 550 e o maior, de $ 1830.
Com base nas informações apresentadas pode-se concluir que a média simples dos salários do grupo de
funcionários é
A)
1022
B)
1190
C)
1000
D)
1520
E)
1380
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 3:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados estão reunidos no quadro abaixo:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o rendimento médio das aplicações é
A)
13%
B)
12%
C)
15%
D)
18%
E)
16%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 4:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados estão reunidos no quadro abaixo: 
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o rendimento mediano das aplicações é 
A)
18%
B)
12%
C)
15%
D)
13%
E)
16%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 5:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados estão reunidos no quadro abaixo:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o rendimento modal das aplicações é
A)
18%
B)
13%
C)
15%
D)
12%
E)
16%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:B) 
Exercício 6:
O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir estão relacionadas as informações referentes aos
últimos 120 dias: 
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o número médio de defeitos diários é de
aproximadamente
A)
7,9
B)
10,0
C)
9,3
D)
8,0
E)
8,7
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 7:
O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir estão relacionadas as informações referentes aos
últimos 120 dias:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o número mediano de defeitos diários é de
aproximadamente:
A)
12,0
B)
10,0
C)
9,0
D)
8,0
E)
8,7
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
E) 
D) 
Exercício 8:
O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir estão relacionadas as informações referentes aos
últimos 120 dias:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o número modal de defeitos diários é de
aproximadamente
A)
7,0
B)
6,0
C)
9,0
D)
8,0
E)
8,7
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 9:
Uma pequena agência de publicidade relacionou o custo das 120 últimas campanhas publicitárias:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o custo mediano das campanhas publicitárias da
agência é de aproximadamente:
A)
R$ 22.370
B)
R$ 22.500
C)
R$ 23.260
D)
R$ 25.833
E)
R$ 20.833
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
B) 
A) 
E) 
C) 
Exercício 10:
Uma pequena agência de publicidade relacionou o custo das 120 últimas campanhas publicitárias:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o custo modal (pelo método de King) das
campanhas publicitárias é de aproximadamente:
A)
R$ 27.500
B)
R$ 30.000
C)
R$ 28.370
D)
R$ 25.000
E)
R$ 26.892
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 11:
(Exame Nacional de Cursos - Provão 2000) O Administrador Financeiro da Empresa de Vidros
Transparentes determinou os vários custos de capital, de acordo com suas fontes e custos relativos, a
saber:
Em vista do Custo de Capital e supondo-se inalterado o nível de risco, a empresa deve aceitar todos os
projetos que obtenham um retorno maior ou igual a
A)
16,0%
B)
19,4%
C)
20,0%
D)
21,0%
E)
22,0%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 12:
(Exame Nacional de Cursos - 2001)  Considere o quadro abaixo, que reúne dados sobre a estrutura
financeira da Pousada Porto Seguro. O Valor do Capital Próprio da Pousada é de R$ 1.000.000,00.
O custo médio ponderado de capital da empresa é
A)
3,3%
B)
15,5%
C)
16,0%
D)
16,6%
E)
25,0%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 13:
Em determinada empresa os salários dos colaboradores de nível superior, sem nível de chefia, distribuem-
se conforme a tabela abaixo.
Com base nos dados apresentados, o salário médio, mediano e modal (segundo King) são
respectivamente:
A)
R$ 2596, R$ 2475, R$ 2868
B)
R$ 2965, R$ 2953, R$ 2686
C)
R$ 2965, R$ 2539, R$ 2868
D)
R$ 2596, R$ 2475, R$ 2686
E)
R$ 2596, R$ 2539, R$ 2868
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
D) 
E) 
Exercício 14:
O Departamento de Auditoria separou aleatoriamente uma amostra de 131 notas fiscais emitidas, na
seguinte distribuição de frequências:
Com base nessas informações conclui-se que
 
I o valor médio das notas fiscais é R$ 4844.
II o desvio padrão do valor das notas fiscais é R$ 1715.
III a variância do valor das notas fiscais é aproximadamente 2.393.000 reais ao quadrado.
IV o desvio padrão do valor das notas fiscais é R$ 1547.
V o desvio padrão da amostra é R$ 4844.
 
Está correto o afirmado em
A)
I, II, III, IV e V.
B)
I e II, somente.
C)
I, II e III, somente.
D)
I, III e IV, somente.
E)
I, somente.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 15:
Uma pequena agência de publicidade relacionou o custo de suas 168 últimas campanhas publicitárias:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o custo mediano das campanhas publicitárias é
de aproximadamente
A)
R$ 24.400,00
B)
R$ 25.378,00
C)
R$ 24.547,00
D)
R$ 27.050,00
E)
R$ 29.700,00
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
B) 
A) 
C) 
Exercício 16:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados acham-se reunidos no quadro abaixo:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o rendimento médio dessas aplicações é 
A)
3%
B)
2%
C)
5%
D)
8%
E)
6%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
D) 
D) 
C) 
Exercício 17:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados acham-se reunidos no quadro abaixo:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o rendimento modal dessas aplicações é 
A)
8%
B)
3%
C)
2%
D)
5%
E)
6%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 18:
Uma corretora de valores relacionou 12 investimentos feitos recentemente e os rendimentos
correspondentes a cada um desses investimentos. Os dados acham-se reunidos no quadro abaixo:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o rendimento mediano dessas aplicações é 
A)
15%
B)
14%
C)
18%
D)
17%
E)
16%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 19:
O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir estão relacionadas as informações referentes aos
últimos 183 dias:   
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o número mediano de defeitos diários é de
aproximadamente
A)
11
B)
10
C)
15
D)
13
E)
19%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
E) 
C) 
D) 
B) 
Exercício 20:
Uma pequena agência de publicidade relacionou o custo de suas 130 últimas campanhas publicitárias:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o custo médio das campanhas publicitárias é de
aproximadamente
A)
R$ 78.300,00
B)
R$ 75,350,00
C)
R$ 82.751,00
D)
 R$ 71.456,00
E)
R$74.600,00
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
C) 
A) 
B) 
E) 
Exercício 21:
Uma pequena agência de publicidade relacionou no quadro abaixo o custo de suas 130 últimas campanhas
publicitárias:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o custo modal (método de King) das campanhas
publicitárias é de aproximadamente
A)
R$ 83.500,00
B)
R$ 77.000,00
C)
R$ 83.580,00
D)
R$ 81.790,00
E)
R$ 78.560,00
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
E) 
D) 
Exercício 22:
(Exame Nacional de Cursos – 2001- adaptado) 
Considere o quadro abaixo, que reúne informações sobre a estrutura financeira da Pousada Porto Seguro.
O Valor do Capital Próprio da Pousada é de R$ 1.000.000,00.(Exame Nacional de Cursos – 2001-
adaptado) 
O custo médio ponderado de capital da empresa é
A)
17,0%
B)
15,5%
C)
16,6%
D)
14,0%
E)
25,0%
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
C) 
D) 
C) 
A) 
Exercício 23:
O departamento de produção de uma empresa de confecções anota diariamente quantos defeitos
ocorreram na linha de produção. Na tabela a seguir estão relacionadas as informações referentes aos
últimos 183 dias:
Com base nos dados apresentados pode-se concluir que o número médio de defeitos diários é de
aproximadamente
A)
7,9
B)
10
C)
9,3
D)
8,0
E)
8,7
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
D) 
E) 
B)