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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA Resumo do Método do Lugar das Raízes Introdução O método do lugar das raízes é uma forma gráfica de se obter as raízes da equação característica (que equivale aos pólos em malha fechada), quando K varia de 0 a (pode-se desenhar o lugar das raízes em função da variação de qualquer parâmetro). Este método é bastante útil, pois permite fazer a análise de estabilidade de um sistema realimentado, de forma gráfica. O lugar Geométrico das Raízes O método do Lugar das Raízes é uma forma de se representar graficamente a localização dos pólos do sistema em malha fechada, quando se altera o valor de um parâmetro específico, normalmente o ganho. O método foi introduzido por W. R. Evans, em 1948, e tem sido utilizado largamente no projeto da Engenharia de Controle e Automação. O lugar geométrico das raízes é um gráfico construído a partir dos dados do sistema em malha aberta. Tomando o ganho como parâmetro, o lugar geométrico das raízes é o conjunto dos pontos do plano complexo que corresponde aos pólos do sistema em malha fechada. A técnica é um método gráfico de esboçar, no plano s, o lugar geométrico das raízes à medida que um parâmetro é variado. Considere o sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos da figura 1. A função de transferência em malha fechada é dada por: E, portanto, os polos do sistema em malha fechada (que, naturalmente, determinam as características da resposta do sistema) são as raízes da equação: 1+ KG(z)H(z)= 0 Ou seja: K G(z)H(z)= -1+ j0. A forma complexa foi usada para enfatizar que se trata de uma igualdade de números complexos. Por esta razão a equação desdobra-se em: 1) Condição de fase (critério de ângulo): G(z)H(z) = ± (1+ 2L)180o para L= 0, 1, 2,... 2) Condição de módulo (ou critério de ganho): |K G(z)H(z)| = 1. Explicação: Critério de ângulo: para um ponto pertencer ao lugar das raízes (isto é, ser solução da equação característica), o ângulo da função G(z)H(z) naquele ponto deve ser ±(1+2L)180o. + - R(z) C(z) K G(z) H(z) F(z) = C(z) = K G(z) R(z) 1+ K G(z).H(z) Critério de módulo: escolhido um ponto no lugar das raízes, o módulo vale |K| = 1/| G(z)H(z)|. A localização das raízes, isto é, os seus valores, definem ainda algumas especificações do sistema como, por exemplo, overshoot, tempo de pico, tempo de acomodação, etc. O método do lugar das raízes permite que se escolham os valores dos parâmetros da função de transferência, que satisfaçam às especificações do sistema. Com o uso deste método, podem-se prever os efeitos sobre a localização dos pólos de malha fechada, quando houver variação do valor do ganho de malha aberta ou forem acrescidos pólos e/ou zeros na função de transferência de malha aberta. Regras de Construção de um lugar Geométrico das Raízes (LGR) O procedimento de Evans para construir o LGR consiste de uma coleção de regras para determinar se o ponto de teste, z, no plano complexo é um pólo de malha-fechada do sistema para algum valor de K. Regra 1: Os pólos de malha aberta, são todos pontos do lugar das raízes correspondentes ao ganho K = 0. Regra 2: O lugar das raízes começa nos pólos em malha-aberta e termina nos zeros em malha-aberta. Se não houver zeros suficientes os ramos terminam no infinito segundo assíntotas. Regra 3: Para K > 0, qualquer ponto do eixo real que ficar a esquerda de um número ímpar de singularidades (pólos ou zeros) localizadas também no eixo real é um ponto do lugar das raízes. Regra 4: O LGR é simétrico em relação ao eixo real. Regra 5: Se G(z)H(z) tem n pólos e m zeros finitos (m ≤ n), então exatamente m ramos terminam em zeros finitos, quando K tende ao infinito. Os ramos remanescentes (n-m) tendem assintoticamente, quando K tende ao infinito para uma reta que intercepta o eixo real no ponto e que forma um ângulo com o mesmo eixo real (assíntotas), onde Regra 6: O cálculo dos pontos de entrada e de saída do Lugar Geométrico das Raízes no eixo real do plano z é realizado com base na equação d(G(z)H(z))/dz=0. Isto é, considerando G(z)H(z)=A(z)/B(z), obtém-se A'(z)B(z)-A(z)B'(z)=0, onde A'(z)=dA/dz e B'(z)=dB/dz. = 180(2N +1) [ N = 0,1,2,..... ] n - m = (p1 + p2 +p3 .....+ pn) - (z1 + z2 + .....zm) n - m
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