notas de aula 4 - funcoes

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Definição
ClassificaçãoClassificação
Formas de apresentação
Representação gráfica
Propriedadesp
Operações com funções
ã iFunção inversa
Funções
 Definição: Sejam A e B subconjuntos de  Uma Definição: Sejam A e B subconjuntos de . Uma 
função é uma relação (lei ou regra) que associa, a 
d l t d A ú i l t f( ) Bcada elemento x de A, um único elemento f(x) em B. 
 Simbolicamente,
:f A B
 ou ainda
       ( )x f x
( )y f x ou ainda,                 ( )y f x
2
Nomenclatura
 O elemento f(x) recebe o nome de valor da função em x O elemento f(x) recebe o nome de valor da função em x
 A variável x é chamada variável independente; já y é a 
variável dependente
 O conjunto de valores que a variável x pode assumir é O conjunto de valores que a variável x pode assumir é 
chamado de domínio da função. Muitas vezes, a função é 
caracterizada apenas por sua lei de formação; nestescaracterizada apenas por sua lei de formação; nestes 
casos, entende‐se que o domínio é o conjunto dos 
números reais () ou um subconjunto seu
 A imagem de uma função é o conjunto de valores que a 
função assumefunção assume
3
Exemplos e contra exemplos
 Diagramas
É FUNÇÃO É FUNÇÃO É FUNÇÃO
 Diagramas
2
3
3
2
3 3
2
3
3
4
9
3
4
4
5
3
4
3
4
4
5
16
Ã É Ã Ã É Ã
2 3
1
NÃO É FUNÇÃO
2 3
NÃO É FUNÇÃO
3
4
4
5
5
4 5
5
4
Classificação das função
I. Injetora ou injetiva
Diz‐se que uma função f: A B é injetorainjetora quando para quaisquerDiz‐se que uma função f: A  B é injetorainjetora quando para quaisquer 
elementos x1 e x2 de A
x1  x2  f(x1)  f(x2)
1 2
4
f
1 2
4
g
1
1
h
2
3
6
4
5
2
3
4
6
2
3
1
0
f e g são injetoras
h não é injetora
5
Classificação das função
II. Sobrejetora ou sobrejetiva
Diz‐se que uma função f: A B é sobrejetorasobrejetora quando para todo y em BDiz‐se que uma função f: A  B é sobrejetorasobrejetora quando para todo y em B 
existe pelo menos um x em A tal que f(x) = y
2 11
2
g1 ‐1
2
f
2
8
h
4
5
2
3
2
3
2
‐34
3
4
8
7
6
f e g são sobrejetoras
h não é sobrejetora
6
Classificação das função
III. Bijetora ou bijetiva
Diz‐se que uma função f: A B é bijetorabijetora quando ela é injetora eDiz‐se que uma função f: A  B é bijetorabijetora quando ela é injetora e 
sobrejetora ao mesmo tempo
2
4
11
2
h
1
2
2
4
g
2
3
3
f
4
5 3
2
3 6
3
4
4
5
f, g e h são bijetoras
Correspondência biunívoca (um a um)
7
Três maneiras de se descrever uma função
I. Fornecimento de uma tabela com valores da função ‐
função numericamente definidafunção numericamente definida
II. Através da expressão algébrica que define sua lei de 
formação função algebricamente definidaformação – função algebricamente definida
III. Esboço do seu gráfico – função graficamente 
definida
8
Exemplo 1: função numericamente definida
 A tabela a seguir representa o volume de A tabela a seguir representa o volume de 
correspondências domésticas (Correios, 2001 – 2007)
x
Volume de 
correspondências
2001 166 301 000
f(x) representa o volume de 
correspondências no ano2001 166.301.000
2002 166.443.000
p
2003 171.220.000
2004 178.039.000
2005 180.734.000
2006 183.440.000
2007 190.888.000
9
Exemplo 1: função numericamente definida
a) Qual o volume de correspondências do ano de 2005?a) Qual o volume de correspondências do ano de 2005?
De acordo com os valores tabelados, conclui‐se que o volume 
de correspondências em 2005 foi de 180.734.000de correspondências em 2005 foi de 180.734.000
b) Aparentemente, observa‐se um aumento no número de ) p ,
correspondências no período observado. Quais as taxas 
percentuais de aumento, considerando‐se o período 
completo, ano a ano? Indique o período de maior e de menor 
crescimento
período 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
percentual ‐ 0,09 2,87 3,98 1,51 1,50 4,06
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menor %   maior %  
Exemplo 2: função algebricamente definida
 S t t t d bj t Se x representa a temperatura de um objeto em graus 
Celsius, então a temperatura em graus Fahrenheit é 
f ã d d d   1 8 32fuma função de x, dada por                              1,8 32f x x
) A á l 0oC t b li ã 100oCa) A água congela a 0oC e entra em ebulição a 100oC. 
Quais são as temperaturas correspondentes em 
graus Fahrenheit?graus Fahrenheit?
b) O alumínio se liquefaz a 660oC. Qual é o ponto de 
liq efação do al mínio correspondente em gra sliquefação do alumínio correspondente em graus 
Fahrenheit?
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Solução
a)
 
 
      

  
0        0 1,8 0 32 32
100 100 1 8 100 32 180 32 212
x f
x f
Logo a água congela a 32oF e entra em ebulição a
         100        100 1,8 100 32 180 32 212x f
Logo, a água congela a 32 F e entra em ebulição a 
212oF
b)         660        660 1,8 660 32 1188 32 1220x f
Portanto, o alumínio se liquefaz a 1220oF
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Exemplo 3: função graficamente definida
 A figura a seguir representa a renda familiar média no A figura a seguir representa a renda familiar média no 
Estados Unidos, em milhões de dólares, no período de 
1985 a 2001
44
45
41
42
43
44
ar
 M
é
d
ia
d
ó
la
re
s)
38
39
40
e
n
d
a 
Fa
m
ili
a
m
ilh
õ
e
s 
d
e
 d
35
36
37
1.985 1.990 1.995 2.000 2.005
R
e (m
13
Ano
Exemplo 3: função graficamente definida
a) Quando a renda média atingiu seu valor máximo e qual foi aa) Quando a renda média atingiu seu valor máximo e qual foi a 
renda média quando isso ocorreu? E com relação à renda 
mínima?mínima?
A renda média máxima ocorreu em 1999, e seu valor é de 
aproximadamente 43,5 mil dólares; já a renda média mínima 
b) A renda média estava diminuindo durante o período entre 
ocorreu em 1985, com valor de 37 mil dólares
) p
1999 e 2001. Esta diminuição foi mais rápida durante o 
primeiro ou o segundo ano do período?
De 1999 a 2000, a renda média parece permanecer 
constante; a diminuição sensível se dá no período 2000‐2001
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Representação gráfica
 Frequentemente é recomendável descrever uma função Frequentemente, é recomendável descrever uma função 
geometricamente, utilizando um sistema de coordenadas 
retangulares xyretangulares xy.
 O conjunto de todos os pontos (x, f(x)) do plano 
cartesiano, com x  dom (f), é denominado gráfico da 
função f.
 É possível esboçar o gráfico de fmarcando os pontos       
(x f(x)) para um conjunto representativo de valores de x(x, f(x)) para um conjunto representativo de valores de x, 
ligando‐os depois por meio de uma curva suave. Quanto 
mais próximos os valores de x, melhor a representação.p , p ç
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Exemplo 4
 No caso da função de conversão de temperatura de graus No caso da função de conversão de temperatura de graus 
Celsius para graus Fahrenheit, a representação gráfica é a 
seguinte:
   1,8 32f x x
g
250
150
200
e
it
x f(x )
‐20 ‐4
‐10 14
100
gr
au
s 
Fa
h
re
n
h
e‐10 14
0 32
10 50
0
50
‐40 ‐20 0 20 40 60 80 100 120
g
20 68
30 86
40 104
‐50
graus Celsius
40 104
50 122
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Exemplo 5
 No caso da função volume de correspondências No caso da função volume de correspondências 
domésticas, a representação gráfica é a seguinte:
x f(x)
2001 166.301.000
185
190
195
n
ci
as
2002 166.443.000
2003 171.220.000
175
180
185
co
rr
e
sp
o
n
d
ê
n
2004 178.039.000
2005 180.734.000
165
170
175
m
il
h
õ
e
s 
d
e
 
2006 183.440.000
2007 190.888.000
160
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
ano
17
Propriedades
 Funções crescentes e decrescentesFunções crescentes e decrescentes: Uma função f é Funções crescentes e decrescentesFunções crescentes e decrescentes: Uma função f é 
considerada crescente se, à medida que x cresce, f(x) também 
cresce; e é dita decrescente se à medida que x cresce, f(x)cresce; e é dita decrescente se à medida que x cresce, f(x) 
decresce
        1 2 1 2 1 2:      x , ,CRESCENTE x dom f x x f x f x
        1 2 1 2 1 2: x , ,DECRESCENTE x dom f x x f x f x
 Funções pares e ímparesFunções pares e ímpares: Uma função f é par se, para todo x
pertencenteao seu domínio, tem‐se f(‐x) = f(x), e é ímpar sepertencente ao seu domínio, tem se f( x)   f(x), e é ímpar se   
f(‐x) = ‐ f(x)
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Operações com funções
 Dadas as funções f e g sua somasoma subtraçãosubtração produtoproduto e Dadas as funções f e g, sua somasoma, subtraçãosubtração, produtoproduto e 
quocientequociente são definidos por:
       f f      
      
   

  

f g x f x g x
f g x f x g x
      
     

  

 
  d d 0
f g x f x g x
f xf
 O domínio das funções f + g f g e f g é dado pela interseção
      
     
,  desde que  0
ff
x g x
g g x
 O domínio das funções f + g, f – g e fg é dado pela interseção 
dos domínios de f e g; já o domínio da função quociente é a 
interseção dos domínios de f e g, excluindo‐se os pontos nosinterseção dos domínios de f e g, excluindo se os pontos nos 
quais g(x) =0
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Operações com funções
 Multiplicação por constanteMultiplicação por constante: Se f é uma função e k uma constante Multiplicação por constanteMultiplicação por constante: Se  f é uma função e k uma constante 
real, define‐se a função (kf)(x) como sendo
      k f x k f x
 ComposiçãoComposição: Dadas as funções f e g, a função composta de g
    k f x k f x
com f, denotada por (gf)(x), é definida como sendo
     g f x g f x
 O domínio da função (kf) coincide com o domínio de f; o domínio de 
(gf) é o conjunto de todos os pontos x pertencentes ao domínio de f(gf) é o conjunto de todos os pontos x pertencentes ao domínio de f
e que também estejam no domínio de g
 Assim como é possível determinar a composta gf também é Assim como é possível determinar a composta gf, também é 
possível determinar  fg, ff e gg
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Função inversa
 Seja y f(x) uma função de A em B Se para cada y  B existir Seja y = f(x) uma função de A em B. Se, para cada y  B, existir 
exatamente um valor de x  A tal que y = f(x), então define‐se a 
função g, de B em A tal que x = g(y). A função g é chamadafunção g, de B em A tal que x  g(y). A função g é chamada 
função inversa de f, e é denotada por f ‐1
 Propriedade de Propriedade de f f ‐‐11: (f ‐1f)(x) = x        (função identidade)
f
g
21